Ecuaciones Diferenciales – Dinámica del precio de un producto

08.04.202108.04.2021 Anthonny AriasDeja un comentario

Considerando las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, particularmente, el caso no-homogéneo con coeficiente constante de la forma

$x' + ax = w(t)$

Sabemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones. Veremos que este tipo de ecuaciones se puede usar para describir la relación entre la oferta y la demanda en una economía.

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Suponga que las funciones de demanda y oferta de un producto son las siguientes:

$Q_d = a_1 - b_1 P \text{ y } Q_o = - a_2 + b_2 P \text{ donde } a_i,b_i>0$

Sabiendo que el equilibrio de mercado se consigue cuando $Q_d = Q_o$ , entonces

$a_1 - b_1 P = a_2 - b_2 P$

$\Rightarrow -b_1 P -b_2 P = -a_1-a_2$

$\Rightarrow P(- b_1 - b_2) = -a_1-a_2$

$\Rightarrow P = \frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}$

Es decir, si $P_e = \frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}$ , entonces el mercado estará en equilibrio. Sin embargo, cuando el precio $P$ se desvía de este valor $P_e$ , la demanda excede la oferta o la oferta excede la demanda.

Consideraremos que el precio en un mercado cambia de acuerdo a las fuerzas relativas de demanda y para simplicidad, supongamos que la tasa de cambio de precios con respecto al tiempo $t$ es proporcional al exceso en la demanda, formalmente tenemos que si $Q_d-Q_o$ es el exceso en la demanda, entonces

$P'(t) = m \cdot \big( Q_d(t) - Q_o(t) \big), m>0$

Sustituyendo las funciones $Q_d$ y $Q_o$ en esta última ecuación, tenemos

$P'(t) = m \cdot \big( Q_d(t) - Q_o(t) \big)$

$\Rightarrow P'(t) = m \cdot \big( a_1 - b_1 P - ( - a_2 + b_2 P) \big)$

$\Rightarrow P'(t) = m \cdot ( a_1 - b_1 P + a_2 - b_2 P )$

$\Rightarrow P'(t) = m a_1 - m b_1 P + m a_2 - m b_2 P$

$\Rightarrow P'(t) = -m P( b_1 + b_2) + m (a_1 + a_2)$

$\Rightarrow P'(t) + m ( b_1 + b_2) \cdot P = m (a_1 + a_2)$

Esta es una ecuación diferencial que se puede calcular usando el factor integrante $\mu(t) = \textit{\Large e}^{\int m(b_1+b_2)dt} = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t}$ , así, tenemos que

$\frac{dP}{dt} + m ( b_1 + b_2) \cdot P = m (a_1 + a_2 )$

$\Rightarrow \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} \frac{dP}{dt} + \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m ( b_1 + b_2) = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 )$

$\Rightarrow \frac{d(\textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P)}{dt} = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 )$

$\Rightarrow \int \frac{d(\textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P)}{dt} dt = \int \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 ) dt$

$\Rightarrow \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P = \frac{m(a_1+a_2)}{m(b_1+b_2)}\textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} + C$

$\Rightarrow \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P = P_e \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} + C$

$\Rightarrow P = P_e + C \textit{\Large e}^{-m(b_1+b_2)t}$

Si consideremos la condición inicial $P(0)$ , entonces tenemos que

$P(0) = P_e + C \textit{\Large e}^{-m(b_1+b_2) \cdot 0} = P_e + C \Rightarrow C = P(0) - P_e$

Por lo tanto, la solución que estamos buscando viene dada por

$P(t) = ( P(0) - P_e) \textit{\Large e}^{-m_0 t} + P_e, \text{ donde } m_0 = m(b_1+b_2)$

Notemos ahora que $m_0>0$ , así que si $t \rightarrow \infty$ , entonces $P(t) \rightarrow P_e$ . Es decir, a largo plazo, el mecanismo del mercado llevará la dinámica del mercado a su punto de equilibrio.

Ecuaciones Diferenciales – Modelo de Harrod-Domar

08.04.202108.04.2021 Anthonny AriasDeja un comentario

Considerando las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden, particularmente, el caso homogéneo con coeficiente constante de la forma

$x' + ax = 0$

Sabemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones. Veremos que este tipo de ecuaciones se puede usar para describir la relación de la inversión anual con el ingreso anual en una economía, a través del Modelo de Harrod-Domar

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El sistema en el que se basa este modelo está construido sobre la siguiente hipótesis: Si $I(t)$ es una variable que mide la inversión por año y $Y(t)$ es una variable que mide el flujo de ingresos por año; cualquier cambio en la tasa de ingreso por año afectará la demanda agregada y productividad de la economía.

