Curva de Precio a través del tiempo

Ecuaciones Diferenciales – Dinámica del precio de un producto

Considerando las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, particularmente, el caso no-homogéneo con coeficiente constante de la forma

x' + ax = w(t)

Sabemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones. Veremos que este tipo de ecuaciones se puede usar para describir la relación entre la oferta y la demanda en una economía.

También pudiera interesarte

Anuncios

Suponga que las funciones de demanda y oferta de un producto son las siguientes:

Q_d = a_1 - b_1 P \text{ y } Q_o = - a_2 + b_2 P \text{ donde } a_i,b_i>0

Sabiendo que el equilibrio de mercado se consigue cuando Q_d = Q_o, entonces

a_1 - b_1 P = a_2 - b_2 P

\Rightarrow -b_1 P -b_2 P = -a_1-a_2

\Rightarrow P(- b_1 - b_2) = -a_1-a_2

\Rightarrow P = \frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}

Es decir, si P_e = \frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}, entonces el mercado estará en equilibrio. Sin embargo, cuando el precio P se desvía de este valor P_e, la demanda excede la oferta o la oferta excede la demanda.

Consideraremos que el precio en un mercado cambia de acuerdo a las fuerzas relativas de demanda y para simplicidad, supongamos que la tasa de cambio de precios con respecto al tiempo t es proporcional al exceso en la demanda, formalmente tenemos que si Q_d-Q_o es el exceso en la demanda, entonces

P'(t) = m \cdot \big( Q_d(t) - Q_o(t) \big), m>0

Sustituyendo las funciones Q_d y Q_o en esta última ecuación, tenemos

P'(t) = m \cdot \big( Q_d(t) - Q_o(t) \big)

\Rightarrow P'(t) = m \cdot \big( a_1 - b_1 P - ( - a_2 + b_2 P) \big)

\Rightarrow P'(t) = m \cdot ( a_1 - b_1 P + a_2 - b_2 P )

\Rightarrow P'(t) = m a_1 - m b_1 P + m a_2 - m b_2 P

\Rightarrow P'(t) = -m P( b_1 + b_2) + m (a_1 + a_2)

\Rightarrow P'(t) + m ( b_1 + b_2) \cdot P = m (a_1 + a_2)

Esta es una ecuación diferencial que se puede calcular usando el factor integrante \mu(t) = \textit{\Large e}^{\int m(b_1+b_2)dt} = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t}, así, tenemos que

\frac{dP}{dt} + m ( b_1 + b_2) \cdot P = m (a_1 + a_2 )

\Rightarrow \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} \frac{dP}{dt} + \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m ( b_1 + b_2) = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 )

\Rightarrow \frac{d(\textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P)}{dt} = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 )

\Rightarrow \int \frac{d(\textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P)}{dt} dt = \int \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 ) dt

\Rightarrow \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P = \frac{m(a_1+a_2)}{m(b_1+b_2)}\textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} + C

\Rightarrow \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P = P_e \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} + C

\Rightarrow P = P_e + C \textit{\Large e}^{-m(b_1+b_2)t}

Si consideremos la condición inicial P(0), entonces tenemos que

P(0) = P_e + C \textit{\Large e}^{-m(b_1+b_2) \cdot 0} = P_e + C \Rightarrow C = P(0) - P_e

Por lo tanto, la solución que estamos buscando viene dada por

P(t) = ( P(0) - P_e) \textit{\Large e}^{-m_0 t} + P_e, \text{ donde } m_0 = m(b_1+b_2)

Notemos ahora que m_0>0, así que si t \rightarrow \infty, entonces P(t) \rightarrow P_e. Es decir, a largo plazo, el mecanismo del mercado llevará la dinámica del mercado a su punto de equilibrio.


