Ecuaciones Logarítmicas

Expresiones Logarítmicas

En ocasiones, encontramos ecuaciones exponenciales cuya solución no es una tarea trivial, así que debemos recurrir a métodos más sofisticados. Si a y b son números reales positivos, definimos una nueva expresión a partir de la siguiente equivalencia:

a^x = b \Leftrightarrow \log_a(b) = x

La expresión \log_a(b) se conoce como una expresión logarítmica y se lee como logaritmo base a de b. Esta provee una solución para la ecuación planteada.

De forma particular, si consideramos la ecuación exponencial 2^x = 4, entonces, podemos usar una expresión logarítmica para definirla de la siguiente manera

2^x = 4 \Leftrightarrow \log_2(4) = x

La importancia de las expresiones logarítmicas radica en que estas se usan principalmente para describir variaciones proporcionales, porcentuales o en el largo plazo sobre conjuntos de datos, es por esto que son ampliamente estudiadas. Veamos entonces cuales son sus propiedades.

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Propiedades del Logaritmo

Propiedades sobre el argumento

A continuación se presentará una lista de algunas propiedades del logaritmo de un número, del producto y la división, que se deducen de las propiedades de la potencias. Sean a y b números reales positivos; m y n números reales, entonces

  • \log_a(1) = 0
  • \log_a(a) = 1
  • \log_a(a^2) = 2
  • \log_a(a^n) = n
  • \log_a(b \cdot c) = \log_a(b) + \log_a(c)
  • \log_a(b^n) = n \log_a(b)
  • \log_a(\frac{a}{b}) = \log_a(b) - \log_a(c)
  • \log_a(\frac{1}{b^n}) = -n\log_a(b)
  • \log_a(\sqrt[n]{b}) = \frac{1}{n}\log_a(b)
  • \log_a(\sqrt[n]{b^n}) = \frac{m}{n}\log_a(b)

Propiedades sobre la base

Las propiedades antes vistas, hacen referencia al argumento del logaritmo, es decir, a la expresión que se encuentra dentro de los paréntesis. Sin embargo, la propiedad que veremos a continuación hace referencia a la base de estos y se conocen como propiedades de cambio de base.

Si consideramos el logaritmo base a de b, \log_a(b) y consideramos un nuevo número real positivo c. Entonces, este logaritmo se puede reescribir de la siguiente manera

\log_a(b) = \dfrac{\log_c(b)}{\log_c(a)}

De esta forma, hemos reescrito el logaritmo que originalmente tenía base a como el cociente de dos logaritmos de base c.

Ecuaciones Logarítmicas

Si bien se pueden presentar casos en los que una incógnita se presenta en el argumento o en la base logaritmo en una ecuación, también hay que considerar los logaritmos serán de vital importancia al calcular la solución de ecuaciones exponenciales donde la base de los elementos involucrados no es la misma.

Veamos algunos ejemplos en los que empleamos las propiedades de los logaritmos para calcular la solución de ecuaciones que involucran expresiones logarítmicas.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación logarítmica:

\log_2 (32) = x

Si bien podemos calcular \log_2 (32) directamente con una calculadora, este tipo de ecuaciones sirve como ejercicio para familiarizase con las propiedades de las potencias y las propiedades de los logaritmos.

En este tipo de ecuaciones, es conveniente reescribir las expresiones involucradas para cancelar la base con el argumento, es por esto que descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces,

\log_2 (2^5) = x

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

5 \log_2 (2) = x

Notamos inmediatamente que logaritmo base dos de dos es igual a uno, es decir, \log_{2} \left( 2 \right). Por lo tanto, concluimos que

x = 5

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación logarítmica:

\log_{25} \left( \sqrt[4]{5} \right) = x

Si bien podemos calcular \log_{25} \left( \sqrt[4]{5} \right) directamente con una calculadora, este tipo de ecuaciones sirve como ejercicio para familiarizase con las propiedades de las potencias y las propiedades de los logaritmos.

