Operaciones entre polinomios

16.01.202107.12.2022 Anthonny Arias García2 comentarios

Podemos definir las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre polinomios como una generalización de las operaciones que hemos definido entre los números reales.

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Suma de polinomios

Para sumar o restar polinomios, recurrimos a la propiedad asociativa de los números reales, pues agrupamos los sumandos que tengan la misma potencia de $x$ como factor, de forma que si consideramos dos polinomios $P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0$ y $Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0$ , donde el grado de $P(x)$ es mayor que el grado de $Q(x)$ , es decir, $m \geq n$ ; definimos la suma $P(x)+Q(x)$ de la siguiente forma:

De igual forma, definimos la resta $P(x)-Q(x)$ de la siguiente forma:

Notando que si el grado de $P(x)$ es estrictamente mayor que el grado de $Q(x)$ , entonces completamos el polinomio $Q(x)$ con coeficientes ceros, es decir, $b_i = 0$ para todo $i > n$ .

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la suma de polinomios.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando los polinomios $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ y $Q(x) = 7x + 1$ , calcule la suma $P(x) + Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) + Q(x) = 3 x^2 + 2x + 3$ .

Ejemplo 2

Considerando los polinomios $P(x) = 4x^6 + x^4 - 2x^2 + 9x + 12$ y $Q(x) = 3x^6 - 8x^5 + 4x^4 + x - 3$ , calcule la suma $P(x) + Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) + Q(x) = 7x^6 + 8x^5 - 5x^4 - 2x^2 + 10x + 15$ .

Ejemplo 3

Considerando los polinomios $P(x) = 6x^3 + 7x^2 - 4$ y $Q(x) = 2x + 3$ , calcule la resta $P(x) - Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) - Q(x) = 6x^3 + 7x^2 - 2x - 7$ .

Ejemplo 4

Considerando los polinomios $P(x) = -12x^6 + 3x^5 + 3x^4 - x^2 + 8x + 5$ y $Q(x) = x^6 + 5x^5 + 2x^4 - 4x^3 - 10x^2 - x$ , calcule la resta $P(x) - Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) - Q(x) = 11x^6 - 2x^5 + x^4 + 4x^3 + 9x^2 + 9x + 5$ .

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Producto de polinomios

Para multiplicar polinomios, recurrimos a la propiedad distributiva de los números reales, de forma que si consideramos dos polinomios $P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0$ y $Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0$ , podemos definir el producto de estos dos polinomios distribuyendo los productos de la siguiente forma

Producto o Multiplicación de Polinomios | totumat.com

Una vez que se ha expandido este producto, lo podemos expresar como una sumatoria de la siguiente manera:

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_i b_j x^{i+j}$

Este procedimiento pudiera resultar extenso y la notación del caso general pareciera engorrosa, sin embargo, efectuar el producto de polinomios no es más que la aplicación de la propiedad distributiva para los números reales y la posterior aplicación de las propiedades de las potencias para sumar los exponentes.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular algunos productos entre polinomios.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando los polinomios $P(x) = 4 x + 3$ y $Q(x) = - 10 x - 4$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( 4 x + 3 \right) \cdot \left( - 10 x - 4 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$- 40 x^{2} - 46 x - 12$

Ejemplo 6

Considerando los polinomios $P(x) = 6 x^{2} - 8 x + 2$ y $Q(x) = x^{2} + 5 x + 6$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( 6 x^{2} - 8 x + 2 \right) \cdot \left( x^{2} + 5 x + 6 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$6 x^{4} + 22 x^{3} - 2 x^{2} - 38 x + 12$

Ejemplo 7

Considerando los polinomios $P(x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ y $Q(x) = - 9 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 7$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( 3 x^{2} - 6 x + 6 \right) \cdot \left( - 9 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 7 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$- 27 x^{5} + 39 x^{4} - 12 x^{3} - 33 x^{2} - 18 x + 42$

Ejemplo 9

Considerando los polinomios $P(x) = - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 2$ y $Q(x) = 9 x^{2} - x + 4$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 2 \right) \cdot \left( 9 x^{2} - x + 4 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$- 36 x^{5} + 13 x^{4} - 35 x^{3} + 24 x^{2} - 10 x + 8$

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División de polinomios

Para definir la división entre polinomios, debemos hacer algunas observaciones sobre división entre números reales pues considerando $p$ y $q$ dos números enteros, al dividir $p$ entre $q$ , buscamos un número tal que al multiplicarlo por $q$ el resultado sea exactamente $p$ , es decir, un número entero $c$ tal que

