Inecuaciones con Valor Absoluto (2 de 2)

¡Acotemos las soluciones!

Consideremos el segundo caso de las ecuaciones con valor absoluto, es decir, aquellas ecuaciones cuya relación viene establecida por la desigualdad menor que. Si queremos hallar todos los números cuya distancia a 0 es menor que 3 podemos plantear la siguiente inecuación:

|x| < 3

¿Qué números satisfacen esa inecuación? El número 5 no la satisface, pues |5|=5 y 5 no es menor que 3. Sin embargo, si consideramos 2 o 1 entonces estos números si satisfacen la inecuación, ¿podemos decir que cualquier menor que 3 satisface la inecuación? La respuesta es no, pues si consideramos -2, -1 ó 0 entonces estos números también satisfacen la inecuación entonces podemos notar que cualquier número que sea menor que 3 y a su vez mayor que -3 satisface la inecuación.

En general, diremos que al considerar una ecuación de la forma |x| > a, donde a es un número real, la solución viene dada por todos los números menores que a y todos los números mayores que a al mismo tiempo, formalmente se puede calcular la solución planteando la siguiente equivalencia:

Inecuaciones con Valor Absoluto | totumat.com

En general, considerando una inecuación del tipo |ax+b|<c hallaremos los valores que la satisfacen planteando la siguiente equivalencia:

Inecuaciones con Valor Absoluto | totumat.com

La solución viene dada por cada una de las dos inecuaciones planteadas, analíticamente representaremos la solución como la intersección de los dos conjuntos que representan las soluciones de estas dos inecuaciones.

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de inecuaciones.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x+2|<2.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x+2<2 \Rightarrow x<2-2 \Rightarrow x<0 (1)
y
x+2>-2 \Rightarrow x>-2-2 \Rightarrow x>-4 (2)

Solución (1): La solución de esta primera ecuación viene dada por todos los valores menores que 0, formalmente,

(-\infty,0)

Intervalos | totumat.com

Solución (2): La solución de esta segunda ecuación viene dada por todos los valores mayores que -4, formalmente,

(-4,+\infty)

Intervalos | totumat.com

La solución general viene dada por la intersección de estas dos soluciones, es decir, todos los valores mayores que -4 y todos los valores menores que 0,

Intervalos | totumat.com

Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |3x-3|\leq6.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

3x - 3 \leq 6 \Rightarrow 3x \leq 9 \Rightarrow x \leq 3 (1)
y
3x - 3 \geq -6 \Rightarrow x \geq -3 \Rightarrow x \geq -1 (2)

Solución (1):

(-\infty,3]

Intervalos | totumat.com

Solución (2):

[-1,+\infty)

Intervalos | totumat.com

Solución General:
(-\infty,3] \cap [-1,+\infty) = [-1,3]

Intervalos | totumat.com

Ejemplo 3

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |7x-11| < - 1.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

Al considerar esta inecuación, no es necesario hacer el procedimiento que hemos visto en los primeros ejemplos pues recordando que el valor absoluto de un número siempre es positivo, tenemos que sea cual sea el valor de x ese valor absoluto nunca será menor que -1. Básicamente la pregunta es: ¿Cuándo un número positivo es menor que un número negativo? La respuesta es: Nunca. Por lo tanto, la solución de esta inecuación viene dada por el conjunto vacío: \emptyset .


Anuncios

Si la expresión que está en el lado derecho de la desigualdad tiene una variable, el procedimiento es muy parecido, la diferencia radica en que debemos excluir los valores de x para los cuales la expresión que se encuentra del lado derecho sea menor que cero pues en ese caso, no existe ningún número real cumpla con la desigualdad.

Veamos entonces con algunos ejemplos como abordar este tipo de ecuaciones.

