Curva de Precio a través del tiempo

Ecuaciones Diferenciales – Dinámica del precio de un producto

Considerando las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, particularmente, el caso no-homogéneo con coeficiente constante de la forma

x' + ax = w(t)

Sabemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones. Veremos que este tipo de ecuaciones se puede usar para describir la relación entre la oferta y la demanda en una economía.

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Suponga que las funciones de demanda y oferta de un producto son las siguientes:

Q_d = a_1 - b_1 P \text{ y } Q_o = - a_2 + b_2 P \text{ donde } a_i,b_i>0

Sabiendo que el equilibrio de mercado se consigue cuando Q_d = Q_o, entonces

a_1 - b_1 P = a_2 - b_2 P

\Rightarrow -b_1 P -b_2 P = -a_1-a_2

\Rightarrow P(- b_1 - b_2) = -a_1-a_2

\Rightarrow P = \frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}

Es decir, si P_e = \frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}, entonces el mercado estará en equilibrio. Sin embargo, cuando el precio P se desvía de este valor P_e, la demanda excede la oferta o la oferta excede la demanda.

Consideraremos que el precio en un mercado cambia de acuerdo a las fuerzas relativas de demanda y para simplicidad, supongamos que la tasa de cambio de precios con respecto al tiempo t es proporcional al exceso en la demanda, formalmente tenemos que si Q_d-Q_o es el exceso en la demanda, entonces

P'(t) = m \cdot \big( Q_d(t) - Q_o(t) \big), m>0

Sustituyendo las funciones Q_d y Q_o en esta última ecuación, tenemos

P'(t) = m \cdot \big( Q_d(t) - Q_o(t) \big)

\Rightarrow P'(t) = m \cdot \big( a_1 - b_1 P - ( - a_2 + b_2 P) \big)

\Rightarrow P'(t) = m \cdot ( a_1 - b_1 P + a_2 - b_2 P )

\Rightarrow P'(t) = m a_1 - m b_1 P + m a_2 - m b_2 P

\Rightarrow P'(t) = -m P( b_1 + b_2) + m (a_1 + a_2)

\Rightarrow P'(t) + m ( b_1 + b_2) \cdot P = m (a_1 + a_2)

Esta es una ecuación diferencial que se puede calcular usando el factor integrante \mu(t) = \textit{\Large e}^{\int m(b_1+b_2)dt} = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t}, así, tenemos que

\frac{dP}{dt} + m ( b_1 + b_2) \cdot P = m (a_1 + a_2 )

\Rightarrow \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} \frac{dP}{dt} + \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m ( b_1 + b_2) = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 )

\Rightarrow \frac{d(\textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P)}{dt} = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 )

\Rightarrow \int \frac{d(\textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P)}{dt} dt = \int \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 ) dt

\Rightarrow \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P = \frac{m(a_1+a_2)}{m(b_1+b_2)}\textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} + C

\Rightarrow \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P = P_e \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} + C

\Rightarrow P = P_e + C \textit{\Large e}^{-m(b_1+b_2)t}

Si consideremos la condición inicial P(0), entonces tenemos que

P(0) = P_e + C \textit{\Large e}^{-m(b_1+b_2) \cdot 0} = P_e + C \Rightarrow C = P(0) - P_e

Por lo tanto, la solución que estamos buscando viene dada por

P(t) = ( P(0) - P_e) \textit{\Large e}^{-m_0 t} + P_e, \text{ donde } m_0 = m(b_1+b_2)

Notemos ahora que m_0>0, así que si t \rightarrow \infty, entonces P(t) \rightarrow P_e. Es decir, a largo plazo, el mecanismo del mercado llevará la dinámica del mercado a su punto de equilibrio.


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