Desigualdades

  1. Tipos de Desigualdades
    1. Mayor que
    2. Mayor o igual que
    3. Menor que
    4. Menor o igual que

Al estudiar la Ley de Tricotomía en los números reales, pudimos establecer tres tipos de relaciones entre un par de números reales, con las ecuaciones estudiamos la relación que existe cuando dos números eran iguales. Ahora, ¿qué relación existe cuando dos números no son iguales? Cuando dos números no iguales, podemos decir que estos son desiguales. Veamos entonces los tipos de desigualdad que podemos encontrar:

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Tipos de Desigualdades

Mayor que

La desigualdad mayor que se denota con el símbolo > y relaciona dos números reales indicando que el primero es mayor que el segundo. Por ejemplo:

  • 10 > 8, se lee diez es mayor que ocho.
  • 3 > -9, se lee tres es mayor que menos nueve.
  • -5 > -16, se lee menos quince es mayor que menos dieciséis.

Mayor o igual que

La desigualdad mayor o igual que se denota con el símbolo \geq y relaciona dos números reales indicando que el primero es mayor que el segundo pero también dejando la posibilidad de que sean iguales. Por ejemplo:

  • 7 \geq 4, se lee siete es mayor o igual que cuatro.
  • 10 \geq -7, se lee diez es mayor o igual que menos siete.
  • -1 \geq -4, se lee menos uno es mayor o igual que menos cuatro.
  • 3 \geq 3, se lee tres es mayor o igual que tres.
  • -8 \geq -8, se lee menos ocho es mayor o igual que menos ocho.
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Menor que

La desigualdad menor que se denota con el símbolo < y relaciona dos números reales indicando que el primero es menor que el segundo. Por ejemplo:

  • 2 < 5, se lee dos es menor que 5.
  • -13 < 0, se lee menos trece es menor que cero.
  • -6 < -2, se lee menos seis es menor que menos dos.

Menor o igual que

La desigualdad menor o igual que se denota con el símbolo \leq y relaciona dos números reales indicando que el primero es menor que el segundo pero también dejando la posibilidad de que sean iguales. Por ejemplo:

  • 11 \leq 20, se lee diez es menor o igual que veinte.
  • -3 \leq 14, se lee menos tres es menor o igual que catorce.
  • -22 \leq -9, se lee menos veintidós es menor o igual que menos nueve.
  • 6 \leq 6, se lee seis es menor o igual que seis.
  • -10 \leq -10, se lee menos diez es menor o igual que menos diez.

Conociendo los tipos de desigualdades y viendo que podemos establecer relaciones entre números reales, podemos ir más allá y establecer relaciones entre números representados con una incógnita, esto lo haremos planteando inecuaciones.


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Introducción a las Inecuaciones Lineales

  1. ¿Qué es una inecuación?
  2. Sumamos o restamos en ambos lados de la desigualdad
  3. Dividimos o multiplicamos en ambos lados de la desigualdad
  4. Ejemplos
    1. Ejemplo 1
    2. Ejemplo 2
    3. Ejemplo 3
    4. Ejemplo 4

¿Qué es una inecuación?

Suponga que usted va al supermercado a comprar queso pero debe comprar menos de un kilo porque el dinero no le alcanza, la persona que vende el queso le corta un trozo que pesa un tercio de kilo pero a usted le gustaría un poco más. ¿Cuánto más queso debería cortar de modo que sea menos de un kilo?

Recordemos que las desigualdades nos permiten comparar números reales, por lo tanto, esta situación se puede plantear como una relación a través de una desigualdad, de la siguiente manera:

\displaystyle \frac{1}{3} + x < 1

Es decir, el valor de x representa una porción adicional sobre un tercio de kilo de queso, que representa un rango de valores, pues, pudiéramos añadir un poco o mucho, con tal y no nos excedamos de un kilo de queso.

Podemos tantear la situación para determinar cuáles son los valores de x que satisfacen esta desigualdad, sin embargo, nuestro objetivo será el de desarrollar un método para determinar este valor mediante las operaciones entre números reales tal como lo hicimos cuando calculamos la solución de ecuaciones.

