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Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Ley de costos e ingresos

Anthonny Arias García1 comentario
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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras.

Considerando la ecuación lineal de costos totales C y la ecuación lineal de ingresos totales I, calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia. Grafique ambas rectas, señalando el punto de equilibrio.

  1. C : p = \frac{4}{5}q+62 \text{ y } I : p = 66q
  2. C : p = 7q+52 \text{ y } I : p = \frac{292}{3}q
  3. C : p = \frac{17}{6}q+32 \text{ y } I : p = \frac{98}{3}q
  4. C : p = \frac{23}{4}q+26 \text{ y } I : p = 36q
  1. C : p = \frac{1}{10}q+31 \text{ y } I : p = \frac{48}{5}q
  2. C : p = \frac{11}{2}q+19 \text{ y } I : p = \frac{189}{8}q
  3. C : p = 5q+59 \text{ y } I : p = 84q
  4. C : p = \frac{9}{2}q+13 \text{ y } I : p = \frac{80}{3}q
  1. C : p = \frac{69}{4}q+26 \text{ y } I : p = \frac{475}{4}q
  2. C : p = \frac{54}{5}q+6 \text{ y } I : p = 48q
  3. C : p = \frac{23}{3}q+29 \text{ y } I : p = 52q
  4. C : p = \frac{57}{4}q+13 \text{ y } I : p = 35q
  1. C : p = \frac{21}{8}q+21 \text{ y } I : p = \frac{105}{4}q
  2. C : p = \frac{7}{3}q+43 \text{ y } I : p = \frac{128}{9}q
  3. C : p = \frac{23}{9}q+51 \text{ y } I : p = \frac{74}{3}q
  4. C : p = 5q+78 \text{ y } I : p = 62q
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Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Ley de demanda y oferta

Anthonny Arias García1 comentario
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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras.

Considerando la ecuación de demanda l_d y la ecuación de oferta l_o, calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes. Grafique ambas rectas, señalando el punto de equilibrio y las áreas que representan los excedentes.

  1. l_{o} : p = \frac{137}{11}q+58 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{193}{11}q+232. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 8 Ps. por unidad.
  2. l_{o} : p = \frac{28}{11}q+64 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{169}{11}q+192. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 10 Ps. por unidad.
  3. l_{o} : p = 17q+36 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{1}{2}q+72. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 2 Ps. por unidad.
  4. l_{o} : p = 71q+80 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{229}{4}q+320. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 8 Ps. por unidad.
  1. l_{o} : p = \frac{57}{2}q+17 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{7}{2}q+68. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 4 Ps. por unidad.
  2. l_{o} : p = \frac{167}{8}q+64 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{179}{8}q+256. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 1 Ps. por unidad.
  3. l_{o} : p = \frac{46}{11}q+82 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{296}{11}q+328. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 5 Ps. por unidad.
  4. l_{o} : p = \frac{26}{9}q+12 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{17}{9}q+36. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 7 Ps. por unidad.
  1. l_{o} : p = \frac{88}{7}q+60 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{226}{7}q+300. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 4 Ps. por unidad.
  2. l_{o} : p = 37q+48 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{53}{11}q+144. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 8 Ps. por unidad.
  3. l_{o} : p = \frac{107}{9}q+69 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{119}{9}q+207. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 5 Ps. por unidad.
  4. l_{o} : p = \frac{227}{4}q+49 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{29}{4}q+98. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 7 Ps. por unidad.
  1. l_{o} : p = \frac{247}{3}q+33 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{29}{3}q+99. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 4 Ps. por unidad.
  2. l_{o} : p = \frac{141}{7}q+33 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{45}{7}q+132. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 4 Ps. por unidad.
  3. l_{o} : p = \frac{134}{9}q+91 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{76}{3}q+273. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha otorgado un subsidio de 2 Ps. por unidad.
  4. l_{o} : p = \frac{25}{3}q+15 \text{ y } l_{d} : p = -\frac{35}{3}q+45. Calcule el punto de equilibrio de este mercado una vez que se ha fijado un impuesto de 1 Ps. por unidad.
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Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – El punto de intersección entre dos rectas

Anthonny Arias García1 comentario
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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras.

Determine si las rectas l_{i} y l_{i+1} son paralelas o no, en caso de que se corten determine si son perpendiculares y calcule el punto de intersección entre ellas; además, dibuje una representación gráfica de ambas rectas en el plano cartesiano, indicado el punto de intersección.

