Inecuaciones con Valor Absoluto, caso: «mayor que»

  1. Caso: «Mayor que»
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3: Valor absoluto mayor que un número negativo
      4. Ejemplo 4: Variables en ambos lados de la inecuación
      5. Ejemplo 5: Variables en ambos lados de la inecuación
      6. Ejemplo 6: Se anula la variable en la inecuación
      7. Ejemplo 7: Se anula la variable en la inecuación

Caso: «Mayor que»

Al definir el valor absoluto de un número real, hemos visto que es igual a la distancia entre dicho número y el número cero. Partiendo de esta definición, pudimos definir ecuaciones que involucran el valor absoluto de una variable.

De forma que si queremos determinar todos los números que cuya distancia entre cuya distancia a cero es igual a 5, entonces planteamos la siguiente ecuación: |x| = 5 y finalmente, determinamos que estos números son 5 y -5.

Pero, ¿y si queremos determinar todos los números cuya distancia a cero es mayor que 5? Para dar respuesta a esta pregunta, podemos plantear la siguiente inecuación:

|x| > 5

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Entonces, ¿qué números satisfacen dicha inecuación? Podemos tantear las respuestas, por ejemplo: el número 2 no la satisface, pues |2|=2 y 2 no es mayor que 5. Así podemos probar con los números 3, 4 y 5 pero ninguno de estos números satisface la inecuación.

Sin embargo, si consideramos 6, 7 u 8 podemos ver que estos números sí satisfacen la inecuación y en general podemos decir que cualquier número mayor que 5 satisface la inecuación pero, ¿serán esos los únicos números que satisfacen la inecuación?

La respuesta es no, pues si consideramos -6, -7 u -8 entonces estos números también satisfacen la inecuación y en general podemos decir que cualquier número menor que -7 satisface la inecuación.

Razonando de esta forma, podemos concluir que cualquier número que sea mayor que 5 o menor que -5 satisface la inecuación |x| > 5. Gráficamente, podemos representar todos estos números en la recta real de la siguiente forma:

En general, diremos que al considerar una inecuación de la forma |x| > a, donde a es un número real; la solución viene dada por todos los números mayores que a ó todos los números menores que a, formalmente se puede calcular la solución planteando la siguiente equivalencia:

\Large \left| x \right| > a \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x > a \\ \text{\'o} \\ x < -a \end{array} } \right.


Nota: el «ó» que se expresa en nuestra solución tiene un carácter lógico proposicional, esto quiere decir que es un «ó» inclusivo. Es decir, ambas opciones pueden presentar una solución para nuestra solución.

Imagínese que en una reunión con sus amigos, acuerdan llevar empanadas o pastelitos para comer, es decir, si sólo hay empanadas, solo hay pastelitos o hay ambas cosas, igual van a comer.


Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de inecuaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad

|x+3| > 1

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

 \left\{ {\begin{array}{lr} x + 3 > 1  & \text{(1)} \\ \text{\'o} \\ x + 3 < -1 & \text{(2)}  \end{array} } \right.

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

x + 3 > 1

\Rightarrow x > 1 - 3

\Rightarrow x > - 2

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores que -2, formalmente,

(-2,+\infty)

Intervalos | totumat.com

Solución (2):

x + 3 < -1

\Rightarrow x < -1 - 3

\Rightarrow x < - 4

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores que -4, formalmente,

(-\infty,-4)

Intervalos | totumat.com

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los números que cumplen con la solución (2). Por lo tanto, consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
(-\infty,-4) \cup (-2,+\infty)

Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad

|4x+1| \geq 7

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor o igual que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor o igual que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

 \left\{ {\begin{array}{lr} 4x+1 \geq 7  & \text{(1)} \\ \text{\'o} \\ 4x+1 \leq -7 & \text{(2)}  \end{array} } \right.

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

4x+1 \geq 7

\Rightarrow 4x \geq 7 - 1

\Rightarrow 4x \geq 6

\Rightarrow x \geq \frac{6}{4}

\Rightarrow x \geq \frac{3}{2}

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores o iguales que \frac{3}{2}, formalmente,

\left[ \frac{3}{2},+\infty \right)

Solución (2):

4x+1 \leq -7

\Rightarrow 4x \leq -7 - 1

\Rightarrow 4x \leq -8

\Rightarrow x \leq -\frac{8}{4}

\Rightarrow x \leq -2

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores o iguales que \frac{3}{2}, formalmente,

(-\infty,-2]

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los números que cumplen con la solución (2). Por lo tanto, consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
(-\infty,-2] \cup \left[ \frac{3}{2},+\infty \right)

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Ejemplo 3: Valor absoluto mayor que un número negativo

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad

|-2x+16| > -8

Al considerar esta inecuación, no es necesario hacer el procedimiento que hemos visto en los primeros ejemplos pues recordando que el valor absoluto de un número siempre es positivo, tenemos que sea cual sea el valor de x ese valor absoluto siempre será mayor que -8. Básicamente la pregunta es: ¿cuándo un número positivo es mayor que un número negativo?