En este tipo de ecuaciones, es conveniente reescribir las expresiones involucradas para cancelar la base con el argumento. Entonces, conviene reescribir \sqrt[4]{5} como 5^{\frac{1}{4}} y así,

\log_{25} \left( 5^{\frac{1}{4}} \right) = x

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

\frac{1}{4} \log_{25} \left( 5 \right) = x

Notamos además, que 5 se puede reescribir como \sqrt{25} = 25^{\frac{1}{2}}, por lo tanto

\frac{1}{4} \log_{25} \left( 25^{\frac{1}{2}} \right) = x

sacamos nuevamente el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo,

\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \log_{25} \left( 25 \right) = x

Notamos inmediatamente que logaritmo base dos de dos es igual a uno, es decir, \log_{25} \left( 25 \right). Por lo tanto, concluimos que

x = \frac{1}{8}

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Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación logarítmica:

\log_{9} \left( \frac{1}{3} \right) = x

Si bien podemos calcular \log_{9} \left( \frac{1}{3} \right) directamente con una calculadora, este tipo de ecuaciones sirve como ejercicio para familiarizase con las propiedades de las potencias y las propiedades de los logaritmos.

En este tipo de ecuaciones, es conveniente reescribir las expresiones involucradas para cancelar la base con el argumento. Entonces, conviene reescribir 3 como \sqrt{9} y así,

\log_{9} \left( \frac{1}{3} \right) = x

\Rightarrow \ \log_{9} \left( \frac{1}{\sqrt{9}} \right) = x

\Rightarrow \ \log_{9} \left( \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} \right) = x

\Rightarrow \ \log_{9} \left( 9^{-\frac{1}{2}} \right) = x

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

-\frac{1}{2} \log_{9} \left( 9 \right) = x

Notamos inmediatamente que logaritmo base dos de dos es igual a uno, es decir, \log_{9} \left( 9 \right). Por lo tanto, concluimos que

x = - \frac{1}{2}

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación logarítmica:

\log_{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{4} \right) = x

Si bien podemos calcular \log_{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{4} \right) directamente con una calculadora, este tipo de ecuaciones sirve como ejercicio para familiarizase con las propiedades de las potencias y las propiedades de los logaritmos.

En este tipo de ecuaciones, es conveniente reescribir las expresiones involucradas para cancelar la base con el argumento. Entonces, conviene reescribir \frac{1}{4} como (\sqrt{2})^{-4} y así,

\log_{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{4} \right) = x

\Rightarrow \ \log_{\sqrt{2}} \left( \left( \sqrt{2} \right)^{-4} \right) = x

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

-4 \log_{\sqrt{2}} \left( \sqrt{2} \right) = x

Notamos inmediatamente que logaritmo base dos de dos es igual a uno, es decir, \log_{\sqrt{2}} \left( \sqrt{2} \right). Por lo tanto, concluimos que

x = - 4


Veamos en lo siguientes ejemplos como aplicar las propiedades de los logaritmos para calcular la solución de algunas ecuaciones exponenciales.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

3^x = 2^5

Lo primero que debemos notar es que las bases de los elementos involucrados no son iguales, así que el procedimiento no es tan simple como igualar los exponentes.

Una de las técnicas para abordar este tipo de ecuaciones es aplicar el logaritmo con la base que más convenga en ambos lados de la ecuación. En este caso, aplicamos el logaritmo base tres pues esta es la base que involucra a la incógnita. Entonces,

\log_3 \left( 3^x \right) = \log_3 \left( 2^5 \right)

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

x \log_3 \left( 3 \right) = 5 \log_3 \left( 2 \right)

Notamos inmediatamente que el logaritmo cuya base es la misma que el argumento igual a uno, es decir, \log_3 \left( 3 \right) = 1. Por lo tanto, concluimos que

x = 5 \log_3 \left( 2 \right)

Para calcular el valor de \log_3 \left( 2 \right) es necesario recurrir a una calculadora científica. Usualmente, las calculadoras científicas sólo permiten calcular el logaritmo base diez o el logaritmo neperiano (base \textit{\Large e}). Sin, embargo, usando la propiedad cambio de base, podemos calcular este logaritmo, pues

\log_3 \left( 2 \right) = \frac{\log_{10} (2)}{\log_{10} (3)} \approx 0.63092975 \ldots

Por lo tanto,

x \approx 3.1546 \ldots

Ejemplo 6

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

5^x \cdot 7^2 = 3^4

Lo primero que debemos notar es que las bases de los elementos involucrados no son iguales, así que el procedimiento no es tan simple como igualar los exponentes.

