La Ecuación General de la Recta

Al aplicar la ecuación punto-punto debemos considerar dos casos particulares para los puntos P_1 = (x_1,y_1) y P_2 = (x_2,y_2), veamos que pasa si se cumple solo uno de los siguientes casos:

  • Si y_2 = y_1 , entonces la pendiente m queda expresada de la forma \frac{0}{r}, donde r es un número real distinto de cero.
  • Si x_2 = x_1 , entonces la pendiente m queda expresada de la forma \frac{r}{0}, donde r es un número real distinto de cero (recordemos además, que la división por cero no está definida).

Es necesario definir la recta de una forma que nos permita definir estos casos con mayor precisión. Definimos entonces La Ecuación General La Recta como una relación entre dos variables x y y a través de una igualdad, formalmente,

ax + by + c = 0

Donde a, b y c son números reales tal que a y b no son iguales a cero al mismo tiempo. De esta forma, podemos cubrir lo dos casos que hemos expuestos ya que,

  • Si a = 0 , entonces la ecuación general de la recta será de la forma y=r para algún número real r, es decir, todos los puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje Y, más aún, su gráfica será una recta totalmente horizontal.
  • Si b = 0 , entonces la ecuación general de la recta será de la forma x=r para algún número real r, es decir, todos los puntos de esta recta tendrán la misma coordenada en el Eje X, más aún, su gráfica será una recta totalmente vertical.

Consideremos dos ejemplos que ilustren precisamente estos dos casos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos P_1 = (1,2) y P_2 = (-3,2).

Podemos abordar este caso notando inmediatamente que la coordenada en el Eje Y es la misma para ambos puntos, que es 2. Sin embargo, veamos qué ocurre si aplicamos la ecuación punto-punto calculando previamente la pendiente.

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
= \frac{2 - 2}{-3 - 1}
= \frac{0}{-4}
= 0

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

(y - y_2) = m \cdot (x - x_2)
\Rightarrow \ (y - 2) = 0 \cdot (x - 1)
\Rightarrow \ y - 2 = 0
\Rightarrow \ y = 2

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es y = 2 y para determinar su gráfica, simplemente trazamos una recta por todos los puntos de la forma (x,2).

Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos P_1 = (-1,5) y P_2 = (-1,-2).

Podemos abordar este caso notando inmediatamente que la coordenada en el Eje X es la misma para ambos puntos, que es -1. Sin embargo, veamos qué ocurre si aplicamos la ecuación punto-punto.

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
= \frac{-2 - 5}{-1 - (-1)}
= \frac{-7}{0}

Pero la división por cero no está definida, así que debemos considerar la ecuación punto-punto para notar que

\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}
\Rightarrow \ x - x_1 = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} (x_2 - x_1)
\Rightarrow \ (x - (-1)) = \frac{y - 5}{-2 - 5} (-1 - (-1))
\Rightarrow \ x + 1 = \frac{y - 5}{-7} ( 0 )
\Rightarrow \ x + 1 = 0
\Rightarrow \ x = - 1

Concluimos entonces que la ecuación de la recta que estamos buscando es x = -1 y para determinar su gráfica, simplemente trazamos una recta por todos los puntos de la forma (-1,y).


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¿Cómo graficar rectas?

Si contamos la ecuación general de una recta, podemos graficarla simplemente calculando los puntos de intersección de esta con los ejes y posteriormente se traza la recta que pasa por estos dos. Veamos en los siguientes ejemplos como hacer esto.

Ejemplos

Ejemplo 3

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general x + y - 1 = 0.

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si x= 0 \Rightarrow \ (0) + y - 1 = 0
\Rightarrow \ y = 1

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es (0,1)

Si y = 0 \Rightarrow \ x + (0) - 1 = 0
\Rightarrow \ x = 1

Es decir, el punto de corte con el Eje X es (1,0)

Ejemplo 4

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general 2x - 3y + 4 = 0

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si x= 0 \Rightarrow \ 2(0) - 3 y + 4 = 0
\Rightarrow \ -3y = -4
\Rightarrow \ y = \frac{-4}{-3}
\Rightarrow \ y = \frac{4}{3}

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es \left( 0, \frac{4}{3} \right)

Si y = 0 \Rightarrow \ 2x - 3(0) + 4 = 0
\Rightarrow \ 2x = -4
\Rightarrow \ x = \frac{-4}{2}
\Rightarrow \ x = -2

Es decir, el punto de corte con el Eje X es (-2,0)

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Ejemplo 5

Grafique la recta definida por la siguiente ecuación general 5x - y - 1 = 0

Para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

Si x= 0 \Rightarrow \ 5(0) - y - 1 = 0
\Rightarrow \ - y = 1
\Rightarrow \ y = - 1

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es \left( 0, -1 \right)

Si y = 0 \Rightarrow \ 5x - (0) - 1 = 0
\Rightarrow \ 5x = 1
\Rightarrow \ x = \frac{1}{5}

Es decir, el punto de corte con el Eje X es \left( \frac{1}{5} , 0 \right)


¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

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