Formalmente, definimos una inecuación como una relación entre números conocidos y números desconocidos a través de una desigualdad. Generalmente, denotamos dichos números desconocidos con las letras x, y o z; a estos valores desconocidos también se les conoce como incógnitas. Esta definición es muy parecida a la de una ecuación, sin embargo, la solución estará representada por un conjunto infinito de números reales.

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Sumamos o restamos en ambos lados de la desigualdad

Usaremos técnicas de despeje de la incógnita para calcular la solución de inecuaciones. Entonces, continuando con nuestro ejemplo:

\displaystyle \frac{1}{3} + x < 1

El primer paso es conmutar la suma que está en el lado izquierdo de la desigualdad, de forma que obtenemos la siguiente inecuación:

\displaystyle x + \frac{1}{3} < 1

El siguiente paso para despejar es restar un tercio en ambos lados de la inecuación, pero, ¿se mantiene la desigualdad si restamos un número real en ambos lados la ecuación?

La respuesta es sí. Veámoslo de la siguiente forma: si usted tiene un tercio de kilo de queso (333,33 miligramos) en un plato y un kilo de queso (1000 miligramos) en un una nevera, hay menos queso en el plato que en la nevera.

Si de ambos toma un tercio, el plato quedará nacío y en la nevera quedarán dos tercios de kilo de queso (666.66 miligramos), es decir, en el plato habrá menos queso que en la nevera. Por lo tanto, se mantiene la desigualdad.

Por lo tanto, si restamos un tercio en ambos lados de la inecuación, podemos concluir lo siguiente:

\displaystyle x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} < 1 - \frac{1}{3}

\displaystyle \Rightarrow x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} < 1 - \frac{1}{3}

\displaystyle \Rightarrow x  < \frac{2}{3}

Finalmente, concluimos que la persona que vende el queso debe cortar a lo sumo, dos tercios de kilo para que su pedido no se pase de un kilo.

Nos damos cuenta que no es un único el número que satisface esta condición, pues de forma general todos los números que son menores que dos tercios son aquellos que se encuentran en el conjunto \{ x \in \mathbb{R} : x < \frac{2}{3} \}.

Este conjunto se puede apreciar mucho mejor con una representación gráfica, así que lo representaremos gráficamente en la recta real de la siguiente manera:

Dibujo de la recta real, donde todos los números menores que un medio están representados con rayas cruzadas. Sobre el número un medio hay escrito un paréntesis. | totumat.com
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Dividimos o multiplicamos en ambos lados de la desigualdad

Notemos que para calcular el valor de x hicimos un procedimiento muy parecido al que usamos para calcular la solución de una ecuación y en general el procedimiento será el mismo pues al sumar o restar números en ambos lados de la desigualdad, esta permanece inalterada.

Al multiplicar en ambos lados de una inecuación por un número positivo, ésta permanece inalterada. Sin embargo, cuando multiplicamos en ambos lados de una inecuación por un número real negativo, cambiará el sentido de la desigualdad.

Suponga que usted y un compañero de clases van a desayunar en un cafetín, cada empanada cuesta 10 Ps pero ese día ninguno de los dos llevó dinero, así que la señora que atiende les fía porque ustedes clientes regulares. Su compañero pide 4 empanadas y usted pide 2 empanadas. ¿Cuál de los dos tiene más empanadas?

Su compañero tiene más empanadas que usted y esta situación se representa de la siguiente manera:

4 > 2

Entonces, tomando en cuenta que si cada empanada cuesta 20 Ps. ¿Cuál de los dos debe más dinero?

Debemos multiplicar la cantidad de empanadas por el precio de cada empanada, y así, su compañero debe (-10) \cdot 4 y usted debe (-10) \cdot 2 Cuando comparamos estos dos valores, obtenemos la siguiente desigualdad:

\displaystyle (-10) \cdot 4 < (-10) \cdot 2 \Longleftrightarrow  -40 < -20

Lo que ocurre es que su deuda es más pequeña que la de su compañero, es decir, su deuda está más cercana al cero que la deuda de su compañero.


Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.


