Introducción a las Inecuaciones Lineales

¿Qué es una inecuación?

Suponga que usted va al supermercado a comprar queso pero debe comprar menos de un kilo porque el dinero no le alcanza, la persona que vende el queso le corta un trozo que pesa un tercio de kilo pero a usted le gustaría un poco más. ¿Cuánto más queso debería cortar de modo que sea menos de un kilo?

Recordemos que las desigualdades nos permiten comparar números reales, por lo tanto, esta situación se puede plantear como una relación a través de una desigualdad, de la siguiente manera:

$\displaystyle \frac{1}{3} + x < 1$

Es decir, el valor de $x$ representa una porción adicional sobre un tercio de kilo de queso, que representa un rango de valores, pues, pudiéramos añadir un poco o mucho, con tal y no nos excedamos de un kilo de queso.

Podemos tantear la situación para determinar cuáles son los valores de $x$ que satisfacen esta desigualdad, sin embargo, nuestro objetivo será el de desarrollar un método para determinar este valor mediante las operaciones entre números reales tal como lo hicimos cuando calculamos la solución de ecuaciones.

Formalmente, definimos una inecuación como una relación entre números conocidos y números desconocidos a través de una desigualdad. Generalmente, denotamos dichos números desconocidos con las letras $x$ , $y$ o $z$ ; a estos valores desconocidos también se les conoce como incógnitas. Esta definición es muy parecida a la de una ecuación, sin embargo, la solución estará representada por un conjunto infinito de números reales.

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Sumamos o restamos en ambos lados de la desigualdad

Usaremos técnicas de despeje de la incógnita para calcular la solución de inecuaciones. Entonces, continuando con nuestro ejemplo:

$\displaystyle \frac{1}{3} + x < 1$

El primer paso es conmutar la suma que está en el lado izquierdo de la desigualdad, de forma que obtenemos la siguiente inecuación:

$\displaystyle x + \frac{1}{3} < 1$

El siguiente paso para despejar es restar un tercio en ambos lados de la inecuación, pero, ¿se mantiene la desigualdad si restamos un número real en ambos lados la ecuación?

La respuesta es sí. Veámoslo de la siguiente forma: si usted tiene un tercio de kilo de queso (333,33 miligramos) en un plato y un kilo de queso (1000 miligramos) en un una nevera, hay menos queso en el plato que en la nevera.

Si de ambos toma un tercio, el plato quedará nacío y en la nevera quedarán dos tercios de kilo de queso (666.66 miligramos), es decir, en el plato habrá menos queso que en la nevera. Por lo tanto, se mantiene la desigualdad.

Por lo tanto, si restamos un tercio en ambos lados de la inecuación, podemos concluir lo siguiente:

$\displaystyle x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} < 1 - \frac{1}{3}$

$\displaystyle \Rightarrow x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} < 1 - \frac{1}{3}$

$\displaystyle \Rightarrow x < \frac{2}{3}$

Finalmente, concluimos que la persona que vende el queso debe cortar a lo sumo, dos tercios de kilo para que su pedido no se pase de un kilo.

Nos damos cuenta que no es un único el número que satisface esta condición, pues de forma general todos los números que son menores que dos tercios son aquellos que se encuentran en el conjunto $\{ x \in \mathbb{R} : x < \frac{2}{3} \}$ .

Este conjunto se puede apreciar mucho mejor con una representación gráfica, así que lo representaremos gráficamente en la recta real de la siguiente manera:

Dibujo de la recta real, donde todos los números menores que un medio están representados con rayas cruzadas. Sobre el número un medio hay escrito un paréntesis. | totumat.com

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Dividimos o multiplicamos en ambos lados de la desigualdad

Notemos que para calcular el valor de $x$ hicimos un procedimiento muy parecido al que usamos para calcular la solución de una ecuación y en general el procedimiento será el mismo pues al sumar o restar números en ambos lados de la desigualdad, esta permanece inalterada.

Al multiplicar en ambos lados de una inecuación por un número positivo, ésta permanece inalterada. Sin embargo, cuando multiplicamos en ambos lados de una inecuación por un número real negativo, cambiará el sentido de la desigualdad.

Suponga que usted y un compañero de clases van a desayunar en un cafetín, cada empanada cuesta 10 Ps pero ese día ninguno de los dos llevó dinero, así que la señora que atiende les fía porque ustedes clientes regulares. Su compañero pide 4 empanadas y usted pide 2 empanadas. ¿Cuál de los dos tiene más empanadas?

Su compañero tiene más empanadas que usted y esta situación se representa de la siguiente manera:

$4 > 2$

Entonces, tomando en cuenta que si cada empanada cuesta 20 Ps. ¿Cuál de los dos debe más dinero?

