Categoría: Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios Propuestos - Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales Homogéneas con una solución conocida

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Calcule la solución de las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de segundo orden tomando en cuenta la solución particular y_1 indicada.

  1. 8 x^{2} y'' + 4 x y' - 24 y = 0 con solución particular y_1 = - 9 x^{2}
  2. 10 x^{2} y'' - 20 y = 0 con solución particular y_1 = - 5 x^{2}
  3. - 9 x^{2} y'' + 6 x y' + 6 y = 0 con solución particular y_1 = - 7 x^{2}
  4. - 2 x^{2} y'' + 7 x y' - 10 y = 0 con solución particular y_1 = 2 x^{2}
  1. 5 x^{2} y'' + 3 x y' - 16 y = 0 con solución particular y_1 = 5 x^{2}
  2. - 3 x^{2} y'' + 3 x y' = 0 con solución particular y_1 = 6 x^{2}
  3. 4 x^{2} y'' - 4 x y' = 0 con solución particular y_1 = - 5 x^{2}
  4. 2 x^{2} y'' - 2 x y' = 0 con solución particular y_1 = - 6 x^{2}
  1. - 126 y - 2 y' + y'' = 0 con solución particular y_1 = - \textit{\Large e}^{9 x}
  2. - 280 y + y' + 9 y'' = 0 con solución particular y_1 = 4 \textit{\Large e}^{- 4 x}
  3. - 800 y - 2 y' + 6 y'' = 0 con solución particular y_1 = 7 \textit{\Large e}^{- 8 x}
  4. 20 y - 9 y' - 7 y'' = 0 con solución particular y_1 = 5 \textit{\Large e}^{- 2 x}
  1. - 8 y' + 4 y'' = 0 con solución particular y_1 = 6 \textit{\Large e}^{2 x}
  2. - 36 y + 9 y' + 9 y'' = 0 con solución particular y_1 = 7 \textit{\Large e}^{- 2 x}
  3. - 2 y - 9 y' - 8 y'' = 0 con solución particular y_1 = 5 \textit{\Large e}^{- x}
  4. 72 y - 6 y' - 6 y'' = 0 con solución particular y_1 = - 4 \textit{\Large e}^{- 3 x}

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Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Homogéneas de grado alpha ⍺

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Una ecuación de la forma

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

es homogénea si M(x,y) y N(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado, es decir,

M(tx,ty) = t^\alpha M(x,y) \text{ y } N(tx,ty) = t^\alpha N(x,y), \, \alpha \in \mathbb{R}

En este caso, las sustituciones y=ux o x=vy reducen la ecuación diferencial homogénea de grado \alpha a una Ecuación Diferencial de Variables Separables.

Halle la función y que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales. Halle además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

