Ejercicios Propuestos – Propiedades de las Potencias

Factorice y simplifique las siguientes expresiones descomponiendo cada uno de los elementos involucrados en factores primos y posteriormente usando las propiedades de las potencias.

  1. 78
  2. 72
  3. 45
  4. 52
  1. 28 \cdot 30
  2. 24 \cdot 14
  3. 60 \cdot 20
  4. 63 \cdot 96
  1. 15^2 \cdot 25^5
  2. 16^3 \cdot 14^4
  3. 18^4 \cdot 20^3
  4. 22^5 \cdot 44^2
  1. (17 \cdot 25)^5
  2. (16 \cdot 20)^4
  3. (52 \cdot 21)^3
  4. (22 \cdot 55)^2
  1. (17^{-1} \cdot 25^{14})^5
  2. (16^{-3} \cdot 20^{15})^4
  3. (52^{-5} \cdot 41^{23})^3
  4. (22^{-7} \cdot 85^{12})^2
  1. \dfrac{18}{3}
  2. \dfrac{24}{8}
  3. \dfrac{16}{6}
  4. \dfrac{42}{14}
  1. \dfrac{18^{10}}{3^5}
  2. \dfrac{24^9}{8^6}
  3. \dfrac{16^8}{6^7}
  4. \dfrac{42^7}{14^8}
  1. \dfrac{12^{-4}}{3^5}
  2. \dfrac{24^{-3}}{8^6}
  3. \dfrac{32^{-2}}{6^7}
  4. \dfrac{48^{-1}}{14^8}
  1. \dfrac{28 \cdot 30}{24 \cdot 14}
  2. \dfrac{60 \cdot 20}{63 \cdot 96}
  3. \dfrac{91 \cdot 84}{46 \cdot 50}
  4. \dfrac{42 \cdot 10}{62 \cdot 80}
  1. \dfrac{(17 \cdot 25)^5}{(16 \cdot 20)^4}
  2. \dfrac{(52 \cdot 21)^3}{(22 \cdot 55)^2}
  3. \dfrac{(64 \cdot 53)^5}{(14 \cdot 20)^4}
  4. \dfrac{(35 \cdot 32)^3}{(49 \cdot 45)^2}
  1. \dfrac{(17^{-1} \cdot 25^{14})^5}{(16^{-3} \cdot 20^{15})^4}
  2. \dfrac{(52^{-5} \cdot 41^{23})^3}{(22^{-7} \cdot 85^{12})^2}
  3. \dfrac{(63^{-1} \cdot 95^{14})^5}{(94^{-3} \cdot 93^{15})^4}
  4. \dfrac{(27^{-5} \cdot 66^{23})^3}{(16^{-7} \cdot 95^{12})^2}


La Notación Científica

¡Cuenta rápido! ¿Cuántos ceros hay en el siguiente número entero?

3870 0000 0000 0000 0000 0000

¡Cuenta más rápido! ¿Cuántos ceros hay en el siguiente número decimal?

0,00 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0419

¿Cuánto demoraste en contar todos estos ceros? Yo ni los conté. Es claro que los números que hemos expuesto son demasiado largos como para determinar a simple vista que tan grandes o que tan pequeños son. Es por esto que debemos definir una nueva forma de reescribir este tipo de números de forma que sea más fácil identificarlos.

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Abreviar números usando múltiplos de 10

Una forma de abreviar este tipo de números consiste en notar que todo número se puede descomponer en unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etc; usaremos este hecho para corresponder cada componente con un múltiplo de 10. Ilustremos esta idea considerando directamente los múltiplos de 10.

10 = \ 1 \cdot 10
100 = \ 1 \cdot 10^2
1000 = \ 1 \cdot 10^3
10000 = \ 1 \cdot 10^4
\vdots
1\underbrace{0 \ldots 0}_{n-ceros} = \ 1 \cdot 10^n

Intuitivamente, lo que está ocurriendo es que al considerar un número, al multiplicar por 10, estamos moviendo la coma que separa la parte decimal hacia la derecha. Por ejemplo, si consideramos el número 123000, notamos que hay tres ceros después de la cadena de dígitos 123, entonces podemos abreviar los ceros de este número reescribiéndolo como

123 \cdot 10^{3}

De igual forma, podemos notar que la parte decimal de todo número también se puede descomponer en unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etc; usaremos este hecho para corresponder cada componente con un múltiplo inverso de 10. Ilustremos esta idea considerando directamente los múltiplos inversos de 10.