  1. l_{1} :y = 8 - x \text{ y } l_{2} :y = \frac{1}{2} x - 2
  2. l_{3} :y = 8x + 10 \text{ y } l_{4} :y = 8 x - 8
  3. l_{5} :y = -7 x + 9 \text{ y } l_{6} :y = \frac{1}{7} x - 6
  4. l_{7} :y = - 7 x - 9 \text{ y } l_{8} :y = 4 - 6 x
  1. l_{9} :y = - 10 x - 6 \text{ y } l_{10} :y = \frac{1}{2} x - 6
  2. l_{11} :y = 4 x - 4 \text{ y } l_{12} :y = 9 x + 1
  3. l_{13} :y = - 9 x - 9 \text{ y } l_{14} :y = -\frac{1}{7} x - 9
  4. l_{15} :y = 8 - 3 x \text{ y } l_{16} :y = 4 x - 2
  1. l_{17} :y = 5 x - 7 \text{ y } l_{18} :y = \frac{1}{2} x - 3
  2. l_{19} :y = 3 x + 1 \text{ y } l_{20} :y = 4 x + 1
  3. l_{21} :y = 8 x - 2 \text{ y } l_{22} :y = -\frac{1}{4} x + 5
  4. l_{23} :y = x + 6 \text{ y } l_{24} :y = 10 x + 8
  1. l_{25} :y = 8 x - 2 \text{ y } l_{26} :y = -\frac{1}{9} x + 9
  2. l_{27} :y = - 6 x - 2 \text{ y } l_{28} :y = 2 - 9 x
  3. l_{29} :y = 7 x + 4 \text{ y } l_{30} :y = -\frac{1}{7} x - 8
  4. l_{31} :y = 2 x - 10 \text{ y } l_{32} :y = 9 x + 4
  1. l_{33} :y = 9 x + 1 \text{ y } l_{34} :y = -\frac{1}{7} x + 6
  2. l_{35} :y = 9 x + 1 \text{ y } l_{36} :y = - 6 x - 8
  3. l_{37} :y = 2 - 2 x \text{ y } l_{38} :y = - x - 5
  4. l_{39} :y = 8 x + 4 \text{ y } l_{40} :y = 10 - 3 x
  1. l_{41} :y = 7 - 4 x \text{ y } l_{42} :y = -\frac{1}{3} x + 8
  2. l_{43} :y = 5 - 10 x \text{ y } l_{44} :y = x + 4
  3. l_{45} :y = -4 x + 2 \text{ y } l_{46} :y = \frac{1}{4} x + 4
  4. l_{47} :y = - 2 x - 8 \text{ y } l_{48} :y = 2 - 8 x
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Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Ecuación de la Recta

Anthonny Arias García1 comentario
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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras.

Ecuación Punto-Pendiente

Calcule la ecuación general de la recta l que pasa por el punto indicado P_i y tiene pendiente m; además, dibuje una representación gráfica de la misma en el plano cartesiano.

  1. P_{1}=\left(4,-2\right); \ m = \frac{7}{8}
  2. P_{2}=\left(1,7\right); \ m = 6
  3. P_{3}=\left(-6,4\right); \ m = \frac{5}{4}
  4. P_{4}=\left(-8,3\right); \ m = -9
  1. P_{5}=\left(-2,5\right); \ m = -1
  2. P_{6}=\left(7,-4\right); \ m = 6
  3. P_{7}=\left(-6,7\right); \ m = \frac{2}{3}
  4. P_{8}=\left(10,-4\right); \ m = 6
  1. P_{9}=\left(-2,-5\right); \ m = 1
  2. P_{10}=\left(-7,-3\right); \ m = 6
  3. P_{11}=\left(5,-4\right); \ m = 1
  4. P_{12}=\left(4,-4\right); \ m = 7
  1. P_{13}=\left(-5,-8\right); \ m = \frac{1}{2}
  2. P_{14}=\left(-9,8\right); \ m = -2
  3. P_{15}=\left(-5,-6\right); \ m = \frac{3}{2}
  4. P_{16}=\left(-3,3\right); \ m = 9
  1. P_{17}=\left(-4,6\right); \ m = 4
  2. P_{18}=\left(5,9\right); \ m = 2
  3. P_{19}=\left(-10,-9\right); \ m = -5
  4. P_{20}=\left(-4,5\right); \ m = 4

Ecuación Punto-Punto

Calcule la ecuación general de la recta l que pasa por los puntos indicados P_i y P_{i+1}; además, dibuje una representación gráfica de la misma en el plano cartesiano.

  1. P_{1}=\left(-7,8\right) \text{ y } P_{2}=\left(9,8\right)
  2. P_{3}=\left(-8,8\right) \text{ y } P_{4}=\left(-2,6\right)
  3. P_{5}=\left(8,-5\right) \text{ y } P_{6}=\left(7,-3\right)
  4. P_{7}=\left(3,-4\right) \text{ y } P_{8}=\left(-6,-4\right)
  1. P_{9}=\left(-9,6\right) \text{ y } P_{10}=\left(-5,-1\right)
  2. P_{11}=\left(-2,-2\right) \text{ y } P_{12}=\left(-5,1\right)
  3. P_{13}=\left(2,7\right) \text{ y } P_{14}=\left(3,9\right)
  4. P_{15}=\left(10,-2\right) \text{ y } P_{16}=\left(-10,-4\right)
  1. P_{17}=\left(-4,-3\right) \text{ y } P_{18}=\left(-4,-3\right)
  2. P_{19}=\left(5,-4\right) \text{ y } P_{20}=\left(-10,8\right)
  3. P_{21}=\left(7,-6\right) \text{ y } P_{22}=\left(-1,6\right)
  4. P_{23}=\left(6,-2\right) \text{ y } P_{24}=\left(-8,8\right)
  1. P_{25}=\left(-8,-10\right) \text{ y } P_{26}=\left(7,7\right)
  2. P_{27}=\left(9,8\right) \text{ y } P_{28}=\left(3,7\right)
  3. P_{29}=\left(-3,-1\right) \text{ y } P_{30}=\left(-2,9\right)
  4. P_{31}=\left(-6,9\right) \text{ y } P_{32}=\left(4,-8\right)
  1. P_{33}=\left(10,-8\right) \text{ y } P_{34}=\left(8,-8\right)
  2. P_{35}=\left(3,-7\right) \text{ y } P_{36}=\left(7,-4\right)
  3. P_{37}=\left(-8,-5\right) \text{ y } P_{38}=\left(-1,-10\right)
  4. P_{39}=\left(-6,5\right) \text{ y } P_{40}=\left(-6,-3\right)
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Análisis de Equilibrio de la Utilidad