  1. \left(- 65 x^{3} y^{2} + x^{2} y^{3}\right) dx + \left(210 x^{5} + 4 x^{3} y^{2}\right) dy = 0
  2. \left(5 x^{2} y^{4} - 24 y^{6}\right) dx + \left(- 3 x^{3} y^{3} + 2 x^{2} y^{4}\right) dy = 0
  3. \left(4 x^{2} y^{3} - 18 y^{5}\right) dx + \left(- 5 x^{3} y^{2} + 9 x^{2} y^{3}\right) dy = 0
  4. \left(- 6 x^{8} y^{2} - 15 x^{7} y^{3}\right) dx + \left(36 x^{10} + 9 x^{8} y^{2}\right) dy = 0
  1. \left(5 x^{2} y^{4} + 8 y^{6}\right) dx + \left(- x^{3} y^{3} - 12 x^{2} y^{4}\right) dy = 0
  2. \left(40 x^{5} y^{2} - 14 x^{4} y^{3}\right) dx + \left(- 48 x^{7} + 6 x^{5} y^{2}\right) dy = 0
  3. \left(9 x^{2} y^{8} - 84 y^{10}\right) dx + \left(- 15 x^{3} y^{7} + 54 x^{2} y^{8}\right) dy = 0
  4. \left(80 x^{6} y^{2} + x^{5} y^{3}\right) dx + \left(168 x^{8} + 7 x^{6} y^{2}\right) dy = 0
  1. \left(6 x^{2} y^{5} - 72 y^{7}\right) dx + \left(- 2 x^{3} y^{4} - 28 x^{2} y^{5}\right) dy = 0
  2. \left(- 8 x^{4} y^{2} - 6 x^{3} y^{3}\right) dx + \left(- 16 x^{6} + 5 x^{4} y^{2}\right) dy = 0
  3. \left(9 x^{2} y^{8} + 48 y^{10}\right) dx + \left(- 15 x^{3} y^{7} - 42 x^{2} y^{8}\right) dy = 0
  4. \left(2 x^{7} y^{2} - 9 x^{6} y^{3}\right) dx + \left(24 x^{9} + 8 x^{7} y^{2}\right) dy = 0
  1. \left(4 x^{2} y^{3} + 81 y^{5}\right) dx + \left(- 7 x^{3} y^{2} + 18 x^{2} y^{3}\right) dy = 0
  2. \left(52 x^{7} y^{2} - 4 x^{6} y^{3}\right) dx + \left(144 x^{9} + 8 x^{7} y^{2}\right) dy = 0
  3. \left(9 x^{2} y^{8} - 36 y^{10}\right) dx + \left(- 18 x^{3} y^{7} - 45 x^{2} y^{8}\right) dy = 0
  4. \left(77 x^{8} y^{2} - 16 x^{7} y^{3}\right) dx + \left(- 168 x^{10} + 9 x^{8} y^{2}\right) dy = 0
  1. \left(51 x y^{7} - 3 y^{8}\right) dx + \left(324 x^{4} y^{4} - 252 x^{3} y^{5}\right) dy = 0
  2. \left(- 46 x y^{3} + 70 y^{4}\right) dx + \left(- 2 x^{4} - 22 x^{3} y\right) dy = 0
  3. \left(- 120 x^{6} y^{3} - 6 x^{5} y^{4}\right) dx + \left(- 1296 x^{9} - 738 x^{8} y\right) dy = 0
  4. \left(531 y^{5} - \frac{630 y^{6}}{x}\right) dx + \left(9 x^{3} y^{2} - 126 x^{2} y^{3}\right) dy = 0
  1. \left(4 x^{6} y^{2} - 2 x^{5} y^{3}\right) dx + \left(- \frac{120 x^{9}}{y} + 46 x^{8}\right) dy = 0
  2. \left(27 y^{4} - \frac{54 y^{5}}{x}\right) dx + \left(3 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2}\right) dy = 0
  3. \left(55 x^{6} y^{2} - 5 x^{5} y^{3}\right) dx + \left(\frac{80 x^{9}}{y} - 130 x^{8}\right) dy = 0
  4. \left(- 795 y^{5} + \frac{1890 y^{6}}{x}\right) dx + \left(- 5 x^{3} y^{2} + 110 x^{2} y^{3}\right) dy = 0

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Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Considerando las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, particularmente, el caso no-homogéneo con coeficiente constante de la forma

x' + ax = w(t)

Sabemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones. Veremos que este tipo de ecuaciones se puede usar para describir la relación entre la oferta y la demanda en una economía.

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Suponga que las funciones de demanda y oferta de un producto son las siguientes:

Q_d = a_1 - b_1 P \text{ y } Q_o = - a_2 + b_2 P \text{ donde } a_i,b_i>0

Sabiendo que el equilibrio de mercado se consigue cuando Q_d = Q_o, entonces

a_1 - b_1 P = -a_2 + b_2 P

\Rightarrow -b_1 P -b_2 P = -a_1-a_2

\Rightarrow P(- b_1 - b_2) = -a_1-a_2

\Rightarrow P = \frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}

Es decir, si P_e = \frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}, entonces el mercado estará en equilibrio. Sin embargo, cuando el precio P se desvía de este valor P_e, la demanda excede la oferta o la oferta excede la demanda.

