Inecuaciones con Valor Absoluto, caso: «menor que»

  1. Caso: «Menor que»
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3: Valor absoluto menor que un número negativo
      4. Ejemplo 4: Variables en ambos lados de la inecuación
      5. Ejemplo 5: Variables en ambos lados de la inecuación
      6. Ejemplo 6: Se anula la variable en la inecuación
      7. Ejemplo 7: Se anula la variable en la inecuación

Caso: «Menor que»

Al definir el valor absoluto de un número real, hemos visto que es igual a la distancia entre dicho número y el número cero. Partiendo de esta definición, pudimos definir ecuaciones que involucran el valor absoluto de una variable.

De forma que si queremos determinar todos los números que cuya distancia entre cuya distancia a cero es igual a 4, entonces planteamos la siguiente ecuación: |x| = 4 y finalmente, determinamos que estos números son 4 y -4.

Pero, ¿y si queremos determinar todos los números cuya distancia a cero es menor que 4? Para dar respuesta a esta pregunta, podemos plantear la siguiente inecuación:

|x| < 4

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Entonces, ¿qué números satisfacen dicha inecuación? Podemos tantear las respuestas, por ejemplo: el número 5 no la satisface, pues |5|=5 y 5 no es menor que 4. Así podemos probar con los números 6, 7 u 8 pero ninguno de estos números satisface la inecuación.

Sin embargo, si consideramos 3, 2, 1 o 0 podemos ver que estos números sí satisfacen la inecuación y en general pudiéramos decir que cualquier número menor que 4 satisface la inecuación pero, ¿será correcta esta afirmación?

La respuesta es no, pues si consideramos -5, -6 o -8 entonces estos números tampoco satisfacen la inecuación. Sin embargo, si consideramos -3, -2 o -1, estos números sí satisfacen la inecuación.

Razonando de esta forma, podemos concluir que cualquier número que sea menor que 4 y mayor que -4 al mismo tiempo, satisface la inecuación |x| < 4. Gráficamente, podemos representar todos estos números en la recta real de la siguiente forma:


Nota: al representar gráficamente los números menores que 4, los hemos dibujado de color azul con sentido noreste. Por otra parte, al representar gráficamente los números mayores que -4, los hemos dibujado de color azul con sentido noroeste.

De esta forma, podemos distinguir con claridad cuál es la intersección entre estos dos intervalos.


En general, diremos que al considerar una inecuación de la forma |x| < a, donde a es un número real; la solución viene dada por todos los números que son menores que a y todos los números que son mayores que a al mismo tiempo, formalmente se puede calcular la solución planteando la siguiente equivalencia:

\Large \left| x \right| < a \Longleftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} x < a \\ \text{y} \\ x > -a \end{array} } \right.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad

|x+2|<2

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

 \left\{ {\begin{array}{l} x+2 < 2 \\ \text{y} \\ x+2 > -2 \end{array} } \right.

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

x + 2 < 2

\Rightarrow x < 2 - 2

\Rightarrow x < 0

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores que 0, formalmente,

(-\infty,0)

Solución (2):

x + 3 < -1

\Rightarrow x < -1 - 3

\Rightarrow x < - 4

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores que -4, formalmente,

(-4,+\infty)

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) y todos los números que cumplen con la solución (2) al mismo tiempo. Por lo tanto, consideraremos la intersección de la solución (1) y (2).

Solución General:
(-\infty,0) \cap (-4,+\infty) = (-4,0)

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Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad

|3x-3| \leq 6

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor o igual que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor o igual que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

 \left\{ {\begin{array}{l} 3x-3 \leq 6 \\ \text{y} \\ 3x-3 \geq -6 \end{array} } \right.

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

3x-3 \leq 6

\Rightarrow 3x \leq 6+3

\Rightarrow 3x \leq 9

\Rightarrow x \leq \frac{9}{3}

\Rightarrow x \leq 3

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores o iguales que 3, formalmente,

(-\infty,3]

Solución (2):

3x-3 \geq -6

\Rightarrow 3x \geq -6+3

\Rightarrow 3x \geq -3

\Rightarrow x \geq -\frac{3}{3}

\Rightarrow x \geq -1

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores o iguales que -1, formalmente,

(-1,+\infty)

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) y todos los números que cumplen con la solución (2) al mismo tiempo. Por lo tanto, consideraremos la intersección de la solución (1) y (2).

