Polinomios

Multipliquemos las incógnitas, ¡porque sí!

Notemos que al considerar ecuaciones cuadráticas, éstas difieren de las ecuaciones lineales porque encontramos que la incógnita x aparece multiplicada por ella misma. Estudiaremos una herramienta que nos permite ver qué ocurre cuando en una ecuación encontramos productos entre incógnitas, en otras palabras, cuando encontramos potencias de una incógnita.

Una potencia de un número a es la cantidad de veces que a es multiplicado por sí mismo, entonces si multiplicamos a \cdot a \cdot ... \cdot a n veces, lo expresamos con a^n y decimos que es la n-ésima potencia de a, a n lo llamamos exponente de a.

Si decimos que x es un número real que puede adquirir cualquier valor, entonces decimos que ésta es una variable real y si consideramos a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n un conjunto de n números reales dados. Definiremos un polinomio P(x) con la siguiente expresión:

polinomio de grado n

A los números a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n los llamaremos coeficientes del polinomio, donde a_n será el coeficiente principal y a_0 será el término independiente. A n lo llamaremos el grado del polinomio y será el mayor de los exponentes involucrados en la expresión.

Notemos que el coeficiente principal del polinomio es el coeficiente que multiplica a la x con la mayor potencia. A un polinomio de grado dos, lo llamaremos polinomio cuadrático y a un polinomio de grado tres lo llamaremos polinomio cúbico.

Pareciera engorrosa la definición de lo que es un polinomio, pero con varios ejemplos veremos que son simplemente la suma de potencias de x multiplicadas por números reales.

  1. P(x)= 3x+2, es un polinomio cuyo grado es 1, tiene coeficiente principal 3 y término independiente 2.
  2. P(x)= 5x^2+2x+7, es un polinomio cuyo grado es 2, tiene coeficiente principal 5 y término independiente 7.
  3. P(x)= 8x^6 + x^5 + x^3 - 4x +3, es un polinomio cuyo grado es 6, tiene coeficiente principal 8 y término independiente 3. Además, podemos notar que faltan las potencias 4 y 2 de x. Esto se debe a que los coeficientes que multiplican a $x^4$ y $x^2$ son iguales a cero, por esta razón no hace falta escribir esos sumandos. Sin embargo podemos completar el polinomio de la siguiente manera:
    P(x)= 8x^6 + x^5 + 0x^4 + x^3 + 0x^2 -4x +3
  4. P(x)= 4x^4 - 7x^6 + 14 + 2x^{10} + x^5, es un polinomio cuyo grado es 10, tiene coeficiente principal 2 y término independiente 14. Notemos que la mayor potencia no está de primera, como la suma es conmutativa, nosotros podemos reordenar los sumandos del polinomio de modo que las potencias se escriban en orden decreciente de la siguiente manera:
    P(x)= 2x^{10} -7x^6  + x^5 + 4x^4 + 14

Definir polinomios nos proveerá maleabilidad sobre distintas expresiones matemáticas, que de momento no comprenderemos. Entender como está definido un polinomio y saber identificar sus elementos nos permitirá desarrollar herramientas sofisticadas para análisis complejos.

Un comentario en “Polinomios

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