Modelo de Harrod-Domar

Ecuaciones Diferenciales – Modelo de Harrod-Domar

Considerando las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden, particularmente, el caso homogéneo con coeficiente constante de la forma

x' + ax = 0

Sabemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones. Veremos que este tipo de ecuaciones se puede usar para describir la relación de la inversión anual con el ingreso anual en una economía, a través del Modelo de Harrod-Domar

También pudiera interesarte

Anuncios

El sistema en el que se basa este modelo está construido sobre la siguiente hipótesis: Si I(t) es una variable que mide la inversión por año y Y(t) es una variable que mide el flujo de ingresos por año; cualquier cambio en la tasa de ingreso por año afectará la demanda agregada y productividad de la economía.

Teniendo en cuenta que el efecto de la demanda en un cambio de I(t) opera a través de un proceso multiplicativo. Un incremento en I(t) incrementará la tasa del flujo de ingresos por año Y(t) de forma proporcional, es decir, como un múltiplo del incremento en I(t).

Los agentes involucrados tomarán una porción de la producción (esta cantidad es predecible) con el propósito de acumular capital, esta proporción es llamada propensión marginal al ahorro y la denotaremos con s. Para este caso supondremos que existe un sólo bien, de esta forma no habrá cambios en precios relativos ni en la composición del capital. De esta forma se simplifica el modelo y como I(t) es el único flujo de gastos que influye en la tasa del flujo de ingresos, tenemos que

Y'(t) = \frac{I'(t)}{s}

El efecto de la capacidad de inversión se refleja en el cambio de la tasas de producción potencial que la economía puede producir. La tasa de capacidad-capital está definida por

\rho = \frac{k(t)}{K(t)}

donde k(t) es la capacidad o flujo de producción potencial, K(t) es el capital y \rho representa una constante (predeterminada) de tasas de capacidad-capital.

Después de un sencillo despeje en ésta última igualdad, tenemos que

k(t) = \rho K(t)

y derivando respecto a t en ambos lados de la ecuación, obtenemos

k'(t) = \rho K'(t) = \rho I(t)

ya que un incremento en el capital es igual a la capacidad de inversión, es decir, K'(t) = I(t).

Por otra parte, definimos equilibrio como una situación en la que la capacidad productiva es totalmente aprovechada, es decir,

Y(t) = k(t)

entonces, al considerar un equilibrio, existe un balance entre los cambios respectivos en la capacidad productiva y demanda agregada, esto es,

Y'(t) = k'(t)

Teniendo en cuenta todas estas definiciones, nos preguntamos: ¿Qué trayectoria de tiempo de la inversión I(t) mantendrá la economía en equilibrio todo el tiempo? Para responder esta pregunta tomaremos las ecuaciones Y'(t) = \frac{I(t)}{s} y k'(t)=\rho I(t) para sustituirlas en la ecuación Y'(t)=k'(t), de esta forma obtenemos que

\frac{I'(t)}{s} = \rho I(t)

\Rightarrow I'(t)=s\rho I(t)

Calculamos la solución de esta ecuación diferencial con la condición inicial I(0):

\frac{dI}{dt} = s\rho I

\Rightarrow \frac{dI}{I} = s\rho dt

\Rightarrow \frac{dI}{I} = s\rho dt

\Rightarrow \int \frac{dI}{I} = \int s\rho dt

\Rightarrow \textit{\Large e}^{\ln(I)} = \textit{\Large e}^{s\rho t + C}

\Rightarrow I = C \cdot \textit{\Large e}^{s\rho t}

Al considerar el valor inicial I(0), tenemos que

I(0) = C \cdot \textit{\Large e}^{s\rho (0)} = \textit{\Large e}^{0} = C \cdot \textit{\Large e}^{0} = C \cdot 1 = C

Por lo tanto la trayectoria requerida viene dada por I(t) = I(0) \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t}, donde I(0) es la tasa inicial de inversión.

Esto implica que para mantener el balance entre la capacidad productiva y la demanda sobre el tiempo, la tasa de flujo de inversión debe crecer a una tasa exponencial de \rho s.

