Ecuaciones Lineales

¿Cómo se despeja x?

Considerando tres números reales a, b y c; diremos que una ecuación lineal es cualquier ecuación que se puede expresar de la forma

ax + b = c

Consideremos algunos ejemplos de ecuaciones y veamos paso a paso cómo despejar x, es decir, cómo calcular la solución de este tipo de ecuaciones usando las distintas propiedades de los números reales dejando a la incógnita x sola en un solo lado de la igualdad.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Despejar la incógnita x en la ecuación 5x+10 = 20.

5x+10 = 20

\Longrightarrow \ 5x+10-10 = 20-10

\Longrightarrow \ 5x+0 = 10

\Longrightarrow \ 5x = 10

\Longrightarrow \ \dfrac{5x}{5} = \dfrac{10}{5}

\Longrightarrow \ \dfrac{5}{5}  \cdot  x = 2

\Longrightarrow \ 1 \cdot x = 2

Ejemplo 2

Despejar la incógnita x en la ecuación -3x+20 = 5.

-3x+20 = 5

\Longrightarrow \ -3x+20 -20 = 5 -20

\Longrightarrow \ -3x+0 = -15

\Longrightarrow \ -3x = -15

\Longrightarrow \ \dfrac{-3x}{-3} = \dfrac{-15}{-3}

\Longrightarrow \ \dfrac{-3}{-3} \cdot x = 5

\Longrightarrow \ 1 \cdot x = 5

\Longrightarrow \ x = 5


En los dos ejemplos anteriores aplicamos las propiedades de la suma y el producto para hallar el valor de equis de forma intuitiva, sin embargo, podemos encontrar situaciones en las que debemos mezclar estas propiedades.

En el siguiente ejemplo notaremos que en ambos lados de la ecuación se presentan expresiones que involucran a la incógnita x, es por esto que será necesario agrupar las expresiones que involucran a x de un lado de la igualdad (preferiblemente en lado izquierdo) y todas las expresiones que no involucran a x del otro lado de la igualdad (preferiblemente el lado derecho).

Finalmente, nos daremos cuenta que debemos usar la propiedad distributiva para poder hacer operaciones entre las expresiones que involucran a la incógnita x.

Ejemplo 3

Despejar la incógnita x en la ecuación 10x+7 = 4x - 11.

10x+7 = 4x - 11

\Longrightarrow \ 10x+7-7 = 4x - 11-7

\Longrightarrow \ 10x+0 = 4x -18

\Longrightarrow \ 10x -4x = 4x -18 -4x

\Longrightarrow \ (10-4)x = 4x -4x  -18

\Longrightarrow \ 6x= 0 - 18

\Longrightarrow \ 6x = - 18

\Longrightarrow \ \dfrac{6x}{6} = \dfrac{-18}{6}

\Longrightarrow \ \dfrac{6}{6} \cdot x = \dfrac{-18}{6}

\Longrightarrow \ 1 \cdot x = -3

\Longrightarrow \ x = -3


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A medida que nos vamos adiestrando en la resolución de ecuaciones lineales, podremos prescindir de algunos pasos para poder hallar la solución con mayor rapidez. Mientras tanto, es necesario seguir cada uno de los pasos para comprender la esencia de las operaciones que se hacen para poder abordar problemas más complejos en el futuro.

Entonces, podemos abusar de las operaciones y decir que “lo que está sumando de un lado de la igualdad, pasa a restar y lo que está restando de un lado de la ecuación, pasa a sumar“, también podemos decir que “lo que está multiplicando de un lado de la igualdad, pasa a dividir y lo que está dividiendo de un lado de la ecuación, pasa a multiplicar“. Así, éste último ejemplo se puede abordar de la siguiente forma:

Ejemplo 3 – Otra forma

Despejar la incógnita x en la ecuación 10x+7 = 4x - 11.

10x+7 = 4x - 11

Esta es nuestra ecuación original.

\Rightarrow 10x = 4x - 11-7

El siete que está sumando en el lado izquierdo del igualdad, pasa a restar en el lado derecho de la igualdad.

\Rightarrow 10x = 4x - 18

Menos once menos siente es igual a menos dieciocho.

\Rightarrow 10x -4x = - 18

El cuatro equis que está sumando de lado derecho de la igualdad, pasa a restar en el lado izquierdo de la igualdad.

\Rightarrow 6x = - 18

Diez equis menos cuatro equis es igual a seis equis.

\Rightarrow x = -\dfrac{18}{6}

El seis que está multiplicando a equis pasa del lado izquierdo de la igualdad, pasa a dividir a menos dieciocho en el lado derecho de la igualdad.

\Rightarrow x = -3

Menos dieciocho entre seis es igual a menos tres.


Introducción a las Ecuaciones (2 de 2)

¿Dividimos o multiplicamos en ambos lados?

