Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Lineales

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Calcule la solución de las siguientes ecuaciones lineales usando en cada paso los Axiomas Algebraicos de los Números Reales, explique cada paso con sus propias palabras.

  1. x + 6 = 9
  2. x - 9 = 6
  3. x + 5 = -10
  4. x - 3 = -30

  1. 7x + 1 = 10
  2. 5x - 4 = 5
  3. 4x + 10 = -5
  4. 4x - 7 = -15

  1. 2 + x = 3
  2. 7 - 6x = 10
  3. -8 + 16x = -7
  4. 3 - 8x = -9
  1. 3 + x = 8x
  2. 2 - 8x = 9x
  3. -5 + 81x = -9x
  4. 2 - 18x = -4x

  1. 1 + x = 18 + 8x
  2. 2 - 8x = 2 + 2x
  3. 6 - 5x = 9 - 9x
  4. -3 + 9x = -6 - 6x

  1. 3 + 11x = 8 + 8x - 10x
  2. 12 - 81x = 21x + 2x
  3. 6x - 5x + 10 = 9 - 9x
  4. -3x + 9x + 20 = 12x -16 - 6x

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Curva de Precio a través del tiempo

Ecuaciones Diferenciales – Dinámica del precio de un producto

Considerando las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, particularmente, el caso no-homogéneo con coeficiente constante de la forma

x' + ax = w(t)

Sabemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones. Veremos que este tipo de ecuaciones se puede usar para describir la relación entre la oferta y la demanda en una economía.

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Suponga que las funciones de demanda y oferta de un producto son las siguientes:

Q_d = a_1 - b_1 P \text{ y } Q_o = - a_2 + b_2 P \text{ donde } a_i,b_i>0

Sabiendo que el equilibrio de mercado se consigue cuando Q_d = Q_o, entonces

a_1 - b_1 P = -a_2 + b_2 P

\Rightarrow -b_1 P -b_2 P = -a_1-a_2

\Rightarrow P(- b_1 - b_2) = -a_1-a_2

\Rightarrow P = \frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}

Es decir, si P_e = \frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}, entonces el mercado estará en equilibrio. Sin embargo, cuando el precio P se desvía de este valor P_e, la demanda excede la oferta o la oferta excede la demanda.

Consideraremos que el precio en un mercado cambia de acuerdo a las fuerzas relativas de demanda y para simplicidad, supongamos que la tasa de cambio de precios con respecto al tiempo t es proporcional al exceso en la demanda, formalmente tenemos que si Q_d-Q_o es el exceso en la demanda, entonces

P'(t) = m \cdot \big( Q_d(t) - Q_o(t) \big), m>0

Sustituyendo las funciones Q_d y Q_o en esta última ecuación, tenemos

P'(t) = m \cdot \big( Q_d(t) - Q_o(t) \big)

\Rightarrow P'(t) = m \cdot \big( a_1 - b_1 P - ( - a_2 + b_2 P) \big)

\Rightarrow P'(t) = m \cdot ( a_1 - b_1 P + a_2 - b_2 P )

\Rightarrow P'(t) = m a_1 - m b_1 P + m a_2 - m b_2 P

\Rightarrow P'(t) = -m P( b_1 + b_2) + m (a_1 + a_2)

\Rightarrow P'(t) + m ( b_1 + b_2) \cdot P = m (a_1 + a_2)

Esta es una ecuación diferencial que se puede calcular usando el factor integrante \mu(t) = \textit{\Large e}^{\int m(b_1+b_2)dt} = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t}, así, tenemos que

\frac{dP}{dt} + m ( b_1 + b_2) \cdot P = m (a_1 + a_2 )

\Rightarrow \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} \frac{dP}{dt} + \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m ( b_1 + b_2) = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 )

\Rightarrow \frac{d(\textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P)}{dt} = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 )

\Rightarrow \int \frac{d(\textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P)}{dt} dt = \int \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 ) dt

\Rightarrow \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P = \frac{m(a_1+a_2)}{m(b_1+b_2)}\textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} + C

\Rightarrow \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P = P_e \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} + C

\Rightarrow P = P_e + C \textit{\Large e}^{-m(b_1+b_2)t}

Si consideremos la condición inicial P(0), entonces tenemos que

P(0) = P_e + C \textit{\Large e}^{-m(b_1+b_2) \cdot 0} = P_e + C \Rightarrow C = P(0) - P_e

Por lo tanto, la solución que estamos buscando viene dada por

P(t) = ( P(0) - P_e) \textit{\Large e}^{-m_0 t} + P_e, \text{ donde } m_0 = m(b_1+b_2)

Notemos ahora que m_0>0, así que si t \rightarrow \infty, entonces P(t) \rightarrow P_e. Es decir, a largo plazo, el mecanismo del mercado llevará la dinámica del mercado a su punto de equilibrio.