0,1 = \ 1 \cdot 10^{-1}
0,01 = \ 1 \cdot 10^{-2}
0,001 = \ 1 \cdot 10^{-3}
0,0001 = \ 1 \cdot 10^{-4}
\vdots
0,\underbrace{0 \ldots 0}_{n-ceros}1 = \ 1 \cdot 10^{-n}

Intuitivamente, lo que está ocurriendo es que al considerar un número, al multiplicar por 10^{-1}, estamos moviendo la coma que separa la parte decimal hacia la izquierda. Por ejemplo, si consideramos el número 0,0000074, notamos que hay cinco ceros entre la coma y 74, entonces podemos abreviar los ceros de este número reescribiéndolo como

0,74 \cdot 10^{-5}

La Notación Científica

Partiendo de estos principios, definimos la notación científica como una forma de reescribir cualquier número multiplicándolo por múltiplos o múltiplos inversos de 10 para dejar sólo un dígito para su parte entera.

Para ilustrar esta idea, consideremos en los siguientes ejemplos algunos números y veamos la técnica para reescribirlos en notación científica.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Reescriba el número 4084 en notación científica indicando el procedimiento paso a paso. Considerando que la parte decimal de todo número entero es igual a cero, podemos escribir este número como 4084,0, entonces

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

408,4 \cdot 10

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

40,84 \cdot 10^{2}

Finalmente movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener el número 4084 expresado en notación científica de la siguiente forma:

4,084 \cdot 10^{3}

Notemos que al multiplicar 4,084 \cdot 10^{3} obtenemos el número original, 4084.

Ejemplo 2

Reescriba el número 83295 en notación científica indicando el procedimiento paso a paso. Considerando que la parte decimal de todo número entero es igual a cero, podemos escribir este número como 83295,0.

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

8329,5 \cdot 10

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

832,95 \cdot 10^{2}

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

83,295 \cdot 10^{3}

Finalmente movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener el número 83295 expresado en notación científica de la siguiente forma:

8,3295 \cdot 10^{4}

Notemos que al multiplicar 8.3295 \cdot 10^{4}, obtenemos el número original, latex 83295.

Ejemplo 3

Reescriba el número 1334621 en notación científica indicando el procedimiento paso a paso. Considerando que la parte decimal de todo número entero es igual a cero, podemos escribir este número como 1334621,0, entonces

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

133462,1 \cdot 10

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

13346,21 \cdot 10^{2}

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

1334,621 \cdot 10^{3}

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

133,4621 \cdot 10^{4}

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

13,34621 \cdot 10^{5}

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener el número 1334621 expresado en notación científica de la siguiente forma:

1,334621 \cdot 10^{6}

Notemos que al multiplicar 1,334621 \cdot 10^{6} obtenemos el número original, 1334621.

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Ejemplo 4

Reescriba el número 0,004167 en notación científica indicando el procedimiento paso a paso.

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,04167 \cdot 10^{-1}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,4167 \cdot 10^{-2}

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

4,167 \cdot 10^{-3}

Notemos que al multiplicar 4,167 \cdot 10^{-3} obtenemos el número original, 0,004167.

Ejemplo 5

Reescriba el número 0,00058016 en notación científica indicando el procedimiento paso a paso.

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,0058016 \cdot 10^{-1}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,058016 \cdot 10^{-2}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,58016 \cdot 10^{-3}

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

5,8016 \cdot 10^{-4}

Notemos que al multiplicar 5,8016 \cdot 10^{-4} obtenemos el número original, 0,00058016.

Ejemplo 6

Reescriba el número 0,00000082935 en notación científica indicando el procedimiento paso a paso.

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,0000082935 \cdot 10^{-1}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,000082935 \cdot 10^{-2}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,00082935 \cdot 10^{-3}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,0082935 \cdot 10^{-4}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,082935 \cdot 10^{-5}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,82935 \cdot 10^{-6}

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

8,2935 \cdot 10^{-7}

Notemos que al multiplicar 8,2935 \cdot 10^{-7} obtenemos el número original, 0,00000082935.