Consideraremos que el precio en un mercado cambia de acuerdo a las fuerzas relativas de demanda y para simplicidad, supongamos que la tasa de cambio de precios con respecto al tiempo t es proporcional al exceso en la demanda, formalmente tenemos que si Q_d-Q_o es el exceso en la demanda, entonces

P'(t) = m \cdot \big( Q_d(t) - Q_o(t) \big), m>0

Sustituyendo las funciones Q_d y Q_o en esta última ecuación, tenemos

P'(t) = m \cdot \big( Q_d(t) - Q_o(t) \big)

\Rightarrow P'(t) = m \cdot \big( a_1 - b_1 P - ( - a_2 + b_2 P) \big)

\Rightarrow P'(t) = m \cdot ( a_1 - b_1 P + a_2 - b_2 P )

\Rightarrow P'(t) = m a_1 - m b_1 P + m a_2 - m b_2 P

\Rightarrow P'(t) = -m P( b_1 + b_2) + m (a_1 + a_2)

\Rightarrow P'(t) + m ( b_1 + b_2) \cdot P = m (a_1 + a_2)

Esta es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden que se puede calcular usando el factor integrante \mu(t) = \textit{\Large e}^{\int m(b_1+b_2)dt} = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t}, así, tenemos que

\frac{dP}{dt} + m ( b_1 + b_2) \cdot P = m (a_1 + a_2 )

\Rightarrow \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} \frac{dP}{dt} + \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m ( b_1 + b_2) = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 )

\Rightarrow \frac{d(\textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P)}{dt} = \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 )

\Rightarrow \int \frac{d(\textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P)}{dt} dt = \int \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} m (a_1 + a_2 ) dt

\Rightarrow \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P = \frac{m(a_1+a_2)}{m(b_1+b_2)}\textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} + C

\Rightarrow \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} P = P_e \textit{\Large e}^{m(b_1+b_2)t} + C

\Rightarrow P = P_e + C \textit{\Large e}^{-m(b_1+b_2)t}

Si consideremos la condición inicial P(0), entonces tenemos que

P(0) = P_e + C \textit{\Large e}^{-m(b_1+b_2) \cdot 0} = P_e + C \Rightarrow C = P(0) - P_e

Por lo tanto, la solución que estamos buscando viene dada por

P(t) = ( P(0) - P_e) \textit{\Large e}^{-m_0 t} + P_e, \text{ donde } m_0 = m(b_1+b_2)

Notemos ahora que m_0>0, así que si t \rightarrow \infty, entonces P(t) \rightarrow P_e. Es decir, en el largo plazo, el mecanismo del mercado llevará la dinámica del mercado a su punto de equilibrio.

Referencias

Zhang, W.-B. (2005). DIFFERENTIAL EQUATIONS, BIFURCATIONS, AND CHAOS IN ECONOMICS (Vol. 68). World Scientific.

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Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Considerando las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden, particularmente, el caso homogéneo con coeficiente constante de la forma

x' + ax = 0

Sabemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones. Veremos que este tipo de ecuaciones se puede usar para describir la relación de la inversión anual con el ingreso anual en una economía, a través del Modelo de Harrod-Domar

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El sistema en el que se basa este modelo está construido sobre la siguiente hipótesis: Si I(t) es una variable que mide la inversión por año y Y(t) es una variable que mide el flujo de ingresos por año; cualquier cambio en la tasa de ingreso por año afectará la demanda agregada y productividad de la economía.

Teniendo en cuenta que el efecto de la demanda en un cambio de I(t) opera a través de un proceso multiplicativo. Un incremento en I(t) incrementará la tasa del flujo de ingresos por año Y(t) de forma proporcional, es decir, como un múltiplo del incremento en I(t).

Los agentes involucrados tomarán una porción de la producción (esta cantidad es predecible) con el propósito de acumular capital, esta proporción es llamada propensión marginal al ahorro y la denotaremos con s. Para este caso supondremos que existe un sólo bien, de esta forma no habrá cambios en precios relativos ni en la composición del capital. De esta forma se simplifica el modelo y como I(t) es el único flujo de gastos que influye en la tasa del flujo de ingresos, tenemos que

Y'(t) = \frac{I'(t)}{s}

El efecto de la capacidad de inversión se refleja en el cambio de la tasas de producción potencial que la economía puede producir. La tasa de capacidad-capital está definida por

\rho = \frac{k(t)}{K(t)}

donde k(t) es la capacidad o flujo de producción potencial, K(t) es el capital y \rho representa una constante (predeterminada) de tasas de capacidad-capital.

Después de un sencillo despeje en ésta última igualdad, tenemos que

k(t) = \rho K(t)

y derivando respecto a t en ambos lados de la ecuación, obtenemos

k'(t) = \rho K'(t) = \rho I(t)

ya que un incremento en el capital es igual a la capacidad de inversión, es decir, K'(t) = I(t).

