Desigualdades

Al estudiar la Ley de Tricotomía en los números reales, pudimos establecer tres tipos de relaciones entre un par de números reales, con las ecuaciones estudiamos la relación que existe cuando dos números eran iguales. Ahora, ¿qué relación existe cuando dos números no son iguales? Cuando dos números no iguales, podemos decir que estos son desiguales. Veamos entonces los tipos de desigualdad que podemos encontrar:

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Tipos de Desigualdades

Mayor que

La desigualdad mayor que se denota con el símbolo > y relaciona dos números reales determinando cual es mayor que el otro. Por ejemplo:

  • 10 > 8, se lee diez es mayor que ocho.
  • 3 > -9, se lee tres es mayor que menos nueve.
  • -5 > -16, se lee menos quince es mayor que menos dieciséis.

Mayor o igual que

La desigualdad mayor o igual que se denota con el símbolo \geq y relaciona dos números reales determinando cual es mayor que el otro pero también dejando la posibilidad de que sean iguales. Por ejemplo:

  • 7 \geq 4, se lee siete es mayor o igual que cuatro.
  • 10 \geq -7, se lee diez es mayor o igual que menos siete.
  • -1 \geq -4, se lee menos uno es mayor o igual que menos cuatro.
  • 3 \geq 3, se lee tres es mayor o igual que tres.
  • -8 \geq -8, se lee menos ocho es mayor o igual que menos ocho.

Menor que

La desigualdad menor que se denota con el símbolo < y relaciona dos números reales determinando cual es menor que el otro. Por ejemplo:

  • 2 < 5, se lee dos es menor que 5.
  • -13 < 0, se lee menos trece es menor que cero.
  • -6 < -2, se lee menos seis es menor que menos dos.

Menor o igual que

La desigualdad menor o igual que se denota con el símbolo \leq y relaciona dos números reales determinando cual es menor que el otro pero también dejando la posibilidad de que sean iguales. Por ejemplo:

  • 11 \leq 20, se lee diez es menor o igual que veinte.
  • -3 \leq 14, se lee menos tres es menor o igual que catorce.
  • -22 \leq -9, se lee menos veintidós es menor o igual que menos nueve.
  • 6 \leq 6, se lee seis es menor o igual que seis.
  • -10 \leq -10, se lee menos diez es menor o igual que menos diez.

Conociendo los tipos de desigualdades y viendo que podemos establecer relaciones entre números reales, vamos más allá y establecer relaciones entre números que no conocemos, para esto planteamos inecuaciones.


Inecuaciones Lineales (1 de 2)

¿Qué son las inecuaciones?

Suponga que usted va al supermercado a comprar queso pero debe comprar menos de un kilo porque el dinero no le alcanza, la persona que vende el queso le corta un trozo que pesa un tercio de kilo pero a usted le gustaría un poco más. ¿Cuánto más queso debería cortar de modo que sea menos de un kilo?

Esta situación se puede plantear como una ecuación de la siguiente manera:

un tercio más equis es menor que uno

Podemos tantear la situación para determinar cuál es el valor de x que satisface esta desigualdad, sin embargo, podemos desarrollar un método para determinar este valor mediante las operaciones entre números reales tal como lo hicimos cuando calculamos la solución de ecuaciones.

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Partiendo del hecho que \frac{1}{3} + x < 1 es equivalente a x + \frac{1}{3} < 1, la operación que primero se nos viene a la mente es pasar el un tercio restado al otro lado de la desigualdad, recordando que en realidad lo que está pasando es que estamos restando un tercio en ambos lados de la ecuación, pero, ¿se mantiene la desigualdad si restamos un número real en ambos lados la ecuación?