$p = c \cdot q$

En este caso, decimos que la división es exacta. Sin embargo, si no podemos encontrar este número, buscamos un número tal que al multiplicarlo por $q$ , el resultado sea mayor de los enteros menores que $p$ , es decir, un número entero $c$ tal que

$p = c \cdot q + r$

Donde $0 < r < a$ . Esta propiedad se conoce como el algoritmo de la división. Al número $r$ lo llamaremos el resto de la división y se puede calcular como $r = p - c \cdot q$ . Además notemos que si la división es exacta, entonces el resto de la división es igual a cero, es decir, $r=0$ . Veamos en los siguientes ejemplos como expresar algunas divisiones usando el algoritmo de la división.

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Ejemplos

Ejemplo 9

Si dividimos $8$ entre $4$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $4$ el resultado sea o que está cerca de $8$ , particularmente el número que estamos buscando es $2$ pues $2 \cdot 4 = 8$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $8 - 8 = 0$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

División de Números Enteros | totumat.com

Por lo tanto decimos que $8 = 2 \cdot 4 + 0$ . En este caso el resto es igual a cero, por lo tanto, decimos que la división es exacta.

Ejemplo 10

Si dividimos $13$ entre $5$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $5$ el resultado sea o que está cerca de $13$ , particularmente el número que estamos buscando es $2$ pues $2 \cdot 5 = 10$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $13 - 10 = 3$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Por lo tanto decimos que $13 = 2 \cdot 5 + 3$ . En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejemplo 11

Si dividimos $21$ entre $4$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $4$ el resultado sea o que está cerca de $21$ , particularmente el número que estamos buscando es $5$ pues $5 \cdot 4 = 20$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $21 - 20 = 1$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Por lo tanto decimos que $21 = 5 \cdot 4 + 1$ . En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejemplo 12

Si dividimos $21$ entre $7$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $7$ el resultado sea o que está cerca de $21$ , particularmente el número que estamos buscando es $3$ pues $3 \cdot 7 = 21$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $21 - 21 = 1$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Por lo tanto decimos que $21 = 3 \cdot 7 + 0$ . En este caso el resto es igual a cero, por lo tanto, decimos que la división es exacta.

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El algoritmo de la división se puede generalizar al operar entre polinomios. De modo que si consideramos $P(x)$ y $Q(x)$ dos polinomios tales que el grado de $Q(x)$ es menor o igual que el grado de $P(x)$ , al dividir $P(x)$ entre $Q(x)$ , buscamos un polinomio tal que al multiplicarlo por $Q(x)$ el resultado sea exactamente $P(x)$ , es decir, un polinomio $C(x)$ tal que

$P(x) = C(x) \cdot Q(x)$

En este caso, decimos que la división es exacta. Sin embargo, si no podemos encontrar este polinomio, buscamos un polinomio tal que al multiplicarlo por $Q(x)$ el polinomio resultante tenga el mismo grado que $P(x)$ y que el grado del polinomio que define el resto sea menor que el grado de $Q(x)$ , es decir, un polinomio $C(x)$ tal que

$P(x) = C(x) \cdot Q(x) + R(x)$

Donde $gr\left( R(x) \right) < gr\left( Q(x) \right) \leq gr\left( P(x) \right)$ . Además notemos que si la división es exacta, entonces el resto de la división es igual a cero, es decir, $R(x) = 0$ . Veamos en los siguientes ejemplos el método para dividir polinomios y además, como expresar estas divisiones usando el algoritmo de la división.

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Ejemplos

Ejemplo 13

Si dividimos el polinomio $P(x) = x^2 + x + 3$ entre el polinomio $Q(x) = x + 1$ , entonces los escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio $Q(x) = x + 1$ el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio $P(x) = x^2 + x + 3$ , en este caso el polinomio que estamos buscando es $x$ y lo escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será multiplicar el polinomio $Q(x) = x + 1$ por $x$ y el resultado se lo restamos al polinomio $P(x) = x^2 + x + 3$ de la siguiente forma

Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio $Q(x)$ , Por lo tanto, concluimos que

$x^2 + x + 3 = x \cdot (x+1) + 3$

Ejemplo 14

Si dividimos el polinomio $P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2$ entre el polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ , entonces completamos los polinomios incompletos y los escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio $P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2$ , en este caso el polinomio que estamos buscando es $4x$ y lo escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será multiplicar el polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ por $x$ y el resultado se lo restamos al polinomio $P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2$ de la siguiente forma

Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio $Q(x)$ , por lo tanto, el siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio en el resto, de decir, el polinomio $-10x^2 + 4x$ .

