Temas Preliminares

Potencias y Exponentes

Anthonny Arias-García8 comentarios

Al estudiar el producto entre números nos podemos encontrar con el producto de un número multiplicado por él mismo dos o más veces. Este tipo de productos tiene propiedades muy particulares. Formalmente, si a es un número real, definimos su n-ésima potencia como el producto de a multiplicado por sí mismo n veces, donde n es un número natural, y lo denotamos la siguiente forma:

\displaystyle a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-\text{veces}}

Esta expresión se puede leer como a elevado a la n o formalmente, la n-ésima potencia de a. También diremos que a es la base y n es el exponente.

Potenciación, potencias base y exponente | totumat.com

Veamos algunos ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe el producto que se está definiendo en la expresión 5^{2}.

En este caso la base es igual a 5 y el exponente es igual a 2, entonces estamos multiplicando el número cinco por sí mismo dos veces de la siguiente forma:

5^{2} = 5 \cdot 5 = 25

Nota: La potencia 2 también se llama cuadrado, entonces 5^{2} se puede leer como cinco al cuadrado.

Ejemplo 2

Efectúe el producto que se está definiendo en la expresión (-6)^{2}.

En este caso la base es igual a -6 y el exponente es igual a 2, entonces estamos multiplicando el número menos seis por sí mismo dos veces de la siguiente forma:

(-6)^{2} = (-6) \cdot (-6) = 36

Nota: Todo número elevado al cuadrado es positivo, esto se debe a la ley de los signos, pues el producto de dos números negativos es positivo.

Ejemplo 3

Efectúe el producto que se está definiendo en la expresión 2^{3}.

En este caso la base es igual a 2 y el exponente es igual a 3, entonces estamos multiplicando el número dos por sí mismo tres veces de la siguiente forma:

2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

Nota: La potencia 3 también se llama cubo, entonces 2^{3} se puede leer como dos al cubo.

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Ejemplo 4

Efectúe el producto que se está definiendo en la expresión 7^{10}.

En este caso la base es igual a 7 y el exponente es igual a 10, entonces estamos multiplicando el número siete por sí mismo diez veces de la siguiente forma:

7^{10} = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 282475249

Ejemplo 5

Efectúe el producto que se está definiendo en la expresión \left( \frac{1}{2} \right)^{6}.

En este caso la base es igual a \left( \frac{1}{2} \right) y el exponente es igual a 6, entonces estamos multiplicando el número un medio por sí mismo seis veces de la siguiente forma:

\left( \frac{1}{2} \right)^{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{64}

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Ejemplo 6

Efectúe la operación \left( -\frac{5}{2} \right)^2 usando la definición de potencia y las operaciones entre números racionales.

Debemos tomar en cuenta que si elevamos un número al cuadrado, esto es multiplicar un número por él mismo, dos veces. Entonces,

\left( -\frac{5}{2} \right)^2 = \left( -\frac{5}{2} \right) \cdot \left( -\frac{5}{2} \right)

Por otra parte, la fracción -\frac{5}{2} se puede reescribir como \frac{-5}{2}, entonces podemos reescribir este producto de la siguiente forma:

\left( -\frac{5}{2} \right) \cdot \left( -\frac{5}{2} \right) = \frac{-5}{2} \cdot \frac{-5}{2}

Finalmente, podemos efectuar el producto de las fracciones y recurriendo a la ley de los signos en el numerador, obtenemos lo siguiente:

\frac{(-5) \cdot (-5)}{2 \cdot 2} = \frac{25}{4}

Ejemplo 7

Efectúe la operación \left( -\frac{2}{3} \right)^3 usando la definición de potencia y las operaciones entre números racionales.

Debemos tomar en cuenta que si elevamos un número al cubo, esto es multiplicar un número por él mismo, tres veces. Entonces,

\left( -\frac{2}{3} \right)^3 = \left( -\frac{2}{3} \right) \cdot \left( -\frac{2}{3} \right) \cdot \left( -\frac{2}{3} \right)

Por otra parte, la fracción -\frac{2}{3} se puede reescribir como \frac{-2}{3}, , entonces podemos reescribir este producto de la siguiente forma:

\left( -\frac{2}{3} \right) \cdot \left( -\frac{2}{3} \right) \cdot \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{-2}{3} \cdot \frac{-2}{3} \cdot \frac{-2}{3}

Finalmente, podemos efectuar el producto de las fracciones y recurriendo a la ley de los signos en el numerador, obtenemos lo siguiente:

\frac{(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{-8}{27} = - \frac{8}{27}

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8 comentarios en “Potencias y Exponentes”

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