Ejemplos

Ejemplo 4

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |2x-1| < -x+3.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

2x-1 < -x+3 \Rightarrow 2x+x < 3+1 \Rightarrow 3x < 4 \Rightarrow x < \frac{4}{3} (1)
y
2x-1 > -(-x+3) \Rightarrow 2x-1 > x-3 \Rightarrow 2x-x > -3+1 \Rightarrow x > -2 (2)

Solución (1) y (2):
\left( -\infty, \frac{4}{3} \right) \cap (-2, +\infty) = \left( -2 , \frac{4}{3} \right)

Intervalos | totumat.com

Finalmente, debemos excluir los valores de x para los cuales -x+3 < 0. Para esto calculamos los valores de x para los cuales -x+3 \geq 0 y posteriormente intersectamos con las soluciones antes calculadas, es decir,

-x+3 \geq 0 \Rightarrow -x \geq -3 \Rightarrow x \leq 3 \Rightarrow x \in (-\infty,3]

Intervalos | totumat.com

La solución general viene dada por la intersección de estos conjuntos:

\left( -2 , \frac{4}{3} \right) \cap (-\infty,3] = \left( -2 , \frac{4}{3} \right)

Intervalos | totumat.com

Ejemplo 5

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |-3x+2| \leq 4x+1.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

-3x+2 \leq 4x+1 \Rightarrow -3x-4x \leq 1-2 \Rightarrow -7x \leq -1 \Rightarrow x \geq \frac{-1}{-7} \Rightarrow x \geq \frac{1}{7} (1)
y
-3x+2 \geq -(4x+1) \Rightarrow -3x+2 \geq -4x-1 \Rightarrow -3x+4x \geq -1-2 \Rightarrow x \geq -3 (2)

Solución (1) y (2):
[ \frac{1}{7} , +\infty ) \cap [ - 3 , +\infty ) = [ \frac{1}{7} , +\infty )

Intervalos | totumat.com

Finalmente, debemos excluir los valores de x para los cuales 4x+1 < 0. Para esto calculamos los valores de x para los cuales 4x+1 \geq 0 y posteriormente intersectamos con las soluciones antes calculadas, es decir,

4x+1 \geq 0 \Rightarrow 4x \geq -1 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{4} \Rightarrow x \in \left[ -\frac{1}{4} , +\infty \right)

Intervalos | totumat.com

La solución general viene dada por la intersección de estos dos conjuntos:

[ \frac{1}{7} , + \infty ) \cap [ -\frac{1}{4} , +\infty ) = [ \frac{1}{7} , + \infty )

Intervalos | totumat.com
Anuncios

Ejemplo 6

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x-2| \leq x+4.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x-2 \leq x+4 \Rightarrow x-x \leq 4+2 \Rightarrow 0 \leq 4 \Rightarrow 0 \leq 4 (1)
y
x-2 \geq -(x+4) \Rightarrow x-2 \geq -x-4 \Rightarrow x+x \geq -4+2 \Rightarrow 2x \geq -2 \Rightarrow x \geq -1 (2)

Podemos notar que en la inecuación (1) se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 \leq 4, esta desigualdad es cierta, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con todo el conjunto los números reales pues cualquier valor de x que la satisface. Por lo tanto, la solución viene dada de la siguiente forma:

\mathbb{R} \cap \left( \frac{3}{2} , +\infty \right) = \mathbb{R}

Intervalos | totumat.com

Finalmente, debemos excluir los valores de x para los cuales x+4 < 0. Para esto calculamos los valores de x para los cuales x+4 \geq 0 y posteriormente intersectamos con las soluciones antes calculadas, es decir,

x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4 \Rightarrow x \in \left( -4 , +\infty \right)

Intervalos | totumat.com

La solución general viene dada por la intersección de estos dos conjuntos:

(-\infty,-1] \cap \left( -\infty , -4 \right) = (-\infty,-1]

Intervalos | totumat.com

Ejemplo 7

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x+3| < x-6.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x+3 < x-6 \Rightarrow x-x < -6-3 \Rightarrow 0 < -9 \Rightarrow 0 < -9 (1)
y
x+3 > -(x-6) \Rightarrow x+3 > -x+6 \Rightarrow x+x > 6-3 \Rightarrow 2x > 3 \Rightarrow x > \frac{3}{2} (2)

Podemos notar que en la inecuación (1) se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 < -9, esta desigualdad es falsa, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con el conjunto vacío \emptyset pues no hay ningún valor de x que la satisfaga. Por lo tanto, la solución viene dada de la siguiente forma:

\emptyset \cap \left( \frac{3}{2} , +\infty \right] = \emptyset

Por lo tanto, no existe ningún número real que cumpla con la desigualdad planteada.