Teniendo en cuenta que el efecto de la demanda en un cambio de $I(t)$ opera a través de un proceso multiplicativo. Un incremento en $I(t)$ incrementará la tasa del flujo de ingresos por año $Y(t)$ de forma proporcional, es decir, como un múltiplo del incremento en $I(t)$ .

Los agentes involucrados tomarán una porción de la producción (esta cantidad es predecible) con el propósito de acumular capital, esta proporción es llamada propensión marginal al ahorro y la denotaremos con $s$ . Para este caso supondremos que existe un sólo bien, de esta forma no habrá cambios en precios relativos ni en la composición del capital. De esta forma se simplifica el modelo y como $I(t)$ es el único flujo de gastos que influye en la tasa del flujo de ingresos, tenemos que

$Y'(t) = \frac{I'(t)}{s}$

El efecto de la capacidad de inversión se refleja en el cambio de la tasas de producción potencial que la economía puede producir. La tasa de capacidad-capital está definida por

$\rho = \frac{k(t)}{K(t)}$

donde $k(t)$ es la capacidad o flujo de producción potencial, $K(t)$ es el capital y $\rho$ representa una constante (predeterminada) de tasas de capacidad-capital.

Después de un sencillo despeje en ésta última igualdad, tenemos que

$k(t) = \rho K(t)$

y derivando respecto a $t$ en ambos lados de la ecuación, obtenemos

$k'(t) = \rho K'(t) = \rho I(t)$

ya que un incremento en el capital es igual a la capacidad de inversión, es decir, $K'(t) = I(t)$ .

Por otra parte, definimos equilibrio como una situación en la que la capacidad productiva es totalmente aprovechada, es decir,

$Y(t) = k(t)$

entonces, al considerar un equilibrio, existe un balance entre los cambios respectivos en la capacidad productiva y demanda agregada, esto es,

$Y'(t) = k'(t)$

Teniendo en cuenta todas estas definiciones, nos preguntamos: ¿Qué trayectoria de tiempo de la inversión $I(t)$ mantendrá la economía en equilibrio todo el tiempo? Para responder esta pregunta tomaremos las ecuaciones $Y'(t) = \frac{I(t)}{s}$ y $k'(t)=\rho I(t)$ para sustituirlas en la ecuación $Y'(t)=k'(t)$ , de esta forma obtenemos que

$\frac{I'(t)}{s} = \rho I(t)$

$\Rightarrow I'(t)=s\rho I(t)$

Calculamos la solución de esta ecuación diferencial con la condición inicial $I(0)$ :

$\frac{dI}{dt} = s\rho I$

$\Rightarrow \frac{dI}{I} = s\rho dt$

$\Rightarrow \frac{dI}{I} = s\rho dt$

$\Rightarrow \int \frac{dI}{I} = \int s\rho dt$

$\Rightarrow \textit{\Large e}^{\ln(I)} = \textit{\Large e}^{s\rho t + C}$

$\Rightarrow I = C \cdot \textit{\Large e}^{s\rho t}$

Al considerar el valor inicial $I(0)$ , tenemos que

$I(0) = C \cdot \textit{\Large e}^{s\rho (0)} = \textit{\Large e}^{0} = C \cdot \textit{\Large e}^{0} = C \cdot 1 = C$

Por lo tanto la trayectoria requerida viene dada por $I(t) = I(0) \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t}$ , donde $I(0)$ es la tasa inicial de inversión.

Esto implica que para mantener el balance entre la capacidad productiva y la demanda sobre el tiempo, la tasa de flujo de inversión debe crecer a una tasa exponencial de $\rho s$ .

Sustituyendo $I(t)$ es $K'(t)=I(t)$ , tenemos que

$K'(t)=I(0) \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t}$

$\Longrightarrow \int K'(t) dt = I(0) \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t} dt$

$\Longrightarrow K(t) = \frac{I(0)}{\rho s} \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t} + C$

Al considerar el valor inicial $K(0)$ , la solución será

$K(t) = \frac{I(0)}{\rho s} \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t} + K(0) - \frac{I(0)}{\rho s}$

Finalmente, tenemos que $Y(t) = k(t) \Rightarrow Y(t) = \rho K(t)$ y en consecuencia,

$Y(t) = \frac{I(0)}{s} \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t} +\rho K(0) - \frac{I(0)}{s}$

Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales De Primer Orden

05.04.202106.04.2021 Anthonny AriasDeja un comentario

Al considerar la forma estándar de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea

$y' + P(x) \cdot y = f(x)$

entonces el factor integrante correspondiente será

$\textit{\Large e}^{\int P(x) dx}$

Halle la función $y$ que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el factor integrante. Halle además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

$y'- y = 1$
$5y' + 4y = -2$
$10y' - 10y = 3x$
$15y' + 7y = -4x^2$ ; $y(0)=1$

$y'+ y = x + 1$
$3y' - y = 4x - 9$
$-5y'- y = 2y + 3$
$4y'- 8y = y + 7x + 3$ ; $y(3)=-1$

$y' + xy = 5x$
$8y' - x^2y = -6x^2$
$-10y' + xy = 7x^3$
$12y' - x^3y = -8x^7$ ; $y(1)=0$

$y' - \frac{y}{x} = x$
$2y' - \frac{3y}{x} = 8x$
$12y' + \frac{36y}{x+2} = -5x^2$
$-3y' + \frac{2y}{-x-4} = 10(-x-4)^5$ ; $y(4)=-1$

$y' + \frac{5y}{x} = \sqrt{x}$
$-6y' - \frac{7y}{x} = -2\sqrt[3]{x}$
$-20y' + \frac{40y}{-x+6} = -4\sqrt[5]{x^4}$
$-9y' - \frac{y}{7x-1} = 3\sqrt[4]{7x-1}$ ; $y(-1)=2$

$y' - y = \textit{\large e}^{x}$
$-9y' + 4y = -2\textit{\large e}^{2x}$
$18y' - 5y = 3x\textit{\large e}^{x}$
$-27y' + 11y = 6x\textit{\large e}^{-3x}$ ; $y(0)=1$

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Sistemas de Ecuaciones Lineales – Gauss-Jordan

23.11.202023.11.2020 Anthonny AriasDeja un comentario

Una vez que hemos planteado un sistema de ecuaciones lineales con $n$ ecuaciones y $n$ incógnitas de forma matricial, es decir, de la siguiente forma:

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Podemos establecer un método que nos permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz de términos independientes en la solución que estamos buscando.

Formalmente, si $A$ es una matriz cuadrada no-singular, es decir, tal que su determinante es distinto de cero. Podemos usar el Método de Eliminación de Gauss-Jordan para calcular la solución del sistema de ecuaciones ampliando la matriz $A$ adosando la matriz de términos independientes $C$ a su lado derecho, de la siguiente forma:

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando este método.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando el sistemas de ecuaciones con $2$ ecuaciones y $3$ incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para verificar que éste sea diferente de cero,

Habiendo verificado que el determinante de la matriz $A$ es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz $C$ en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz $A$ .

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: $x = -\frac{3}{16}$ , $y = \frac{43}{48}$ .

Ejemplo 2

Considerando el sistemas de ecuaciones con $2$ ecuaciones y $3$ incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para verificar que éste sea diferente de cero,

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: $x = -\frac{1}{17}$ , $y = -\frac{94}{85}$ .

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Ejemplo 3

Considerando el sistemas de ecuaciones con $3$ ecuaciones y $4$ incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para verificar que éste sea diferente de cero,

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: $x = \frac{111}{85}$ , $y = \frac{22}{17}$ , $z = -\frac{16}{85}$ .

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Ejemplo 4

Considerando el sistemas de ecuaciones con $3$ ecuaciones y $4$ incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para verificar que éste sea diferente de cero,

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz identidad en la inversa que estamos buscando.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: $x = -\frac{50}{169}$ , $y = \frac{32}{169}$ , $z = -\frac{85}{169}$ .

Nota: Queda de parte del lector verificar que los valores calculados son en efecto, la solución de los sistemas de ecuaciones planteados. Para esto debe sustituir los valores en cada una de las ecuaciones y verificar que se cumple la igualdad.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales con coeficientes constantes (2 de 2)

12.10.202007.06.2021 Anthonny Arias1 comentario

Los métodos para calcular al solución ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior dependen de la forma en que la ecuación esté expresada, considerando el caso lineal, es posible particularizarlo aún más, pues si consideremos una ecuación diferencial de la forma

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$

Las funciones $a_0(x), a_1(x), \ldots, a_n(x)$ que definen los coeficientes de la ecuación, pueden considerarse como funciones constantes, de forma que la ecuación diferencial queda expresada como

$a_n y^{(n)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = g(x)$

Donde $a_0, a_1, \ldots, a_n$ son números reales.