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Lo que debemos notar es que si multiplicamos por un número negativo en ambos lados de una inecuación, cambia el sentido de la desigualdad. Formalmente, si consideramos a, b y -c números reales, donde -c es un número negativo, entonces:

a > b \Longleftrightarrow a \cdot (-c) < b \cdot (-c)

a \geq b \Longleftrightarrow a \cdot (-c) \leq b \cdot (-c)

a < b \Longleftrightarrow a \cdot (-c) > b \cdot (-c)

a \leq b \Longleftrightarrow a \cdot (-c) \geq b \cdot (-c)

A continuación veremos algunos ejemplos de inecuaciones en las cuales debemos hallar el valor de x y también veremos que la solución se puede representar como un conjunto de forma comprensiva y de forma gráfica en la recta real.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente inecuación: 2 + 8x < 6, escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

\displaystyle 2 + 8x < 6

\displaystyle \Longleftrightarrow 8x + 2 - 2 < 6 - 2

\displaystyle \Longleftrightarrow 8x + 2 - 2 < 4

\displaystyle \Longleftrightarrow 8x + 0 < 4

\displaystyle \Longleftrightarrow 8x < 4

\displaystyle \Longleftrightarrow \frac{8}{8}x < \frac{4}{8}

\displaystyle \Longleftrightarrow 1 \cdot x < \frac{1}{2}

\displaystyle \Longleftrightarrow x < \frac{1}{2}

Solución: \{ x \in \mathbb{R} : x < \frac{1}{2} \}

Dibujo de la recta real, donde todos los números menores que un medio están representados con rayas cruzadas. Sobre el número un medio hay escrito un paréntesis. | totumat.com
todos los números reales menores que un medio

Note que en la representación gráfica de esta solución hemos usado un paréntesis ), esto es para denotar que el número un medio no está incluido en nuestra solución pues ésta viene dada por todos los números menores o iguales que un medio.


Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente inecuación: 1 + 3x \leq 7, escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

\displaystyle 1 + 3x \leq 7

\displaystyle \Longleftrightarrow 3x \leq 7 - 1

\displaystyle \Longleftrightarrow 3x \leq 6

\displaystyle \Longleftrightarrow x \leq \frac{6}{3}

\displaystyle \Longleftrightarrow x \leq 2

Solución: \{ x \in \mathbb{R} : x \leq 2 \}

Dibujo de la recta real, donde todos los números menores o iguales que dos están representados con rayas cruzadas. Sobre el número dos hay escrito un paréntesis. | totumat.com
todos los números menores o iguales que dos

Note que en la representación gráfica de esta solución hemos usado un corchete ] en vez de un paréntesis, esto es para denotar que el número dos sí está incluido en nuestra solución pues ésta viene dada por todos los números menores o iguales que dos.


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Ejemplo 3

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente inecuación: \frac{5}{3} - 5x > \frac{2}{3}, escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

\displaystyle \frac{5}{3} - 5x > \frac{2}{3}

\displaystyle \Longleftrightarrow - 5x > \frac{2}{3} - \frac{5}{3}

\displaystyle \Longleftrightarrow - 5x > - \frac{3}{3}

\displaystyle \Longleftrightarrow  - 5x > -1

\displaystyle \Longleftrightarrow \frac{-5}{-5}x < \frac{-1}{-5}

(Cambia el sentido de la desigualdad al dividir entre -5 en ambos lados)

\displaystyle \Longleftrightarrow x < \frac{1}{5}

Solución: \{ x \in \mathbb{R} : x < \frac{1}{5} \}

Dibujo de la recta real, donde todos los números menores que un quinto están representados con rayas cruzadas. Sobre el número un quinto hay escrito un paréntesis. | totumat.com
todos los números menores que un quinto

Note que cuando se multiplicó por -\frac{1}{5} (o que es lo mismo, se dividió por -5) en ambos lados de la desigualdad, cambió el sentido de la desigualdad.


Ejemplo 4

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente inecuación: 5x - 3 \geq 12, escriba el conjunto solución de forma comprensiva y haga una representación gráfica de la solución en la recta real.

\displaystyle 5x - 3 \geq 12

\displaystyle \Longleftrightarrow 5x \geq 12 + 3

\displaystyle \Longleftrightarrow 5x \geq 15

\displaystyle \Longleftrightarrow x \geq \frac{15}{5}

\displaystyle \Longleftrightarrow  x \geq 3

Solución: \{ x \in \mathbb{R} : x \geq 3 \}

Dibujo de la recta real, donde todos los números mayores que tres están representados con rayas cruzadas. Sobre el número tres hay escrito un corchete. | totumat.com
todos los números mayores o iguales que tres

Note que en la representación gráfica de esta solución hemos usado un corchete [ en vez de un paréntesis, esto es para denotar que el número tres sí está incluido en nuestra solución pues ésta viene dada por todos los números mayores o iguales que tres.