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Los números que hemos considerado en los ejemplos no pudieran no necesitar se reescritos en notación científica, sin embargo, en la práctica son muy necesarios para poder agilizar la comprensión de la información. Hay ejemplos notables de la notación científica, por ejemplo,

De acuerdo con Wikipedia, una de las siete magnitudes físicas fundamentales del Sistema Internacional de Unidades es el mol y es la unidad con que se mide la cantidad de sustancia. Particularmente, la Constante de Avogadro o a veces referida como el Número de Avogadro es el número de partículas constituyentes (usualmente átomos o moléculas) que se encuentran en la cantidad de sustancia de un mol, este es aproximadamente

6,022 \cdot 10^{-23}

Un gúgol es uno de los números grandes con nombre propio, su nombre en inglés es googol y de ahí se derivó el nombre de la empresa cibernética google. Este número se escribe como un 1 seguido de 100 ceros, de aquí la necesidad de escribirlo con notación científica de la siguiente forma,

1 \cdot 10^{100}

La Notación Científica en las Calculadoras

Debido a lo limitadas que son las pantallas de las calculadoras y también por comodidad, estas presentarán los números muy grandes o los muy pequeños usando notación científica, sin embargo, dependiendo del modelo de la calculadora puede usarse la notación e-N o E-N en vez de \times 10^{n}. Veamos algunos ejemplos para entender esto,

  • En una calculadora, el número 4.49496e-29 representa 4,49496 \cdot 10^{-29}.
  • En una calculadora, el número 8.112E-7 representa 8,112 \cdot 10^{-7}.
  • En una calculadora, el número 3.87e23 representa 3,87 \cdot 10^{23}.
  • En una calculadora, el número 9.6301E200 representa 9,6301 \cdot 10^{200}.

Ecuaciones Exponenciales

Al estudiar las propiedades de las potencias, resulta de particular interés el caso en que fijamos la base y variamos el exponente, a las expresiones que definen este tipo de situaciones las llamamos expresiones exponenciales. Formalmente, si consideramos un valor desconocido x y una base a, entonces

a^{x}

Será una expresión exponencial de base a. De forma particular, si consideramos a=2 tendríamos una expresión exponencial de base dos expresada de la siguiente forma

2^{x}

Las expresiones exponenciales cumplirán con las mismas propiedades que se han definido para las potencias, pero el caso interesante resulta cuando establecemos igualdades que involucran expresiones exponenciales, pues si consideramos la siguiente ecuación

a^x = b

Diremos que esta es una ecuación exponencial y debemos desarrollar un método que nos permita calcular la solución de este tipo de ecuaciones. Particularmente, si consideramos la ecuación

2^x = 8

La solución salta a la vista, pues sabiendo que dos elevado al cubo es igual a ocho, entonces concluimos que el valor de x que satisface la igualdad es x=3. Sin embargo, la solución no siempre será tan clara, así que debemos recurrir a las propiedades de las potencias para poder encontrar la solución.

Veamos como aplicar las propiedades de las potencias para calcular la solución de algunas ecuaciones exponenciales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

3^x = 81

Si bien, la solución de esta ecuación se puede deducir de forma inmediata, una de las técnicas para calcular este tipo de ecuaciones es descomponer los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo 27, tenemos que

3^x = 3^4

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

x = 4

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

5^{x+1} = 125

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo 125, tenemos que

5^{x+1} = 5^3

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

x+1 = 3 \Rightarrow x = 3 -1 \Rightarrow x = 2

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Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

4 \cdot 2^x = 128

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo 128, tenemos que

2^2 \cdot 2^x = 2^7

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

2^{2+x} = 2^7

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

2+x = 7 \Rightarrow x = 7 - 2 \Rightarrow x = 5

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

49^x \cdot 7^5 = 343

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo 128, tenemos que

\left(7^2 \right)^x \cdot 7^5 = 7^3

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes

7^{2x} \cdot 7^5 = 7^3

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

7^{2x+5} = 7^3

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

2x+5 = 3 \Rightarrow 2x = 3 - 5 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{2} \Rightarrow x = -1

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Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