Solución General:
(-\infty,3] \cap [-1,+\infty) = [-1,3]

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Ejemplo 3: Valor absoluto menor que un número negativo

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad

|7x-11| < - 1

Al considerar esta inecuación, no es necesario hacer el procedimiento que hemos visto en los primeros ejemplos pues recordando que el valor absoluto de un número siempre es positivo, podemos darnos cuenta que sea cual sea el valor de x el valor absoluto |7x-11| nunca será menor que -1. Básicamente la pregunta es: ¿cuándo un número positivo es menor que un número negativo?

La respuesta es: Nunca. Por lo tanto, la solución de esta inecuación viene dada por el conjunto vacío:

\emptyset


Ejemplo 4: Variables en ambos lados de la inecuación

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad

|2x-1| < -x+3

Lo primero que debemos notar al calcular la solución de esta inecuación, es que en ambos lados de la desigualdad hay una incógnita. Así que al final debemos tener evaluar para qué valores, esta desigualdad tiene sentido.

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

 \left\{ {\begin{array}{l} 2x-1 < -x+3 \\ \text{y} \\ 2x-1 > -(-x+3) \end{array} } \right.

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

2x-1 < -x+3

\Rightarrow 2x < -x+3+1

\Rightarrow 2x < -x+4

\Rightarrow 2x + x < 4

\Rightarrow 3x  < 4

\Rightarrow x  < \frac{4}{3}

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores menores que \frac{4}{3}, formalmente,

(-\infty,\frac{4}{3})

Solución (2):

\Rightarrow 2x-1 > -(-x+3)

\Rightarrow 2x > x-3+1

\Rightarrow 2x > x-2

\Rightarrow 2x - x > -2

\Rightarrow x > -2

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores que -2, formalmente,

(-2,+\infty)

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) y todos los números que cumplen con la solución (2) al mismo tiempo. Por lo tanto, consideraremos la intersección de la solución (1) y (2).

Solución Parcial:
(-\infty,\frac{4}{3}) \cap (-2,+\infty)

Para determinar la solución general, debemos verificar los valores de x para los cuales la expresión -x+3 es negativa, pues para estos valores, la desigualdad |2x-1| < -x+3 nunca se cumple. Entonces, consideramos la siguiente condición sobre la variable x

-x+3 < 0 \Rightarrow -x < -3 \Rightarrow x > 3 \Rightarrow x \in (3,+\infty)

Finalmente, la solución general se define como la solución parcial excluyendo la condición, es decir,

Solución General:
(-2,+\infty) / (3,+\infty) = (-2,+\infty)

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Ejemplo 5: Variables en ambos lados de la inecuación

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad

|-3x+2| \leq 4x+1

Lo primero que debemos notar al calcular la solución de esta inecuación, es que en ambos lados de la desigualdad hay una incógnita. Así que al final debemos tener evaluar para qué valores, esta desigualdad tiene sentido.

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

 \left\{ {\begin{array}{l} -3x+2 \leq 4x+1 \\ \text{y} \\ -3x+2 \geq -(4x+1) \end{array} } \right.

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

-3x+2 \leq 4x+1

\Rightarrow -3x \leq 4x+1-2

\Rightarrow -3x \leq 4x-1

\Rightarrow -3x -4x \leq -1

\Rightarrow -7x \leq -1

\Rightarrow x \geq \frac{-1}{-7}

\Rightarrow x \geq \frac{1}{7}

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores o iguales que \frac{1}{7}, formalmente,

[\frac{1}{7},+\infty)

Solución (2):

\Rightarrow -3x+2 \geq -(4x+1)

\Rightarrow -3x+2 \geq -4x-1

\Rightarrow -3x \geq -4x-1-2

\Rightarrow -3x \geq -4x-3

\Rightarrow -3x +4x \geq -3

\Rightarrow x \geq -3

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores o iguales que -3, formalmente,

[-3,+\infty)

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) y todos los números que cumplen con la solución (2) al mismo tiempo. Por lo tanto, consideraremos la intersección de la solución (1) y (2).