La respuesta es: Siempre. Por lo tanto, la solución de esta inecuación viene dada por el conjunto de todos los números reales:

\mathbb{R} = (-\infty,+\infty)


Ejemplo 4: Variables en ambos lados de la inecuación

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad

|2x-1|> -x+3

Lo primero que debemos notar al calcular la solución de esta inecuación, es que en ambos lados de la desigualdad hay una incógnita. Así que al final debemos tener evaluar para qué valores, esta desigualdad tiene sentido.

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

 \left\{ {\begin{array}{lr} 2x-1>-x+3  & \text{(1)} \\ \text{\'o} \\ 2x-1<-(-x+3) & \text{(2)}  \end{array} } \right.

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

2x - 1 > -x + 3

\Rightarrow 2x > -x + 3 + 1

\Rightarrow 2x > -x + 4

\Rightarrow 2x + x > 4

\Rightarrow 3x > 4

\Rightarrow x > \frac{4}{3}

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores que \frac{4}{3}, formalmente,

\left( \frac{4}{3},+\infty \right)

Solución (2):

2x - 1 < -(-x + 3)

\Rightarrow 2x - 1 < x - 3

\Rightarrow 2x < x -3 + 1

\Rightarrow 2x < x - 2

\Rightarrow 2x - x < -2

\Rightarrow x < -2

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores que -2, formalmente,

\left(-\infty,-2 \right)

Definimos la solución parcial a partir de todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los números que cumplen con la solución (2). Por lo tanto, consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución Parcial:
\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2)

Para determinar la solución general, debemos verificar los valores de x para los cuales la expresión -x+3 es negativa, pues para estos valores, la desigualdad |2x-1|> -x+3 siempre se cumple. Entonces, consideramos la siguiente condición sobre la variable x

-x+3 < 0 \Rightarrow -x<-3 \Rightarrow x > 3 \Rightarrow x \in (3,+\infty)

Finalmente, la solución general se define como la solución parcial incluyendo la condición, es decir,

Solución General:
\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2) \cup (3,+\infty) = \left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2)

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Ejemplo 5: Variables en ambos lados de la inecuación

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad

|-3x+2| \geq 4x+1

Lo primero que debemos notar al calcular la solución de esta inecuación, es que en ambos lados de la desigualdad hay una incógnita. Así que al final debemos tener evaluar para qué valores, esta desigualdad tiene sentido.

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor o igual que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor o igual que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

 \left\{ {\begin{array}{lr} -3x+2 \geq 4x+1  & \text{(1)} \\ \text{\'o} \\ -3x+2 \leq -(4x+1) & \text{(2)}  \end{array} } \right.

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

-3x+2 \geq 4x+1

\Rightarrow -3x \geq 4x+1-2

\Rightarrow -3x \geq 4x - 1

\Rightarrow -3x -4x \geq - 1

\Rightarrow -7x \geq - 1

\Rightarrow x \leq \frac{-1}{-7}

\Rightarrow x \leq \frac{1}{7}

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores o iguales que \frac{1}{7}, formalmente,

\left(-\infty, \frac{1}{7} \right]

Solución (2):

-3x+2 \leq -(4x+1)

\Rightarrow -3x+2 \leq -4x-1

\Rightarrow -3x \leq -4x-1-2

\Rightarrow -3x \leq -4x - 3

\Rightarrow -3x +4x \leq - 3

\Rightarrow x < -3

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores que -2, formalmente,

\left(-\infty,-2 \right)

Definimos la solución parcial a partir de todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los números que cumplen con la solución (2). Por lo tanto, consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución Parcial:
\left( -\infty , \frac{1}{7} \right] \cup ( -\infty,- 3 ] = \left( -\infty , \frac{1}{7} \right]

Para determinar la solución general, debemos verificar los valores de x para los cuales la expresión 4x+1 es negativa, pues para estos valores, la desigualdad |-3x+2| \geq 4x+1 siempre se cumple. Entonces, consideramos la siguiente condición sobre la variable x

