Cuando citamos el Teorema de Pitágoras para definir los Números Reales, nos encontramos con la siguiente ecuación , donde es nuestra incógnita y aunque pudimos «inventar» un nuevo número llamado para definir el valor de nuestra incógnita; la tarea de encontrar la solución para este tipo de situaciones no es trivial. Es por esto que debemos establecer un método general que para proceder en estos casos.
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Consideremos la siguiente ecuación, en la que la incógnita está elevada al cuadrado:
Notemos que esta no es una ecuación lineal, debemos tener en cuenta ciertos detalles para calcular la solución. Sin embargo, podemos notar que es igual a . Por lo tanto, al considerar y sustituyendo este valor en la ecuación, obtenemos lo siguiente:
Es decir, provee una solución para la ecuación que hemos planteado, pero, esta no es la única solución.
Hay otra solución para esta ecuación, pues podemos notar que también es igual a . Por lo tanto, al considerar y sustituyendo este valor en la ecuación, obtenemos lo siguiente:
Es decir, también provee una solución para la ecuación que hemos planteado.
Es posible establecer un método para calcular estas dos soluciones con un simple despeje partiendo de nuestra ecuación original: pues sí sumamos en ambos lados de la ecuación, obtenemos la siguiente ecuación
¿Qué hacemos en este caso? Aplicaremos la raíz cuadrada en ambos lados de la desigualdad para obtener la siguiente ecuación.
Y en este punto debemos tomar en cuenta un «tecnicismo matemático», y es que la distancia entre un número y el número cero puede definirse como . De esta forma, tenemos dos valores para los cuales la distancia entre y cero es exactamente igual a dos, esto es ó .
En vista de esto, la última ecuación que hemos planteado se puede expresar de la siguiente manera:
Es decir, la solución para la ecuación es ó , tal como lo habíamos intuido.
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Un caso general
Podemos generalizar este procedimiento para cualquier ecuación de la forma
Pues partiendo de esta ecuación, podemos sumar en ambos lados de la ecuación pero para aligerar el trabajo simplemente diremos que si está restando de un lado de la igualdad, pasará a sumar en el otro lado (recordando que esto es consecuencia de los Axiomas Algebraicos de los Números Reales).
Podemos dividir por en ambos lados de la ecuación pero para aligerar el trabajo simplemente diremos que si está multiplicando de un lado de la igualdad, pasará a dividir en el otro lado (recordando que esto es consecuencia de los Axiomas Algebraicos de los Números Reales).
Finalmente, la solución de esta ecuación será ó . Aunque debemos tomar en cuenta que esta ecuación tendrá solución solamente si es un número positivo, ya que si es un número negativo, la ecuación no tendrá solución pues la raíz cuadrada de un número negativo no está definida. Veamos hora un ejemplo particular de este tipo de ecuaciones:
Por lo tanto, la solución de esta ecuación viene dada por ó .
Para calcular la solución de una ecuación lineal, debemos despejar la incógnita, esto es aplicar los axiomas algebraicos de los números reales de forma secuencial para que nuestra incógnita «se quede sola» en un sólo lado de la igualdad en la ecuación planteada.
Entonces, si considerando tres números reales , y ; veremos en algunos ejemplos cómo despejar la incógnita partiendo de la siguiente forma básica de una ecuación lineal,
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Nota: Al ser la técnica de despeje un proceso lógico-deductivo, usaremos una flecha con dos rayas () para denotar que una ecuación se ha deducido de la anterior. Dicha flecha se lee «implica que».
Ejemplos
Ejemplo 1
Calcule la solución de la ecuación despejando la incógnita .
Esta es nuestra ecuación original. Identificamos la incógnita en lado izquierdo de la igualdad. Que está multiplicada por y posteriormente sumanda por .
Queremos anular el que está sumando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, restamos por 10 en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.
Al ser y opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.
Al sumar más cero, el resultado es . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.
Queremos simplificar el que está multiplicando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, multiplicamos por en ambos lados de la igualdad.
Al ser y inversos multiplicativos, el producto entre ellos es exactamente igual a uno.
Finalmente, obtenemos el valor de que satisface la ecuación original.
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Ejemplo 2
Calcule la solución de la ecuación despejando la incógnita .
Esta es nuestra ecuación original. Identificamos la incógnita en lado izquierdo de la igualdad. Que está multiplicada por y posteriormente sumanda por .
Queremos anular el que está sumando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, restamos por en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.
Al ser y opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.
Al sumar más cero, el resultado es . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.
Queremos simplificar el que está multiplicando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, multiplicamos por en ambos lados de la igualdad.
Al ser y inversos multiplicativos, el producto entre ellos es exactamente igual a uno.
Finalmente, obtenemos el valor de que satisface la ecuación original.
En el siguiente ejemplo notaremos que en ambos lados de la ecuación se presentan expresiones que involucran a la incógnita , es por esto que será necesario agrupar las expresiones que involucran a en un lado de la igualdad (preferiblemente en lado izquierdo) y todas las expresiones que no involucran a del otro lado de la igualdad (preferiblemente el lado derecho).
