La Ecuación General de la Recta

Al aplicar la ecuación punto-punto debemos considerar dos casos particulares para los puntos $P_1 = (x_1,y_1)$ y $P_2 = (x_2,y_2)$ , veamos que pasa si se cumple solo uno de los siguientes casos:

Si $y_2 = y_1$ , entonces la pendiente $m$ queda expresada de la forma $\frac{0}{r}$ , donde $r$ es un número real distinto de cero.
Si $x_2 = x_1$ , entonces la pendiente $m$ queda expresada de la forma $\frac{r}{0}$ , donde $r$ es un número real distinto de cero (recordemos además, que la división por cero no está definida).

Para estudiar estos casos con mayor profundidad, es necesario definir la recta de una forma que nos permita definir estos casos con mayor precisión. Definimos entonces La Ecuación General La Recta como una relación entre dos variables $x$ y $y$ a través de una igualdad, formalmente,

$ax + by + c = 0$

Donde $a$ , $b$ y $c$ son números reales tal que $a$ y $b$ no son iguales a cero al mismo tiempo. De esta forma, podemos cubrir lo dos casos que hemos expuestos ya que,

Si $a = 0$ , entonces la ecuación general de la recta será de la forma $y=r$ para algún número real $r$ , es decir, todos los puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje Y, más aún, su gráfica será una recta totalmente horizontal.
Si $b = 0$ , entonces la ecuación general de la recta será de la forma $x=r$ para algún número real $r$ , es decir, todos los puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje X, más aún, su gráfica será una recta totalmente vertical.

Consideremos dos ejemplos que ilustren precisamente estos dos casos:

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (1,2)$ y $P_2 = (-3,2)$ .

Podemos abordar este caso notando inmediatamente que la coordenada en el Eje Y es la misma para ambos puntos, que es 2. Sin embargo, veamos qué ocurre si aplicamos la ecuación punto-punto calculando previamente la pendiente.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \frac{2 - 2}{-3 - 1}$
$= \frac{0}{-4}$
$= 0$

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto $P_1$

$(y - y_2) = m \cdot (x - x_2)$
$\Rightarrow \ (y - 2) = 0 \cdot (x - 1)$
$\Rightarrow \ y - 2 = 0$
$\Rightarrow \ y = 2$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $y = 2$ y para determinar su gráfica, simplemente trazamos una recta por todos los puntos de la forma $(x,2)$ .

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P_1 = (-1,5)$ y $P_2 = (-1,-2)$ .

Podemos abordar este caso notando inmediatamente que la coordenada en el Eje X es la misma para ambos puntos, que es $-1$ . Sin embargo, veamos qué ocurre si aplicamos la ecuación punto-punto.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$= \frac{-2 - 5}{-1 - (-1)}$
$= \frac{-7}{0}$

Pero la división por cero no está definida, así que debemos considerar la ecuación punto-punto para notar que

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
$\Rightarrow \ x - x_1 = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} (x_2 - x_1)$
$\Rightarrow \ (x - (-1)) = \frac{y - 5}{-2 - 5} (-1 - (-1))$
$\Rightarrow \ x + 1 = \frac{y - 5}{-7} ( 0 )$
$\Rightarrow \ x + 1 = 0$
$\Rightarrow \ x = - 1$

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es $x = -1$ y para determinar su gráfica, simplemente trazamos una recta por todos los puntos de la forma $(-1,y)$ .