La respuesta es sí. Pues si usted tiene un kilo de queso en una nevera y un tercio de kilo en un plato, hay menos queso en el plato que en la nevera; y si de ambos toma un tercio, en la nevera aún habrá más que en el plato. Entonces,

x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} < 1 - \frac{1}{3} \Rightarrow x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} < 1 - \frac{1}{3}  \Rightarrow x  < \frac{2}{3}

Esto quiere decir que la persona que vende el queso debe cortar menos de dos tercios de kilo para que su pedido no se pase de un kilo. Nos damos cuenta que no es un único número el que satisface esta condición, así que todos los números que satisfacen esta inecuación son aquellos que se encuentran en el conjunto \{ x \in R : x < \frac{2}{3} \}, este conjunto lo representaremos gráficamente en la recta real de la siguiente manera:

Notemos que para hallar el valor de x hicimos un procedimiento muy parecido al que usamos con las ecuaciones. En general el procedimiento será el mismo pero cuando multiplicamos en ambos lados de una inecuación hay que tomar en cuenta ciertas consideraciones.

Suponga que usted y un compañero de clases van a desayunar en un cafetín, ese día ninguno de los dos llevó dinero y la señora que atiende les fió porque ustedes dos son buenas personas, usted pide 4 empanadas y su compañero pide 2 empanadas. ¿cuál de los dos tiene más empanadas? Usted tiene más empanadas. Si cada empanada cuesta 20 perolitos, entonces usted debe 80 perolitos y su compañero debe 40 perolitos, ¿cuál de los dos debe más dinero? Esta situación se representa de la siguiente manera:

2 < 4  \Longleftrightarrow (-20) \cdot 2 > (-20) \cdot 4  \Longleftrightarrow  -40 > -80

Esto lo que representa es que pese a que su compañero obtuvo menos empanadas que usted, al final su deuda (-80) es más grande que la de su compañero (-40), pues la de él está más cercana al cero de lo que está su deuda.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Lo que debemos notar es que si multiplicamos por un número negativo en ambos lados de una inecuación, cambia el sentido de la desigualdad. Formalmente, si consideramos a, b y c números reales, donde c es un número negativo, entonces:

a > b \Longleftrightarrow a \cdot c < b \cdot c

a \geq b \Longleftrightarrow a \cdot c \leq b \cdot c

a < b \Longleftrightarrow a \cdot c > b \cdot c

a \leq b \Longleftrightarrow a \cdot c \geq b \cdot c

En general una inecuación será una inecuación que se expresa de la siguiente forma:

A continuación veremos algunos ejemplos de inecuaciones en las cuales debemos hallar el valor de x y también veremos como expresar la solución:

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad

2 + 8x < 6

2 + 8x < 6
\Longleftrightarrow 8x + 2 - 2 < 6 - 2
\Longleftrightarrow 8x + 2 - 2 < 4
\Longleftrightarrow 8x + 0 < 4
\Longleftrightarrow 8x < 4
\Longleftrightarrow \frac{8}{8}x < \frac{4}{8}
\Longleftrightarrow 1 \cdot x < \frac{1}{2}
\Longleftrightarrow x < \frac{1}{2}

solución: \{ x \in R : x < \frac{1}{2} \}

todos los números menores que un medio

Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad

1 + 3x \leq 7

1 + 3x \leq 7
\Longleftrightarrow 3x \leq 7 - 1
\Longleftrightarrow 3x \leq 6
\Longleftrightarrow x \leq \frac{6}{3}
\Longleftrightarrow x \leq 2

solución: \{ x \in R : x \leq 2 \}

todos los números menores o iguales que dos

Note que en la representación gráfica de esta solución hemos usado un corchete ] en vez de un paréntesis, esto es para denotar que el número dos está incluido en nuestra solución pues ésta viene dada por todos los números menos o iguales que dos.

Ejemplo 3

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad

\frac{5}{3} - 5x > \frac{2}{3}

\frac{5}{3} - 5x > \frac{2}{3}
\Longleftrightarrow - 5x > \frac{2}{3} - \frac{5}{3}
\Longleftrightarrow - 5x > - \frac{3}{3}
\Longleftrightarrow  - 5x > -1
\Longleftrightarrow \frac{-5}{-5}x < \frac{-1}{-5} (Cambia el sentido de la desigualdad)
\Longleftrightarrow x < 1

