Descomposición en Factores Primos

Diremos que un número entero mayor que 1 es un número es primo si es divisible sólo entre él mismo y el número uno, por ejemplo, el número 7 es un número primo pues sus divisores exactos son sólo 7 y 1. Pues si consideramos todos los números enteros menores que 7 y vemos las divisiones \frac{7}{1}, \, \frac{7}{2}, \, \frac{7}{3}, \, \frac{7}{4}, \, \frac{7}{5}, \, \frac{7}{6}, \, \frac{7}{7} es posible determinar que las únicas divisiones exactas son entre 1 y 7.

Los números primos menores que 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Esta lista se extiende de forma indefinida y para determinar nuevos números primos se hace uso de súper computadoras.

Si un número entero mayor que 1 no es primo, se llama número compuesto y en ocasiones, es necesario reescribir números compuestos como el producto de todos los números primos que lo componen con el fin de simplificar expresiones muy complejas, a esto lo llamaremos descomposición en factores primos.

En los siguientes ejemplos desarrollaremos una técnica que nos permite determinar todos los número primos (y sus potencias) que componen un número entero.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Descomponga el número 18 en todos factores primos.

El primer paso es escribir el número que se quiere descomponer y trazar una línea vertical a la derecha de él,

El siguiente paso es considerar el primer número primo que divide de forma exacta a este número, en este caso es 2 y lo escribimos en la derecha de la siguiente forma

El resultado de la división lo escribimos del lado izquierdo debajo del número original

El siguiente paso es considerar el primer número primo que divide de forma exacta al resultado, en este caso es 3 y lo escribimos en la derecha de la siguiente forma

El resultado de la división lo escribimos del lado izquierdo debajo del resultado anterior

El siguiente paso es considerar el primer número primo que divide de forma exacta al resultado, en este caso es 3 y lo escribimos en la derecha de la siguiente forma

El resultado de la división lo escribimos del lado izquierdo debajo del resultado anterior

Una vez que el resultado es igual a 1, concluimos que no hay más factores primos que componen al número original y lo podemos escribir de la siguiente forma

18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2

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Ejemplo 2

Descomponga el número 126 en todos factores primos.

El primer paso es escribir el número que se quiere descomponer y trazar una línea vertical a la derecha de él,

El siguiente paso es considerar el primer número primo que divide de forma exacta a este número, en este caso es 2 y lo escribimos en la derecha de la siguiente forma

El resultado de la división lo escribimos del lado izquierdo debajo del número original

El siguiente paso es considerar el primer número primo que divide de forma exacta al resultado, en este caso es 3 y lo escribimos en la derecha de la siguiente forma

El resultado de la división lo escribimos del lado izquierdo debajo del resultado anterior

El siguiente paso es considerar el primer número primo que divide de forma exacta al resultado, en este caso es 3 y lo escribimos en la derecha de la siguiente forma

El resultado de la división lo escribimos del lado izquierdo debajo del resultado anterior

El siguiente paso es considerar el primer número primo que divide de forma exacta al resultado, en este caso es 3 y lo escribimos en la derecha de la siguiente forma

El resultado de la división lo escribimos del lado izquierdo debajo del resultado anterior

Una vez que el resultado es igual a 1, concluimos que no hay más factores primos que componen al número original y lo podemos escribir de la siguiente forma

18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7

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Ejemplo 3

Descomponga el número 48 en todos factores primos.

Seguimos, de forma resumida, el procedimiento expuesto en los ejemplos anteriores para tener que

Una vez que hemos finalizado el procedimiento, podemos escribir el número original de la siguiente forma

48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3

Ejemplo 4

Descomponga el número 2100 en todos factores primos.

Seguimos, de forma resumida, el procedimiento expuesto en los ejemplos anteriores para tener que

Una vez que hemos finalizado el procedimiento, podemos escribir el número original de la siguiente forma

2100 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7


Un comentario en “Descomposición en Factores Primos

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