Ecuaciones Logarítmicas

Expresiones Logarítmicas

En ocasiones, encontramos ecuaciones exponenciales cuya solución no es una tarea trivial, así que debemos recurrir a métodos más sofisticados. Si a y b son números reales positivos, definimos una nueva expresión a partir de la siguiente equivalencia:

a^x = b \Leftrightarrow \log_a(b) = x

La expresión \log_a(b) se conoce como una expresión logarítmica y se lee como logaritmo base a de b. Esta provee una solución para la ecuación planteada.

De forma particular, si consideramos la ecuación exponencial 2^x = 4, entonces, podemos usar una expresión logarítmica para definirla de la siguiente manera

2^x = 4 \Leftrightarrow \log_2(4) = x

La importancia de las expresiones logarítmicas radica en que estas se usan principalmente para describir variaciones proporcionales, porcentuales o en el largo plazo sobre conjuntos de datos, es por esto que son ampliamente estudiadas. Veamos entonces cuales son sus propiedades.

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Propiedades del Logaritmo

Propiedades sobre el argumento

A continuación se presentará una lista de algunas propiedades de la potencia de un número, del producto y la división. Sean a y b números reales positivos; m y n números reales, entonces

  • \log_a(1) = 0
  • \log_a(a) = 1
  • \log_a(a^2) = 2
  • \log_a(a^n) = n
  • \log_a(b \cdot c) = \log_a(b) + \log_a(c)
  • \log_a(b^n) = n \log_a(b)
  • \log_a(\frac{a}{b}) = \log_a(b) - \log_a(c)
  • \log_a(\frac{1}{b^n}) = -n\log_a(b)
  • \log_a(\sqrt[n]{b}) = \frac{1}{n}\log_a(b)
  • \log_a(\sqrt[n]{b^n}) = \frac{m}{n}\log_a(b)

Propiedades sobre la base

Las propiedades antes vistas, hacen referencia al argumento del logaritmo, es decir, a la expresión que se encuentra dentro de los paréntesis. Sin embargo, la propiedad que veremos a continuación hace referencia a la base de estos y se conocen como propiedades de cambio de base.

Si consideramos el logaritmo base a de b, \log_a(b) y consideramos un nuevo número real positivo c. Entonces, este logaritmo se puede reescribir de la siguiente manera

\log_a(b) = \dfrac{\log_c(b)}{\log_c(a)}

De esta forma, hemos reescrito el logaritmo que originalmente tenía base a como el cociente de dos logaritmos de base c.

Ecuaciones Logarítmicas

Si bien se pueden presentar casos en los que una incógnita se presenta en el argumento o en la base logaritmo en una ecuación, también hay que considerar los logaritmos serán de vital importancia al calcular la solución de ecuaciones exponenciales donde la base de los elementos involucrados no es la misma.

Veamos algunos ejemplos en los que empleamos las propiedades de los logaritmos para calcular la solución de ecuaciones que involucran expresiones logarítmicas.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación logarítmica:

\log_2 (32) = x

Si bien podemos calcular \log_2 (32) directamente con una calculadora, este tipo de ecuaciones sirve como ejercicio para familiarizase con las propiedades de las potencias y las propiedades de los logaritmos.

En este tipo de ecuaciones, es conveniente reescribir las expresiones involucradas para cancelar la base con el argumento, es por esto que descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces,

\log_2 (2^5) = x

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

5 \log_2 (2) = x

Notamos inmediatamente que logaritmo base dos de dos es igual a uno, es decir, \log_{2} \left( 2 \right). Por lo tanto, concluimos que

x = 5

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación logarítmica:

\log_{25} \left( \sqrt[4]{5} \right) = x

Si bien podemos calcular \log_{25} \left( \sqrt[4]{5} \right) directamente con una calculadora, este tipo de ecuaciones sirve como ejercicio para familiarizase con las propiedades de las potencias y las propiedades de los logaritmos.

En este tipo de ecuaciones, es conveniente reescribir las expresiones involucradas para cancelar la base con el argumento. Entonces, conviene reescribir \sqrt[4]{5} como 5^{\frac{1}{4}} y así,

\log_{25} \left( 5^{\frac{1}{4}} \right) = x

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

\frac{1}{4} \log_{25} \left( 5 \right) = x

Notamos además, que 5 se puede reescribir como \sqrt{25} = 25^{\frac{1}{2}}, por lo tanto

\frac{1}{4} \log_{25} \left( 25^{\frac{1}{2}} \right) = x

sacamos nuevamente el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo,

\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \log_{25} \left( 25 \right) = x

Notamos inmediatamente que logaritmo base dos de dos es igual a uno, es decir, \log_{25} \left( 25 \right). Por lo tanto, concluimos que

x = \frac{1}{8}

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Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación logarítmica:

\log_{9} \left( \frac{1}{3} \right) = x

Si bien podemos calcular \log_{9} \left( \frac{1}{3} \right) directamente con una calculadora, este tipo de ecuaciones sirve como ejercicio para familiarizase con las propiedades de las potencias y las propiedades de los logaritmos.