solución: \{ x \in R : x < 1 \}

todos los números menores que uno

Ejemplo 4

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad

5x - 3 \geq 12

5x - 3 \geq 12
\Longleftrightarrow 5x \geq 12 + 3
\Longleftrightarrow 5x \geq 15
\Longleftrightarrow x \geq \frac{15}{5}
\Longleftrightarrow  x \geq 3

solución: \{ x \in R : x \geq 3 \}

todos los números mayores o iguales que tres


Operaciones entre Números Reales

Axiomas Algebraicos de los Números Reales

Entre los números reales podemos hacer todas las operaciones que ya hemos aprendido: suma, resta, multiplicación y división. Pero lo que trataremos en este caso son las propiedades de estas operaciones, pudimos estudiarlas en cada uno de los conjunto de los que definimos anteriormente pero las dejamos para esta ocasión pues estamos en un contexto más general. Estas propiedades constituyen los Axiomas Algebraicos de los Números Reales. Entonces, si a, b y c son números reales, tenemos:

Propiedades para la suma

  1. El conjunto de los números reales es cerrado bajo la suma: a+b es un número real.
  2. Propiedad conmutativa: a + b = b + a.
  3. Propiedad asociativa: a + (b + c) = (a + b)+c.
  4. Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que a + 0 = 0 + a = a.
  5. Opuesto aditivo: Para todo número real a, existe un número real -a tal que al sumarlos, obtenemos como resultado el número 0, es decir, a + (-a) = (-a) + a = 0.

Veamos ahora que existe cierta dualidad entre la suma y el producto, pues hay propiedades parecidas pero en el contexto del producto como se presentan a continuación:

Propiedades para el producto

  1. El conjunto de los números reales es cerrado bajo el producto: a \cdot b es un número real.
  2. Propiedad conmutativa: a  \cdot  b = b  \cdot  a.
  3. Propiedad asociativa: a  \cdot  (b  \cdot  c) = (a  \cdot  b) \cdot c.
  4. Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos uno denotado por 1, tal que a  \cdot  1 = 1  \cdot  a = a.
  5. Inverso multiplicativo: Para todo número real a \neq 0, existe un número real a^{-1} tal que al multiplicarlos, obtenemos como resultado el número 1, es decir, a  \cdot   a^{-1}  =  a^{-1}   \cdot  a = 1.
  6. Elemento nulo: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que a  \cdot  0 = 0  \cdot  a = 0.

Finalmente, veamos una propiedad que involucra la suma y la multiplicación al mismo tiempo.

Propiedad Distributiva

a \cdot (a + b) = a \cdot b + a \cdot c

Si consideramos esta igualdad en un sentido, distribuimos un producto en una suma pero en el sentido contrario haremos algo que se conoce como como sacar factor común.

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Axiomas de Orden

Existen otros axiomas que cohesionan con mayor fuerza el conjunto de los números reales, particularmente, Ley de Tricotomía define parte de los Axiomas de Orden de los números reales estableciendo una relación entre dos números reales. Formalmente, si a y b son números reales, entonces se cumple sólo una de las siguientes:

1.- a es igual a b, es decir, a = b. Gráficamente tenemos que a y b se encuentran en el mismo punto de la recta real.

a es igual a b

2.- a es menor que b, es decir, a < b. Gráficamente tenemos que a se encuentra a la izquierda de b de la recta real.

a es menor que b

3.- a es mayor que b, es decir, a > b. Gráficamente tenemos que a se encuentra a la derecha de b de la recta real.

a es mayor que b

Las relaciones entre cualquier número real y el número cero son muy particulares, pues el cero de cierta forma nos parte la recta real en dos partes, a una parte la llamaremos el Conjunto de los Reales Positivos y a la otra parte la llamaremos El Conjunto de los Reales Negativos. Entonces si a es un número real, tendremos que:

  • Si a > 0, diremos que a es un número positivo.
  • Si a < 0, diremos que a es un número negativo.

Gráficamente, diremos que los números positivos están a la derecha del cero y los números negativos están a la izquierda del cero. Entonces, al trazar la recta real, siempre indicaremos con una flecha el sentido en el que se encuentran los números positivos.