El Plano Cartesiano

Una vez que hemos estudiado algunas estructuras de la recta real y hemos visto el comportamiento de las operaciones entre los números que se encuentran, podemos trascender y pensar: ¿qué hay más allá? Para responder esta pregunta debemos definir nuevas estructuras sobre la cual sentaremos el desarrollo de lo que hay más allá.

El Producto Cartesiano

Sean A y B dos conjuntos, definimos el producto cartesiano de A por B como un nuevo conjunto de pares ordenados (a,b) donde el primer elemento pertenece a A y el segundo elemento pertenece a B, formalmente lo expresamos de la siguiente forma:

A \times B = \{ (a,b) : a \in A \ y \ b \in B \}

Consideremos algunos conjuntos y veamos cómo es el producto cartesiano entre ellos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando A=\{ 1,2\} y B=\{7,8\}, exprese de forma exhaustiva el producto A \times B. Una forma de listar todos los elementos de este producto cartesiano es tomar el primer elemento del primer conjunto y emparejarlo con todos los elementos del segundo, después se toma el segundo elemento del primer conjunto y se empareja con todos los elementos del segundo conjunto, entonces

A \times B = \{ (1,7) ; (1,8) ; (2,7) ; (2,8) \}

Ejemplo 2

Considerando A=\{ -1,3,4\} y B=\{4,9,11\}, exprese de forma exhaustiva el producto A \times B. Siguiendo la idea del ejemplo anterior, tenemos que

A \times B = \{ (-1,4) ; (-1,9) ; (-1,11) ; (3,4) ; (3,9) ; (3,11) ; (4,4) ; (4,9) ; (4,11) \}

Ejemplo 3

Considerando A=\{ 1,2\} y B=\mathbb{N}, exprese de forma exhaustiva el producto A \times B. Podemos seguir la idea de los ejemplos anteriores, pero debemos notar que es imposible representar todos los elementos de este producto, así que podemos listar algunos

A \times B = \{ (1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ;...
(2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ;... \}

Ejemplo 4

Considerando A=\mathbb{N} y B=\mathbb{N}, exprese de forma exhaustiva el producto A \times B. La mejor forma de expresar este producto cartesiano es de forma gráfica. Eso lo hacemos trazando dos rectas perpendiculares y cruzando los elementos de cada conjunto.

Producto Cartesiano | totumat.com

Ejemplo 5

Considerando A=\mathbb{Z} y B=\mathbb{N}, exprese de forma exhaustiva el producto A \times B. Nuevamente, la mejor forma de expresar este producto cartesiano es de forma gráfica.

Producto Cartesiano | totumat.com

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El Plano Cartesiano

Consideremos ahora un caso especial en el producto cartesiano, y es que si tomamos A=\mathbb{R} y B=\mathbb{R}, definimos el Plano Cartesiano como el producto cartesiano \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 y lo expresamos gráficamente intersectando perpendicularmente una recta real horizontal que llamaremos Eje X con otra recta real vertical que llamaremos Eje Y de la siguiente forma:

Aquí estarán expresados todos los pares de números reales, es decir, el conjunto

\mathbb{R}^2 = \{ (x,y) : x \in \mathbb{R}, \ y \in \mathbb{R} \}

Puntos en el Plano

A cada par ordenado (x,y) lo llamaremos punto del plano donde x representa la coordenada en el Eje X (o abscisa) y y representa la coordenada en el Eje Y (u ordenada). Particularmente el punto (0,0) será conocido como el origen del plano.

En el plano cartesiano podemos ubicar cualquier par ordenado de números reales, es decir, cualquier punto. Para esto, ubicamos la coordenada en el Eje X y en ella trazamos una recta imaginaria vertical, ubicamos la coordenada en el Eje Y y en ella trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.

Veamos concretamente cómo ubicar puntos en el plano considerando los siguientes ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 6

Si consideramos el punto (1,2), debemos ubicar el número 1 en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra parte ubicamos el número 2 en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto (1,2) se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.

Punto en el Plano | totumat.com

Ejemplo 7

Si consideramos el punto (-2,-2), debemos ubicar el número -2 en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra parte ubicamos el número -2 en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto (-2,-2) se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.

Punto en el Plano | totumat.com

Ejemplo 8

Si consideramos el punto (-1,0), debemos ubicar el número -1 en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra al ubicar el número 0 en el Eje Y, no nos trasladamos ni hacia arriba ni hacia abajo. El punto (-1,0) se ubica donde se encuentra el número -1 en el Eje X.

Punto en el Plano | totumat.com

Ejemplo 9

Si consideramos el punto (0,2), debemos ubicar el número 2 en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal, por otra al ubicar el número 0 en el Eje X, no nos trasladamos ni a la izquierda ni a la derecha. El punto (0,2) se ubica donde se encuentra el número 2 en el Eje Y.

Punto en el Plano | totumat.com

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Los cuadrantes del plano

En le plano cartesiano podemos encontrar cuatro regiones fundamentales que nos ayudarán ubicar los puntos con mayor facilidad. Diremos que la región definida por los puntos con coordenadas, es el primer cuadrante y, contando en sentido antihorario, definimos los demás cuadrantes. De forma que,

  • La región definida por todos los puntos (x,y) tal que x > 0 y y > 0 es el primer cuadrante.
  • La región definida por todos los puntos (x,y) tal que x < 0 y y > 0 es el segundo cuadrante.
  • La región definida por todos los puntos (x,y) tal que x < 0 y y < 0 es el tercer.
  • La región definida por todos los puntos (x,y) tal que x > 0 y y < 0 es el tercer cuadrante.
Cuadrantes del Plano Cartesiano | totumat.com

Un comentario en “El Plano Cartesiano

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