Polinomios

Incógnitas y Variables

¿Qué es una variable?

Si consideramos una ecuación, digamos $x+2=5$ , definimos una incógnita $x$ como un número desconocido cuyo valor debemos calcular. Este valor está condicionado a la relación que establece la igualdad y que, una vez que aplicamos las técnicas de despeje, concluimos que $x=3$ .

Sin embargo, el uso de $x$ puede extenderse, pues podemos usarla como un elemento cuyo valor puede variar. Si consideramos la expresión $x+2$ , notamos inmediatamente que el valor de $x$ no está restringido por una igualdad, así que esta pudiera tomar cualquier valor, por ejemplo,

Si el valor de $x$ es igual a $4$ , entonces $x+2 = 4+2 = 6$ .
Si el valor de $x$ es igual a $-10$ , entonces $x+2 = -10+2 = -8$ .
Si el valor de $x$ es igual a $299$ , entonces $x+2 = 299+2 = 301$ .

De esta forma, si el valor de $x$ no tiene condiciones que lo fijen a un solo valor, podemos decir que este tiene un valor variable. Formalmente, decimos que una variable es un elemento que puede tomar cualquier valor en un conjunto dado y que usualmente se denota con $x$ , $y$ o $z$ .

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Potencias de la variable

Notemos que al considerar ecuaciones cuadráticas, éstas difieren de las ecuaciones lineales porque encontramos que la incógnita $x$ aparece multiplicada por ella misma, es decir, aparece $x^2$ como un sumando.

Recordando que una potencia de un número real $x$ es el producto de dicho número $x$ por sí mismo una cierta cantidad de veces, si multiplicamos $x \cdot x \cdot ... \cdot x$ n veces, expresamos este producto con $x^n$ y decimos que es la n-ésima potencia de $x$ . A $n$ lo llamamos exponente y a $x$ lo llamamos base.

Estudiaremos en esta sección, una herramienta que nos define expresiones matemáticas que involucran potencias de una variable.

¿Qué es un polinomio?

Si decimos que x es un número real que puede adquirir cualquier valor en el conjunto de los números reales, entonces decimos que ésta es una variable real y si consideramos $a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n$ un conjunto de $n+1$ números reales. Definimos un polinomio $P(x)$ con la siguiente expresión:

$\displaystyle P(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{2} x^{2}+ a_{1} x + a_{0}$

Considerando la expresión que define a un polinomio, podemos identificar varios elementos en ella:

Al conjunto de números reales $a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n$ los llamaremos coeficientes del polinomio.
El coeficiente $a_n$ será el coeficiente principal y es quien multiplica a la $x$ con la mayor potencia.
El coeficiente $a_0$ será el término independiente y no multiplica la variable $x$ , ni a sus potencias,
Al número natural $n$ lo llamaremos grado del polinomio y será el mayor de los exponentes involucrados en la expresión.

A un polinomio de grado dos, lo llamaremos polinomio cuadrático y a un polinomio de grado tres lo llamaremos polinomio cúbico.

Pareciera engorrosa la definición de lo que es un polinomio, pero con varios ejemplos veremos que son simplemente la suma de potencias de x multiplicadas por números reales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos el polinomio $P(x)= 3x+2$ , podemos identificar en él los siguientes elementos:

El grado es $1$
El coeficiente principal es $3$
El término independiente es $2$

Ejemplo 2: Polinomio Cuadrático

Si consideramos el polinomio $P(x)= 5x^2+2x+7$ , podemos identificar en él los siguientes elementos:

El grado es $2$
El coeficiente principal es $5$
El término independiente es $7$

Nota: A un polinomio de grado igual a dos, se le conoce como Polinomio de Segundo Grado ó Polinomio Cuadrático.

Ejemplo 3: Polinomio Cúbico

Si consideramos el polinomio $P(x)= -9x^3-15x^2+x+20$ , podemos identificar en él los siguientes elementos:

El grado es $3$
El coeficiente principal es $-9$
El término independiente es $20$

Nota: A un polinomio de grado igual a tres, se le conoce como Polinomio de Tercer Grado ó Polinomio Cúbico.

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Ejemplo 4: Completar un polinomio

Si consideramos el polinomio $P(x)= 8x^6 + x^5 + x^3 - 4x -3$ , podemos identificar en él los siguientes elementos:

El grado es $6$
El coeficiente principal es $8$
El término independiente es $-3$

Además, podemos notar que faltan las potencias 4 y 2 de $x$ . Esto se debe a que los coeficientes que multiplican a $x^4$ y $x^2$ son iguales a cero, por esta razón no hace falta escribir esos sumandos. Sin embargo podemos completar el polinomio de la siguiente manera:

$P(x)= 8x^6 + x^5 + 0x^4 + x^3 + 0x^2 -4x +3$

Ejemplo 5: Reordenar un polinomio

Si consideramos el polinomio $P(x)= 4x^4 - 7x^6 + 17 - 2x^{10} + x^5$ , podemos identificar en él los siguientes elementos:

El grado es $10$
El coeficiente principal es $-2$
El término independiente es $17$

Además, podemos notar que la mayor potencia aparece como un primer sumando, pero, como la suma es conmutativa, nosotros podemos reordenar los sumandos del polinomio de modo que las potencias se escriban en orden decreciente de la siguiente manera:

$P(x)=- 2x^{10} -7x^6 + x^5 + 4x^4 + 17$

Definir polinomios nos proveerá maleabilidad sobre distintas expresiones matemáticas, que de momento no comprenderemos. Entender como está definido un polinomio y saber identificar sus elementos nos permitirá desarrollar herramientas sofisticadas para análisis complejos.

4 comentarios en “Polinomios”

Tabla de Signos – totumat dice:

03.04.2021 a las 11:38 am

[…] a estudiar uno a uno los casos que se presentan. De esta forma, podemos notar que a medida que los polinomios involucrados en la inecuación tienen mayor grado, son más los casos que debemos considerar. Es […]

Me gustaMe gusta

Responder
Operaciones entre polinomios – totumat dice:

16.01.2021 a las 1:00 pm

[…] definir las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre polinomios como una generalización de las operaciones que hemos definido entre los números […]

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