Inecuaciones con Valor Absoluto (1 de 2)

Valores tanto de un lado como del otro.

Hemos notado que al trabajar con inecuaciones, éstas tienen un comportamiento cuando consideramos las desigualdades mayor que (>, \geq) y otro cuando consideramos las desigualdades menor que (<, \leq).

Veamos entonces este primer caso. Si queremos hallar todos los números cuya distancia a 0 es mayor que 7 podemos plantear la siguiente inecuación:

|x| > 7

¿Qué números satisfacen esa inecuación? El número 2 no la satisface, pues |2|=2 y 2 no es mayor que 7. Sin embargo, si consideramos 8, 9, 10 u 11 entonces estos números sí satisfacen la inecuación, en general podemos decir que cualquier número mayor que 5 satisface la inecuación pero, ¿serán esos los únicos números que satisfacen la inecuación? La respuesta es no, pues si consideramos -8, -9, -10, -18 ó -30 entonces estos números también satisfacen la inecuación, en general podemos decir que cualquier número menor que -7 satisface la inecuación. Con esto podemos concluir que cualquier número que sea mayor que 7 o menor que -7 satisface la inecuación.

En general, diremos que al considerar una ecuación de la forma |x| > a, donde a es un número real, la solución viene dada por todos los números mayores que a ó todos los números menores que a, formalmente se puede calcular la solución planteando la siguiente equivalencia:

Inecuaciones con Valor Absoluto | totumat.com
el valor absoluto de x es mayor que a

De forma aún más general, considerando una inecuación del tipo |ax+b|>c hallaremos los valores que la satisfacen planteando la siguiente equivalencia:

Inecuaciones con Valor Absoluto | totumat.com

La solución viene dada por la solución de cada una de las dos inecuaciones planteadas, analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que representan las soluciones de estas dos inecuaciones.

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de inecuaciones.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad |x+3| > 1.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x+3>1 \Rightarrow x>1-3 \Rightarrow x>-2 (1)
ó
x+3<-1 \Rightarrow x<-1-3 \Rightarrow x<-4 (2)

Solución (1): La solución de esta primera ecuación viene dada por todos los valores mayores que -2, formalmente,

(-2,+\infty)

Intervalos | totumat.com

Solución (2): La solución de esta segunda ecuación viene dada por todos los valores menores que -4, formalmente,

(-\infty,-4)

Intervalos | totumat.com

La solución general viene dada por la unión de estas dos soluciones, es decir, todos los valores menores que -4 junto todos los valores mayores que -2,

(-\infty,-4) \cup (-2,+\infty)

Intervalos | totumat.com

Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad |4x+1| \geq 7.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

4x+1>7 \Rightarrow 4x>6 \Rightarrow x>\frac{3}{2} (1)
ó
4x+1<-7 \Rightarrow 4x<-8 \Rightarrow x<-2 (2)

Solución (1):

\left[ \frac{3}{2},+\infty \right)

Intervalos | totumat.com

Solución (2):

(-\infty,-2]

Intervalos | totumat.com

Solución General:
(-\infty,-2] \cup \left[ \frac{3}{2},+\infty \right)

Intervalos | totumat.com

Ejemplo 3

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad |-2x+16| > -8.

Al considerar esta inecuación, no es necesario hacer el procedimiento que hemos visto en los primeros ejemplos pues recordando que el valor absoluto de un número siempre es positivo, tenemos que sea cual sea el valor de x ese valor absoluto siempre será mayor que -8. Básicamente la pregunta es: ¿Cuándo un número positivo es mayor que un número negativo? La respuesta es: Siempre. Por lo tanto, la solución de esta inecuación viene dada por el conjunto de todos los números reales:

\mathbb{R} = (-\infty,+\infty).


Anuncios

Si la expresión que está en el lado derecho de la desigualdad tiene una variable, el procedimiento es muy parecido, la diferencia radica en que debemos incluir los valores de x para los cuales la expresión que se encuentra del lado derecho sea menor que cero pues en ese caso, cualquier número real cumple con la desigualdad.

Veamos entonces con algunos ejemplos como abordar este tipo de ecuaciones.