En este caso el polinomio que estamos buscando es $-5$ y lo multiplicamos por el polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ ; el resultado se lo restamos al polinomio $-10x^2 + 4x$ de la siguiente forma

Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio $Q(x)$ , Por lo tanto, concluimos que

$8x^3 - 6x^2 - 2 = (4x-5) \cdot (2x^2 + x - 1) + 9x-7$

Axiomas Algebraicos de los Números Reales

04.11.201913.12.2022 Anthonny Arias García8 comentarios

Entre los números reales podemos hacer todas las operaciones que ya hemos aprendido al definir los números naturales, enteros y racionales, estas operaciones son: suma, resta, multiplicación y división. Pero, al presentarse los números reales como un contexto más general, es necesario formalizar la forma en que podemos efectuar estas operaciones.

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Los Axiomas Algebraicos de los Números Reales usualmente se conocen como propiedades de los números reales y para enunciarlos, consideremos $a$ , $b$ y $c$ números reales.

Axiomas para la suma

El conjunto de los números reales es cerrado bajo la suma: $a+b$ es un número real.
Propiedad conmutativa: $a + b = b + a$
Propiedad asociativa: $a + (b + c) = (a + b)+c$
Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que $a + 0 = 0 + a = a$
Opuesto aditivo: Para todo número real a, existe un número real -a tal que al sumarlos, obtenemos como resultado el número 0, es decir, $a + (-a) = (-a) + a = 0$

Veamos ahora que existe cierta dualidad entre la suma y el producto, pues hay propiedades parecidas pero en el contexto del producto como se presentan a continuación:

Axiomas para el producto

El conjunto de los números reales es cerrado bajo el producto: $a \cdot b$ es un número real.
Propiedad conmutativa: $a \cdot b = b \cdot a$
Propiedad asociativa: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$
Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos uno denotado por 1, tal que $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$
Inverso multiplicativo: Para todo número real $a \neq 0$ , existe un número real $a^{-1}$ tal que al multiplicarlos, obtenemos como resultado el número 1, es decir, $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1$
Elemento nulo: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$

Finalmente, veamos una propiedad que involucra la suma y la multiplicación al mismo tiempo.

Propiedad Distributiva

$a \cdot (a + b) = a \cdot b + a \cdot c$

Si consideramos esta igualdad en un sentido, distribuimos un producto en una suma pero en el sentido contrario haremos algo que se conoce como como sacar factor común.

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Axiomas de Orden

Existen otros axiomas que cohesionan con mayor fuerza el conjunto de los números reales, particularmente, Ley de Tricotomía define una parte de los Axiomas de Orden de los números reales estableciendo una relación entre dos números reales. Formalmente, si $a$ y $b$ son números reales, entonces se cumple sólo una de las siguientes:

1.- a es igual a b, es decir, $a = b$ . Gráficamente tenemos que a y b se encuentran en el mismo punto de la recta real.

a es igual a b

2.- a es menor que b, es decir, $a < b$ . Gráficamente tenemos que a se encuentra a la izquierda de b de la recta real.

a es menor que b

3.- a es mayor que b, es decir, $a > b$ . Gráficamente tenemos que a se encuentra a la derecha de b de la recta real.

a es mayor que b

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Números positivos y números negativos

Las relaciones entre cualquier número real y el número cero son muy particulares, pues el cero de cierta forma parte la recta real en dos partes, a una parte la llamaremos el Conjunto de los Reales Positivos y a la otra parte la llamaremos El Conjunto de los Reales Negativos. Entonces si $a$ es un número real, tendremos que:

Si $a > 0$ , diremos que $a$ es un número positivo.
Si $a < 0$ , diremos que $a$ es un número negativo.

Gráficamente, diremos que los números positivos están a la derecha del cero y los números negativos están a la izquierda del cero. Entonces, al trazar la recta real, siempre indicaremos con una flecha el sentido en el que se encuentran los números positivos.

Números Reales

03.11.201915.12.2022 Anthonny Arias García5 comentarios

¿Qué es la raíz cuadrada de 2?