Debemos multiplicar la cantidad de empanadas por el precio de cada empanada, y así, su compañero debe $(-10) \cdot 4$ y usted debe $(-10) \cdot 2$ Cuando comparamos estos dos valores, obtenemos la siguiente desigualdad:

$\displaystyle (-10) \cdot 4 < (-10) \cdot 2 \Longleftrightarrow -40 < -20$

Lo que ocurre es que su deuda es más pequeña que la de su compañero, es decir, su deuda está más cercana al cero que la deuda de su compañero.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

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Lo que debemos notar es que si multiplicamos por un número negativo en ambos lados de una inecuación, cambia el sentido de la desigualdad. Formalmente, si consideramos $a$ , $b$ y $-c$ números reales, donde $-c$ es un número negativo, entonces:

$a > b \Longleftrightarrow a \cdot (-c) < b \cdot (-c)$

$a \geq b \Longleftrightarrow a \cdot (-c) \leq b \cdot (-c)$

$a < b \Longleftrightarrow a \cdot (-c) > b \cdot (-c)$

$a \leq b \Longleftrightarrow a \cdot (-c) \geq b \cdot (-c)$

A continuación veremos algunos ejemplos de inecuaciones en las cuales debemos hallar el valor de $x$ y también veremos que la solución se puede representar como un conjunto de forma comprensiva y de forma gráfica en la recta real.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente inecuación: $2 + 8x < 6$ , escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

$\displaystyle 2 + 8x < 6$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 8x + 2 - 2 < 6 - 2$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 8x + 2 - 2 < 4$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 8x + 0 < 4$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 8x < 4$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \frac{8}{8}x < \frac{4}{8}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 1 \cdot x < \frac{1}{2}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x < \frac{1}{2}$

Solución: $\{ x \in \mathbb{R} : x < \frac{1}{2} \}$

Note que en la representación gráfica de esta solución hemos usado un paréntesis ), esto es para denotar que el número un medio no está incluido en nuestra solución pues ésta viene dada por todos los números menores o iguales que un medio.

Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente inecuación: $1 + 3x \leq 7$ , escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

$\displaystyle 1 + 3x \leq 7$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 3x \leq 7 - 1$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 3x \leq 6$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x \leq \frac{6}{3}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x \leq 2$

Solución: $\{ x \in \mathbb{R} : x \leq 2 \}$

Dibujo de la recta real, donde todos los números menores o iguales que dos están representados con rayas cruzadas. Sobre el número dos hay escrito un paréntesis. | totumat.com — *todos los números menores o iguales que dos*

Note que en la representación gráfica de esta solución hemos usado un corchete ] en vez de un paréntesis, esto es para denotar que el número dos sí está incluido en nuestra solución pues ésta viene dada por todos los números menores o iguales que dos.

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Ejemplo 3

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente inecuación: $\frac{5}{3} - 5x > \frac{2}{3}$ , escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

$\displaystyle \frac{5}{3} - 5x > \frac{2}{3}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow - 5x > \frac{2}{3} - \frac{5}{3}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow - 5x > - \frac{3}{3}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow - 5x > -1$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \frac{-5}{-5}x < \frac{-1}{-5}$

(Cambia el sentido de la desigualdad al dividir entre -5 en ambos lados)

$\displaystyle \Longleftrightarrow x < \frac{1}{5}$

Solución: $\{ x \in \mathbb{R} : x < \frac{1}{5} \}$

Dibujo de la recta real, donde todos los números menores que un quinto están representados con rayas cruzadas. Sobre el número un quinto hay escrito un paréntesis. | totumat.com — *todos los números menores que un quinto*

Note que cuando se multiplicó por $-\frac{1}{5}$ (o que es lo mismo, se dividió por $-5$ ) en ambos lados de la desigualdad, cambió el sentido de la desigualdad.

Ejemplo 4

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente inecuación: $5x - 3 \geq 12$ , escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

$\displaystyle 5x - 3 \geq 12$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 5x \geq 12 + 3$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 5x \geq 15$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x \geq \frac{15}{5}$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x \geq 3$

Solución: $\{ x \in \mathbb{R} : x \geq 3 \}$

Dibujo de la recta real, donde todos los números mayores que tres están representados con rayas cruzadas. Sobre el número tres hay escrito un corchete. | totumat.com — *todos los números mayores o iguales que tres*

Note que en la representación gráfica de esta solución hemos usado un corchete [ en vez de un paréntesis, esto es para denotar que el número tres sí está incluido en nuestra solución pues ésta viene dada por todos los números mayores o iguales que tres.

4 comentarios en “Introducción a las Inecuaciones Lineales”

Inecuaciones Lineales con dos desigualdades – totumat dice:

21.12.2022 a las 7:13 pm

[…] introducir las inecuaciones lineales, calculamos la solución de estas usando técnicas de despeje muy similares a las usadas al […]

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Desigualdades – totumat dice:

20.12.2022 a las 9:31 pm

[…] Conociendo los tipos de desigualdades y viendo que podemos establecer relaciones entre números reales, podemos ir más allá y establecer relaciones entre números representados con una incógnita, esto lo haremos planteando inecuaciones. […]

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¿Qué es una inecuación?

Sumamos o restamos en ambos lados de la desigualdad

Dividimos o multiplicamos en ambos lados de la desigualdad

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Ejemplo 1

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