1. ¿Cuál es la «naturaleza» de los números naturales?
2. Operaciones entre números naturales
   1. La suma de números naturales
   2. El producto entre números naturales
3. Conjunto cerrado respecto a una operación
   1. La resta de números naturales
   2. La división entre números naturales

¿Cuál es la «naturaleza» de los números naturales?

Los números naturales son aquellos que aprendemos de forma natural contando los dedos de nuestras manos, caramelos, platos en una mesa, pelotas en una caja, billetes, etc; es decir, todos los números que podamos usar para representar una cantidad de objetos.

Empezando por el 1, definimos cada uno de los siguientes términos como el anterior, sumándole 1. Denotaremos el conjunto de los números naturales con con el símbolo y lo definiremos extensivamente de la siguiente manera:

Este conjunto continúa de manera indefinida sumando siempre 1 al número anterior, es por eso que usamos tres puntos suspensivos al definirlo de forma extensiva. También será posible representar este conjunto gráficamente, disponiendo cada elemento de forma ordenada en una recta, así

Operaciones entre números naturales

La suma de números naturales

Es posible definir operaciones entre números naturales, de forma intuitiva, un número natural representa una cantidad de objetos, entonces usaremos la suma para representar la cantidad de total de objetos que tendríamos al juntar distintos grupos de objetos. Por ejemplo, si se tiene una bolsa con tres objetos y otra bolsa con nueve objetos; y se guarda el contenido de ambas en una caja, se tendrá un total de doce objetos en la caja.

En general si se tienen dos números naturales, se pueden sumar y obtener otro número natural. La suma se denotará con el signo «+» y se lee más. Además, podemos establecer una relación entre la suma de dos números naturales y otro número natural a través de una igualdad usando el signo «=» que se lee igual que o igual a. Retomando el último ejemplo, podemos decir que

tres más nueve es igual a doce

El producto entre números naturales

Por otra parte si se tiene una cantidad de objetos y esta cantidad se repite un número de veces, entonces el producto (o multiplicación) nos representará la cantidad total de objetos que se obtendrá al agruparlos todos. Por ejemplo, si se tienen tres paquetes de caramelos y cada paquete tiene diez caramelos, en total se tendrán treinta caramelos.

En general si se tienen dos números naturales, se pueden multiplicar y obtener otro número natural. El producto se denotará con el signo » » (en algunos casos se usa ««) y se lee por. A cada uno de los términos involucrados en un producto los llamaremos factores. Retomando el último ejemplo, podemos decir que

tres por diez es igual a treinta

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Conjunto cerrado respecto a una operación

Decimos que un conjunto es cerrado respecto a la suma, si al efectuar la suma entre dos elementos del conjunto, el resultado estará contenido en el conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es cerrado respecto a la suma, pues al sumar dos números naturales, el resultado es un número natural.

Decimos que un conjunto es cerrado respecto al producto, si al efectuar el producto entre dos elementos del conjunto, el resultado estará contenido en el conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es cerrado respecto al producto, pues al multiplicar dos números naturales, el resultado es un número natural.

De forma genera, diremos que un conjunto es cerrado respecto a una operación, si al efectuar dicha operación entre dos elementos del conjunto, el resultado estará contenido en el conjunto.

La resta de números naturales

Un número natural representa una cantidad de objetos, entonces usaremos la resta para representar la cantidad de total de objetos que tendríamos al juntar retirar una cantidad de objetos de un conjunto de objetos. Por ejemplo, si se tiene una bolsa con quince objetos y de esta bolsa se retiran seis objetos; dentro de la bolsa, habrá un total de nueve objetos.

En ocasiones, si se tienen dos números naturales, se pueden restar y obtener otro número natural. La resta se denotará con el signo «-» y se lee menos. Además, podemos establecer una relación entre la resta de dos números naturales y otro número natural a través de una igualdad usando el signo «=» que se lee igual que o igual a. Retomando el último ejemplo, podemos decir que

quince menos seis es igual a nueve

Sin embargo, el conjunto de los números naturales no es cerrado respecto a la resta, pues la resta de dos números naturales no siempre resulta en otro número natural. Por ejemplo, ¿cuál es el resultado de restar siete menos siete? ¿Cuál es el resultado de restar cinco menos veinte?

La división entre números naturales

Un número natural representa una cantidad de objetos, entonces usaremos la división para representar la forma equitativa en que podemos repartir esta cantidad de objetos. Por ejemplo, si se tienen dieciocho objetos y estos se guardan de forma equitativa en tres cajas; dentro de cada caja, habrá un total de seis objetos en cada caja.

En ocasiones, si se tienen dos números naturales, se pueden dividir y obtener otro número natural. La resta se denotará con el signo «÷» y se lee dividido entre. Además, podemos establecer una relación entre la división de dos números naturales y otro número natural a través de una igualdad usando el signo «=» que se lee igual que o igual a. Retomando el último ejemplo, podemos decir que

dieciocho dividido entre seis es igual a tres

Sin embargo, el conjunto de los números naturales no es cerrado respecto a la división, pues la división de dos números naturales no siempre resulta en otro número natural. Por ejemplo, ¿cuál es el resultado de dividir uno menos dos? ¿Cuál es el resultado de restar trece entre cuatro?

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Hemos visto que el conjunto de los números naturales no es cerrado respecto a la resta ni a la división, entonces, es necesario definir un nuevo conjunto que sea cerrado respecto a la resta.

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