Ecuaciones Exponenciales

Al estudiar las propiedades de las potencias, resulta de particular interés el caso en que fijamos la base y variamos el exponente, a las expresiones que definen este tipo de situaciones las llamamos expresiones exponenciales. Formalmente, si consideramos un valor desconocido $x$ y una base $a$ , entonces

$a^{x}$

Será una expresión exponencial de base $a$ . De forma particular, si consideramos $a=2$ tendríamos una expresión exponencial de base dos expresada de la siguiente forma

$2^{x}$

Las expresiones exponenciales cumplirán con las mismas propiedades que se han definido para las potencias, pero el caso interesante resulta cuando establecemos igualdades que involucran expresiones exponenciales, pues si consideramos la siguiente ecuación

$a^x = b$

Diremos que esta es una ecuación exponencial y debemos desarrollar un método que nos permita calcular la solución de este tipo de ecuaciones. Particularmente, si consideramos la ecuación

$2^x = 8$

La solución salta a la vista, pues sabiendo que dos elevado al cubo es igual a ocho, entonces concluimos que el valor de $x$ que satisface la igualdad es $x=3$ . Sin embargo, la solución no siempre será tan clara, así que debemos recurrir a las propiedades de las potencias para poder encontrar la solución.

Veamos como aplicar las propiedades de las potencias para calcular la solución de algunas ecuaciones exponenciales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$3^x = 81$

Si bien, la solución de esta ecuación se puede deducir de forma inmediata, una de las técnicas para calcular este tipo de ecuaciones es descomponer los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $27$ , tenemos que

$3^x = 3^4$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$x = 4$

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$5^{x+1} = 125$

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $125$ , tenemos que

$5^{x+1} = 5^3$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$x+1 = 3 \Rightarrow x = 3 -1 \Rightarrow x = 2$

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Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$4 \cdot 2^x = 128$

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $128$ , tenemos que

$2^2 \cdot 2^x = 2^7$

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

$2^{2+x} = 2^7$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$2+x = 7 \Rightarrow x = 7 - 2 \Rightarrow x = 5$

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$49^x \cdot 7^5 = 343$

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $128$ , tenemos que

$\left(7^2 \right)^x \cdot 7^5 = 7^3$

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes

$7^{2x} \cdot 7^5 = 7^3$

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

$7^{2x+5} = 7^3$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$2x+5 = 3 \Rightarrow 2x = 3 - 5 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{2} \Rightarrow x = -1$

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Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$49^x \cdot 7^5 = 343$

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $128$ , tenemos que

$\left(7^2 \right)^x \cdot 7^5 = 7^3$

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes

$7^{2x} \cdot 7^5 = 7^3$

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

$7^{2x+5} = 7^3$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$2x+5 = 3 \Rightarrow 2x = 3 - 5 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{2} \Rightarrow x = -1$

Ejemplo 6

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$81^x \cdot 9^4 = 27^x \cdot 3^2$

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $128$ , tenemos que

$\left( 3^4 \right)^x \cdot \left( 3^2 \right)^4 = \left( 3^3 \right)^x \cdot 3^2$

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes

$3^{4x} \cdot 3^{8} = 3^{3x} \cdot 3^2$

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

$3^{4x+8} = 3^{3x+2}$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$4x+8 = 3x+2 \Rightarrow 4x - 3x = 2 - 8 \Rightarrow x = -6$

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Ejemplo 7

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

$8^x \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{32^x} \cdot 4^5$

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $128$, tenemos que

$\left( 2^3 \right)^x \cdot \frac{1}{2^4} = \frac{1}{\left( 2^5 \right)^x} \cdot \left( 2^2 \right)^5$

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes. Además, aquellos elementos que están el denominador los podemos reescribir como numeradores cambiando el signo del exponente

$2^{3x} \cdot 2^{-4} = 2^{-5x} \cdot 2^{10}$

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

$2^{3x-4} = 2^{-5x+10}$

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

$3x-4 = -5x+10 \Rightarrow 3x + 5x = 10 + 4 \Rightarrow 8x = 14 \Rightarrow x = \frac{7}{4}$

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