Empecemos considerando un triángulo rectángulo, es decir, un triángulo que tiene un ángulo recto (90°). Decimos que sus catetos son los lados adyacentes a este ángulo y la hipotenusa será el lado opuesto a dicho ángulo. Entonces, si un cateto mide $a$ , el otro cateto mide $b$ y la hipotenusa mide $c$ ; podemos dibujar un triángulo rectángulo de la siguiente forma:

Triángulo Rectángulo | totumat.com — Triángulo Rectángulo

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El Teorema de Pitágoras establece que si usted tiene un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa será igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir,

$c^2 = a^2 + b^2$

Con este resultado podemos decir que si tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4, entonces $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ . Si la hipotenusa es c, tendremos que $c^2=25$ . Es decir, la hipotenusa será un número tal que multiplicado por él mismo nos da 25 como resultado, ya que $5^2=5\cdot 5 = 25$ , concluimos que la hipotenusa de este triángulo mide 5.

De igual forma si tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 12, la hipotenusa medirá 13. Si los catetos miden 8 y 6, la hipotenusa medirá 10. Notemos que estos casos la medida de la hipotenusa es un número entero, sin embargo, este no es un caso general.

Supongamos que los catetos de un triángulo rectángulo miden 1 cada uno. Tendremos que $1^2 + 1^2 = 1+1=2$ . Entonces $c^2=2$ , ¿puede usted pensar en un número racional tal que al multiplicarlo por sí mismo nos dé 2 como resultado? ¿Será 1? ¿Será 2? ¿Qué tal 1,5? La respuesta es que no hay un número racional tal que multiplicado por sí mismo nos dé 2 como resultado.

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Esta situación la solucionamos definiendo un nuevo número que no es natural, no es entero y tampoco es racional. Lo denotaremos con $\sqrt{2}$ y diremos que éste satisface la condición $c^2=2$ , es decir, $(\sqrt{2})^2=2$ .

$\sqrt{2}$

Hay una gran cantidad de situaciones en las que tendremos que definir nuevos números como $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{13}, \sqrt{3453}, \sqrt{\frac{6}{19}}$ , etc. El símbolo $\sqrt{ \ \ }$ se llama raíz cuadrada, y así como se han presentado estos números, se presentarán otras ocasiones en los que debemos definir nuevos números como por ejemplo $\pi$ , $\phi$ ó $\epsilon$ .

Todos estos números a diferencia de los números racionales tendrán una extensión decimal infinita no periódica, es decir, su extensión decimal nunca se repite. Por ejemplo, con técnicas computarizadas se han logrado calcular hasta la fecha 31 4159 2653 5897 dígitos del número $\pi$ . Estos son los primeros 160 publicados en pi day:

3.1415 9265 3589 7932 3846 2643 3832 7950 2884 1971 6939 9375 1058 2097 4944 5923 0781 6406 2862 0899 862 8034 8253 4211 7067 98214 8086 5132 8230 6647 0938 4460 9550 5822 3172 5359 4081 2848 1117 45…

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Definiremos un nuevo conjunto que alberga todos estos números y justamente por su característica de no ser racionales, lo llamaremos el conjunto de los Números Irracionales. Lo denotaremos con el símbolo $\mathbb{I}$ .

Considerando todos los conjuntos que hemos definido anteriormente, como los números naturales, enteros y racionales, definiremos un nuevo conjunto que alberga a todos los números racionales y todos los números irracionales, lo llamaremos el conjunto de los Números Reales y lo denotaremos por $\mathbb{R}$ , formalmente tendremos que

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

De esta forma nos podemos dar cuenta que el conjunto de los Números Racionales es un subconjunto del conjunto de los Números Reales, más aún, tendremos una cadena de contenciones de la siguiente forma:

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Es importante notar que a medida que definimos nuevos conjuntos, llenamos los «huecos» que hay entre los elementos de los conjuntos. Se asemeja a una historia de un autor anónimo que frecuentemente se encuentra en internet:

Anónimo…
Un profesor de filosofía llegó al salón de clases con su termo de café caliente como de costumbre, pero esta vez traía consigo una gran jarra y varios objetos. Sin mediar palabra el profesor llenó la jarra con pelotas de golf y preguntó a sus alumnos si la jarra estaba llena. Ellos asintieron con confusión por la obviedad de la pregunta.

Entonces el profesor tomó una caja de canicas y las vertió también dentro de la jarra; agitó con cuidado la jarra. Las canicas rodaron en las áreas abiertas que había entre las pelotas de golf. De nuevo les preguntó a sus estudiantes si la jarra estaba llena. Por segunda vez, todos estuvieron de acuerdo.