Suponga que usted quiere comprarse una licuadora que cuesta 2400 Ps. y consigue un empleo temporal donde le pagan 120 Ps. por cada hora de trabajo, ¿cuántas horas deberá trabajar para poder comprarse la licuadora? Suponiendo que x es la cantidad de horas que usted debe trabajar, esta situación la podemos plantear con una ecuación de la siguiente manera:

ciento veinte por equis es igual a dos mil cuatrocientos

¿Cómo podemos hallar este valor que desconocemos? Partiendo de la ecuación original, sabemos que el producto es conmutativo, por lo tanto podemos cambiar el orden en que estamos multiplicando del lado izquierdo de la igualdad, entonces la expresión 120 \cdot x = 2400 es equivalente a

x \cdot 120 = 2400

Seguidamente, note que si usted tiene dos cantidades que son iguales, digamos que tiene 2400 perolitos en su cartera y 2400 perolitos en el banco, en ambos lugares tiene exactamente la misma cantidad, entonces una ciento veinteava parte en ambos lugares será exactamente la misma cantidad. Básicamente, estamos diciendo que si usted divide por el mismo número en ambos lados de una ecuación, la igualdad se mantendrá, entonces

\dfrac{ x \cdot 120}{120} = \dfrac{2400}{120}

Podemos reescribir el producto que se encuentra en el numerador del lado izquierdo de la igualdad como un producto de fracciones y efectuar la operación que se encuentra del lado derecho, de la siguiente forma:

\dfrac{x}{1} \cdot  \dfrac{120}{120} = 20

Podemos notar que dividir un número entre él mismo es lo mismo que multiplicar un número real con su opuesto aditivo, por lo que frac{120}{120} es exactamente uno. Además todo número dividido entre uno es él mismo, entonces

x \cdot 1 = 20

Pero sabemos que el uno es el elemento neutro del producto, por lo tanto, al multiplicar cualquier número por uno el resultado será justamente ese número, así

x = 20

De esta última línea concluimos que nuestro valor desconocido es 20, es decir, deberá trabajar durante 20 horas para poder reunir 2400 Ps. y comprar la licuadora de sus sueños. Entonces, de forma general, si a y b son números reales, siempre que tengamos una ecuación de la forma a \cdot x = b, podemos hallar la solución de ésta siguiendo los pasos que se indican a continuación:

Introducción a las Ecuaciones | totumat.com
Pasos para hallar la solución de una ecuación simple

Introducción a las Ecuaciones (1 de 2)

¿Cómo se halla la solución de una ecuación?

Partiendo de la Ley de Tricotomía, podemos establecer varias relaciones entre dos números reales, particularmente a través de una igualdad. Esto nos da pie para plantear ciertas situaciones y estrategias para solventarlas.

Suponga que usted vive en un país donde la moneda local es el Perolito (Ps). Suponga además que usted tiene activados ciertos servicios en su celular y que la renta básica mensual es de 83 Ps. De un mes a otro la renta básica mensual le aumentó a 132 Ps. ¿Cuánto fue el monto que le aumentó? Lo natural es tomar la renta nueva y restarle la antigua, de este modo obtenemos 49. Seguidamente usted exclamará: “¡Me subieron la renta 49 perolitos, qué ultraje!”.

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Si a este valor desconocido lo representamos con la letra x, esta situación se puede plantear de la siguiente manera:

ochenta y tres más equis es igual a ciento treinta y dos

Definimos entonces una Ecuación como una expresión que nos representará ciertas situaciones que relacionan un valor desconocido que llamaremos incógnita y otros valores conocidos a través de una igualdad. Entonces si x es nuestra incógnita y; 83 y 132 dos valores que sí conocemos, ¿podemos hallar este valor que desconocemos considerando la ecuación antes planteada? Sí se puede y el procedimiento es el siguiente:

Partiendo de la ecuación original, sabemos que la suma es conmutativa, por lo tanto podemos cambiar el orden en que estamos sumando del lado izquierdo de la igualdad, entonces la expresión 83 + x =132 es equivalente a

x + 83 = 132

Seguidamente, note que si usted tiene dos cantidades que son iguales, digamos que tiene 132 perolitos en su cartera y 132 perolitos en el banco, en ambos lugares tiene exactamente la misma cantidad, entonces si de ambos extrae la cantidad de 83 perolitos, en ambos lugares tendrá exactamente la misma cantidad. Básicamente, estamos diciendo que si usted resta el mismo número en ambos lados de una ecuación, la igualdad se mantendrá, entonces

x + 83 - 83 = 132 - 83

Podemos asociar la suma que se encuentra del lado izquierdo de la igualdad y efectuar la operación que se encuentra del lado derecho, de la siguiente forma:

x + (83 - 83) = 49

Recordando que al sumar un número real con su opuesto aditivo el resultado es exactamente cero, entonces

x + 0 = 49

Pero sabemos que el cero es el elemento neutro de la suma, por lo tanto, al sumarle cero a cualquier número el resultado será justamente ese número, así

x = 49

De esta última línea concluimos que nuestro valor desconocido es 49, tal como desde un principio lo habíamos intuido. Entonces, de forma general, si a y b son números reales, siempre que tengamos una ecuación de la forma x + a = b, podemos hallar la solución de ésta siguiendo los pasos que se indican a continuación:

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Pasos para hallar la solución de una ecuación simple