Ecuaciones Diferenciales – Dinámica del precio de un producto

08.04.202107.12.2022 Anthonny Arias GarcíaDeja un comentario

Considerando las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, particularmente, el caso no-homogéneo con coeficiente constante de la forma

$x' + ax = w(t)$

Sabemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones. Veremos que este tipo de ecuaciones se puede usar para describir la relación entre la oferta y la demanda en una economía.

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Suponga que las funciones de demanda y oferta de un producto son las siguientes:

$Q_d = a_1 - b_1 P \text{ y } Q_o = - a_2 + b_2 P \text{ donde } a_i,b_i>0$

Sabiendo que el equilibrio de mercado se consigue cuando $Q_d = Q_o$ , entonces

$a_1 - b_1 P = -a_2 + b_2 P$

$\Rightarrow -b_1 P -b_2 P = -a_1-a_2$

$\Rightarrow P(- b_1 - b_2) = -a_1-a_2$

$\Rightarrow P = \frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}$

Es decir, si $P_e = \frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}$ , entonces el mercado estará en equilibrio. Sin embargo, cuando el precio $P$ se desvía de este valor $P_e$ , la demanda excede la oferta o la oferta excede la demanda.

Consideraremos que el precio en un mercado cambia de acuerdo a las fuerzas relativas de demanda y para simplicidad, supongamos que la tasa de cambio de precios con respecto al tiempo $t$ es proporcional al exceso en la demanda, formalmente tenemos que si $Q_d-Q_o$ es el exceso en la demanda, entonces

$P'(t) = m \cdot \big( Q_d(t) - Q_o(t) \big), m>0$

Sustituyendo las funciones $Q_d$ y $Q_o$ en esta última ecuación, tenemos

$P'(t) = m \cdot \big( Q_d(t) - Q_o(t) \big)$

$\Rightarrow P'(t) = m \cdot \big( a_1 - b_1 P - ( - a_2 + b_2 P) \big)$

$\Rightarrow P'(t) = m \cdot ( a_1 - b_1 P + a_2 - b_2 P )$

$\Rightarrow P'(t) = m a_1 - m b_1 P + m a_2 - m b_2 P$

$\Rightarrow P'(t) = -m P( b_1 + b_2) + m (a_1 + a_2)$

$\Rightarrow P'(t) + m ( b_1 + b_2) \cdot P = m (a_1 + a_2)$

Esta es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden que se puede calcular usando el factor integrante $\mu(t) = \textit{\Large e}^{\int m(b_1+b_2)dt} = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t}$ , así, tenemos que

$\frac{dP}{dt} + m ( b_1 + b_2) \cdot P = m (a_1 + a_2 )$

$\Rightarrow \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} \frac{dP}{dt} + \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m ( b_1 + b_2) = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 )$

$\Rightarrow \frac{d(\textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P)}{dt} = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 )$

$\Rightarrow \int \frac{d(\textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P)}{dt} dt = \int \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 ) dt$

$\Rightarrow \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P = \frac{m(a_1+a_2)}{m(b_1+b_2)}\textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} + C$

$\Rightarrow \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P = P_e \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} + C$

$\Rightarrow P = P_e + C \textit{\Large e}^{-m(b_1+b_2)t}$

Si consideremos la condición inicial $P(0)$ , entonces tenemos que

$P(0) = P_e + C \textit{\Large e}^{-m(b_1+b_2) \cdot 0} = P_e + C \Rightarrow C = P(0) - P_e$

Por lo tanto, la solución que estamos buscando viene dada por

$P(t) = ( P(0) - P_e) \textit{\Large e}^{-m_0 t} + P_e, \text{ donde } m_0 = m(b_1+b_2)$

Notemos ahora que $m_0>0$ , así que si $t \rightarrow \infty$ , entonces $P(t) \rightarrow P_e$ . Es decir, en el largo plazo, el mecanismo del mercado llevará la dinámica del mercado a su punto de equilibrio.

Referencias

Zhang, W.-B. (2005). DIFFERENTIAL EQUATIONS, BIFURCATIONS, AND CHAOS IN ECONOMICS (Vol. 68). World Scientific.

El punto de equilibrio del mercado

31.10.202007.12.2022 Anthonny Arias García3 comentarios

Una vez que hemos estudiado las ecuaciones de demanda y las ecuaciones de oferta, es claro que los productores prefieren vender a un precio alto y los consumidores prefieren comprar a un precio bajo, es por esto que se debe llegar a un consenso entre ambas partes de forma que ninguna de las dos se vea perjudicada.

Recordando que estas ecuaciones definen rectas, podemos, de forma matemática, establecer este consenso definiendo el punto de equilibrio del mercado como el punto de intersección entre ambas rectas. Gráficamente, está interpretado de la siguiente forma:

Calculando el punto de equilibrio, es posible fijar el precio de un artículo, de forma que los consumidores demandarán la misma cantidad de unidades que los productores están ofertando. Dicho precio será conocido como el precio de equilibrio y las cantidades serán conocidas como cantidades de equilibrio.