Después, el profesor tomó una caja de arena y la vertió en la jarra. Como ya podrán imaginarse, la arena se deslizó por todos los huecos que aún quedaban. El les preguntó una vez más si la jarra estaba llena. Los estudiantes respondieron al unísono «¡SÍII!».

Con mucha tranquilidad el profesor tomó su termo de café y lo vertió completamente en la jarra llenando efectivamente el espacio entre la arena. Los estudiantes rieron.

La historia generalmente viene acompañada con algunas frases de autoayuda o reflexiones sobre la vida pero eso no nos interesa, lo importante es notar que al representar el conjunto de los números reales de forma gráfica obtendremos una pasta cohesionada de números sin espacios entre ellos, que representaremos con una recta centrada en el cero de la siguiente forma:

A esta recta la llamaremos Recta Real y en ella representaremos todos los números que hemos conocido hasta ahora.

– ¡Amor! 2 ha llegado de la guerra pero se ha vuelto irracional.
– ¡¿Qué?! ¡No 2! Él siempre ha sido… ¡Oh, dios!
– ¡Se ha radicalizado!

Conjuntos Numéricos: Naturales, Enteros, Racionales y Reales | totumat.com

Los Números Racionales y sus operaciones

02.11.201913.12.2022 Anthonny Arias García17 comentarios

Los números racionales y la división

Suponga que usted tiene cuatro panes y desea repartirlos a dos niños de forma equitativa, usted le da dos panes a cada niño. Ahora, suponga que tiene dos panes y desea repartirlos entre cuatro niños de modo que todos queden contentos, lo más sensato es partir cada pan por la mitad y darle una mitad a cada niño, muy bien pero, ¿cómo representa esta situación con números?

Esta situación es representada con la división de números y se representa matemáticamente usando la siguiente notación:

$2 \div 4$

Esto se lee «dos dividido entre cuatro» e indica la repartición de dos objetos en cuatro partes iguales.

Existen distintos métodos para calcular divisiones, uno de ellos es el método de división larga. En todo caso, ya sea que hagamos el desarrollo de la operación a mano o que usemos una calculadora, el resultado que obtenemos al efectuar la división $2 \div 4$ es $0,5$ .

Por otra parte, si usted tiene una torta y quiere repartirla entre dos niños, le da la mitad a cada uno. Esto lo representamos con la división $1 \div 2$ cuyo resultado es $0,5$ .

En otra situación, suponga que tiene siete litros de agua y quiere verterlos equitativamente entre catorce recipientes, en este caso debe llenar cada uno de los recipientes con medio litro de agua, esto lo representamos con la división $7 \div 14$ cuyo resultado es $0,5$ .

Notemos que se nos pueden presentar varias situaciones en el que obtenemos el valor $0,5$ , es decir, podemos pensar en varias combinaciones de números cuya división nos dé como resultado $0,5$ . Pero, ¿qué significa $0,5$ ?

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¿Qué son los números racionales?

Definiremos los Números Racionales para expresar todas las divisiones posibles. Para cualquier par de números enteros a y b (con b $\neq$ 0), definiremos un nuevo número de la forma $\frac{a}{b}$ que representa el resultado de la división $a \div b$ . Entonces el conjunto de los números racionales lo denotaremos por $\mathbb{Q}$ y estará definido de la siguiente manera:

$\displaystyle \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} : a,b \in \mathbb{Z}; \, b\neq 0 \right\}$

Estos números representarán todas las divisiones posibles entre dos números enteros. Particularmente podemos considerar las divisiones de la forma $a \div 1$ para notar que $3 \div 1 = 3$ , $10 \div 1 = 10$ , $-2 \div 1 = -2$ , $45 \div 1 = 45$ . En general si $a \in \mathbb{Z}$ entonces $a \div 1 = a$ . Esto nos indica que todo número entero se puede representar como la división entre dos números enteros y por lo tanto el conjunto de los números Enteros es un subconjunto del conjunto de los números Racionales, es decir,

$\displaystyle \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$

Todos estos números tendrán una particularidad y es que siempre representarán un número con una extensión decimal finita como por ejemplo $\frac{1}{2} = 0,5$ o representarán números con extensión decimal infinita periódica, es decir, que se repite indefinidamente, como por ejemplo $\frac{1}{3} = 0,333333\ldots$

Será posible representar gráficamente algunos elementos de este conjunto, sin embargo, no podremos representarlos todos porque este trabajo sería imposible. Hay que destacar que los números racionales llenan los espacios que encontramos entre cada par de números enteros.