Una de las técnicas para abordar este tipo de ecuaciones es aplicar el logaritmo con la base que más convenga en ambos lados de la ecuación. En este caso, aplicamos el logaritmo base cinco pues esta es la base que involucra a la incógnita. Entonces,

\log_5 \left(5^x \cdot 7^2 \right) = \log_5 \left( 3^4 \right)

Entonces, aplicamos la propiedad del logaritmo que nos permite separar el producto del argumento como una suma de logaritmos, es decir,

\log_5 \left( 5^x \right) + \log_5 \left( 7^2 \right) = \log_5 \left( 3^4 \right)

De esta forma, podemos aplicar la propiedad del logaritmo que nos permite sacar el exponente del argumento como un factor que multiplica el logaritmo, es decir,

x \log_5 \left( 5 \right) +2 \log_5 \left( 7 \right) = 4 \log_5 \left( 3 \right)

Notamos inmediatamente que el logaritmo cuya base es la misma que el argumento igual a uno, es decir, \log_5 \left( 5 \right) = 1. Por lo tanto,

x + 2 \log_5 \left( 7 \right) = 4 \log_5 \left( 3 \right)

Posteriormente, despejamos la incógnita x para concluir que

x = 4 \log_5 \left( 3 \right) - 2 \log_5 \left( 7 \right)

Para calcular el valor de 4 \log_5 \left( 3 \right) - 2 \log_5 \left( 7 \right) es necesario recurrir a una calculadora científica. Usualmente, las calculadoras científicas sólo permiten calcular el logaritmo base diez o el logaritmo neperiano (base \textit{\Large e}). Sin, embargo, usando la propiedad cambio de base, podemos calcular estos logaritmo, pues

\log_5 \left( 3 \right) = \frac{\log_{10} (3)}{\log_{10} (5)} \approx 0.6823 \ldots

\log_5 \left( 7 \right) = \frac{\log_{10} (7)}{\log_{10} (5)} \approx 1.2090 \ldots

Por lo tanto,

x \approx 0.3123 \ldots


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Ecuaciones Exponenciales

Al estudiar las propiedades de las potencias, resulta de particular interés el caso en que fijamos la base y variamos el exponente, a las expresiones que definen este tipo de situaciones las llamamos expresiones exponenciales. Formalmente, si consideramos un valor desconocido x y una base a, entonces

a^{x}

Será una expresión exponencial de base a. De forma particular, si consideramos a=2 tendríamos una expresión exponencial de base dos expresada de la siguiente forma

2^{x}

Las expresiones exponenciales cumplirán con las mismas propiedades que se han definido para las potencias, pero el caso interesante resulta cuando establecemos igualdades que involucran expresiones exponenciales, pues si consideramos la siguiente ecuación

a^x = b

Diremos que esta es una ecuación exponencial y debemos desarrollar un método que nos permita calcular la solución de este tipo de ecuaciones. Particularmente, si consideramos la ecuación

2^x = 8

La solución salta a la vista, pues sabiendo que dos elevado al cubo es igual a ocho, entonces concluimos que el valor de x que satisface la igualdad es x=3. Sin embargo, la solución no siempre será tan clara, así que debemos recurrir a las propiedades de las potencias para poder encontrar la solución.

Veamos como aplicar las propiedades de las potencias para calcular la solución de algunas ecuaciones exponenciales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

3^x = 81

Si bien, la solución de esta ecuación se puede deducir de forma inmediata, una de las técnicas para calcular este tipo de ecuaciones es descomponer los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo 27, tenemos que

3^x = 3^4

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

x = 4

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

5^{x+1} = 125

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo 125, tenemos que

5^{x+1} = 5^3

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

x+1 = 3 \Rightarrow x = 3 -1 \Rightarrow x = 2

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Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

