El Plano Cartesiano

Al definir ecuaciones donde sólo se estudia una incógnita, hemos visto que podemos representar las solución de estas, en una recta real. Más aún, si consideramos una expresión algebraica que involucra una variable, esta variable se puede ubicar de igual manera, en una recta real.

Sin embargo, al estudiar la relación entre dos variables o dos incógnitas a través de una igualdad, nos bastará sólo una recta real para representar la solución que estas representan. Por lo tanto, es necesario definir una estructura matemática que nos permita representar de forma analítica y de forma gráfica, estas relaciones.

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El Producto Cartesiano

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos, definimos el producto cartesiano de $A$ por $B$ como un nuevo conjunto que alberga todos los elementos de la forma $(a,b)$ , donde el primer elemento pertenece a $A$ y el segundo elemento pertenece a $B$ . Formalmente lo expresamos el producto de cartesiano de la siguiente forma:

$A \times B = \{ (a,b) : a \in A \ y \ b \in B \}$

A cada elemento de la forma $(a,b)$ lo llamaremos par ordenado, esto se debe a que el orden en el que aparecen tiene vital importancia, pues el primer elemento pertenece a $A$ y el segundo elemento pertenece a $B$ .

Consideremos algunos conjuntos y veamos cómo está definido el producto cartesiano entre ellos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando $A=\{ 1,2\}$ y $B=\{7,8\}$ , podemos expresar de forma exhaustiva el producto $A \times B$ . Una forma de listar todos los elementos de este producto cartesiano es tomar el primer elemento del primer conjunto y emparejarlo con todos los elementos del segundo, después se toma el segundo elemento del primer conjunto y emparejarlo con todos los elementos del segundo conjunto, entonces

$A \times B = \{ (1,7) ; (1,8) ; (2,7) ; (2,8) \}$

Ejemplo 2

Considerando $A=\{ -1,3,4\}$ y $B=\{4,9,11\}$ , podemos expresar de forma exhaustiva el producto $A \times B$ . Siguiendo la idea del ejemplo anterior, tenemos que

$A \times B = \{ (-1,4) ; (-1,9) ; (-1,11) ; (3,4) ; (3,9) ; (3,11) ; (4,4) ; (4,9) ; (4,11) \}$

Ejemplo 3

Considerando $A=\{ 1,2\}$ y $B=\mathbb{N}$ , podemos expresar de forma exhaustiva el producto $A \times B$ . Podemos seguir la idea de los ejemplos anteriores, pero debemos notar que es imposible representar todos los elementos de este producto, así que podemos listar algunos

$A \times B = \{ (1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ;...$
$(2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ;... \}$

Ejemplo 4

Considerando $A=\mathbb{N}$ y $B=\mathbb{N}$ , ¿cómo expresamos el producto $A \times B$ ? La mejor forma de expresar este producto cartesiano es de forma gráfica. Eso lo hacemos trazando dos rectas perpendiculares y cruzando los elementos de cada conjunto.

Ejemplo 5

Considerando $A=\mathbb{Z}$ y $B=\mathbb{N}$ , exprese el producto $A \times B$ . Nuevamente, la mejor forma de expresar este producto cartesiano es de forma gráfica.

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El Plano Cartesiano

Consideremos ahora un caso especial en el producto cartesiano, y es que si tomamos $A=\mathbb{R}$ y $B=\mathbb{R}$ , definimos el Plano Cartesiano como el producto cartesiano $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$ y lo expresamos gráficamente intersectando perpendicularmente una recta real horizontal que llamaremos Eje X con otra recta real vertical que llamaremos Eje Y, de la siguiente forma:

Aquí estarán expresados todos los pares de números reales, es decir, el conjunto

$\mathbb{R}^2 = \{ (x,y) : x \in \mathbb{R}, \ y \in \mathbb{R} \}$

Puntos en el Plano

A cada par ordenado $(x,y)$ lo llamaremos punto del plano donde $x$ representa la coordenada en el Eje X (o abscisa) y $y$ representa la coordenada en el Eje Y (u ordenada). Particularmente el punto (0,0) será conocido como el origen del plano.

En el plano cartesiano podemos ubicar cualquier par ordenado de números reales, es decir, cualquier punto. Para esto, ubicamos la coordenada en el Eje X y en ella trazamos una recta imaginaria vertical, ubicamos la coordenada en el Eje Y y en ella trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.

Veamos concretamente cómo ubicar puntos en el plano considerando los siguientes ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 6

Si consideramos el punto $(1,2)$ , debemos ubicar el número $1$ en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra parte ubicamos el número $2$ en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto $(1,2)$ se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.

Ejemplo 7

Si consideramos el punto $(-2,-2)$ , debemos ubicar el número $-2$ en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra parte ubicamos el número $-2$ en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto $(-2,-2)$ se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.

Ejemplo 8

Si consideramos el punto $(-1,0)$ , debemos ubicar el número $-1$ en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra al ubicar el número $0$ en el Eje Y, no nos trasladamos ni hacia arriba ni hacia abajo. El punto $(-1,0)$ se ubica donde se encuentra el número $-1$ en el Eje X.

Ejemplo 9

Si consideramos el punto $(0,2)$ , debemos ubicar el número $2$ en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal, por otra al ubicar el número $0$ en el Eje X, no nos trasladamos ni a la izquierda ni a la derecha. El punto $(0,2)$ se ubica donde se encuentra el número $2$ en el Eje Y.

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Los cuadrantes del plano

En le plano cartesiano podemos encontrar cuatro regiones fundamentales que nos ayudarán ubicar los puntos con mayor facilidad. Diremos que la región definida por los puntos con coordenadas, es el primer cuadrante y, contando en sentido antihorario, definimos los demás cuadrantes. De forma que,

La región definida por todos los puntos $(x,y)$ tal que $x > 0$ y $y > 0$ es el primer cuadrante.
La región definida por todos los puntos $(x,y)$ tal que $x < 0$ y $y > 0$ es el segundo cuadrante.
La región definida por todos los puntos $(x,y)$ tal que $x < 0$ y $y < 0$ es el tercer.
La región definida por todos los puntos $(x,y)$ tal que $x > 0$ y $y < 0$ es el tercer cuadrante.

Cuadrantes del Plano Cartesiano | totumat.com

6 comentarios en “El Plano Cartesiano”

R para introducir a la Econometría: Diagrama de Dispersión – totumat dice:

06.05.2021 a las 11:00 pm

[…] variable endógena y, un Diagrama de Dispersión (o Gráfico de Dispersión) consiste en ubicar en el plano cartesiano cada par ordenado formado por los elementos de estas dos variables. Ubicando la variable exógena […]

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Vectores en el Plano – totumat dice:

02.04.2021 a las 12:45 pm

[…] bien hemos podido identificar subconjuntos en el plano cartesiano con figuras geométricas tales como rectas, parábolas u otro tipo figuras determinadas por […]

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Puntos en el Plano

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Ejemplo 7

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Los cuadrantes del plano

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