Representación gráfica de algunos números racionales | totumat.com — Representación gráfica de algunos números racionales

Es importante destacar algunas divisiones particulares y para esto consideremos dos números enteros a y b.

$\displaystyle \frac{a}{1} = a$

$\displaystyle \frac{a}{a} = 1, a \neq 0$

$\displaystyle \frac{0}{a} = 0, a \neq 0$

$\displaystyle \frac{a}{0}, \, \text{no est\'a definida}$

Las siguiente divisiones nos indican que así como hay una «Ley de los Signos para la Multiplicación», también hay una Ley de los Signos para la división. Si $a>0$ y $b>0$ , entonces

$\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

$\displaystyle \frac{-a}{\ \ \ b} = -\frac{a}{b}$

$\displaystyle \frac{\ \ \ a}{-b} = -\frac{a}{b}$

$\displaystyle \frac{-a}{-b} = \ \ \ \frac{a}{b}$

La expresión $\frac{a}{b}$ también se conoce como Fracción.

Habiendo definido los Números Racionales como el conjunto que alberga todas las divisiones posibles entre números enteros, dentro de este conjunto, podemos definir operaciones básicas. Para formalizar, consideremos $a$ , $b$ , $c$ y $d$ números enteros con $b$ y $d$ $\neq 0$ , entonces por definición $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ son dos números racionales. Las operaciones que podemos definir entre estos números, con las siguientes:

Suma de números racionales

Definiremos la suma entre estos dos números racionales de la siguiente forma:

De forma particular, si dos números racionales comparten el mismo denominador, será posible (a través de una serie de equivalencias) sumar sus numeradores y mantener el mismo denominador para la suma, es decir,

Suma de Fracciones con igual denominador | totumat.com

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Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la suma de $\frac{1}{2}$ más $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 6}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

Ejemplo 2

Efectúe la suma de $\frac{7}{3}$ más $\frac{2}{5}$ .

$\frac{7}{3} + \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 3 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{35 + 6}{15} = \frac{41}{15}$

Ejemplo 3

Efectúe la suma de $1$ más $\frac{4}{9}$ . Para efectuar esta suma debemos notar primero que el número $1$ se puede escribir como la fracción $\frac{1}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{1}{1} + \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{9 + 4}{9} = \frac{13}{9}$

Ejemplo 4

Efectúe la suma de $\frac{3}{11}$ más $6$ . Para efectuar esta suma debemos notar primero que el número $6$ se puede escribir como la fracción $\frac{6}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{3}{11} + \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1 + 11 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{3 + 66}{11} = \frac{69}{11}$

Resta de números racionales

Notemos que la resta se puede definir de la misma forma que la suma usando expresiones equivalentes para $-\frac{c}{d}$ , como $\frac{-c}{d}$ o $\frac{c}{-d}$ . Simplemente debemos tomar en cuenta la ley de los signos al multiplicar números enteros, es decir,

Resta de Fracciones | totumat.com — Resta de fracciones

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Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la resta de $\frac{1}{2}$ menos $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 - 2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 6}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{2}{8}$

Ejemplo 2

Efectúe la resta de $\frac{7}{3}$ menos $\frac{2}{5}$ .

$\frac{7}{3} - \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 - 3 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{35 - 6}{15} = \frac{29}{15}$

Ejemplo 3

Efectúe la resta de $1$ menos $\frac{4}{9}$ . Para efectuar esta resta debemos notar primero que el número $1$ se puede escribir como la fracción $\frac{1}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{1}{1} - \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 - 1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{9 - 4}{9} = \frac{5}{9}$

Ejemplo 4

Efectúe la resta de $\frac{3}{11}$ menos $6$ . Para efectuar esta resta debemos notar primero que el número $6$ se puede escribir como la fracción $\frac{6}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{3}{11} - \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1 - 11 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{3 - 66}{11} = \frac{-63}{11} = -\frac{63}{11}$

Producto entre números racionales

Definiremos el producto entre estos dos números racionales, multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador, de la siguiente forma:

Producto o Multiplicación de Fracciones | totumat.com

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Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la multiplicación de $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}$

Ejemplo 2

Efectúe la multiplicación de $\frac{7}{3}$ por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{14}{15}$

Ejemplo 3

Efectúe la multiplicación de $1$ por $\frac{4}{9}$ . Para efectuar esta multiplicación debemos notar primero que el número $1$ se puede escribir como la fracción $\frac{1}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{4}{9}$

