Sistemas de Ecuaciones Lineales – Gauss-Jordan

23.11.202023.11.2020 Anthonny AriasDeja un comentario

Una vez que hemos planteado un sistema de ecuaciones lineales con $n$ ecuaciones y $n$ incógnitas de forma matricial, es decir, de la siguiente forma:

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Podemos establecer un método que nos permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz de términos independientes en la solución que estamos buscando.

Formalmente, si $A$ es una matriz cuadrada no-singular, es decir, tal que su determinante es distinto de cero. Podemos usar el Método de Eliminación de Gauss-Jordan para calcular la solución del sistema de ecuaciones ampliando la matriz $A$ adosando la matriz de términos independientes $C$ a su lado derecho, de la siguiente forma:

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando este método.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando el sistemas de ecuaciones con $2$ ecuaciones y $3$ incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para verificar que éste sea diferente de cero,

Habiendo verificado que el determinante de la matriz $A$ es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz $C$ en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz $A$ .

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: $x = -\frac{3}{16}$ , $y = \frac{43}{48}$ .

Ejemplo 2

Considerando el sistemas de ecuaciones con $2$ ecuaciones y $3$ incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para verificar que éste sea diferente de cero,

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: $x = -\frac{1}{17}$ , $y = -\frac{94}{85}$ .

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Ejemplo 3

Considerando el sistemas de ecuaciones con $3$ ecuaciones y $4$ incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para verificar que éste sea diferente de cero,

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: $x = \frac{111}{85}$ , $y = \frac{22}{17}$ , $z = -\frac{16}{85}$ .

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Ejemplo 4

Considerando el sistemas de ecuaciones con $3$ ecuaciones y $4$ incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para verificar que éste sea diferente de cero,

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz identidad en la inversa que estamos buscando.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: $x = -\frac{50}{169}$ , $y = \frac{32}{169}$ , $z = -\frac{85}{169}$ .

Nota: Queda de parte del lector verificar que los valores calculados son en efecto, la solución de los sistemas de ecuaciones planteados. Para esto debe sustituir los valores en cada una de las ecuaciones y verificar que se cumple la igualdad.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales con coeficientes constantes (2 de 2)

12.10.202025.02.2021 Anthonny AriasDeja un comentario

Los métodos para calcular al solución ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior dependen de la forma en que la ecuación esté expresada, considerando el caso lineal, es posible particularizarlo aún más, pues si consideremos una ecuación diferencial de la forma

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$

Las funciones $a_0(x), a_1(x), \ldots, a_n(x)$ que definen los coeficientes de la ecuación, pueden considerarse como funciones constantes, de forma que la ecuación diferencial queda expresada como

$a_n y^{(n)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = g(x)$

Donde $a_0, a_1, \ldots, a_n$ son números reales.

Más aún, será de vital importancia clasificar estas ecuaciones dependiendo del valor de $g(x)$ . Diremos que una ecuación de este tipo es no-homogénea si $g(x) \neq 0$ , y durante esta sección, este es el caso que desarrollaremos.

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales no-homogéneas con coeficientes constantes

Habiendo clasificado las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales como homogéneas y no-homogéneas, pudimos establecer un principio (de superposición) que nos determinó la forma en que está expresada la solución general del caso homogéneo. Durante esta sección, podremos generalizar este principio para el caso no-homogéneo. Pero antes debemos precisar algunos elementos.

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea de orden $n$ expresada de la forma

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$

Definimos su ecuación homogénea asociada, considerando $g(x)=0$ de la siguiente forma

$a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = 0$

Sabiendo como calcula la solución general esta ecuación homogénea asociada, veremos en el siguiente teorema que esta juega un papel fundamental para poder definir la solución general de la ecuación no-homogénea asociada.

Teorema (Principio de Superposición – Ecuaciones No-Homogéneas)

Si $y_p$ es una solución particular de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea de orden $n$ de la forma

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$

definida en un intervalo $I$ ; $y_1,y_2, \ldots ,y_n$ conforman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada en el intervalo $I$ , entonces la siguiente combinación lineal

$y = c_ 1y_1 + c_2 y_2 + \ldots + c_n y_n + y_p$

también es una solución de la ecuación no-homogénea.

De este teorema, diremos que $c_ 1y_1 + c_2 y_2 + \ldots + c_n y_n$ es la solución complementaria y la denotaremos por $y_c$ . De esta forma, podemos expresar la solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea de la siguiente forma

El Principio de Superposición para ecuaciones no-homogéneas puede ser generalizado tomando en cuenta que si tenemos $k$ ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no-homogéneas de la forma

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_1(x)$
$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_2(x)$
$\vdots$
$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_k(x)$

donde $y_{p_1},y_{p_2}, \ldots ,y_{p_k}$ son soluciones particulares correspondientes. Entonces, la suma de todas estas soluciones particulares,

$y_p = y_{p_1} + y_{p_2} + \ldots + y_{p_k}$

Será una solución particular de la ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_1(x) + \ldots + g_k(x)$

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Método de los Coeficientes Indeterminados

Conociendo esta última generalización, veamos un método que se basa en intuir cómo debería ser la solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea fijándonos en la forma en que está expresada la función $g(x)$ . Desarrollaremos este método para tres formas básicas de la función $g(x)$ .

Forma Polinómica

Si $g(x)$ es un polinomio de grado $m$ expresado de la forma

$g(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$

entonces una solución particular $y_p$ debería tener también forma polinómica pues derivando polinomios, obtenemos polinomios, es decir, de la forma

$y_p(x)= A_n x^n + \ldots + A_1 x + A_0$

Forma Exponencial

Si $g(x)$ es una función exponencial expresada de la forma

$g(x) = a \textit{\Large e}^{m x}$

entonces una solución particular $y_p$ debería tener también forma exponencial pues derivando funciones exponenciales, obtenemos funciones exponenciales, es decir, de la forma

$y_p(x) = A \textit{\Large e}^{m x}$

De forma general, si $g(x)$ es una función exponencial expresada de la forma

$g(x) = a_n x^n \textit{\Large e}^{m x} + \ldots + a_1 x \textit{\Large e}^{m x} + a_0 \textit{\Large e}^{m x}$

entonces una solución particular $y_p$ debería tener también forma polinómica pues derivando funciones exponenciales, obtenemos funciones exponenciales, es decir, de la forma

$y_p(x)= A_n x^n \textit{\Large e}^{m x} + \ldots + A_1 x \textit{\Large e}^{m x} + A_0 \textit{\Large e}^{m x}$

Forma Trigonométrica

Si $g(x)$ está expresada como la suma de senos y cosenos de la forma

$g(x) = a \sin(x) + b \cos(x)$

entonces una solución particular $y_p$ debería tener también forma de suma de senos y cosenos pues \emph{derivando senos y cosenos, obtenemos senos y cosenos}, es decir, de la forma

$y_p(x)= A \sin(x) + B \cos(x)$

Estos tres casos pueden combinarse ya sea con sumándolos o multiplicándolos entre sí, de esta forma podemos ampliar el espectro de soluciones que podemos considerar para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no-homogéneas con coeficientes constantes.

Para entender como aplicar este método, veamos algunos ejemplos que ilustrarán con precisión el desarrollo del mismo.

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