4x+1 < 0 \Rightarrow 4x < -1 \Rightarrow x < -\frac{1}{4} \Rightarrow x \in \left( -\infty , -\frac{1}{4} \right)

Finalmente, la solución general se define como la solución parcial incluyendo la condición, es decir,

Solución General:
(-\infty,\frac{1}{7}] \cup \left( -\infty , -\frac{1}{4} \right) = (-\infty,-\frac{1}{7}]

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Ejemplo 6: Se anula la variable en la inecuación

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad

|x-2| \geq x+4

Lo primero que debemos notar al calcular la solución de esta inecuación, es que en ambos lados de la desigualdad hay una incógnita. Así que al final debemos tener evaluar para qué valores, esta desigualdad tiene sentido.

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor o igual que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor o igual que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

 \left\{ {\begin{array}{lr} x-2 \geq x+4  & \text{(1)} \\ \text{\'o} \\ x-2 \leq -(x+4) & \text{(2)}  \end{array} } \right.

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

x-2 \geq x+4

\Rightarrow x \geq x+4+2

\Rightarrow x \geq x+6

\Rightarrow x - x \geq 6

\Rightarrow 0 \geq 6

Podemos notar que se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 \geq 6, esta desigualdad es falsa, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con el conjunto vacío \emptyset pues no hay ningún valor de x que la satisfaga.

Solución (2):

x-2 \leq -(x+4)

\Rightarrow x-2 \leq -x-4

\Rightarrow x \leq -x-4+2

\Rightarrow x + x \leq -2

\Rightarrow 2x \leq -2

\Rightarrow x \leq -\frac{2}{2}

\Rightarrow x \leq - 1

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores o iguales que -1, formalmente,

\left(-\infty,-1 \right]

Definimos la solución parcial a partir de todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los números que cumplen con la solución (2). Por lo tanto, consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución Parcial:
\emptyset \cup (-\infty,-1] = (-\infty,-1]

Para determinar la solución general, debemos verificar los valores de x para los cuales la expresión x+4 es negativa, pues para estos valores, la desigualdad |x-2| \geq x+4 siempre se cumple. Entonces, consideramos la siguiente condición sobre la variable x

x+4 < 0 \Rightarrow x<-4 \Rightarrow x \in \left( -\infty , -4 \right)

Finalmente, la solución general se define como la solución parcial incluyendo la condición, es decir,

Solución General:
(-\infty,-1] \cup \left( -\infty , -4 \right) = (-\infty,-1]

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Ejemplo 7: Se anula la variable en la inecuación

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad

|x+3| > x-6

Lo primero que debemos notar al calcular la solución de esta inecuación, es que en ambos lados de la desigualdad hay una incógnita. Así que al final debemos tener evaluar para qué valores, esta desigualdad tiene sentido.

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor o igual que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor o igual que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

 \left\{ {\begin{array}{lr} x+3 > x-6  & \text{(1)} \\ \text{\'o} \\ x+3 < -(x-6)  & \text{(2)}  \end{array} } \right.

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

x+3 > x-6

\Rightarrow x > x - 6 - 3

\Rightarrow x > x - 9

\Rightarrow x - x > - 9

\Rightarrow 0 > - 9

Podemos notar que se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 > - 9, esta desigualdad es verdadera, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con todo el conjunto los números reales \mathbb{R} = (-\infty,+\infty) pues cualquier valor de x que la satisface.

Solución (2):

x+3 < -(x-6)

\Rightarrow x+3 < -x+6

\Rightarrow x < -x+6-3

\Rightarrow x < -x+3

\Rightarrow x + x < 3

\Rightarrow 2x < 3

\Rightarrow x < \frac{3}{2}

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores que \frac{3}{2}, formalmente,

\left(-\infty, \frac{3}{2} \right]

Definimos la solución parcial a partir de todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los números que cumplen con la solución (2). Por lo tanto, consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución Parcial:
\mathbb{R} \cup \left(-\infty,\frac{3}{2} \right) = \mathbb{R}

Para determinar la solución general, debemos verificar los valores de x para los cuales la expresión x-6 es negativa, pues para estos valores, la desigualdad |x+3| > x-6 siempre se cumple. Pero notemos que si unimos el conjunto que obtenemos de esta condición, independientemente de cual sea, la solución será la misma: el conjunto de los números reales \mathbb{R} = (-\infty,+\infty).


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