Ejemplo 4

Efectúe la multiplicación de $\frac{3}{11}$ por $6$ . Para efectuar esta multiplicación debemos notar primero que el número $6$ se puede escribir como la fracción $\frac{6}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{3}{11} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{18}{11}$

División entre números racionales

Definimos la división entre estos dos números racionales, reescribiendo esta división nuevamente como una fracción y aplicando lo que en algunos países se conoce como la doble c y en otros se conoce como la ley del sándwich; y es como sigue:

División de Fracciones | totumat.com — División de fracciones

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Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la división de $\frac{1}{2}$ entre $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ejemplo 2

Efectúe la división de $\frac{7}{3}$ entre $\frac{2}{5}$ .

$\frac{7}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{35}{6}$

Ejemplo 3

Efectúe la división de $1$ entre $\frac{4}{9}$ . Para efectuar esta división debemos notar primero que el número $1$ se puede escribir como la fracción $\frac{1}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{1}{1} \div \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 4} = \frac{9}{4}$

Ejemplo 4

Efectúe la división de $\frac{3}{11}$ entre $6$ . Para efectuar esta división debemos notar primero que el número $6$ se puede escribir como la fracción $\frac{6}{1}$ , entonces tenemos que

$\frac{3}{11} \div \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1}{11 \cdot 6} = \frac{3}{66} = \frac{1}{22}$

Esta definición de los números racionales está atada a las Fracciones y las operaciones aquí descritas están desarrolladas de una forma más extensa en los siguientes enlaces:

Los números enteros y sus operaciones

31.10.201911.12.2022 Anthonny Arias García2 comentarios

¿Qué son los números enteros?

Considere el número 4 y el número 7, estos dos son números naturales y por lo tanto ambos representan una cantidad de objetos. Suponga que se tiene una caja con 7 juguetes y se sacan 4 juguetes de ella. La caja quedaría con 3 juguetes. Ahora bien, ¿qué pasaría si se tiene una caja con 4 juguetes y queremos sacar 4 juguetes? ¿O si se quieren sacar 7 juguetes? ¿Puede el resultado de esta situación representarse con un número natural?

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Respondamos la primera pregunta, si se tienen 4 juguetes en una caja y se sacan 4, no queda ningún juguete en la caja. Sin embargo, no conocemos ningún número natural que podamos corresponder con esta situación, así que definiremos un nuevo número llamado cero que denotaremos por $0$ y nos representará ninguna cantidad.

El número cero permite definir una nueva gama de números, de la siguiente forma: Si $a$ es un número natural entonces definimos un nuevo número $-a$ como su opuesto aditivo, que tendrá la siguiente propiedad:

$a + (-a) = (-a) + a = 0$

Nota: Podemos decir, además, que $a$ es el opuesto aditivo de $-a$ .

Sentando base en estos nuevos números podemos definir una nueva operación, si consideramos dos números naturales $a$ y $b$ , entonces al sumar $a$ con el opuesto aditivo de $b$ , la operación $a+(-b)$ se conoce como la resta y la escribimos de la siguiente forma:

$a-b$

Definiremos el conjunto de los Números Enteros como un nuevo conjunto que contiene a todos los números naturales junto con el número $0$ y el opuesto aditivo de cada número natural. Lo denotaremos por $\mathbb{Z}$ y lo expresamos extensivamente así:

$\mathbb{Z} = \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}$

Este conjunto continúa de manera indefinida siguiendo la secuencia de los números naturales $1,2,3,4, \ldots$ y además, siguiendo la secuencia de los opuestos aditivos de los números naturales $-1,-2,-3,-4, \ldots$ , es por eso que usamos tres puntos suspensivos al definirlo de forma extensiva.

También será posible representar este conjunto gráficamente, disponiendo cada elemento de forma ordenada en una recta. Los números naturales se escriben hacia la derecha y sus opuestos aditivos se escriben hacia la izquierda, el cero se escribe el medio de ambos, así

Representación gráfica de los números enteros | totumat.com

Es importante acotar que el conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de los números enteros, es decir,

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$

Operaciones entre Números Enteros

Al efectuar operaciones entre números naturales tales como la suma o el producto, es poco el cuidado que tenemos sobre el signo pues el resultado siempre es positivo. Sin embargo, la resta de números naturales puede presentar algunos problemas, es por esto que hemos definido los números enteros, así que veamos como se efectúan.