49^x \cdot 7^5 = 343

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo 128, tenemos que

\left(7^2 \right)^x \cdot 7^5 = 7^3

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes

7^{2x} \cdot 7^5 = 7^3

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

7^{2x+5} = 7^3

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

2x+5 = 3 \Rightarrow 2x = 3 - 5 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{2} \Rightarrow x = -1

Ejemplo 6

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

81^x \cdot 9^4 = 27^x \cdot 3^2

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo 128, tenemos que

\left( 3^4 \right)^x \cdot \left( 3^2 \right)^4 = \left( 3^3 \right)^x \cdot 3^2

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes

3^{4x} \cdot 3^{8} = 3^{3x} \cdot 3^2

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

3^{4x+8} = 3^{3x+2}

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

4x+8 = 3x+2 \Rightarrow 4x - 3x = 2 - 8 \Rightarrow x = -6

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Ejemplo 7

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

8^x \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{32^x} \cdot 4^5

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $128$, tenemos que

\left( 2^3 \right)^x \cdot \frac{1}{2^4} = \frac{1}{\left( 2^5 \right)^x} \cdot \left( 2^2 \right)^5

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes. Además, aquellos elementos que están el denominador los podemos reescribir como numeradores cambiando el signo del exponente

2^{3x} \cdot 2^{-4} = 2^{-5x} \cdot 2^{10}

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

2^{3x-4} = 2^{-5x+10}

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

3x-4 = -5x+10 \Rightarrow 3x + 5x = 10 + 4 \Rightarrow 8x = 14 \Rightarrow x = \frac{7}{4}


Ejercicios Propuestos de Expresiones Algebraicas

Operaciones Básicas

Simplifique las siguientes expresiones efectuando las operaciones básicas. Recuerde tomar en cuenta la jerarquía entre las operaciones.

  1. 90 + 58 \cdot 13
  2. 54 + 3 \cdot 48
  3. ( 11 + 52) \cdot 13
  4. ( 72 + 19) \cdot 88
  5. 78 + ( 50 + 54) \cdot 72
  6. 5 + ( 73 - 84) \cdot 37
  7. 4^2 + ( 2 + 7) \cdot 4
  8. 2^3 + ( 6 - 3) \cdot 7
  9. 53 + [ 9^3 + ( 4 + 8) \cdot 2 ]
  10. 62 - [ 4^2 + ( 9 + 6) \cdot 6 ]
  11. 7 \cdot [ 4^3 + ( 7 + 1) \cdot 2 ] + 17
  12. 8 \cdot [ 2^2 - ( 1 + 3) \cdot 5 ] - 25
  13. (7^2 + 56 )  \cdot {6 + [ 6^2 + ( 5 + 6) \cdot 7 ] + 24}
  14. (2^2 - 69 )  \cdot {2 + [ 3^2 + ( 7 + 6) \cdot 7 ] - 71}
  15. \dfrac{ 68 + 96 \cdot 61 }{ 49 + 13 \cdot 78 }
  16. \dfrac{ 98 + 10 \cdot 28 }{ 11 - 82 \cdot 73 }
  17. 73 + 84 \cdot \dfrac{ 42 }{ 78 + 29 \cdot 69 }
  18. 8 + 85 \cdot \dfrac{ 1 }{ 11 - 39 \cdot 59 }
  19. \dfrac{ 32 + [ 8^2 + ( 10 + 1) \cdot 6 ] }{ 19 + [ 4^3 + ( 4 + 4) \cdot 5 ] }
  20. \dfrac{ 62 - [ 8^3 + ( 5 + 9) \cdot 2 ] }{ 54 - [ 10^3 - ( 2 + 4) \cdot 7 ] }
  21. 81 + 8^2 + \dfrac{ ( 1 - 8) \cdot 8 ] }{ 6 - [ 8^2 - ( 6 + 4) \cdot 8 ] }
  22. 89 + 7^3 + \dfrac{ ( 4 - 3) \cdot 8 ] }{ 88 - [ 8^3 - ( 7 + 3) \cdot 1 ] }
  23. \dfrac{ (4^3 - 68 )  \cdot {7 + [ 5^3 - ( 1 - 9) \cdot 6 ] + 52} }{ (2^3 - 91 )  \cdot {4 + [ 3^3 - ( 5 - 5) \cdot 10 ] + 19} }
  24. \dfrac{ (10^2 - 37 )  \cdot {10 + [ 9^2 - ( 10 - 4) \cdot 5 ] + 89} }{ (4^2 - 37 )  \cdot {10 + [ 9^3 - ( 4 - 10) \cdot 8 ] + 49} }
  25. (5^3 + 98 )  + \dfrac{ 3\cdot{5 + [ 9^2 + ( 2 + 10) \cdot 9 ] + 20} }{ (9^3 + 48 )  \cdot {2 + [ 6^3 + ( 1 + 4) \cdot 10 ] + 95} }
  26. (3^2 + 42 )  + \dfrac{ 7\cdot{3 + [ 2^3 + ( 1 + 7) \cdot 3 ] + 90} }{ (8^3 + 32 )  \cdot {8 + [ 3^2 + ( 1 + 10) \cdot 9 ] + 82} }