Por otra parte, definimos equilibrio como una situación en la que la capacidad productiva es totalmente aprovechada, es decir,

Y(t) = k(t)

entonces, al considerar un equilibrio, existe un balance entre los cambios respectivos en la capacidad productiva y demanda agregada, esto es,

Y'(t) = k'(t)

Teniendo en cuenta todas estas definiciones, nos preguntamos: ¿Qué trayectoria de tiempo de la inversión I(t) mantendrá la economía en equilibrio todo el tiempo? Para responder esta pregunta tomaremos las ecuaciones Y'(t) = \frac{I(t)}{s} y k'(t)=\rho I(t) para sustituirlas en la ecuación Y'(t)=k'(t), de esta forma obtenemos que

\frac{I'(t)}{s} = \rho I(t)

\Rightarrow I'(t)=s\rho I(t)

Calculamos la solución de esta ecuación diferencial con la condición inicial I(0):

\frac{dI}{dt} = s\rho I

\Rightarrow \frac{dI}{I} = s\rho dt

\Rightarrow \frac{dI}{I} = s\rho dt

\Rightarrow \int \frac{dI}{I} = \int s\rho dt

\Rightarrow \textit{\Large e}^{\ln(I)} = \textit{\Large e}^{s\rho t + C}

\Rightarrow I = C \cdot \textit{\Large e}^{s\rho t}

Al considerar el valor inicial I(0), tenemos que

I(0) = C \cdot \textit{\Large e}^{s\rho (0)} = \textit{\Large e}^{0} = C \cdot \textit{\Large e}^{0} = C \cdot 1 = C

Por lo tanto la trayectoria requerida viene dada por I(t) = I(0) \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t}, donde I(0) es la tasa inicial de inversión.

Esto implica que para mantener el balance entre la capacidad productiva y la demanda sobre el tiempo, la tasa de flujo de inversión debe crecer a una tasa exponencial de \rho s.

Sustituyendo I(t) es K'(t)=I(t), tenemos que

K'(t)=I(0) \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t}

\Longrightarrow \int K'(t) dt = I(0) \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t} dt

\Longrightarrow K(t) = \frac{I(0)}{\rho s} \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t} + C

Al considerar el valor inicial K(0), la solución será

K(t) = \frac{I(0)}{\rho s} \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t} + K(0) - \frac{I(0)}{\rho s}

Finalmente, tenemos que Y(t) = k(t) \Rightarrow Y(t) = \rho K(t) y en consecuencia,

Y(t) = \frac{I(0)}{s} \cdot \textit{\Large e}^{s \rho t} +\rho K(0) - \frac{I(0)}{s}

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Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Tomando en cuenta que

I'(t)=s\rho I(t)

Determine la trayectoria de la inversión que mantendrá la economía en equilibrio todo el tiempo considerando la porción de la producción agregada al capital, la tasa de capacidad-capital y la tasa de inversión inicial dadas en cada ejercicio. Adicionalmente, calcule las trayectorias de capital y flujo de ingresos.

  1. La propensión marginal al ahorro es del 9%, la tasa de capacidad-capital es 0.5281, la inversión inicial es 175.18 y el capital inicial es 17518. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 9.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 13%, la tasa de capacidad-capital es 0.8791, la inversión inicial es 143.1 y el capital inicial es 14310. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 10.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 6%, la tasa de capacidad-capital es 0.4118, la inversión inicial es 96.79 y el capital inicial es 9679. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 8.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 1%, la tasa de capacidad-capital es 0.7937, la inversión inicial es 342.7 y el capital inicial es 34270. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 4.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 2%, la tasa de capacidad-capital es 0.2471, la inversión inicial es 252.66 y el capital inicial es 25266. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 3.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 19%, la tasa de capacidad-capital es 0.0943, la inversión inicial es 147.08 y el capital inicial es 14708. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 4.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 10%, la tasa de capacidad-capital es 0.1923, la inversión inicial es 283.16 y el capital inicial es 28316. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 8.
  1. La propensión marginal al ahorro es del 10%, la tasa de capacidad-capital es 0.1667, la inversión inicial es 33.93 y el capital inicial es 3393. Calcule el valor de cada una de estas trayectorias en el año 10.

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