El Plano Cartesiano

¡Vamos más allá!

Una vez que hemos estudiado algunas estructuras de la recta real y hemos visto el comportamiento de las operaciones entre los números que se encuentran, podemos trascender y pensar: ¿qué hay más allá? Para responder esta pregunta debemos definir nuevas estructuras sobre la cual sentaremos el desarrollo de lo que hay más allá.

El Producto Cartesiano

Sean A y B dos conjuntos, definimos el producto cartesiano de A por B como un nuevo conjunto de pares ordenados (a,b) donde el primer elemento pertenece a A y el segundo elemento pertenece a B, formalmente lo expresamos de la siguiente forma:

A \times B = \{ (a,b) : a \in A \ y \ b \in B \}

Consideremos algunos conjuntos y veamos como es el producto cartesiano entre ellos.

Ejemplo 1

Considerando A=\{ 1,2\} y B=\{7,8\}, exprese de forma exhaustiva el producto A \times B. Una forma de listar todos los elementos de este producto cartesiano es tomar el primer elemento del primer conjunto y emparejarlo con todos los elementos del segundo, después se toma el segundo elemento del primer conjunto y se empareja con todos los elementos del segundo conjunto, entonces

A \times B = \{ (1,7) ; (1,8) ; (2,7) ; (2,8) \}

Ejemplo 2

Considerando A=\{ -1,3,4\} y B=\{4,9,11\}, exprese de forma exhaustiva el producto $A \times B$. Siguiendo la idea del ejemplo anterior, tenemos que

A \times B = \{ (-1,4) ; (-1,9) ; (-1,11) ; (3,4) ; (3,9) ; (3,11) ; (4,4) ; (4,9) ; (4,11) \}

Ejemplo 3

Considerando A=\{ 1,2\} y B=\mathbb{N}, exprese de forma exhaustiva el producto A \times B. Podemos seguir la idea de los ejemplos anteriores, pero debemos notar que es imposible representar todos los elementos de este producto, así que podemos listar algunos

A \times B = \{ (1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ;...
(2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ;... \}

Ejemplo 4

Considerando A=\mathbb{N} y B=\mathbb{N}, exprese de forma exhaustiva el producto A \times B. La mejor forma de expresar este producto cartesiano es de forma gráfica. Eso lo hacemos trazando dos rectas perpendiculares y cruzando los elementos de cada conjunto.

Ejemplo 5

Considerando A=\mathbb{Z} y $B=\mathbb{N}$, exprese de forma exhaustiva el producto A \times B. Nuevamente, la mejor forma de expresar este producto cartesiano es de forma gráfica.

El Plano Cartesiano

Consideremos ahora un caso especial en el producto cartesiano, y es que si tomamos A=\mathbb{R} y B=\mathbb{R}, definimos el Plano Cartesiano como el producto cartesiano \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 y lo expresamos gráficamente intersectando perpendicularmente una recta real horizontal que llamaremos Eje X con otra recta real vertical que llamaremos Eje Y de la siguiente forma:

Aquí estarán expresados todos los pares de números reales, es decir, el conjunto

\mathbb{R}^2 = \{ (x,y) : x \in \mathbb{R}, \ y \in \mathbb{R} \}

Tal como hemos dicho, en el plano cartesiano podemos ubicar cualquier par de números reales, particularmente, si consideramos el punto (1,2), debemos ubicar el número 1 en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra parte ubicamos el número 2 en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto (1,2) se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.

De la misma manera, podemos considerar otros puntos como por ejemplo (-2,-2), (0,2) ó (-1,0) y ubicarlos en el plano cartesiano de la siguiente forma

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