4 \cdot 2^x = 128

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo 128, tenemos que

2^2 \cdot 2^x = 2^7

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

2^{2+x} = 2^7

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

2+x = 7 \Rightarrow x = 7 - 2 \Rightarrow x = 5

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

49^x \cdot 7^5 = 343

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo 128, tenemos que

\left(7^2 \right)^x \cdot 7^5 = 7^3

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes

7^{2x} \cdot 7^5 = 7^3

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

7^{2x+5} = 7^3

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

2x+5 = 3 \Rightarrow 2x = 3 - 5 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{2} \Rightarrow x = -1

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Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

49^x \cdot 7^5 = 343

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo 128, tenemos que

\left(7^2 \right)^x \cdot 7^5 = 7^3

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes

7^{2x} \cdot 7^5 = 7^3

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

7^{2x+5} = 7^3

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

2x+5 = 3 \Rightarrow 2x = 3 - 5 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{2} \Rightarrow x = -1

Ejemplo 6

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

81^x \cdot 9^4 = 27^x \cdot 3^2

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo 128, tenemos que

\left( 3^4 \right)^x \cdot \left( 3^2 \right)^4 = \left( 3^3 \right)^x \cdot 3^2

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes

3^{4x} \cdot 3^{8} = 3^{3x} \cdot 3^2

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

3^{4x+8} = 3^{3x+2}

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

4x+8 = 3x+2 \Rightarrow 4x - 3x = 2 - 8 \Rightarrow x = -6

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Ejemplo 7

Calcule la solución de la siguiente ecuación exponencial:

8^x \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{32^x} \cdot 4^5

Descomponemos los números involucrados como productos de factores primos. Entonces, descomponiendo $128$, tenemos que

\left( 2^3 \right)^x \cdot \frac{1}{2^4} = \frac{1}{\left( 2^5 \right)^x} \cdot \left( 2^2 \right)^5

Si tenemos una expresión elevada a un exponente, y a su vez, esta está elevada a otro exponente, multiplicamos los exponentes. Además, aquellos elementos que están el denominador los podemos reescribir como numeradores cambiando el signo del exponente

2^{3x} \cdot 2^{-4} = 2^{-5x} \cdot 2^{10}

Al multiplicar factores que tienen la misma base, sumamos los exponentes

2^{3x-4} = 2^{-5x+10}

De esta forma concluimos que si las bases son iguales, entonces, necesariamente los exponentes son iguales. Por lo tanto, tenemos que

3x-4 = -5x+10 \Rightarrow 3x + 5x = 10 + 4 \Rightarrow 8x = 14 \Rightarrow x = \frac{7}{4}


Ejercicios Propuestos de Ecuaciones e Inecuaciones

Ecuaciones Lineales

Calcule el valor de x que satisface las siguientes ecuaciones, haciendo paso a paso cada una de las operaciones.

  1. x + 6 = 9
  2. x - 9 = 6
  3. 7x + 1 = 10
  4. 5x - 4 = 5
  5. 2 + 1x = 3
  6. 7 - 6x = 10
  7. 3 + 1x = 8
  8. 2 - 8x = 9
  9. 1 + 1x = 8 + 8x
  10. 2 - 8x = 2 + 2x

Ecuaciones con Valor Absoluto

Calcule los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones con valor absoluto, haciendo paso a paso cada una de las operaciones.

  1. | x + 9 |  = 7
  2. | x - 9 |  = 4
  3. | 8x + 1 |  = 5
  4. | 5x - 10 |  = 2
  5. | 3 + 5x |  = 7
  6. | 5 - 4x |  = 7
  7. | 7 - 4x |  = 5x
  8. | -7 + 4x |  = -7x
  9. | 3 + 8x |  = 8 + 4x
  10. | 5 - 9x |  = 10 + 10x

Inecuaciones Lineales

Calcule los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones, expresando la solución gráficamente en la recta real y de forma compresiva como intervalos, haciendo paso a paso cada una de las operaciones.