Axiomas Algebraicos de los Números Reales

  1. Axiomas para la suma
  2. Axiomas para el producto
  3. Propiedad Distributiva
  4. Axiomas de Orden
  5. Números positivos y números negativos

Entre los números reales podemos hacer todas las operaciones que ya hemos aprendido al definir los números naturales, enteros y racionales, estas operaciones son: suma, resta, multiplicación y división. Pero, al presentarse los números reales como un contexto más general, es necesario formalizar la forma en que podemos efectuar estas operaciones.

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Los Axiomas Algebraicos de los Números Reales usualmente se conocen como propiedades de los números reales y para enunciarlos, consideremos a, b y c números reales.

Axiomas para la suma

  1. El conjunto de los números reales es cerrado bajo la suma: a+b es un número real.
  2. Propiedad conmutativa: a + b = b + a
  3. Propiedad asociativa: a + (b + c) = (a + b)+c
  4. Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que a + 0 = 0 + a = a
  5. Opuesto aditivo: Para todo número real a, existe un número real -a tal que al sumarlos, obtenemos como resultado el número 0, es decir, a + (-a) = (-a) + a = 0

Veamos ahora que existe cierta dualidad entre la suma y el producto, pues hay propiedades parecidas pero en el contexto del producto como se presentan a continuación:

Axiomas para el producto

  1. El conjunto de los números reales es cerrado bajo el producto: a \cdot b es un número real.
  2. Propiedad conmutativa: a  \cdot  b = b  \cdot  a
  3. Propiedad asociativa: a  \cdot  (b  \cdot  c) = (a  \cdot  b) \cdot c
  4. Elemento neutro: Existe un único número que llamaremos uno denotado por 1, tal que a  \cdot  1 = 1  \cdot  a = a
  5. Inverso multiplicativo: Para todo número real a \neq 0, existe un número real a^{-1} tal que al multiplicarlos, obtenemos como resultado el número 1, es decir, a  \cdot   a^{-1}  =  a^{-1}   \cdot  a = 1
  6. Elemento nulo: Existe un único número que llamaremos cero denotado por 0, tal que a  \cdot  0 = 0  \cdot  a = 0

Finalmente, veamos una propiedad que involucra la suma y la multiplicación al mismo tiempo.

Propiedad Distributiva

a \cdot (a + b) = a \cdot b + a \cdot c

Si consideramos esta igualdad en un sentido, distribuimos un producto en una suma pero en el sentido contrario haremos algo que se conoce como como sacar factor común.

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Axiomas de Orden

Existen otros axiomas que cohesionan con mayor fuerza el conjunto de los números reales, particularmente, Ley de Tricotomía define una parte de los Axiomas de Orden de los números reales estableciendo una relación entre dos números reales. Formalmente, si a y b son números reales, entonces se cumple sólo una de las siguientes:

1.- a es igual a b, es decir, a = b. Gráficamente tenemos que a y b se encuentran en el mismo punto de la recta real.

a es igual a b

2.- a es menor que b, es decir, a < b. Gráficamente tenemos que a se encuentra a la izquierda de b de la recta real.

a es menor que b

3.- a es mayor que b, es decir, a > b. Gráficamente tenemos que a se encuentra a la derecha de b de la recta real.

a es mayor que b
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Números positivos y números negativos

Las relaciones entre cualquier número real y el número cero son muy particulares, pues el cero de cierta forma parte la recta real en dos partes, a una parte la llamaremos el Conjunto de los Reales Positivos y a la otra parte la llamaremos El Conjunto de los Reales Negativos. Entonces si a es un número real, tendremos que:

  • Si a > 0, diremos que a es un número positivo.
  • Si a < 0, diremos que a es un número negativo.

Gráficamente, diremos que los números positivos están a la derecha del cero y los números negativos están a la izquierda del cero. Entonces, al trazar la recta real, siempre indicaremos con una flecha el sentido en el que se encuentran los números positivos.