Finalmente, nos daremos cuenta que debemos usar la propiedad distributiva para poder efectuar operaciones entre las expresiones que involucran a la incógnita x.
Ejemplo 3
Calcule la solución de la ecuación despejando la incógnita .
Esta es nuestra ecuación original. Identificamos la incógnita en lado izquierdo de la igualdad, que está multiplicada por -3 y posteriormente sumanda por 20. E identificamos la incógnita en lado derecho de la igualdad, que está multiplicada por y posteriormente restada por .
Queremos anular el que está sumando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, restamos por en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.
Al ser y opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.
Al ser y opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.
Al sumar más cero, el resultado es . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.
Queremos anular el que está sumando en el lado derecho de la igualdad. Entonces, restamos por en ambos lados, de esta forma no se altera la igualdad.
Al ser y opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.
Al restar cero menos , el resultado es . Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.
Para sumar los términos que multiplican a equis, aplicamos la propiedad distributiva, notando que es un factor común.
Sumamos los elementos que están dentro del paréntesis para obtener .
Queremos simplificar el que está multiplicando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, multiplicamos por en ambos lados de la igualdad.
Al ser y inversos multiplicativos, el producto entre ellos es exactamente igual a uno.
Finalmente, obtenemos el valor de que satisface la ecuación original.
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Mientras se está aprendiendo a calcular la solución de una ecuación lineal, es necesario seguir cada uno de los pasos para comprender la esencia de las operaciones que se hacen para poder abordar problemas más complejos en el futuro.
Sin embargo, a medida que nos vamos adiestrando en la resolución de ecuaciones lineales, podremos prescindir de algunos pasos para poder hallar la solución con mayor rapidez, por supuesto, siempre tomando en cuenta el trasfondo de los Axiomas Algebraicos que se están aplicando.
Entonces, podemos abusar de las operaciones y decir que «lo que está sumando de un lado de la igualdad, pasa a restar y lo que está restando de un lado de la ecuación, pasa a sumar«, también podemos decir que «lo que está multiplicando de un lado de la igualdad, pasa a dividir y lo que está dividiendo de un lado de la ecuación, pasa a multiplicar«. Así, éste último ejemplo se puede abordar de la siguiente forma:
Ejemplo 3 – Otra forma
Calcule la solución de la ecuación despejando la incógnita .
Esta es nuestra ecuación original.
El siete que está sumando en el lado izquierdo del igualdad, pasa a restar en el lado derecho de la igualdad.
Menos once menos siente es igual a menos dieciocho.
El cuatro equis que está sumando de lado derecho de la igualdad, pasa a restar en el lado izquierdo de la igualdad.
Diez equis menos cuatro equis es igual a seis equis.
El seis que está multiplicando a equis en el lado izquierdo de la igualdad, pasa a dividir a menos dieciocho en el lado derecho de la igualdad.
Finalmente, menos dieciocho entre seis es igual a menos tres.
Al considerar de la Ley de Tricotomía de los números reales, hemos visto que al considerar dos números reales, existen tres tipos de relaciones entre ellos dos: el primero es menor que el segundo, el primero es mayor que el segundo o el primero es igual al segundo.
En esta ocasión, nos enfocaremos en la relación de igualdad, pues esta nos permite plantear ciertas situaciones de forma matemática, para posteriormente, desarrollar estrategias que permitan solventar dichas situaciones.
Formalmente, definimos una ecuación como una relación entre números conocidos y números desconocidos a través de una igualdad. Generalmente, denotamos dichos números desconocidos con las letras , o ; a estos valores desconocidos también se les conoce como incógnitas. De esta forma, podemos plantear una ecuación de la siguiente forma:
Esta ecuación plantea de forma tácita la siguiente pregunta: «¿cuál es ese número tal que al sumarle tres, el resultado es igual a 5?». La respuesta salta a la vista, pues intuitivamente sabemos que ese número es igual a dos. Sin embargo, la idea de plantear ecuaciones es la de desarrollar métodos lógico-deductivos que permitan calcular dichos valores desconocidos en problemas más complejos. Entonces, es necesario plantear la siguiente pregunta:
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¿Cómo se halla la solución de una ecuación?
Sumamos o restamos en ambos lados de la igualdad
Suponga que usted vive en un país donde la moneda local es el Perolito (Ps). Suponga además que usted tiene activados ciertos servicios en su celular y que la renta básica mensual es de 83 Ps. De un mes a otro la renta básica mensual le aumentó a 132 Ps. ¿Cuánto fue el monto que le aumentó? Lo natural es tomar la renta nueva y restarle la antigua, de este modo obtenemos 49. Seguidamente usted exclamará: «¡Me subieron la renta 49 perolitos, qué ultraje!».