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo calcular el punto de equilibrio en una economía simple una vez que ya contamos con las ecuaciones de demanda y oferta.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las ecuaciones $p = -\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9}$ y $p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3}$ que describen la demanda y la oferta de zanahorias en una pequeña tienda de verduras de la ciudad. Calcule el punto de equilibrio de este mercado.

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales para calcular el punto de intersección,

$p = -\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9}$
$p = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3}$

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable $q$

$-\frac{5}{9} \cdot q + \frac{215}{9} = \frac{5}{3} \cdot q + \frac{10}{3}$

$\Rightarrow \ -\frac{5}{9} \cdot q - \frac{5}{3} \cdot q = \frac{10}{3} - \frac{215}{9}$

$\Rightarrow \ -\frac{20}{9} \cdot q = - \frac{185}{9}$

$\Rightarrow \ q = \frac{ \ - \frac{185}{9} \ }{-\frac{20}{9}}$

$\Rightarrow \ q = \frac{37}{4}$

De esta forma, podemos concluir que la cantidad de equilibrio es $q_e = \frac{37}{4} \approx 9,25$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el precio de equilibrio. Sustituyamos el valor $q_e = \frac{37}{4}$ en la ecuación de oferta:

$p = \frac{5}{3} \cdot \left( \frac{37}{4} \right) + \frac{10}{3} = \frac{75}{4} \approx 18,75$

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio del mercado es $P_0 = \left( \frac{37}{4}, \frac{75}{4} \right) = (9,25 \ ; \ 18,75)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.

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Ejemplo 2

Considerando las ecuaciones $p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44}$ y $p = \frac{7}{8} \cdot q - 5$ que describen la demanda y la oferta zapatos para dama en una zapatería. Calcule el punto de equilibrio de este mercado.

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales para calcular el punto de intersección,

$p = -\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44}$

$p = \frac{7}{8} \cdot q - 5$

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable $q$

$-\frac{35}{44} \cdot q + \frac{7795}{44} = \frac{7}{8} \cdot q - 5$

$\Rightarrow \ -\frac{35}{44} \cdot q - \frac{7}{8} \cdot q = -5 - \frac{7795}{44}$

$\Rightarrow \ -\frac{147}{88} \cdot q = - \frac{8015}{44}$

$\Rightarrow \ q = \frac{ \ - \frac{8015}{44} \ }{-\frac{147}{88}}$

$\Rightarrow \ q = \frac{2290}{21}$

De esta forma, podemos concluir que la cantidad de equilibrio es $q_e=\frac{2290}{21} \approx 109.04$ y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el precio de equilibrio. Sustituyamos el valor $q_e=\frac{2290}{21}$ en la ecuación de oferta:

$p = \frac{7}{8} \cdot \left( \frac{2290}{21} \right) - 5 = \frac{1085}{12} \approx 90,41$

Por lo tanto, concluimos que el punto de equilibrio del mercado es $P_0 = \left( \frac{2290}{21} , \frac{1085}{12} \right)$ y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.

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Impuestos Especiales

Como parte de sus políticas económicas, los gobiernos tienden a aplicar impuestos adicionales sobre ciertos artículos con el fin de generar más ingresos, por otra parte, también se dan subsidios a los productores con el fin de que disminuir los precios de ciertos artículos y así los consumidores puedan acceder a dichos artículos con mayor facilidad.

Al estudiar las ecuaciones de demanda y oferta, una vez fijado el precio de un artículo, este precio cuenta con dos interpretaciones dependiendo de cuál de los dos entes involucrados se están estudiando, concretamente, si consideramos $(p,q)$ el punto equilibrio del mercado, entonces

Para los consumidores, $p$ denota el precio que pagarán a cambio de $q$ unidades del artículo. Es por esto que en ocasiones se llama precio del demandante y se denota con $p_d$ o por su nombre en inglés consumer price y se denota con $p_c$ .
Para los productores, $p$ denota el precio que recibirán a cambio de $q$ unidades del artículo. Es por esto que en ocasiones se llama precio del oferente y se denota con $p_o$ o por su nombre en inglés supplier price y se denota con $p_s$ .

Efecto del impuesto en el equilibrio del mercado

Supongamos que el gobierno impone un impuesto de $t$ Perolitos (Ps.) sobre un determinado artículo. Entonces, los productores de este artículo estarán recibiendo $t$ Ps. menos por cada unidad de dicho artículo, esto en comparación con el precio que los consumidores pagan, es decir, $p_o = p_d - t$ .

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Entonces, si originalmente $p_o = m \cdot q + b$ es la ecuación de oferta del artículo, entonces, la ecuación de oferta una vez que se ha fijado el impuesto de $t$ Ps. quedará expresada de la forma $p_d - t = m \cdot q + b$ y despejando $p_d$ , obtenemos que

$p_d = m \cdot q + b + t$

Gráficamente, se está trasladando la curva de oferta original en $t$ unidades hacia arriba en el Eje P, generando así, un nuevo punto de equilibrio de la siguiente forma

Efecto del impuesto en el equilibrio del mercado | totumat.com

Veamos en los siguientes ejemplos, como la imposición de un impuesto afecta el punto de equilibrio del mercado.

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