Más aún, será de vital importancia clasificar estas ecuaciones dependiendo del valor de $g(x)$ . Diremos que una ecuación de este tipo es no-homogénea si $g(x) \neq 0$ , y durante esta sección, este es el caso que desarrollaremos.

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales no-homogéneas con coeficientes constantes

Habiendo clasificado las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales como homogéneas y no-homogéneas, pudimos establecer un principio (de superposición) que nos determinó la forma en que está expresada la solución general del caso homogéneo. Durante esta sección, podremos generalizar este principio para el caso no-homogéneo. Pero antes debemos precisar algunos elementos.

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea de orden $n$ expresada de la forma

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$

Definimos su ecuación homogénea asociada, considerando $g(x)=0$ de la siguiente forma

$a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = 0$

Sabiendo como calcula la solución general esta ecuación homogénea asociada, veremos en el siguiente teorema que esta juega un papel fundamental para poder definir la solución general de la ecuación no-homogénea asociada.

Teorema (Principio de Superposición – Ecuaciones No-Homogéneas)

Si $y_p$ es una solución particular de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea de orden $n$ de la forma

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$

definida en un intervalo $I$ ; $y_1,y_2, \ldots ,y_n$ conforman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada en el intervalo $I$ , entonces la siguiente combinación lineal

$y = c_ 1y_1 + c_2 y_2 + \ldots + c_n y_n + y_p$

también es una solución de la ecuación no-homogénea.

De este teorema, diremos que $c_ 1y_1 + c_2 y_2 + \ldots + c_n y_n$ es la solución complementaria y la denotaremos por $y_c$ . De esta forma, podemos expresar la solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea de la siguiente forma

El Principio de Superposición para ecuaciones no-homogéneas puede ser generalizado tomando en cuenta que si tenemos $k$ ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no-homogéneas de la forma

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_1(x)$
$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_2(x)$
$\vdots$
$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_k(x)$

donde $y_{p_1},y_{p_2}, \ldots ,y_{p_k}$ son soluciones particulares correspondientes. Entonces, la suma de todas estas soluciones particulares,

$y_p = y_{p_1} + y_{p_2} + \ldots + y_{p_k}$

Será una solución particular de la ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea

$a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_1(x) + \ldots + g_k(x)$

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Método de los Coeficientes Indeterminados

Conociendo esta última generalización, veamos un método que se basa en intuir cómo debería ser la solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea fijándonos en la forma en que está expresada la función $g(x)$ . Desarrollaremos este método para tres formas básicas de la función $g(x)$ .

Forma Polinómica

Si $g(x)$ es un polinomio de grado $m$ expresado de la forma

$g(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$

entonces una solución particular $y_p$ debería tener también forma polinómica pues derivando polinomios, obtenemos polinomios, es decir, de la forma

$y_p(x)= A_n x^n + \ldots + A_1 x + A_0$

Forma Exponencial

Si $g(x)$ es una función exponencial expresada de la forma

$g(x) = a \textit{\Large e}^{m x}$

entonces una solución particular $y_p$ debería tener también forma exponencial pues derivando funciones exponenciales, obtenemos funciones exponenciales, es decir, de la forma

$y_p(x) = A \textit{\Large e}^{m x}$

De forma general, si $g(x)$ es una función exponencial expresada de la forma

$g(x) = a_n x^n \textit{\Large e}^{m x} + \ldots + a_1 x \textit{\Large e}^{m x} + a_0 \textit{\Large e}^{m x}$

entonces una solución particular $y_p$ debería tener también forma polinómica pues derivando funciones exponenciales, obtenemos funciones exponenciales, es decir, de la forma

$y_p(x)= A_n x^n \textit{\Large e}^{m x} + \ldots + A_1 x \textit{\Large e}^{m x} + A_0 \textit{\Large e}^{m x}$

Forma Trigonométrica

Si $g(x)$ está expresada como la suma de senos y cosenos de la forma

$g(x) = a \sin(x) + b \cos(x)$

entonces una solución particular $y_p$ debería tener también forma de suma de senos y cosenos pues \emph{derivando senos y cosenos, obtenemos senos y cosenos}, es decir, de la forma

$y_p(x)= A \sin(x) + B \cos(x)$

Estos tres casos pueden combinarse ya sea con sumándolos o multiplicándolos entre sí, de esta forma podemos ampliar el espectro de soluciones que podemos considerar para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no-homogéneas con coeficientes constantes.

Para entender como aplicar este método, veamos algunos ejemplos que ilustrarán con precisión el desarrollo del mismo.

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