  1. x + 6 < 5
  2. x + 1 < 7
  3. x - 2 > 4
  4. x - 3 > 8
  5. 11 - x \geq 54
  6. 25 - x \geq 12
  7. 32 - x \leq 71
  8. 41 - x \leq 96
  9. 2x + 6 < 15
  10. 8x + 1 < 27
  11. 32 - 5x \leq -71
  12. 41 - 6x \leq -96
  13. 25 < x + 102 < 300
  14. 45 < x + 65 < 78
  15. 78 \geq x + 45 > -255
  16. 12 \geq x + 20 > -39
  17. 45 < -x + 10 \leq 50
  18. 10 < -x + 2 \leq 21
  19. -78 \geq 2x + 45 \geq -255
  20. -12 \geq 5x + 20 \geq -39
  21. 45 \leq 4 - 3x \leq 50
  22. 10 \leq 5 - 5x \leq 21

Inecuaciones con Valor Abosluto

Calcule los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones, expresando la solución gráficamente en la recta real y de forma compresiva como intervalos, haciendo paso a paso cada una de las operaciones.

  1. |x + 3| < 8
  2. |x + 2| < 4
  3. |x - 7| > 1+x
  4. |x - 6| > 5-x
  5. |41 - x| \geq x+96
  6. |32 - x| \geq x-71
  7. |25 - x| \leq 12x+4
  8. |11 - x| \leq 54x+3
  9. |6x + 3| < 88+45x
  10. |10x + 2| > 74+13x
  11. |25 - 7x| \leq 12x-12
  12. |11 - 8x| \geq 23x-54

Inecuaciones de grado mayor que dos

Calcule los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones, expresando la solución gráficamente en la recta real y de forma compresiva como intervalos, haciendo paso a paso cada una de las operaciones. Factorice los polinomios utilizando el método que sea más adecuado.

  1. x \left(x + 9\right) > 0
  2. \left(x - 5\right) \left(x - 1\right) \leq 0
  3. x \left(x - 4\right) \left(x + 4\right) < 0
  4. \left(x - 5\right) \left(x - 3\right) \left(x + 5\right) > 0
  5. \left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 5\right) > 0
  6. \left(x - 2\right) \left(x + 7\right) \left(x + 9\right)^{2} \geq 0
  7. x^{2} - 9 x < 0
  8. x^{2} - 5 x + 4 > 0
  9. x^{3} - x^{2} - 20 x < 0
  10. x^{3} - 12 x^{2} - x + 252 \geq 0
  11. x^{4} + x^{3} - 24 x^{2} + 36 x \geq 0
  12. x^{4} - 11 x^{3} - x^{2} + 275 x - 600 \leq 0

Aplicaciones a la Economía

Utilidad

  1. Una charcutería produce carne de res para el cual el costo variable por unidad es de 14 Ps. y el costo fijo de 67782 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 92 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 66936 Ps.
  2. Una panadería produce pan canilla para el cual el costo variable por unidad es de 29 Ps. y el costo fijo de 68046 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 43 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 50077 Ps.
  3. Una Fábrica de Cerámica produce porcelanato para el cual el costo variable por unidad es de 19 Ps. y el costo fijo de 63023 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 63 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 83250 Ps.
  4. Una confitería produce chupetas de cereza para el cual el costo variable por unidad es de 21 Ps. y el costo fijo de 98393 Ps. Cada unidad tiene un precio de venta de 33 Ps. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de 90355 Ps.

Precio

  1. Una tienda de deportes produce zapatos para correr y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 11 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la tienda de deportes fijará el precio de cada unidad de zapatos para correr previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 2% durante una venta y aún obtener una ganancia de 68% sobre el costo?
  2. Una compañía de telefónica produce teléfonos Android y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 19 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la compañía de telefónica fijará el precio de cada unidad de teléfonos Android previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 5% durante una venta y aún obtener una ganancia de 99% sobre el costo?
  3. Una tienda de electrodomésticos produce licuadoras y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 36 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la tienda de electrodomésticos fijará el precio de cada unidad de licuadoras previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 27% durante una venta y aún obtener una ganancia de 78% sobre el costo?
  4. Una confitería produce caramelos de anís y planea vender una nueva gama a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de 31 Ps. por unidad. Para mayor comodidad del minorista, la confitería fijará el precio de cada unidad de caramelos de anís previamente. ¿Qué cantidad debe fijarse de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 33% durante una venta y aún obtener una ganancia de 51% sobre el costo?