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Suma y Resta de Números Enteros

Si consideramos los números enteros 2 y 3, entonces 3+2=5. Sin bien esta operación la podemos hacer en nuestra mente de forma inmediata, para entender de forma general la suma de dos números enteros consideremos la siguiente representación gráfica:

suma de números enteros tres más dos es igual a cinco | totumat.com — tres más dos es igual a cinco

Si sumamos 3+2, lo que en realidad estamos haciendo es trasladándonos dos espacios a la derecha del número 3 para caer en el número 5. Entonces, si así es la suma la pregunta natural que surge es: ¿cómo calculamos la resta?

Si sumamos 2+(-3)=2-3, estamos trasladándonos tres espacios a la izquierda del número 2 para caer en el -1. Consideremos la siguiente representación gráfica:

resta de números enteros dos menos tres es igual a menos uno | totumat.com — dos menos tres es igual a menos uno

De esta forma, podemos establecer una regla informal sobre la suma de números enteros de la siguiente forma:

Signos iguales se suman y se mantiene el signo.
Signos diferentes se restan y dejamos el signo del mayor.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Para efectuar la suma $7 +10$ , ambos números tienen signo positivo, así que los sumamos y mantenemos el signo positivo.

$7 +10 = 17$

Ejemplo 2

Para efectuar la suma $9 + (-3)$ , estos números tienen signos diferentes, así que los restamos y dejamos del signo del mayor, en este caso, $9$ es el mayor, así que dejamos el signo positivo.

$9 + (-3) = 9 - 3 = 6$

Ejemplo 3

Para efectuar la suma $(-20) + 11$ , estos números tienen signos diferentes, así que los restamos y dejamos del signo del mayor, en este caso, $20$ es el mayor, así que dejamos el signo negativo.

$(-20) + 11 = 11 - 20 = -9$

Ejemplo 4

Para efectuar la suma $(-37) + (-23)$ , ambos números tienen signo negativo, así que los sumamos y mantenemos el signo negativo.

$(-37) + (-23) = - 37 - 23 = - 60$

El producto de Enteros y la Ley de los Signos

El producto entre dos números enteros lo definiremos igual que el producto entre números naturales, pero debemos tener ciertas consideraciones sobre los signos. Sean a y b dos números naturales, entonces:

$(+a) \cdot (+b) = +(a \cdot b)$

$(-a) \cdot (+b) = -(a \cdot b)$

$(+a) \cdot (-b) = -(a \cdot b)$

$(-a) \cdot (-b) = +(a \cdot b)$

De esta forma, podemos establecer una regla informal conocida como la Ley de Los Signos sobre el producto de números enteros de la siguiente forma:

Más por más, más.
Más por menos, menos.
Menos por más, menos.
Menos por menos, más.

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Ejemplo

Ejemplo 5

Para efectuar el producto $3 \cdot 3$ , el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

$3 \cdot 3 = 9$

Ejemplo 6

Para efectuar el producto $(-2) \cdot 5$ , el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

$(-2) \cdot 5 = - ( 2 \cdot 5 ) = -10$

Ejemplo 7

Para efectuar el producto $6 \cdot (-3)$ , el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

$6 \cdot (-3) = - (6 \cdot 3) = -18$

Ejemplo 8

Para efectuar el producto $(-4) \cdot (-8)$ , el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

$(-4) \cdot (-8) = (4 \cdot 8) = 32$

Definiendo los números enteros podemos encontrar una respuesta al problema que no se nos presentó cuando restábamos números naturales, pero aún nos queda una pregunta por responder sobre los números naturales y que se aplica también a los números enteros: ¿Qué sucede si dividimos dos números enteros? Debemos entonces definir los Números Racionales.

Suma de polinomios

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Producto de polinomios

Ejemplos

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 9

División de polinomios

Ejemplos

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

Ejemplo 12

Ejemplos

Ejemplo 13

Ejemplo 14

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Axiomas para la suma

Axiomas para el producto

Propiedad Distributiva

Axiomas de Orden

Números positivos y números negativos

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¿Qué es la raíz cuadrada de 2?

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Los números racionales y la división

¿Qué son los números racionales?

Suma de números racionales

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Resta de números racionales

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Producto entre números racionales

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

División entre números racionales

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

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¿Qué son los números enteros?

Operaciones entre Números Enteros

Suma y Resta de Números Enteros

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

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El producto de Enteros y la Ley de los Signos

Ejemplo

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

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