Al definir ecuaciones donde sólo se estudia una incógnita, hemos visto que podemos representar las solución de estas, en una recta real. Más aún, si consideramos una expresión algebraica que involucra una variable, esta variable se puede ubicar de igual manera, en una recta real.
Sin embargo, al estudiar la relación entre dos variables o dos incógnitas a través de una igualdad, nos bastará sólo una recta real para representar la solución que estas representan. Por lo tanto, es necesario definir una estructura matemática que nos permita representar de forma analítica y de forma gráfica, estas relaciones.
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El Producto Cartesiano
Sean y
dos conjuntos, definimos el producto cartesiano de
por
como un nuevo conjunto que alberga todos los elementos de la forma
, donde el primer elemento pertenece a
y el segundo elemento pertenece a
. Formalmente lo expresamos el producto de cartesiano de la siguiente forma:
A cada elemento de la forma lo llamaremos par ordenado, esto se debe a que el orden en el que aparecen tiene vital importancia, pues el primer elemento pertenece a
y el segundo elemento pertenece a
.
Consideremos algunos conjuntos y veamos cómo está definido el producto cartesiano entre ellos.
Ejemplos
Ejemplo 1
Considerando y
, podemos expresar de forma exhaustiva el producto
. Una forma de listar todos los elementos de este producto cartesiano es tomar el primer elemento del primer conjunto y emparejarlo con todos los elementos del segundo, después se toma el segundo elemento del primer conjunto y emparejarlo con todos los elementos del segundo conjunto, entonces
Ejemplo 2
Considerando y
, podemos expresar de forma exhaustiva el producto
. Siguiendo la idea del ejemplo anterior, tenemos que
Ejemplo 3
Considerando y
, podemos expresar de forma exhaustiva el producto
. Podemos seguir la idea de los ejemplos anteriores, pero debemos notar que es imposible representar todos los elementos de este producto, así que podemos listar algunos
Ejemplo 4
Considerando y
, ¿cómo expresamos el producto
? La mejor forma de expresar este producto cartesiano es de forma gráfica. Eso lo hacemos trazando dos rectas perpendiculares y cruzando los elementos de cada conjunto.

Ejemplo 5
Considerando y
, exprese el producto
. Nuevamente, la mejor forma de expresar este producto cartesiano es de forma gráfica.

El Plano Cartesiano
Consideremos ahora un caso especial en el producto cartesiano, y es que si tomamos y
, definimos el Plano Cartesiano como el producto cartesiano
y lo expresamos gráficamente intersectando perpendicularmente una recta real horizontal que llamaremos Eje X con otra recta real vertical que llamaremos Eje Y, de la siguiente forma:

Aquí estarán expresados todos los pares de números reales, es decir, el conjunto
Puntos en el Plano
A cada par ordenado lo llamaremos punto del plano donde
representa la coordenada en el Eje X (o abscisa) y
representa la coordenada en el Eje Y (u ordenada). Particularmente el punto (0,0) será conocido como el origen del plano.
En el plano cartesiano podemos ubicar cualquier par ordenado de números reales, es decir, cualquier punto. Para esto, ubicamos la coordenada en el Eje X y en ella trazamos una recta imaginaria vertical, ubicamos la coordenada en el Eje Y y en ella trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.
Veamos concretamente cómo ubicar puntos en el plano considerando los siguientes ejemplos.
Ejemplos
Ejemplo 6
Si consideramos el punto , debemos ubicar el número
en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra parte ubicamos el número
en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto
se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.

Ejemplo 7
Si consideramos el punto , debemos ubicar el número
en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra parte ubicamos el número
en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto
se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.

Ejemplo 8
Si consideramos el punto , debemos ubicar el número
en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra al ubicar el número
en el Eje Y, no nos trasladamos ni hacia arriba ni hacia abajo. El punto
se ubica donde se encuentra el número
en el Eje X.

Ejemplo 9
Si consideramos el punto , debemos ubicar el número
en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal, por otra al ubicar el número
en el Eje X, no nos trasladamos ni a la izquierda ni a la derecha. El punto
se ubica donde se encuentra el número
en el Eje Y.

Los cuadrantes del plano
En le plano cartesiano podemos encontrar cuatro regiones fundamentales que nos ayudarán ubicar los puntos con mayor facilidad. Diremos que la región definida por los puntos con coordenadas, es el primer cuadrante y, contando en sentido antihorario, definimos los demás cuadrantes. De forma que,
- La región definida por todos los puntos
tal que
y
es el primer cuadrante.
- La región definida por todos los puntos
tal que
y
es el segundo cuadrante.
- La región definida por todos los puntos
tal que
y
es el tercer.
- La región definida por todos los puntos
tal que
y
es el tercer cuadrante.

[…] , podemos definir pares ordenados y así, expresar a las funciones reales con subconjuntos en el Plano Cartesiano, de la siguiente […]
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