Potencias y Radicales

Simplifique las siguientes expresiones reescribiéndolas como producto de factores primos usando las propiedades de las potencias.

  1. 78
  2. 72
  3. 28 \cdot 30
  4. 24 \cdot 14
  5. 15^2 \cdot 25^5
  6. 16^3 \cdot 14^4
  7. (17 \cdot 25)^5
  8. (16 \cdot 20)^4
  9. (17^{-1} \cdot 25^{14})^5
  10. (16^{-3} \cdot 20^{15})^4
  11. \sqrt[4]{76}
  12. \sqrt[6]{115}
  13. \sqrt{15^2} \cdot \sqrt[3]{25^5}
  14. \sqrt[3]{16^3} \cdot \sqrt[4]{14^4}
  15. \sqrt[3]{27 \cdot 30}
  16. \sqrt[5]{24 \cdot 16}
  17. \dfrac{18}{3}
  18. \dfrac{24}{8}
  19. \dfrac{18^{10}}{3^5}
  20. \dfrac{24^9}{8^6}
  21. \dfrac{12^{-4}}{3^5}
  22. \dfrac{24^{-3}}{8^6}
  23. \dfrac{28 \cdot 30}{24 \cdot 14}
  24. \dfrac{60 \cdot 20}{63 \cdot 96}
  25. \dfrac{(17 \cdot 25)^5}{(16 \cdot 20)^4}
  26. \dfrac{(52 \cdot 21)^3}{(22 \cdot 55)^2}
  27. \dfrac{(17^{-1} \cdot 25^{14})^5}{(16^{-3} \cdot 20^{15})^4}
  28. \dfrac{(52^{-5} \cdot 41^{23})^3}{(22^{-7} \cdot 85^{12})^2}
  29. \dfrac{\sqrt[4]{76}}{\sqrt[6]{115}}
  30. \dfrac{\sqrt[8]{49}}{\sqrt[10]{90}}
  31. \dfrac{\sqrt{15^2} \cdot \sqrt[3]{25^9}}{\sqrt[3]{16^3} \cdot \sqrt[4]{14^4}}
  32. \dfrac{\sqrt[5]{18^4} \cdot \sqrt[6]{20^7}}{\sqrt[8]{22^5} \cdot \sqrt[6]{44^3}}
  33. \dfrac{\sqrt[3]{27 \cdot 30}}{\sqrt[5]{24 \cdot 16}}
  34. \dfrac{\sqrt[7]{62 \cdot 20}}{\sqrt[9]{63 \cdot 98}}

Logaritmos

Simplifique las siguientes expresiones reescribiéndolas usando las propiedades de las potencias y logaritmos.