Anthonny Arias GarcíaDeja un comentario

Suponga que usted inició un negocio fabricando y vendiendo tapabocas. Habiendo estudiando los costos y los ingresos generados, ¿qué tanto ha valido la pena este negocio? Es decir, una vez que ha hecho una inversión, ¿ha generado dinero adicional o tiene menos dinero del que tenía antes de iniciar el negocio?

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Una vez que se ha vendido una unidad de un artículo, debemos estudiar la cantidad de dinero que se ha ganado una vez que hemos descontado los costos de producción, a esta ganancia se le conoce como utilidad y de forma general, la ganancia generada por la producción y venta de todas las unidades de un artículo se conoce como utilidad total, esta se calcula restando los costos totales de los ingresos totales. Formalmente, si identificamos los ingresos totales con la variable I, los costos totales con la variable C y la utilidad total con la variable I, entonces podemos definir la siguiente ecuación:

U = I - C

A partir de la Ley de Tricotomía de los números reales, podemos estudiando esta ecuación para analizar el equilibrio entre los ingresos y los costos estableciendo tres casos:

  • Si U < 0, esto quiere decir que los costos totales de producción exceden los ingresos totales obtenidos por las ventas, en este caso decimos que existe una pérdida.
  • Si U > 0, esto quiere decir que los ingresos totales obtenidos por las ventas exceden los costos totales de producción, en este caso decimos que existe una ganancia, aunque también podemos decir que existe una utilidad.
  • Si U = 0, esto quiere decir que los ingresos totales obtenidos por las ventas son iguales a los costos totales de producción, en este caso decimos que existe un equilibrio.

Si consideramos el plano cartesiano, ubicando la cantidad de unidades del artículo (q) en el eje horizontal y la cantidad de dinero (p) en el eje vertical; establecemos una interpretación gráfica de estos casos señalando que existe una pérdida cuando la curva de costos está por encima de la curva de ingresos, existe una ganancia cuando la curva de ingresos están por encima de la curva de costos y particularmente al punto donde ambas curvas se cortan, lo llamamos punto de equilibrio de la utilidad.

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El área roja representa la región de pérdida, es decir, cuando la utilidad es negativa y el área azul representa la región de ganancia, es decir, cuando la utilidad es positiva.

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo analizar el equilibrio de las utilidades calculando el punto de equilibrio una vez que ya contamos con las ecuaciones lineales de costos totales e ingresos totales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la ecuación lineal de costos totales p = \frac{3}{10}q +40 y la ecuación lineal de ingresos totales p = \frac{6}{5}q, calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

\frac{3}{10}q +40 = \frac{6}{5}q
\Rightarrow \ \frac{3}{10}q -\frac{6}{5}q = 0-40
\Rightarrow \ -\frac{9}{10}q = -40
\Rightarrow \ q = \frac{400}{9}

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=\frac{400}{9} en la ecuación de demanda.

p = \ \frac{3}{10} \cdot \left( \frac{400}{9} \right) + 40
= \ \frac{40}{3} + 40
= \ \frac{160}{3}

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es \left( \frac{400}{9} , \frac{160}{3} \right). Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

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Ejemplo 2

Considerando la ecuación lineal de costos totales p = 6q +60 y la ecuación lineal de ingresos totales p = 11q, calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

6q +60 = 11q+0
\Rightarrow \ 6q -11q = 0-60
\Rightarrow \ -5q = -60
\Rightarrow \ q = 12

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=12 en la ecuación de demanda.

p = \ 6 \cdot \left( 12 \right) + 60
= \ 72 + 60
= \ 132

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es \left( 12 , 132 \right). Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

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Ejemplo 3

Considerando la ecuación lineal de costos totales p = 20q +50 y la ecuación lineal de ingresos totales p = 26q, calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

20q +50 = 26q
\Rightarrow \ 20q -26q = 0-50
\Rightarrow \ -6q = -50
\Rightarrow \ q = \frac{25}{3}

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=\frac{25}{3} en la ecuación de demanda.

p = \ 20 \cdot \left( \frac{25}{3} \right) + 50
= \ \frac{500}{3} + 50
= \ \frac{650}{3}

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es \left( \frac{25}{3} , \frac{650}{3} \right). Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

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