Vectores en el Plano

Vectores en el Plano

Si bien hemos podido identificar subconjuntos en el plano cartesiano con figuras geométricas tales como rectas, parábolas u otro tipo figuras determinadas por funciones, también podemos identificar en el plano otro tipo de elementos, por ejemplo, al estudiar fenómenos físicos como la aplicación de una fuerza, se debe especificar la magnitud y la dirección con que esta ha sido aplicada; para esto se definen los vectores.

Intuitivamente, diremos que un vector es elemento que tiene una magnitud y una dirección y; geométricamente, se representa con una flecha que tiene una longitud y una inclinación respecto al Eje X. Usualmente, los vectores se presentan con un par ordenado que denota el punto en el plano cartesiano hasta donde llega el vector, partiendo desde el origen.

De esta forma, si P = (x,y) es un punto en el plano, denotamos un vector que parte desde el origen y que llega hasta el punto P encerrando el par ordenado con los delimitadores \left\langle \ , \ \right\rangle de la siguiente forma:

\overrightarrow{OP} = \left\langle x , y \right\rangle

Y lo representamos gráficamente en el plano cartesiano de la siguiente forma:

Es importante señalar cual es el origen de un vector, pero cuando esto queda sobre entendido, también se pueden denotar usando letras como \overrightarrow{v} ó \overrightarrow{A}. Sin embargo, siempre se debe dejar clara la forma en que el vector está definido.

Magnitud de un Vector

La magnitud de un vector también es conocida como la norma del vector y se interpreta geométricamente como la longitud de la flecha que define el vector. La norma de un vector \overrightarrow{v} se denota usando delimitando el vector usando una barra vertical \left|\overrightarrow{v}\right| o usando la notación de distancia euclidiana con doble barra vertical \left\lVert \overrightarrow{v}\right\rVert.

La norma de un vector \overrightarrow{v} = \left\langle x , y \right\rangle se calcula recurriendo al Teorema de Pitágoras y es que podemos notar que cualquier vector representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos x y y de la siguiente forma:

Entonces, el Teorema de Pitágoras nos indica que

\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert^2 = x^2 + y^2

Teniendo en cuenta esta igualdad, podemos aplicar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación y de esta forma, definimos una fórmula para calcular la norma de un vector de la siguiente forma:

\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert = \sqrt{x^2 + y^2}

Veamos en los siguientes ejemplos, como aplicar esta fórmula para calcular la norma de distintos vectores.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando el vector que parte desde el origen \overrightarrow{OP} = \left\langle 3 , 4 \right\rangle, calcule la norma de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

De esta forma, podemos usar la fórmula que se ha deducido del Teorema de Pitágoras para calcular la norma de este vector.

\left\lVert \overrightarrow{OP} \right\rVert \ = \ \sqrt{(3)^2 + (4)^2}

\ = \ \sqrt{9 + 16}

\ = \ \sqrt{25}

\ = \ 5

Ejemplo 2

Considerando el vector que parte desde el origen \overrightarrow{u} = \left\langle -2 , 2 \right\rangle, calcule la norma de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

De esta forma, podemos usar la fórmula que se ha deducido del Teorema de Pitágoras para calcular la norma de este vector.

\left\lVert \overrightarrow{u} \right\rVert \ = \ \sqrt{(-2)^2 + (2)^2}

\ = \ \sqrt{4 + 4}

\ = \ \sqrt{8}

Ejemplo 3

Considerando el vector que parte desde el origen \overrightarrow{v} = \left\langle -5 , -1 \right\rangle, calcule la norma de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

De esta forma, podemos usar la fórmula que se ha deducido del Teorema de Pitágoras para calcular la norma de este vector.

\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert \ = \ \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2}

\ = \ \sqrt{25 + 1}

\ = \ \sqrt{26}

Ejemplo 4

Considerando el vector que parte desde el origen \overrightarrow{A} = \left\langle 4 , -2 \right\rangle, calcule la norma de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

De esta forma, podemos usar la fórmula que se ha deducido del Teorema de Pitágoras para calcular la norma de este vector.

\left\lVert \overrightarrow{A} \right\rVert \ = \ \sqrt{(4)^2 + (-2)^2}

\ = \ \sqrt{16 + 4}

\ = \ \sqrt{20}


Dirección de un Vector

La dirección de un vector también es conocida como el sentido del vector y se interpreta geométricamente como el ángulo (menor de 180 grados) que forma la flecha que define el vector con la parte positiva del Eje X.

Dirección de un Vector, Ángulo de un vector | totumat.com
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La dirección un vector \overrightarrow{v} = \left\langle x , y \right\rangle se calcula recurriendo a la trigonometría, pues podemos notar que cualquier vector representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos x y y, considerando el siguiente gráfico

Dirección de un Vector, Ángulo de un vector | totumat.com

Podemos definir las siguientes expresiones trigonométricas.