Inversión

  1. Se invirtió un total de 14205 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 10% y 2%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 486 Ps.?
  2. Se invirtió un total de 34120 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 10% y 9%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 321 Ps.?
  3. Se invirtió un total de 28526 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 3% y 6%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 801 Ps.?
  4. Se invirtió un total de 30472 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer año, A y B tuvieron rendimientos de 6% y 1%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de 155 Ps.?

Raíz de un polinomio

¿Qué relación tienen las ecuaciones y los polinomios?

Diremos que evaluar un polinomio P(x) en un número real b es sustituir la variable x por el número b, esta sustitución la denotaremos P(b). De esta forma, si P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 es un polinomio, entonces evaluamos éste polinomio en b de la siguiente forma:

Evaluar el polinomio P en b.

Posteriormente se pueden efectuar las operaciones para obtener como resultado un número real, veamos en los siguientes ejemplos como evaluar polinomios:

  1. Evaluar el polinomio P(x)= 3x+2 en b=3:
    P(3)= 3 \cdot 3+2=6+2=8
  2. Evaluar el polinomio Q(x)=5x^2+2x+7 en b=-2:
    Q(-2)=5 \cdot (-2)^2+2 \cdot (-2)+7=5 \cdot 4 -4+7 = 20+3=23
  3. Evaluar el polinomio R(x)= -8x^6 + x^5 + x^3 - 4x +3 en b=1:
    R(1)= -8(1)^6 + (1)^5 + (1)^3 - 4(1) +3 = -4

Nos interesarán algunos casos muy particulares al evaluar polinomios, definimos la raíz de un polinomio P(x) como un número real r tal que al evaluarlo en dicho polinomio, el resultado es igual a cero, es decir, una raíz de un polinomio es un número real r que satisface la siguiente ecuación:

Raíz de un polinomio | totumat.com
r es la raíz del polinomio p

Para entender mejor esta idea, veamos algunos ejemplos de raíces de polinomios.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos P(x)= x^2-4,

  • r=1 no es una raíz del polinomio pues
    P(1)=1-4=-3,
  • r=2 sí es una raíz del polinomio pues
    P(2)=(2)^2-4=4-4=0,
  • r=-2 sí es una raíz del polinomio pues
    P(-2)=(-2)^2-4=4-4=0.

Ejemplo 2

Si consideramos P(x)=x^2+2x+1,

  • r=3 no es una raíz del polinomio pues
    P(3)= 3)^2+2(3)+1=9+6+4=19,
  • r=-1 sí es una raíz del polinomio pues
    P(x)=(-1)^2+2(-1)+4=1-2+1=0.

Ejemplo 3

Si consideramos P(x)=x^4+x^2+16,

  • r=1 no es una raíz del polinomio pues
    P(1)=(1)^4+(1)^2+16=1+1+16=18
  • r=-1 tampoco es una raíz del polinomio pues
    P(-1)=(-1)^4+(-1)^2+16=1+1+16=18.

De hecho, este polinomio no tiene raíces pues notemos que x^4, x^2 y 16 son números positivos, por lo tanto su suma siempre será distinta de cero.

Observación: Diremos que n es un número par si éste es un múltiplo de 2, es decir, que n=2k para algún número natural k. Entonces, si n es un número par, a partir de la ley de los signos para el producto podemos concluir que x^n siempre será un número positivo.


Notamos que hay polinomios que tienen raíces y otros que no, entonces nos preguntamos, ¿habrá una forma general para determinar las raíces de un polinomio? La respuesta es no pero al menos podemos hacernos una idea de cuántas raíces debería tener y es que si consideramos un polinomio P(x) de grado n, entonces éste tendrá a lo sumo n raíces, es decir, puede ser que no tenga ninguna, que tenga una, dos o más pero no más de n.

Debido a la íntima relación que guardan los polinomios y las ecuaciones a través de sus raíces, podremos definir poderosas herramientas que nos permitan hallar la solución de distintas ecuaciones con relativa facilidad siempre que tengamos claras las propiedades de las operaciones de suma y multiplicación definidas para los números reales.


Introducción a las Ecuaciones Cuadráticas

¿Una sola ecuación
puede tener más de una solución?

