La Ecuación General de la Recta

Al definir las rectas, hemos dicho que la ecuación canónica de la recta permite expresar de forma analítica, cualquier recta en el plano cartesiano, sin embargo, hay un tipo de rectas que no se puede expresar de esta forma.

Para entender esto, veamos la ecuación punto-punto y estudiemos dos casos que nos interesarán de forma particular. Si consideramos dos puntos en el plano cartesiano, digamos $P_1 = (x_1,y_1)$ y $P_2 = (x_2,y_2)$ , dependiendo de los valores de valores que estos tengan en el Eje X y eje Y, se pudieran presentar los siguientes casos:

Si $y_2 = y_1$ , entonces la pendiente $m$ queda expresada de la forma $\frac{0}{r}$ , donde $r$ es un número real distinto de cero.
Si $x_2 = x_1$ , entonces la pendiente $m$ queda expresada de la forma $\frac{r}{0}$ , donde $r$ es un número real distinto de cero.

De esta forma, podemos notar que en el primer caso, la pendiente es nula y; en el segundo caso, la pendiente no está definida, pues la división entre cero no está definida. Entonces, ¿cómo definimos las rectas que pasan a través de estos puntos?

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La Ecuación General de la Recta

Es necesario recurrir a una ecuación que permita abarcar de forma general, todas las rectas en el plano cartesiano. esto lo haremos definiendo la recta no como una ecuación explícita, sino como una ecuación implícita. Es decir, no como una variable ( $y$ ) que depende explícitamente de otra variable ( $x$ ), sino como una relación entre ambas variables.

Entonces, si $a$ , $b$ y $c$ son números reales tal que $a$ y $b$ no son iguales a cero al mismo tiempo, definimos La Ecuación General La Recta como una relación entre dos variables $x$ y $y$ a través de una igualdad de la siguiente forma:

$ax + by + c = 0$

De esta forma, podemos cubrir lo dos casos que hemos expuestos ya que,

Si $a = 0$ , entonces la ecuación general de la recta será de la forma $y=r$ para algún número real $r$ , es decir, todos los puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje Y y su gráfica será una recta totalmente horizontal.
Si $b = 0$ , entonces la ecuación general de la recta será de la forma $x=r$ para algún número real $r$ , es decir, todos los puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje X y su gráfica será una recta totalmente vertical.

Consideremos dos ejemplos que ilustren precisamente estos dos casos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación general de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (1,2)$ y $P_2 = (-3,2)$ .

Podemos abordar este caso notando inmediatamente que la coordenada en el Eje Y es la misma para ambos puntos, que es 2. Sin embargo, veamos qué ocurre si calculamos la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \frac{2 - 2}{-3 - 1}$
$= \frac{0}{-4}$
$= 0$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(y - y_2) = m \cdot (x - x_2)$
$\Rightarrow \ (y - 2) = 0 \cdot (x - 1)$
$\Rightarrow \ y - 2 = 0$
$\Rightarrow \ y = 2$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = 2$ y para determinar su gráfica, simplemente trazamos una recta por todos los puntos de la forma $(x,2)$ .

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Ejemplo 2

Calcule la ecuación general de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (-1,5)$ y $P_2 = (-1,-2)$ .

Podemos abordar este caso notando inmediatamente que la coordenada en el Eje X es la misma para ambos puntos, que es $-1$ . Sin embargo, veamos qué ocurre si calculamos la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \frac{-2 - 5}{-1 - (-1)}$
$= \frac{-7}{0}$

La división por cero no está definida, así que debemos considerar la ecuación punto-punto para notar que

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
$\Rightarrow \ x - x_1 = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} (x_2 - x_1)$
$\Rightarrow \ (x - (-1)) = \frac{y - 5}{-2 - 5} (-1 - (-1))$
$\Rightarrow \ x + 1 = \frac{y - 5}{-7} ( 0 )$
$\Rightarrow \ x + 1 = 0$
$\Rightarrow \ x = - 1$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $x = -1$ y para determinar su gráfica, simplemente trazamos una recta por todos los puntos de la forma $(-1,y)$ .

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Cómo graficar rectas en el plano cartesiano

Si contamos la ecuación general de una recta, podemos graficarla simplemente calculando los puntos de intersección de esta con los ejes y posteriormente trazar la recta que pasa a través de estos dos. Veamos en los siguientes ejemplos cómo hacer esto.

Ejemplos

Ejemplo 3

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general $x + y - 1 = 0$ .

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si $x= 0 \Rightarrow \ (0) + y - 1 = 0$
$\Rightarrow \ y = 1$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $(0,1)$

Si $y = 0 \Rightarrow \ x + (0) - 1 = 0$
$\Rightarrow \ x = 1$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $(1,0)$

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Ejemplo 4

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general $2x - 3y + 4 = 0$

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si $x= 0 \Rightarrow \ 2(0) - 3 y + 4 = 0$
$\Rightarrow \ -3y = -4$
$\Rightarrow \ y = \frac{-4}{-3}$
$\Rightarrow \ y = \frac{4}{3}$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0, \frac{4}{3} \right)$

Si $y = 0 \Rightarrow \ 2x - 3(0) + 4 = 0$
$\Rightarrow \ 2x = -4$
$\Rightarrow \ x = \frac{-4}{2}$
$\Rightarrow \ x = -2$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $(-2,0)$

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Ejemplo 5

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general $5x - y - 1 = 0$

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si $x= 0 \Rightarrow \ 5(0) - y - 1 = 0$
$\Rightarrow \ - y = 1$
$\Rightarrow \ y = - 1$

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es $\left( 0, -1 \right)$

Si $y = 0 \Rightarrow \ 5x - (0) - 1 = 0$
$\Rightarrow \ 5x = 1$
$\Rightarrow \ x = \frac{1}{5}$

Es decir, el punto de corte con el Eje X es $\left( \frac{1}{5} , 0 \right)$

Un comentario en “La Ecuación General de la Recta”

El Punto de Intersección entre dos rectas – totumat dice:

08.12.2020 a las 7:49 pm

[…] las rectas están expresadas de la forma pendiente-ordenada, vemos ahora el caso en el que tenemos rectas expresadas de forma general. formalmente, si consideramos dos rectas expresadas de la siguiente […]

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