\sin(\alpha) = \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert}

\cos(\alpha) = \dfrac{x}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert}

\tan(\alpha) = \frac{y}{x}

Teniendo en cuenta estas igualdades, podemos aplicar las función inversa correspondiente a cada función trigonométrica y así, definimos una fórmula para calcular el ángulo del vector \overrightarrow{v} respecto al Eje X, usando cualquiera de las siguientes igualdades:

\alpha = \arcsin\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert} \right)

\alpha = \arccos\left( \dfrac{x}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert} \right)

\alpha = \arctan \left( \dfrac{y}{x} \right)

De forma general, se usa la fórmula que involucra el arco coseno, pues es la que determina el ángulo formado entre el vector y el Eje positivo de X directamente.

Veamos en los siguientes ejemplos, como aplicar esta fórmula para calcular la dirección de distintos vectores.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando el vector que parte desde el origen \overrightarrow{OP} = \left\langle 3 , 4 \right\rangle, calcule la dirección de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

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De esta forma, podemos usar cualquiera de las fórmulas que se han deducido de las funciones trigonométricas para calcular la dirección de este vector, pero primero debemos calcular la norma del vector

\left\lVert \overrightarrow{OP} \right\rVert \ = \ \sqrt{(3)^2 + (4)^2}

\ = \ \sqrt{9 + 16}

\ = \ \sqrt{25}

\ = \ 5

Entonces, conociendo la norma del vector, podemos usar la fórmula que involucra el coseno

\alpha \ = \ \arccos\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{OP} \right\rVert} \right)

\ = \ \arccos \left( \frac{3}{5} \right)

\ \approx \ 53.13^{\circ}

Ejemplo 6

Considerando el vector que parte desde el origen \overrightarrow{u} = \left\langle -2 , 2 \right\rangle, calcule la dirección de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

Dirección de un Vector, Ángulo de un vector | totumat.com

De esta forma, podemos usar cualquiera de las fórmulas que se han deducido de las funciones trigonométricas para calcular la dirección de este vector, pero primero debemos calcular la norma del vector

\left\lVert \overrightarrow{u} \right\rVert \ = \ \sqrt{(-2)^2 + (2)^2}

\ = \ \sqrt{4 + 4}

\ = \ \sqrt{8}

Entonces, conociendo la norma del vector, podemos usar la fórmula que involucra el coseno

\alpha \ = \ \arccos\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{u} \right\rVert} \right)

\ = \ \arccos \left( \frac{-2}{\sqrt{8}} \right)

\ = \ 135^{\circ}

Ejemplo 7

Considerando el vector que parte desde el origen \overrightarrow{v} = \left\langle -5 , -1 \right\rangle, calcule la dirección de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

Dirección de un Vector, Ángulo de un vector | totumat.com

De esta forma, podemos usar cualquiera de las fórmulas que se han deducido de las funciones trigonométricas para calcular la dirección de este vector, pero primero debemos calcular la norma del vector

\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert \ = \ \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2}

\ = \ \sqrt{25 + 1}

\ = \ \sqrt{26}

Entonces, conociendo la norma del vector, podemos usar la fórmula que involucra el coseno

\alpha \ = \ \arccos\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert} \right)

\ = \ \arccos \left( \frac{-5}{\sqrt{26}} \right)

\ \approx \ 168.69^{\circ}

Ejemplo 8

Considerando el vector que parte desde el origen \overrightarrow{A} = \left\langle 4 , -2 \right\rangle, calcule la dirección de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

Dirección de un Vector, Ángulo de un vector | totumat.com

De esta forma, podemos usar cualquiera de las fórmulas que se han deducido de las funciones trigonométricas para calcular la dirección de este vector, pero primero debemos calcular la norma del vector

\left\lVert \overrightarrow{A} \right\rVert \ = \ \sqrt{(4)^2 + (-2)^2}

\ = \ \sqrt{16 + 4}

\ = \ \sqrt{20}

Entonces, conociendo la norma del vector, podemos usar la fórmula que involucra el coseno

\alpha \ = \ \arccos\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{A} \right\rVert} \right)

\ = \ \arccos \left( \frac{4}{\sqrt{20}} \right)

\ \approx \ 26.56^{\circ}


Rectas

Consideremos en el plano cartesiano varios conjuntos de particular interés, por ejemplo, si consideramos todos los puntos (x,y) tales que y=x, es decir, \{ (x,y) : y=x, x \in R \}. Podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de x para determinar cual es su valor de y correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

Recta Identidad Función Identidad Función Afín | totumat.com

Notemos que no podemos representar todos los puntos de este conjunto de forma exhaustiva, pero si pudiéramos hacerlo, éstos determinan una línea recta con 45 grados de inclinación respecto al Eje X. A esta recta la llamaremos recta identidad.