Sustituyendo I(t) es K'(t)=I(t), tenemos que

K'(t)=I(0) \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t}

\Longrightarrow \int K'(t) dt = I(0) \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t} dt

\Longrightarrow K(t) = \frac{I(0)}{\rho s} \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t} + C

Al considerar el valor inicial K(0), la solución será

K(t) = \frac{I(0)}{\rho s} \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t} + K(0) - \frac{I(0)}{\rho s}

Finalmente, tenemos que Y(t) = k(t) \Rightarrow Y(t) = \rho K(t) y en consecuencia,

Y(t) = \frac{I(0)}{s} \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t} +\rho K(0) - \frac{I(0)}{s}


Ejercicios Propuestos - Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales De Primer Orden

Al considerar la forma estándar de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea

y' + P(x) \cdot y = f(x)

entonces el factor integrante correspondiente será

\textit{\Large e}^{\int P(x) dx}

Halle la función $y$ que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el factor integrante. Halle además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

  1. y'- y = 1
  2. 5y' + 4y = -2
  3. 10y' - 10y = 3x
  4. 15y' + 7y = -4x^2; y(0)=1

  1. y'+ y = x + 1
  2. 3y' - y = 4x - 9
  3. -5y'- y = 2y + 3
  4. 4y'- 8y = y + 7x + 3 ; y(3)=-1

  1. y' + xy = 5x
  2. 8y' - x^2y = -6x^2
  3. -10y' + xy = 7x^3
  4. 12y' - x^3y = -8x^7; y(1)=0
  1. y' - \frac{y}{x} = x
  2. 2y' - \frac{3y}{x} = 8x
  3. 12y' + \frac{36y}{x+2} = -5x^2
  4. -3y' + \frac{2y}{-x-4} = 10(-x-4)^5; y(4)=-1

  1. y' + \frac{5y}{x} = \sqrt{x}
  2. -6y' - \frac{7y}{x} = -2\sqrt[3]{x}
  3. -20y' + \frac{40y}{-x+6} = -4\sqrt[5]{x^4}
  4. -9y' - \frac{y}{7x-1} = 3\sqrt[4]{7x-1}; y(-1)=2

  1. y' - y = \textit{\large e}^{x}
  2. -9y' + 4y = -2\textit{\large e}^{2x}
  3. 18y' - 5y = 3x\textit{\large e}^{x}
  4. -27y' + 11y = 6x\textit{\large e}^{-3x}; y(0)=1


También pudiera interesarte

Anuncios

Sistemas de Ecuaciones Lineales – Gauss-Jordan

Una vez que hemos planteado un sistema de ecuaciones lineales con n ecuaciones y n incógnitas de forma matricial, es decir, de la siguiente forma:

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Podemos establecer un método que nos permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz de términos independientes en la solución que estamos buscando.

Formalmente, si A es una matriz cuadrada no-singular, es decir, tal que su determinante es distinto de cero. Podemos usar el Método de Eliminación de Gauss-Jordan para calcular la solución del sistema de ecuaciones ampliando la matriz A adosando la matriz de términos independientes C a su lado derecho, de la siguiente forma:

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando este método.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando el sistemas de ecuaciones con 2 ecuaciones y 3 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz $C$ en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = -\frac{3}{16}, y = \frac{43}{48}.

Ejemplo 2

Considerando el sistemas de ecuaciones con 2 ecuaciones y 3 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz C en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = -\frac{1}{17}, y = -\frac{94}{85}.

Anuncios

Ejemplo 3

Considerando el sistemas de ecuaciones con 3 ecuaciones y 4 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz C en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = \frac{111}{85}, y = \frac{22}{17}, z = -\frac{16}{85}.

Anuncios

Ejemplo 4

Considerando el sistemas de ecuaciones con 3 ecuaciones y 4 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com

Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz C en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
Sistemas de Ecuaciones Lineales - Gauss-Jordan | totumat.com
El Método de Eliminación de Gauss-Jordan permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz identidad en la inversa que estamos buscando.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = -\frac{50}{169}, y = \frac{32}{169}, z = -\frac{85}{169}.


