Una vez que hemos estudiado algunas estructuras de la recta real y hemos visto el comportamiento de las operaciones entre los números que se encuentran, podemos trascender y pensar: ¿qué hay más allá? Para responder esta pregunta debemos definir nuevas estructuras sobre la cual sentaremos el desarrollo de lo que hay más allá.
El Producto Cartesiano
Sean A y B dos conjuntos, definimos el producto cartesiano de A por B como un nuevo conjunto de pares ordenados (a,b) donde el primer elemento pertenece a A y el segundo elemento pertenece a B, formalmente lo expresamos de la siguiente forma:
Consideremos algunos conjuntos y veamos cómo es el producto cartesiano entre ellos.
Ejemplos
Ejemplo 1
Considerando y
, exprese de forma exhaustiva el producto
. Una forma de listar todos los elementos de este producto cartesiano es tomar el primer elemento del primer conjunto y emparejarlo con todos los elementos del segundo, después se toma el segundo elemento del primer conjunto y se empareja con todos los elementos del segundo conjunto, entonces
Ejemplo 2
Considerando y
, exprese de forma exhaustiva el producto
. Siguiendo la idea del ejemplo anterior, tenemos que
Ejemplo 3
Considerando y
, exprese de forma exhaustiva el producto
. Podemos seguir la idea de los ejemplos anteriores, pero debemos notar que es imposible representar todos los elementos de este producto, así que podemos listar algunos
Ejemplo 4
Considerando y
, exprese de forma exhaustiva el producto
. La mejor forma de expresar este producto cartesiano es de forma gráfica. Eso lo hacemos trazando dos rectas perpendiculares y cruzando los elementos de cada conjunto.

Ejemplo 5
Considerando y
, exprese de forma exhaustiva el producto
. Nuevamente, la mejor forma de expresar este producto cartesiano es de forma gráfica.

El Plano Cartesiano
Consideremos ahora un caso especial en el producto cartesiano, y es que si tomamos y
, definimos el Plano Cartesiano como el producto cartesiano
y lo expresamos gráficamente intersectando perpendicularmente una recta real horizontal que llamaremos Eje X con otra recta real vertical que llamaremos Eje Y de la siguiente forma:

Aquí estarán expresados todos los pares de números reales, es decir, el conjunto
Puntos en el Plano
A cada par ordenado lo llamaremos punto del plano donde
representa la coordenada en el Eje X (o abscisa) y
representa la coordenada en el Eje Y (u ordenada). Particularmente el punto (0,0) será conocido como el origen del plano.
En el plano cartesiano podemos ubicar cualquier par ordenado de números reales, es decir, cualquier punto. Para esto, ubicamos la coordenada en el Eje X y en ella trazamos una recta imaginaria vertical, ubicamos la coordenada en el Eje Y y en ella trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.
Veamos concretamente cómo ubicar puntos en el plano considerando los siguientes ejemplos.
Ejemplos
Ejemplo 6
Si consideramos el punto , debemos ubicar el número
en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra parte ubicamos el número
en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto
se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.

Ejemplo 7
Si consideramos el punto , debemos ubicar el número
en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra parte ubicamos el número
en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto
se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.

Ejemplo 8
Si consideramos el punto , debemos ubicar el número
en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra al ubicar el número
en el Eje Y, no nos trasladamos ni hacia arriba ni hacia abajo. El punto
se ubica donde se encuentra el número
en el Eje X.

Ejemplo 9
Si consideramos el punto , debemos ubicar el número
en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal, por otra al ubicar el número
en el Eje X, no nos trasladamos ni a la izquierda ni a la derecha. El punto
se ubica donde se encuentra el número
en el Eje Y.

Los cuadrantes del plano
En le plano cartesiano podemos encontrar cuatro regiones fundamentales que nos ayudarán ubicar los puntos con mayor facilidad. Diremos que la región definida por los puntos con coordenadas, es el primer cuadrante y, contando en sentido antihorario, definimos los demás cuadrantes. De forma que,
- La región definida por todos los puntos
tal que
y
es el primer cuadrante.
- La región definida por todos los puntos
tal que
y
es el segundo cuadrante.
- La región definida por todos los puntos
tal que
y
es el tercer.
- La región definida por todos los puntos
tal que
y
es el tercer cuadrante.

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[…] bien hemos podido identificar subconjuntos en el plano cartesiano con figuras geométricas tales como rectas, parábolas u otro tipo figuras determinadas por […]
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[…] permite estudiar de forma visual las interacciones entre los números reales, y posteriormente, el plano cartesiano y el espacio cartesiano nos facilitan el estudio de funciones con una y dos variables. Sin embargo, […]
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