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Traslación de rectas

El conjunto \{ (x,y) : y=x+1, x \in R \}, podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de x para determinar cual es su valor de y correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

Traslación de Rectas | totumat.com

El conjunto \{ (x,y) : y=x-1, x \in R \}, podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de x para determinar cual es su valor de y correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

Traslación de Rectas | totumat.com

En estos dos últimos conjuntos, notamos que: al sumar 1, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia arriba; al restar 1, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia abajo. En general, si consideramos un conjunto de la forma \{ (x,y) : y=x+a, x \in R \}, entonces consideramos dos casos:

  1. Si a>0, entonces el conjunto representa a la recta identidad trasladada en a unidades hacia arriba.
  2. Si a<0, entonces el conjunto representa a la recta identidad trasladada en a unidades hacia abajo.
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Rotación de rectas

Si consideramos todos los puntos (x,y) tales que y=2x, es decir, \{ (x,y) : y=2x, x \in R \}, cambiará la situación respecto a los casos anteriores. Hagamos una tabla de valores y posteriormente grafiquemos:

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El conjunto \{ (x,y) : y=\frac{1}{2}x, x \in R \}, podemos graficar este conjunto considerando algunos valores de x para determinar cual es su valor de y correspondiente usando una tabla de valores y ubicándolos posteriormente en el plano cartesiano.

Rotación de rectas | totumat.com

En estos dos últimos conjuntos, notamos que: al multiplicar por 2, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia arriba; al multiplicar por \frac{1}{2}, graficamos la recta identidad trasladada en una unidad hacia abajo. En general, si consideramos un conjunto de la forma \{ (x,y) : y=a\cdot x, x \in R \}, entonces consideramos dos casos:

  • Si a>1, entonces el conjunto representa a la recta identidad rotada en sentido antihorario.
  • Si a<1, entonces el conjunto representa a la recta identidad rotada en sentido horario.
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Reflexión de rectas

Por último, si consideramos todos los puntos (x,y) tales que y=-x, es decir, \{ (x,y) : y=-x, x \in R \}, este conjunto será el opuesto a la recta identidad. Hagamos una tabla de valores y posteriormente grafiquemos:

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Notamos que al multiplicar por -1, hemos reflejado la recta identidad respecto al Eje X, visualmente lo que ocurrió es que lo que estaba arriba pasó a estar debajo y lo que estaba debajo pasó a estar arriba. En general, si a>0, un conjunto de la forma \{ (x,y) : y=-a\cdot x, x \in R \}, entonces el conjunto representa a la recta \{ (x,y) : y=a\cdot x, x \in R \} reflejada respecto al Eje X.

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La ecuación pendiente-ordenada de la recta

A partir de todos estos conjuntos, podemos definir de forma general un conjunto que engloba todos estos casos. Definimos una recta como el conjunto

\{ (x,y) : y=m\cdot x + b, x \in R \}

Donde m será conocida como la pendiente de la recta y determina la inclinación de la recta, b es conocido como el intercepto de la recta y determina el punto de corte de la recta con el Eje Y.

Usualmente nos referiremos a las rectas por la ecuación que las define para abreviar el conjunto y las denotaremos con la letra l (por la palabra line en inglés). De la forma que hemos definido la recta, diremos que está definida por la ecuación pendiente-ordenada o pendiente-intercepto y las expresaremos así

l : y=m \cdot x + b

Las rectas constituyen una parte importante de las matemáticas, pues con ellas se pueden definir modelos básico para describir distintos fenómenos y así facilitar su entendimiento. Eventualmente nos toparemos con conjuntos del plano cartesiano un poco más complejos pero de momento, nos detendremos a estudiar las rectas con profundidad.


El Plano Cartesiano

Una vez que hemos estudiado algunas estructuras de la recta real y hemos visto el comportamiento de las operaciones entre los números que se encuentran, podemos trascender y pensar: ¿qué hay más allá? Para responder esta pregunta debemos definir nuevas estructuras sobre la cual sentaremos el desarrollo de lo que hay más allá.