Nota: Queda de parte del lector verificar que los valores calculados son en efecto, la solución de los sistemas de ecuaciones planteados. Para esto debe sustituir los valores en cada una de las ecuaciones y verificar que se cumple la igualdad.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales con coeficientes constantes (2 de 2)

Los métodos para calcular al solución ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior dependen de la forma en que la ecuación esté expresada, considerando el caso lineal, es posible particularizarlo aún más, pues si consideremos una ecuación diferencial de la forma

a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)

Las funciones a_0(x), a_1(x), \ldots, a_n(x) que definen los coeficientes de la ecuación, pueden considerarse como funciones constantes, de forma que la ecuación diferencial queda expresada como

a_n y^{(n)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = g(x)

Donde a_0, a_1, \ldots, a_n son números reales.

Más aún, será de vital importancia clasificar estas ecuaciones dependiendo del valor de g(x). Diremos que una ecuación de este tipo es no-homogénea si g(x) \neq 0, y durante esta sección, este es el caso que desarrollaremos.

También pudiera interesarte

Anuncios

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales no-homogéneas con coeficientes constantes

Habiendo clasificado las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales como homogéneas y no-homogéneas, pudimos establecer un principio (de superposición) que nos determinó la forma en que está expresada la solución general del caso homogéneo. Durante esta sección, podremos generalizar este principio para el caso no-homogéneo. Pero antes debemos precisar algunos elementos.

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea de orden n expresada de la forma

a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)

Definimos su ecuación homogénea asociada, considerando g(x)=0 de la siguiente forma

a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = 0

Sabiendo como calcula la solución general esta ecuación homogénea asociada, veremos en el siguiente teorema que esta juega un papel fundamental para poder definir la solución general de la ecuación no-homogénea asociada.

Teorema (Principio de Superposición – Ecuaciones No-Homogéneas)

Si y_p es una solución particular de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea de orden n de la forma

a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)

definida en un intervalo I; y_1,y_2, \ldots ,y_n conforman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada en el intervalo I, entonces la siguiente combinación lineal

y = c_ 1y_1 + c_2 y_2 + \ldots + c_n y_n + y_p

también es una solución de la ecuación no-homogénea.

De este teorema, diremos que c_ 1y_1 + c_2 y_2 + \ldots + c_n y_n es la solución complementaria y la denotaremos por y_c. De esta forma, podemos expresar la solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea de la siguiente forma

El Principio de Superposición para ecuaciones no-homogéneas puede ser generalizado tomando en cuenta que si tenemos k ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no-homogéneas de la forma

a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_1(x)
a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_2(x)
\vdots
a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_k(x)

donde y_{p_1},y_{p_2}, \ldots ,y_{p_k} son soluciones particulares correspondientes. Entonces, la suma de todas estas soluciones particulares,

y_p = y_{p_1} + y_{p_2} + \ldots + y_{p_k}

Será una solución particular de la ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea

a_n(x) y^{(n)} + \ldots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g_1(x) + \ldots + g_k(x)

Anuncios

Método de los Coeficientes Indeterminados

Conociendo esta última generalización, veamos un método que se basa en intuir cómo debería ser la solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea fijándonos en la forma en que está expresada la función g(x). Desarrollaremos este método para tres formas básicas de la función g(x).

Forma Polinómica

Si g(x) es un polinomio de grado m expresado de la forma

g(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0

entonces una solución particular y_p debería tener también forma polinómica pues derivando polinomios, obtenemos polinomios, es decir, de la forma

y_p(x)= A_n x^n + \ldots + A_1 x + A_0

Forma Exponencial

Si g(x) es una función exponencial expresada de la forma

g(x) = a \textit{\Large e}^{m x}

entonces una solución particular y_p debería tener también forma exponencial pues derivando funciones exponenciales, obtenemos funciones exponenciales, es decir, de la forma

y_p(x) = A \textit{\Large e}^{m x}

De forma general, si g(x) es una función exponencial expresada de la forma

g(x) = a_n x^n \textit{\Large e}^{m x} + \ldots + a_1 x \textit{\Large e}^{m x} + a_0 \textit{\Large e}^{m x}

entonces una solución particular y_p debería tener también forma polinómica pues derivando funciones exponenciales, obtenemos funciones exponenciales, es decir, de la forma

y_p(x)= A_n x^n \textit{\Large e}^{m x} + \ldots + A_1 x \textit{\Large e}^{m x} + A_0 \textit{\Large e}^{m x}