Ejemplos

Ejemplo 4

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |2x-1|> -x+3.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

2x-1>-x+3 \Rightarrow 2x+x>3+1 \Rightarrow 3x>4 \Rightarrow x>\frac{4}{3} (1)
ó
2x-1<-(-x+3) \Rightarrow 2x-1<x-3 \Rightarrow 2x-x<-3+1 \Rightarrow x<-2 (2)

Solución (1) y (2):
\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2)

Intervalos | totumat.com

Finalmente, debemos incluir los valores de x para los cuales -x+3 < 0, es decir,

-x+3 < 0 \Rightarrow -x<-3 \Rightarrow x > 3 \Rightarrow x \in (3,+\infty)

Intervalos | totumat.com

La solución general viene dada por la unión de estos dos conjuntos:

\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2) \cup (3,+\infty) = \left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2)

Intervalos | totumat.com

Ejemplo 5

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |-3x+2| \geq 4x+1.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

-3x+2 \geq 4x+1 \Rightarrow -3x-4x \geq 1-2 \Rightarrow -7x \geq -1 \Rightarrow x \leq \frac{-1}{-7} \Rightarrow x \leq \frac{1}{7} (1)
ó
-3x+2 \leq -(4x+1) \Rightarrow -3x+2 \leq -4x-1 \Rightarrow -3x+4x \leq -1-2 \Rightarrow x \leq -3 (2)

Solución (1) y (2):
\left( -\infty , \frac{1}{7} \right] \cup ( -\infty,- 3 ] = \left( -\infty , \frac{1}{7} \right]

Intervalos | totumat.com

Finalmente, debemos incluir los valores de x para los cuales 4x+1 < 0, es decir,

4x+1 < 0 \Rightarrow 4x<-1 \Rightarrow x < -\frac{1}{4} \Rightarrow x \in \left( -\infty , -\frac{1}{4} \right)

Intervalos | totumat.com

La solución general viene dada por la unión de estos dos conjuntos:

(-\infty,\frac{1}{7}] \cup \left( -\infty , -\frac{1}{4} \right) = (-\infty,-\frac{1}{7}]

Anuncios

Ejemplo 6

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x-2| \geq x+4.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x-2 \geq x+4 \Rightarrow x-x \geq 4+2 \Rightarrow 0 \geq 4 \Rightarrow 0 \geq 4 (1)
ó
x-2 \leq -(x+4) \Rightarrow x-2 \leq -x-4 \Rightarrow x+x\leq-4+2 \Rightarrow 2x \leq -2 \Rightarrow x \leq -1 (2)

Podemos notar que en la inecuación (1) se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 \geq 4, esta desigualdad es falsa, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con el conjunto vacío \emptyset pues no hay ningún valor de x que la satisfaga. Por lo tanto, la solución viene dada de la siguiente forma:

\emptyset \cup (-\infty,-1] = (-\infty,-1]

Intervalos | totumat.com

Finalmente, debemos incluir los valores de x para los cuales x+4 < 0, es decir,

x+4 < 0 \Rightarrow x<-4 \Rightarrow x \in \left( -\infty , -4 \right)

Intervalos | totumat.com

La solución general viene dada por la unión de estos dos conjuntos:

(-\infty,-1] \cup \left( -\infty , -4 \right) = (-\infty,-1]

Intervalos | totumat.com

Ejemplo 7

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x+3| > x-6.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x+3 > x-6 \Rightarrow x-x> -6-3 \Rightarrow 0 > -9 \Rightarrow 0 > -8 (1)
ó
x+3 < -(x-6) \Rightarrow x+3<-x+6 \Rightarrow x+x < 6-3 \Rightarrow 2x < 3 \Rightarrow x < \frac{3}{2} (2)

Podemos notar que en la inecuación (1) se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 \geq -8, esta desigualdad es cierta, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con todo el conjunto los números reales pues cualquier valor de x que la satisface. Por lo tanto, la solución viene dada de la siguiente forma:

\mathbb{R} \cup \left(-\infty,\frac{3}{2} \right) = \mathbb{R}

Intervalos | totumat.com

Notemos que si incluimos los valores de x para los cuales x-6<0, la solución seguirá siendo la misma.