Distancia entre dos puntos

En esta sección desarrollaremos un método que nos permitirá calcular la distancia entre dos puntos del plano cartesiano basándonos en el Teorema de Pitágoras. Y aunque es un teorema famoso, es necesario que veamos qué es lo que se establece en este teorema para precisar ideas.

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo de 90 grados. Decimos que sus catetos son los lados adyacentes a este ángulo y la hipotenusa será el lado opuesto a dicho ángulo. Este teorema nos dice que si usted tiene un triángulo rectángulo, entonces el cuadrado de la hipotenusa será igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Entonces, si un cateto mide a, otro cateto mide b y la hipotenusa mide c, tendremos que:

c^2 = a^2 + b^2

Con este resultado podemos decir que si tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4, entonces 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25. Si la hipotenusa es c, tendremos que c^2=25. Es decir, la hipotenusa será un número que multiplicado por él mismo nos da 25 como resultado, este será el número 5 pues 5^2=5\cdot 5 = 25. Por lo tanto la hipotenusa de este triángulo mide 5.

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Consideremos ahora dos puntos en el plano P_1 = (x_1,y_1) y P_2 = (x_2,y_2), denotamos la distancia entre estos dos como d(P_1,P_2) y la ilustramos a continuación

Pero, ¿cómo calculamos la distancia entre estos dos puntos? Lo primero que debemos notar es que estos definen un triángulo rectángulo y además, la medida de los catetos está definida por la diferencia entre x_1 y x_2; y la diferencia entre y_1 y y_2, tal como sigue

Tomando esto en cuenta, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras, pues la distancia d(P_1,P_2) es la medida de la hipotenusa. Entonces, tenemos que \textit{el cuadrado de la hipotenusa será igual a la suma de los cuadrados de los catetos}, es decir,

d(P_1,P_2)^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2

Finalmente, podemos aplicar la raíz cuadrada en ambos lados de esta última ecuación para obtener una fórmula para el valor de la distancia entre los puntos P_1 = (x_1,y_1) y P_2 = (x_2,y_2).

d(P_1,P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Aunque pareciera engorrosa, veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta fórmula.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando los puntos P_1 = (1,4) y P_2 = (5,1), grafique ambos puntos y calcule la distancia entre ellos dos.

Calculamos la distancia entre estos dos puntos aplicando la fórmula para la distancia

d(P_1,P_2) \ = \ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\ = \ \sqrt{(5 - 1)^2 + (4 - 1)^2}
\ = \ \sqrt{(4)^2 + (3)^2}
\ = \ \sqrt{16 + 9}
\ = \ \sqrt{25}
\ = \ 5

Por lo tanto, concluimos que la distancia entre los dos puntos dados es igual a 5.

Ejemplo 2

Considerando los puntos P_1 = (2,-2) y P_2 = (-2,-4), grafique ambos puntos y calcule la distancia entre ellos dos.

Calculamos la distancia entre estos dos puntos aplicando la fórmula para la distancia

d(P_1,P_2) \ = \ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\ = \ \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-4 - (-2))^2}
\ = \ \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-4 + 2)^2}
\ = \ \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2}
\ = \ \sqrt{16 + 4}
\ = \ \sqrt{20}
\ \approx \ 4.4721

Por lo tanto, concluimos que la distancia entre los dos puntos dados es aproximadamente 4.4721.

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Ejemplo 3

Considerando los puntos P_1 = (-1,1) y P_2 = (2,-3), grafique ambos puntos y calcule la distancia entre ellos dos.

Calculamos la distancia entre estos dos puntos aplicando la fórmula para la distancia

d(P_1,P_2) \ = \ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\ = \ \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 1)^2}
\ = \ \sqrt{(2 + 1)^2 + (-3 - 1)^2}
\ = \ \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}
\ = \ \sqrt{9 + 16}
\ = \ \sqrt{25}
\ = \ 5

Por lo tanto, concluimos que la distancia entre los dos puntos dados es igual a 5.

Ejemplo 4

Considerando los puntos P_1 = (3,4) y P_2 = (-2,-1), grafique ambos puntos y calcule la distancia entre ellos dos.

Calculamos la distancia entre estos dos puntos aplicando la fórmula para la distancia

d(P_1,P_2) \ = \ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\ = \ \sqrt{(-2 - 3)^2 + (-1 - 4)^2}
\ = \ \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2}
\ = \ \sqrt{25 + 25}
\ = \ \sqrt{50}
\ \approx \ 7.0710

Por lo tanto, concluimos que la distancia entre los dos puntos dados es aproximadamente 7.0710.


¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

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