Forma Trigonométrica

Si g(x) está expresada como la suma de senos y cosenos de la forma

g(x) = a \sin(x) + b \cos(x)

entonces una solución particular y_p debería tener también forma de suma de senos y cosenos pues \emph{derivando senos y cosenos, obtenemos senos y cosenos}, es decir, de la forma

y_p(x)= A \sin(x) + B \cos(x)


Estos tres casos pueden combinarse ya sea con sumándolos o multiplicándolos entre sí, de esta forma podemos ampliar el espectro de soluciones que podemos considerar para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no-homogéneas con coeficientes constantes.

Para entender como aplicar este método, veamos algunos ejemplos que ilustrarán con precisión el desarrollo del mismo.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

y'' + 4y'-2y = 2x^2 - 3x +6

Antes de abordar esta ecuación, debemos recordar que la solución general de este tipo de ecuaciones se expresa como

y = y_c + y_p

Como primer paso debemos calcular la solución complementaria y_c. Considerando la ecuación homogénea asociada y'' + 4y'-2y=0, podemos expresar su ecuación auxiliar m^2 + 4m - 2 = 0 y calcular su solución utilizando el método del discriminante:

m = \frac{-(4) \pm \sqrt{(4)^2-4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}i}{2} = -2 \pm i \sqrt{6}

Por lo tanto, expresamos la solución complementaria de la siguiente manera:

y_c = c_1 \textit{\Large e}^{-2x} cos(\sqrt{6}) + c_2 \textit{\Large e}^{-2x} sen(\sqrt{6})

Como segundo paso, debemos notar que en la ecuación diferencial planteada, g(x)=2x^2-3x+6, es una función polinómica de segundo grado. Así, intuitivamente nuestra solución particular debería tener la siguiente forma

y_p = Ax^2 + Bx + C

Nuestro propósito será el de hallar A, B y C y para esto sustituimos y_p en la ecuación original pues esta debe satisfacer la igualdad. Entonces

y'_p \ = \ 2Ax + B

y''_p \ = \ 2A

Sustituimos en la ecuación diferencial que hemos planteado originalmente para obtener

Considerando únicamente la expresión que está del lado izquierdo de la ecuación, expandimos distribuyendo los factores involucrados y posteriormente agrupamos los elementos que multiplican a x, x^2 y los términos independientes.

2A + 8Ax + 4B - 2Ax^2 - 2Bx - 2C
\Rightarrow \; - 2Ax^2 + 8Ax - 2Bx + 2A + 4B - 2C
\Rightarrow \; (-2A)x^2 + (8A - 2B)x + (2A + 4B - 2C)

Esta última expresión debe ser exactamente igual a 2x^2 - 3x +6, entonces los coeficientes correspondientes también deben ser exactamente iguales, por lo que planteamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Así, nuestra solución particular viene dada por

y_p = -x^2 -\frac{5}{2}x -9

Finalmente, la solución general está expresada de la siguiente manera:

Anuncios

Ejemplo 2

En este ejemplo veremos que debemos ser cuidadosos al calcular la solución pues la escogencia intuitiva pudiera no ser la más correcta, así que debemos recurrir a otra escogencia más general. Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes constantes

3y''' - 15y''+ 7y'= \textit{\Large e}^{3x} -8x

Antes de abordar esta ecuación, debemos recordar que la solución general de este tipo de ecuaciones se expresa como

y = y_c + y_p

Como primer paso debemos calcula la solución complementaria y_c. Considerando la ecuación homogénea asociada 3y''' - 15y''+ 7y'=0, podemos expresar su ecuación auxiliar 3m^3 - 15m^2 + 7m = m(3m^2 - 15m + 7) = 0 y calcular su solución utilizando el método del discriminante una vez que hemos factorizado:

m = \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2-4(3)(7)}}{2(3)} = \frac{15 \pm \sqrt{84}}{6} = \frac{15 \pm 2\sqrt{21}}{6}