Si a este valor desconocido lo representamos con la letra x, esta situación se puede plantear de la siguiente manera:
ochenta y tres más equis es igual a ciento treinta y dos
Entonces si es nuestra incógnita y; 83 y 132 dos valores que sí conocemos, ¿podemos hallar este valor que desconocemos considerando la ecuación antes planteada? Sí se puede y el procedimiento es el siguiente:
Partiendo de la ecuación original, sabemos que la suma es conmutativa, por lo tanto podemos cambiar el orden en que estamos sumando del lado izquierdo de la igualdad, entonces la expresión es equivalente a
Seguidamente, note que si usted tiene dos cantidades que son iguales, digamos que tiene 132 perolitos en su cartera y 132 perolitos en el banco, en ambos lugares tiene exactamente la misma cantidad, entonces si de ambos extrae la cantidad de 83 perolitos, en ambos lugares tendrá exactamente la misma cantidad.
Básicamente, estamos diciendo que si usted resta el mismo número en ambos lados de una ecuación, la igualdad se mantendrá. Entonces,
Podemos asociar la suma que se encuentra del lado izquierdo de la igualdad y efectuar la operación que se encuentra del lado derecho, de la siguiente forma:
Recordando que al sumar un número real con su opuesto aditivo el resultado es exactamente cero, entonces
Pero sabemos que el cero es el elemento neutro de la suma, por lo tanto, al sumarle cero a cualquier número el resultado será justamente ese número, así
De esta última línea concluimos que nuestro valor desconocido es 49, tal como desde un principio lo habíamos intuido. Entonces, de forma general, si a y b son números reales, siempre que tengamos una ecuación de la forma , podemos hallar la solución de ésta siguiendo los pasos que se indican a continuación:
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Dividimos o multiplicamos en ambos lados de la igualdad
Suponga que usted quiere comprarse una licuadora que cuesta 2400 Ps. y consigue un empleo temporal donde le pagan 120 Ps. por cada hora de trabajo, ¿cuántas horas deberá trabajar para poder comprarse la licuadora? Suponiendo que x es la cantidad de horas que usted debe trabajar, esta situación la podemos plantear con una ecuación de la siguiente manera:
ciento veinte por equis es igual a dos mil cuatrocientos
¿Cómo podemos hallar este valor que desconocemos? Partiendo de la ecuación original, sabemos que el producto es conmutativo, por lo tanto podemos cambiar el orden en que estamos multiplicando del lado izquierdo de la igualdad, entonces la expresión es equivalente a
Seguidamente, note que si usted tiene dos cantidades que son iguales, digamos que tiene 2400 perolitos en su cartera y 2400 perolitos en el banco, en ambos lugares tiene exactamente la misma cantidad, entonces una ciento veinteava parte en ambos lugares será exactamente la misma cantidad.
Básicamente, estamos diciendo que si usted divide por el mismo número en ambos lados de una ecuación, la igualdad se mantendrá. Entonces,
Podemos reescribir el producto que se encuentra en el numerador del lado izquierdo de la igualdad como un producto de fracciones y efectuar la operación que se encuentra del lado derecho, de la siguiente forma:
Podemos notar que dividir un número entre él mismo es lo mismo que multiplicar un número real con su opuesto aditivo, por lo que es exactamente uno. Además todo número dividido entre uno es el mismo número, entonces
Pero sabemos que el uno es el elemento neutro del producto, por lo tanto, al multiplicar cualquier número por uno el resultado será justamente ese número, así
De esta última línea concluimos que nuestro valor desconocido es 20, es decir, deberá trabajar durante 20 horas para poder reunir 2400 Ps. y comprar la licuadora de sus sueños. Entonces, de forma general, si a y b son números reales, siempre que tengamos una ecuación de la forma , podemos hallar la solución de ésta siguiendo los pasos que se indican a continuación:
A este tipo de ecuaciones las llamamos Ecuaciones Lineales y se caracterizan porque la única alteración que afecta a la incógnita es la suma o multiplicación de constantes. Posteriormente, veremos que este tipo de ecuaciones está íntimamente relacionada con la gráfica de una línea recta.
y 
) para denotar que una ecuación se ha deducido de la anterior. Dicha flecha se lee «implica que».
despejando la incógnita 
y posteriormente sumanda por 
.
opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.
más cero, el resultado es 
en ambos lados de la igualdad.
despejando la incógnita 
y posteriormente sumanda por 
.
opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.
más cero, el resultado es 
en ambos lados de la igualdad.
despejando la incógnita 
.
que está sumando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, restamos por 
opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.
. Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma.
que está sumando en el lado derecho de la igualdad. Entonces, restamos por 
opuestos aditivos, la suma entre ellos dos es exactamente igual a cero.
, el resultado es 
.
que está multiplicando en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, multiplicamos por 
en ambos lados de la igualdad.
o 
; a estos valores desconocidos también se les conoce como incógnitas. De esta forma, podemos plantear una ecuación de la siguiente forma:
es equivalente a
, podemos hallar la solución de ésta siguiendo los pasos que se indican a continuación:
es equivalente a
es exactamente uno. Además todo número dividido entre uno es el mismo número, entonces
, podemos hallar la solución de ésta siguiendo los pasos que se indican a continuación:
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