En este tipo de ecuaciones, es conveniente reescribir las expresiones involucradas para cancelar la base con el argumento. Entonces, conviene reescribir 3 como \sqrt{9} y así,

\log_{9} \left( \frac{1}{3} \right) = x

\Rightarrow \ \log_{9} \left( \frac{1}{\sqrt{9}} \right) = x

\Rightarrow \ \log_{9} \left( \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} \right) = x

\Rightarrow \ \log_{9} \left( 9^{-\frac{1}{2}} \right) = x

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

-\frac{1}{2} \log_{9} \left( 9 \right) = x

Notamos inmediatamente que logaritmo base dos de dos es igual a uno, es decir, \log_{9} \left( 9 \right). Por lo tanto, concluimos que

x = - \frac{1}{2}

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación logarítmica:

\log_{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{4} \right) = x

Si bien podemos calcular \log_{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{4} \right) directamente con una calculadora, este tipo de ecuaciones sirve como ejercicio para familiarizase con las propiedades de las potencias y las propiedades de los logaritmos.

En este tipo de ecuaciones, es conveniente reescribir las expresiones involucradas para cancelar la base con el argumento. Entonces, conviene reescribir \frac{1}{4} como (\sqrt{2})^{-4} y así,

\log_{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{4} \right) = x

\Rightarrow \ \log_{\sqrt{2}} \left( \left( \sqrt{2} \right)^{-4} \right) = x

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

-4 \log_{\sqrt{2}} \left( \sqrt{2} \right) = x

Notamos inmediatamente que logaritmo base dos de dos es igual a uno, es decir, \log_{\sqrt{2}} \left( \sqrt{2} \right). Por lo tanto, concluimos que

x = - 4


Veamos en lo siguientes ejemplos como aplicar las propiedades de los logaritmos para calcular la solución de algunas ecuaciones exponenciales.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

3^x = 2^5

Lo primero que debemos notar es que las bases de los elementos involucrados no son iguales, así que el procedimiento no es tan simple como igualar los exponentes.

Una de las técnicas para abordar este tipo de ecuaciones es aplicar el logaritmo con la base que más convenga en ambos lados de la ecuación. En este caso, aplicamos el logaritmo base tres pues esta es la base que involucra a la incógnita. Entonces,

\log_3 \left( 3^x \right) = \log_3 \left( 2^5 \right)

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

x \log_3 \left( 3 \right) = 5 \log_3 \left( 2 \right)

Notamos inmediatamente que el logaritmo cuya base es la misma que el argumento igual a uno, es decir, \log_3 \left( 3 \right) = 1. Por lo tanto, concluimos que

x = 5 \log_3 \left( 2 \right)

Para calcular el valor de \log_3 \left( 2 \right) es necesario recurrir a una calculadora científica. Usualmente, las calculadoras científicas sólo permiten calcular el logaritmo base diez o el logaritmo neperiano (base \textit{\Large e}). Sin, embargo, usando la propiedad cambio de base, podemos calcular este logaritmo, pues

\log_3 \left( 2 \right) = \frac{\log_{10} (2)}{\log_{10} (3)} \approx 0.63092975 \ldots

Por lo tanto,

x \approx 3.1546 \ldots

Ejemplo 6

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

5^x \cdot 7^2 = 3^4

Lo primero que debemos notar es que las bases de los elementos involucrados no son iguales, así que el procedimiento no es tan simple como igualar los exponentes.

Una de las técnicas para abordar este tipo de ecuaciones es aplicar el logaritmo con la base que más convenga en ambos lados de la ecuación. En este caso, aplicamos el logaritmo base cinco pues esta es la base que involucra a la incógnita. Entonces,

\log_5 \left(5^x \cdot 7^2 \right) = \log_5 \left( 3^4 \right)

Entonces, aplicamos la propiedad del logaritmo que nos permite separar el producto del argumento como una suma de logaritmos, es decir,

\log_5 \left( 5^x \right) + \log_5 \left( 7^2 \right) = \log_5 \left( 3^4 \right)

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

x \log_5 \left( 5 \right) +2 \log_5 \left( 7 \right) = 4 \log_5 \left( 3 \right)

Notamos inmediatamente que el logaritmo cuya base es la misma que el argumento igual a uno, es decir, \log_5 \left( 5 \right) = 1. Por lo tanto,

x + 2 \log_5 \left( 7 \right) = 4 \log_5 \left( 3 \right)

Posteriormente, despejamos la incógnita x para concluir que

x = 4 \log_5 \left( 3 \right) - 2 \log_5 \left( 7 \right)

Para calcular el valor de 4 \log_5 \left( 3 \right) - 2 \log_5 \left( 7 \right) es necesario recurrir a una calculadora científica. Usualmente, las calculadoras científicas sólo permiten calcular el logaritmo base diez o el logaritmo neperiano (base \textit{\Large e}). Sin, embargo, usando la propiedad cambio de base, podemos calcular estos logaritmo, pues

\log_5 \left( 3 \right) = \frac{\log_{10} (3)}{\log_{10} (5)} \approx 0.6823 \ldots

\log_5 \left( 7 \right) = \frac{\log_{10} (7)}{\log_{10} (5)} \approx 1.2090 \ldots

Por lo tanto,

x \approx 0.3123 \ldots


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