Por lo tanto, expresamos la solución complementaria de la siguiente manera:

y_c = c_1\textit{\Large e}^{0 \cdot x} + c_2 \textit{\Large e}^{\left( \frac{15 + 2\sqrt{21}}{6} \right)x} + c_3 \textit{\Large e}^{\left( \frac{15 - 2\sqrt{21}}{6} \right)x}

Es decir,

y_c = c_1 + c_2 \textit{\Large e}^{\left( \frac{15 + 2\sqrt{21}}{6} \right)x} + c_3 \textit{\Large e}^{\left( \frac{15 - 2\sqrt{21}}{6} \right)x}

Como segundo paso, debemos notar que en la ecuación diferencial planteada, g(x)=\textit{\Large e}^{3x} - 8x, una función exponencial más una función polinómica de primer grado. Así, intuitivamente nuestra solución particular debería tener la siguiente forma

y_p = A\textit{\Large e}^{3x} + Bx + C

Nuestro propósito será el de hallar A, B y C y para esto sustituimos y_p en la ecuación original pues esta debe satisfacer la igualdad. Entonces

y'_p \ = \ 3A\textit{\Large e}^{3x} + B

y''_p \ = \ 9A\textit{\Large e}^{3x}

y'''_p \ = \ 27A\textit{\Large e}^{3x}

Sustituimos en la ecuación diferencial que hemos planteado originalmente para obtener

Considerando únicamente la expresión que está del lado izquierdo de la ecuación, efectuamos los factores involucrados y posteriormente agrupamos los elementos que multiplican a \textit{\Large e}^{3x} y los términos independientes.

81A\textit{\Large e}^{3x} - 135A\textit{\Large e}^{3x}+ 21A\textit{\Large e}^{3x} + 7B
\Rightarrow \; (81 - 135 + 21) A\textit{\Large e}^{3x} + 7B
\Rightarrow \; -33A\textit{\Large e}^{3x} + 7B

Esta última expresión debe ser exactamente igual a \textit{\Large e}^{3x} -8x, entonces los coeficientes correspondientes también deben ser exactamente iguales, por lo que planteamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Sin embargo, estos coeficientes no proveen una solución pues

y_p = -\frac{1}{33}\textit{\Large e}^{3x} + 0x + C = -\frac{1}{33}\textit{\Large e}^{3x} + C

y al plantear de esta forma la solución particular, no se satisface la igualdad por lo tanto será necesario replantearla.

La teoría sugiere aumentar en un grado la función donde se presenta el problema, por lo tanto, en este caso aumentaremos en un grado el elemento polinómico de la solución particular. Entonces, si consideramos y_p \ = \ A\textit{\Large e}^{3x} + Bx^2 + Cx + D, tenemos que

y'_p \ = \ 3A\textit{\Large e}^{3x} + 2Bx + C

y''_p \ = \ 9A\textit{\Large e}^{3x} + 2B

y'''_p \ = \ 27A\textit{\Large e}^{3x}

Sustituimos estas nuevas expresiones en la ecuación diferencial que hemos planteado originalmente para obtener

Considerando únicamente la expresión que está del lado izquierdo de la ecuación, efectuamos los factores involucrados y posteriormente agrupamos los elementos que multiplican a \textit{\Large e}^{3x} y los términos independientes.

81A\textit{\Large e}^{3x} - 135A\textit{\Large e}^{3x} -30B + 21A\textit{\Large e}^{3x} + 14Bx + 7C
\Rightarrow \; (81 - 135 + 21) A\textit{\Large e}^{3x} + 14Bx + 7C
\Rightarrow \; -33A\textit{\Large e}^{3x} + 14Bx + 7C

Esta última expresión debe ser exactamente igual a \textit{\Large e}^{3x} -8x, entonces los coeficientes correspondientes también deben ser exactamente iguales, por lo que planteamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Así, nuestra solución particular viene dada por

y_p = -\frac{1}{33}\textit{\Large e}^{3x} -\frac{4}{7}x^2 + \frac{120}{49}x + D

Finalmente, expresamos nuestra solución.