El Producto Cartesiano

Sean A y B dos conjuntos, definimos el producto cartesiano de A por B como un nuevo conjunto de pares ordenados (a,b) donde el primer elemento pertenece a A y el segundo elemento pertenece a B, formalmente lo expresamos de la siguiente forma:

A \times B = \{ (a,b) : a \in A \ y \ b \in B \}

Consideremos algunos conjuntos y veamos cómo es el producto cartesiano entre ellos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando A=\{ 1,2\} y B=\{7,8\}, exprese de forma exhaustiva el producto A \times B. Una forma de listar todos los elementos de este producto cartesiano es tomar el primer elemento del primer conjunto y emparejarlo con todos los elementos del segundo, después se toma el segundo elemento del primer conjunto y se empareja con todos los elementos del segundo conjunto, entonces

A \times B = \{ (1,7) ; (1,8) ; (2,7) ; (2,8) \}

Ejemplo 2

Considerando A=\{ -1,3,4\} y B=\{4,9,11\}, exprese de forma exhaustiva el producto A \times B. Siguiendo la idea del ejemplo anterior, tenemos que

A \times B = \{ (-1,4) ; (-1,9) ; (-1,11) ; (3,4) ; (3,9) ; (3,11) ; (4,4) ; (4,9) ; (4,11) \}

Ejemplo 3

Considerando A=\{ 1,2\} y B=\mathbb{N}, exprese de forma exhaustiva el producto A \times B. Podemos seguir la idea de los ejemplos anteriores, pero debemos notar que es imposible representar todos los elementos de este producto, así que podemos listar algunos

A \times B = \{ (1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ;...
(2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ;... \}

Ejemplo 4

Considerando A=\mathbb{N} y B=\mathbb{N}, exprese de forma exhaustiva el producto A \times B. La mejor forma de expresar este producto cartesiano es de forma gráfica. Eso lo hacemos trazando dos rectas perpendiculares y cruzando los elementos de cada conjunto.

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Ejemplo 5

Considerando A=\mathbb{Z} y B=\mathbb{N}, exprese de forma exhaustiva el producto A \times B. Nuevamente, la mejor forma de expresar este producto cartesiano es de forma gráfica.

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El Plano Cartesiano

Consideremos ahora un caso especial en el producto cartesiano, y es que si tomamos A=\mathbb{R} y B=\mathbb{R}, definimos el Plano Cartesiano como el producto cartesiano \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 y lo expresamos gráficamente intersectando perpendicularmente una recta real horizontal que llamaremos Eje X con otra recta real vertical que llamaremos Eje Y de la siguiente forma:

Aquí estarán expresados todos los pares de números reales, es decir, el conjunto

\mathbb{R}^2 = \{ (x,y) : x \in \mathbb{R}, \ y \in \mathbb{R} \}

Puntos en el Plano

A cada par ordenado (x,y) lo llamaremos punto del plano donde x representa la coordenada en el Eje X (o abscisa) y y representa la coordenada en el Eje Y (u ordenada). Particularmente el punto (0,0) será conocido como el origen del plano.

En el plano cartesiano podemos ubicar cualquier par ordenado de números reales, es decir, cualquier punto. Para esto, ubicamos la coordenada en el Eje X y en ella trazamos una recta imaginaria vertical, ubicamos la coordenada en el Eje Y y en ella trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.

Veamos concretamente cómo ubicar puntos en el plano considerando los siguientes ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 6

Si consideramos el punto (1,2), debemos ubicar el número 1 en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra parte ubicamos el número 2 en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto (1,2) se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.

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Ejemplo 7

Si consideramos el punto (-2,-2), debemos ubicar el número -2 en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra parte ubicamos el número -2 en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal. El punto (-2,-2) se ubica donde se encuentran estas dos rectas imaginarias.

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Ejemplo 8

Si consideramos el punto (-1,0), debemos ubicar el número -1 en el Eje X y en él trazamos una recta imaginaria vertical, por otra al ubicar el número 0 en el Eje Y, no nos trasladamos ni hacia arriba ni hacia abajo. El punto (-1,0) se ubica donde se encuentra el número -1 en el Eje X.

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Ejemplo 9

Si consideramos el punto (0,2), debemos ubicar el número 2 en el Eje Y y en él trazamos una recta imaginaria horizontal, por otra al ubicar el número 0 en el Eje X, no nos trasladamos ni a la izquierda ni a la derecha. El punto (0,2) se ubica donde se encuentra el número 2 en el Eje Y.

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Los cuadrantes del plano

En le plano cartesiano podemos encontrar cuatro regiones fundamentales que nos ayudarán ubicar los puntos con mayor facilidad. Diremos que la región definida por los puntos con coordenadas, es el primer cuadrante y, contando en sentido antihorario, definimos los demás cuadrantes. De forma que,

  • La región definida por todos los puntos (x,y) tal que x > 0 y y > 0 es el primer cuadrante.
  • La región definida por todos los puntos (x,y) tal que x < 0 y y > 0 es el segundo cuadrante.
  • La región definida por todos los puntos (x,y) tal que x < 0 y y < 0 es el tercer.
  • La región definida por todos los puntos (x,y) tal que x > 0 y y < 0 es el tercer cuadrante.
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