  1. \log_2\big( 78 \big)
  2. \log_3\big( 72 \big)
  3. \log_7\big( 24 \cdot 14 \big)
  4. \log_8\big( 60 \cdot 20 \big)
  5. \log_{10}\big(  15^2 \cdot 25^5 \big)
  6. \log_{12}\big(  16^3 \cdot 14^4 \big)
  7. \log_2\big(  (17 \cdot 25)^5 \big)
  8. \log_4\big(  (16 \cdot 20)^4 \big)
  9. \log_3\big(  (17^{-1} \cdot 25^{14})^5 \big)
  10. \log_5\big(  (16^{-3} \cdot 20^{15})^4 \big)
  11. \log_2\big(  \sqrt[4]{76} \big)
  12. \log_3\big(  \sqrt[6]{115} \big)
  13. \log_4\big(  \sqrt{15^2} \cdot \sqrt[3]{25^5} \big)
  14. \log_5\big(  \sqrt[3]{16^3} \cdot \sqrt[4]{14^4} \big)
  15. \log_2\big(  \sqrt[3]{27 \cdot 30} \big)
  16. \log_3\big(  \sqrt[5]{24 \cdot 16} \big)
  17. \log_2 \left( \dfrac{18}{3} \right)
  18. \log_3 \left( \dfrac{24}{8} \right)
  19. \log_6 \left( \dfrac{18^{10}}{3^5} \right)
  20. \log_7 \left( \dfrac{24^9}{8^6} \right)
  21. \log_2 \left( \dfrac{12^{-4}}{3^5} \right)
  22. \log_4 \left( \dfrac{24^{-3}}{8^6} \right)
  23. \log_3 \left( \dfrac{28 \cdot 30}{24 \cdot 14} \right)
  24. \log_5 \left( \dfrac{60 \cdot 20}{63 \cdot 96} \right)
  25. \log_2 \left( \dfrac{(17 \cdot 25)^5}{(16 \cdot 20)^4} \right)
  26. \log_5 \left( \dfrac{(52 \cdot 21)^3}{(22 \cdot 55)^2} \right)
  27. \log_9 \left( \dfrac{(17^{-1} \cdot 25^{14})^5}{(16^{-3} \cdot 20^{15})^4} \right)
  28. \log_8 \left( \dfrac{(52^{-5} \cdot 41^{23})^3}{(22^{-7} \cdot 85^{12})^2} \right)
  29. \log_5 \left( \dfrac{\sqrt[4]{76}}{\sqrt[6]{115}} \right)
  30. \log_4 \left( \dfrac{\sqrt[8]{49}}{\sqrt[10]{90}} \right)
  31. \log_3 \left( \dfrac{\sqrt{15^2} \cdot \sqrt[3]{25^9}}{\sqrt[3]{16^3} \cdot \sqrt[4]{14^4}} \right)
  32. \log_6 \left( \dfrac{\sqrt[5]{18^4} \cdot \sqrt[6]{20^7}}{\sqrt[8]{22^5} \cdot \sqrt[6]{44^3}} \right)
  33. \log_4 \left( \dfrac{\sqrt[3]{27 \cdot 30}}{\sqrt[5]{24 \cdot 16}} \right)
  34. \log_8 \left( \dfrac{\sqrt[7]{62 \cdot 20}}{\sqrt[9]{63 \cdot 98}} \right)

Expresiones Algebraicas

Factorice y simplifique las siguientes expresiones algebraicas.

  1. 3x + 3
  2. 10x + 10
  3. 5x + 5 + 5\sqrt[]{5}
  4. 10x + 10 + 10\sqrt[3]{6}
  5. x^2 - 1
  6. x^2 - 4
  7. 10x^2 - 50
  8. 3x^2 - 18
  9. x^4 - 1
  10. x^4 - 16
  11. x^3 - x
  12. x^4 - x^2
  13. x^2 + 5x + 6
  14. x^2 + 6x + 5
  15. x^2 + 5x - 14
  16. x^2 + 4x - 32
  17. 2x^2 + 16x + 24
  18. 3x^2 + 30x + 72
  19. 5x^2 - 15x - 200
  20. 6x^2 - 30x - 216
  21. \dfrac{3x + 3}{3}
  22. \dfrac{10x + 10}{10}
  23. \dfrac{3x + 3}{x+1}
  24. \dfrac{10x + 20}{x+2}
  25. \dfrac{x^2 - 1}{x+1}
  26. \dfrac{x^2 - 4}{x-2}
  27. \dfrac{10x^2 - 50}{10}
  28. \dfrac{3x^2 - 18}{3}
  29. \dfrac{x^4 - 1}{x+1}
  30. \dfrac{x^4 - 16}{x-2}
  31. \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x+3}
  32. \dfrac{x^2 + 6x + 5}{x+1}
  33. \dfrac{2x^2 + 16x + 24}{x+2}
  34. \dfrac{3x^2 + 30x + 72}{x+6}
  35. \dfrac{x^2 + 5x - 14}{x^2 + x - 42}
  36. \dfrac{x^2 + 4x - 32}{x^2 + 6x + 16}