Modelo de Harrod-Domar

Ecuaciones Diferenciales – Modelo de Harrod-Domar

Considerando las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden, particularmente, el caso homogéneo con coeficiente constante de la forma

x' + ax = 0

Sabemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones. Veremos que este tipo de ecuaciones se puede usar para describir la relación de la inversión anual con el ingreso anual en una economía, a través del Modelo de Harrod-Domar

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El sistema en el que se basa este modelo está construido sobre la siguiente hipótesis: Si I(t) es una variable que mide la inversión por año y Y(t) es una variable que mide el flujo de ingresos por año; cualquier cambio en la tasa de ingreso por año afectará la demanda agregada y productividad de la economía.

Teniendo en cuenta que el efecto de la demanda en un cambio de I(t) opera a través de un proceso multiplicativo. Un incremento en I(t) incrementará la tasa del flujo de ingresos por año Y(t) de forma proporcional, es decir, como un múltiplo del incremento en I(t).

Los agentes involucrados tomarán una porción de la producción (esta cantidad es predecible) con el propósito de acumular capital, esta proporción es llamada propensión marginal al ahorro y la denotaremos con s. Para este caso supondremos que existe un sólo bien, de esta forma no habrá cambios en precios relativos ni en la composición del capital. De esta forma se simplifica el modelo y como I(t) es el único flujo de gastos que influye en la tasa del flujo de ingresos, tenemos que

Y'(t) = \frac{I'(t)}{s}

El efecto de la capacidad de inversión se refleja en el cambio de la tasas de producción potencial que la economía puede producir. La tasa de capacidad-capital está definida por

\rho = \frac{k(t)}{K(t)}

donde k(t) es la capacidad o flujo de producción potencial, K(t) es el capital y \rho representa una constante (predeterminada) de tasas de capacidad-capital.

Después de un sencillo despeje en ésta última igualdad, tenemos que

k(t) = \rho K(t)

y derivando respecto a t en ambos lados de la ecuación, obtenemos

k'(t) = \rho K'(t) = \rho I(t)

ya que un incremento en el capital es igual a la capacidad de inversión, es decir, K'(t) = I(t).

Por otra parte, definimos equilibrio como una situación en la que la capacidad productiva es totalmente aprovechada, es decir,

Y(t) = k(t)

entonces, al considerar un equilibrio, existe un balance entre los cambios respectivos en la capacidad productiva y demanda agregada, esto es,

Y'(t) = k'(t)

Teniendo en cuenta todas estas definiciones, nos preguntamos: ¿Qué trayectoria de tiempo de la inversión I(t) mantendrá la economía en equilibrio todo el tiempo? Para responder esta pregunta tomaremos las ecuaciones Y'(t) = \frac{I(t)}{s} y k'(t)=\rho I(t) para sustituirlas en la ecuación Y'(t)=k'(t), de esta forma obtenemos que

\frac{I'(t)}{s} = \rho I(t)

\Rightarrow I'(t)=s\rho I(t)

Calculamos la solución de esta ecuación diferencial con la condición inicial I(0):

\frac{dI}{dt} = s\rho I

\Rightarrow \frac{dI}{I} = s\rho dt

\Rightarrow \frac{dI}{I} = s\rho dt

\Rightarrow \int \frac{dI}{I} = \int s\rho dt

\Rightarrow \textit{\Large e}^{\ln(I)} = \textit{\Large e}^{s\rho t + C}

\Rightarrow I = C \cdot \textit{\Large e}^{s\rho t}

Al considerar el valor inicial I(0), tenemos que

I(0) = C \cdot \textit{\Large e}^{s\rho (0)} = \textit{\Large e}^{0} = C \cdot \textit{\Large e}^{0} = C \cdot 1 = C

Por lo tanto la trayectoria requerida viene dada por I(t) = I(0) \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t}, donde I(0) es la tasa inicial de inversión.