Cuando citamos el Teorema de Pitágoras nos encontramos con la situación c^2 = 2 y aunque pudimos salir del paso “inventando” la solución, la tarea de encontrar la solución para este tipo de situaciones no es trivial. Es por esto que debemos establecer un método que nos permita determinar la solución de este tipo de problemas.

Consideremos, la ecuación x^2 - 1 = 0. Notemos que esta no es una ecuación lineal, sin embargo, cuando deseamos determinar la solución de esta, podemos encontrarla fácilmente dándonos cuenta que 1^2 = 1 \cdot 1 =1, así que x=1 nos provee una solución para esta ecuación ya que 1^2 - 1 = 1-1 = 0. Sin embargo,

there is another yoda meme | totumat.com

Hay otra solución para esta ocasión, pues podemos notar que (-1)^2=(-1) \cdot (-1) = 1, entonces x=-1 es una solución pues 1^2 - 1 = 1-1 = 0. Es posible establecer un método para calcular estas dos soluciones con un simple despeje partiendo de nuestra ecuación original: x^2 - 1 = 0

\Rightarrow \ x^2 - 1 +1 = 0+1

\Rightarrow \ x^2 +0 = 1

\Rightarrow \ x^2 = 1

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Considerando ésta última ecuación, no hemos visto hasta ahora una forma para despejar la incógnita x pero el procedimiento es muy simple, aplicaremos la raíz cuadrada en ambos lados de la desigualdad para obtener la siguiente ecuación.

\Rightarrow \ \sqrt{x^2} = \sqrt{1}

\Rightarrow \ \sqrt{x^2} = 1

Y en este punto debemos tomar en cuenta un “tecnicismo matemático”, y es que la distancia entre un número x y el número cero puede definirse como \sqrt{x^2} . De esta forma, tenemos dos valores para los cuales la distancia entre x y cero es exactamente igual a uno, esto es x=1 ó x=-1.

La distancia entre menos uno y cero es igual a uno. La distancia entre uno y cero es igual a uno. | totumat.com

En vista de esto, la última ecuación que hemos planteado se puede expresar de la siguiente manera:

x = \pm 1

Es decir, la solución para la ecuación x^2 - 1 = 0 es x = 1 ó x=-1, tal como lo habíamos intuido.

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Podemos generalizar este procedimiento para cualquier ecuación de la forma

ecuación cuadrática con coeficiente b igual a cero | totumat.com

Pues partiendo de esta ecuación, podemos sumar c a ambos lados de la ecuación pero para aligerar el trabajo simplemente diremos que si c está restando de un lado de la igualdad, pasará a sumar en el otro lado (por supuesto, recordando cual es el trasfondo de esta operación).

ax^2= c

Podemos dividir por a a ambos lados de la ecuación pero para aligerar el trabajo simplemente diremos que si a está multiplicando de un lado de la igualdad, pasará a dividir en el otro lado (por supuesto, recordando cual es el trasfondo de esta operación).

x^2= \dfrac{c}{a}

\Rightarrow \ \sqrt{x^2}= \sqrt{\dfrac{c}{a}}

\Rightarrow \ |x|= \sqrt{\dfrac{c}{a}}

\Rightarrow \ x = \pm \sqrt{\dfrac{c}{a}}

Finalmente, la solución de esta ecuación será x = \sqrt{\frac{c}{a}} ó x = - \sqrt{\frac{c}{a}}. Aunque debemos tomar en cuenta que esta ecuación tendrá solución solamente si \frac{c}{a} es un número positivo, ya que si \frac{c}{a} es un número negativo, la ecuación no tendrá solución pues la raíz cuadrada de un número negativo no está definida. Veamos hora un ejemplo particular de este tipo de ecuaciones:

4x^2 - 16 = 0

\Rightarrow \ 4x^2 = 16

\Rightarrow \ x^2 = \dfrac{16}{4}

\Rightarrow \ x^2 = 4

\Rightarrow \ \sqrt{x^2} = \sqrt{4}

\Rightarrow \ |x| = 2

\Rightarrow \ x = \pm 2

Por lo tanto, la solución de esta ecuación viene dada por x=2 ó x=-2.


Mire equis, yendo a la raíz del problema, le aconsejo que asuma su naturaleza y acepte vivir con sus dos facetas, la positiva y la negativa.

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