Esto implica que para mantener el balance entre la capacidad productiva y la demanda sobre el tiempo, la tasa de flujo de inversión debe crecer a una tasa exponencial de \rho s.

Sustituyendo I(t) es K'(t)=I(t), tenemos que

K'(t)=I(0) \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t}

\Longrightarrow \int K'(t) dt = I(0) \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t} dt

\Longrightarrow K(t) = \frac{I(0)}{\rho s} \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t} + C

Al considerar el valor inicial K(0), la solución será

K(t) = \frac{I(0)}{\rho s} \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t} + K(0) - \frac{I(0)}{\rho s}

Finalmente, tenemos que Y(t) = k(t) \Rightarrow Y(t) = \rho K(t) y en consecuencia,

Y(t) = \frac{I(0)}{s} \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t} +\rho K(0) - \frac{I(0)}{s}


Ejercicios Propuestos - Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales De Primer Orden

Al considerar la forma estándar de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea

y' + P(x) \cdot y = f(x)

entonces el factor integrante correspondiente será

\textit{\Large e}^{\int P(x) dx}

Calcule la función y que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el factor integrante. Determine además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

  1. y'- y = 1
  2. 5y' + 4y = -2
  3. 10y' - 10y = 3x
  4. 15y' + 7y = -4x^2; y(0)=1

  1. y'+ y = x + 1
  2. 3y' - y = 4x - 9
  3. -5y'- y = 2y + 3
  4. 4y'- 8y = y + 7x + 3 ; y(3)=-1

  1. y' + xy = 5x
  2. 8y' - x^2y = -6x^2
  3. -10y' + xy = 7x^3
  4. 12y' - x^3y = -8x^7; y(1)=0
  1. y' - \frac{y}{x} = x
  2. 2y' - \frac{3y}{x} = 8x
  3. 12y' + \frac{36y}{x+2} = -5x^2
  4. -3y' + \frac{2y}{-x-4} = 10(-x-4)^5; y(4)=-1

  1. y' + \frac{5y}{x} = \sqrt{x}
  2. -6y' - \frac{7y}{x} = -2\sqrt[3]{x}
  3. -20y' + \frac{40y}{-x+6} = -4\sqrt[5]{x^4}
  4. -9y' - \frac{y}{7x-1} = 3\sqrt[4]{7x-1}; y(-1)=2

  1. y' - y = \textit{\large e}^{x}
  2. -9y' + 4y = -2\textit{\large e}^{2x}
  3. 18y' - 5y = 3x\textit{\large e}^{x}
  4. -27y' + 11y = 6x\textit{\large e}^{-3x}; y(0)=1


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Sistemas de Ecuaciones Lineales – Gauss-Jordan

Una vez que hemos planteado un sistema de ecuaciones lineales con n ecuaciones y n incógnitas de forma matricial, es decir, de la siguiente forma:

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Podemos establecer un método que nos permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz de términos independientes en la solución que estamos buscando.

Formalmente, si A es una matriz cuadrada no-singular, es decir, tal que su determinante es distinto de cero. Podemos usar el Método de Eliminación de Gauss-Jordan para calcular la solución del sistema de ecuaciones ampliando la matriz A adosando la matriz de términos independientes C a su lado derecho, de la siguiente forma:

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Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando este método.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando el sistemas de ecuaciones con 2 ecuaciones y 3 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

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Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz $C$ en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = -\frac{3}{16}, y = \frac{43}{48}.

Ejemplo 2

Considerando el sistemas de ecuaciones con 2 ecuaciones y 3 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

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Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz C en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = -\frac{1}{17}, y = -\frac{94}{85}.

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Ejemplo 3

Considerando el sistemas de ecuaciones con 3 ecuaciones y 4 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

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Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz C en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = \frac{111}{85}, y = \frac{22}{17}, z = -\frac{16}{85}.

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Ejemplo 4

Considerando el sistemas de ecuaciones con 3 ecuaciones y 4 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

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Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz C en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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El Método de Eliminación de Gauss-Jordan permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz identidad en la inversa que estamos buscando.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = -\frac{50}{169}, y = \frac{32}{169}, z = -\frac{85}{169}.


Nota: Queda de parte del lector verificar que los valores calculados son en efecto, la solución de los sistemas de ecuaciones planteados. Para esto debe sustituir los valores en cada una de las ecuaciones y verificar que se cumple la igualdad.