Solución Parcial:
[-3,+\infty) \cap [\frac{1}{7},+\infty)

Para determinar la solución general, debemos verificar los valores de x para los cuales la expresión 4x+1 es negativa, pues para estos valores, la desigualdad |-3x+2| \leq 4x+1 nunca se cumple. Entonces, consideramos la siguiente condición sobre la variable x

4x+1 < 0 \Rightarrow 4x<-1 \Rightarrow x < -\frac{1}{4} \Rightarrow x \in \left( -\infty , -\frac{1}{4} \right)

Finalmente, la solución general se define como la solución parcial excluyendo la condición, es decir,

Solución General:
[\frac{1}{7},+\infty) / \left( -\infty , -\frac{1}{4} \right) = [\frac{1}{7},+\infty)

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Ejemplo 6: Se anula la variable en la inecuación

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad

|x-2| \leq x+4

Lo primero que debemos notar al calcular la solución de esta inecuación, es que en ambos lados de la desigualdad hay una incógnita. Así que al final debemos tener evaluar para qué valores, esta desigualdad tiene sentido.

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

 \left\{ {\begin{array}{l} x-2 \leq x+4 \\ \text{y} \\ x-2 \geq -(x+4) \end{array} } \right.

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

x-2 \leq x+4

\Rightarrow x \leq x+4+2

\Rightarrow x \leq x+6

\Rightarrow x - x \leq 6

\Rightarrow 0 \leq 6

Podemos notar que se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 \leq 6, esta desigualdad es verdadera, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con todo el conjunto los números reales \mathbb{R} = (-\infty,+\infty) pues cualquier valor de x que la satisface.

Solución (2):

x-2 \geq -(x+4)

\Rightarrow x-2 \geq -x-4

\Rightarrow x \geq -x-4+2

\Rightarrow x \geq -x-2

\Rightarrow x+x \geq -2

\Rightarrow 2x \geq -2

\Rightarrow x \geq -\frac{2}{2}

\Rightarrow x \geq -1

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores o iguales que -1, formalmente,

[-1,+\infty)

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) y todos los números que cumplen con la solución (2) al mismo tiempo. Por lo tanto, consideraremos la intersección de la solución (1) y (2).

Solución Parcial:
\mathbb{R} \cap [-1,+\infty) = [-1,+\infty)

Para determinar la solución general, debemos verificar los valores de x para los cuales la expresión x+4 es negativa, pues para estos valores, la desigualdad |x-2| \leq x+4 nunca se cumple. Entonces, consideramos la siguiente condición sobre la variable x

x+4 < 0 \Rightarrow x<-4 \Rightarrow x \in \left( -\infty , -4 \right)

Finalmente, la solución general se define como la solución parcial excluyendo la condición, es decir,

Solución General:
[-1,+\infty) / \left( -\infty , -4 \right) = [-1,+\infty)

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Ejemplo 7: Se anula la variable en la inecuación

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad

|x+3| < x-6

Lo primero que debemos notar al calcular la solución de esta inecuación, es que en ambos lados de la desigualdad hay una incógnita. Así que al final debemos tener evaluar para qué valores, esta desigualdad tiene sentido.

Para calcular la solución de esta ecuación, debemos plantear dos casos:

  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es menor que la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.
  • Cuando la variable que está dentro del valor absoluto es mayor que el opuesto aditivo de la expresión que está en el lado derecho de la inecuación.

De esta forma, planteamos dos ecuaciones:

 \left\{ {\begin{array}{l} x+3 < x-6 \\ \text{y} \\ x+3 > -(x-6) \end{array} } \right.

Entonces, calculamos cada una de las ecuaciones planteadas:

Solución (1):

x+3 < x-6

\Rightarrow  x < x-6-3

\Rightarrow  x < x-9

\Rightarrow x - x \leq -9

\Rightarrow 0 \leq -9

Podemos notar que se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 \leq -9, esta desigualdad es falsa, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con el conjunto vacío \emptyset pues no hay ningún valor de x que la satisfaga.

Solución (2):

x+3 > -(x-6)

\Rightarrow x+3 > -x+6

\Rightarrow x > -x+6-3

\Rightarrow x > -x+3

\Rightarrow x +x > 3

\Rightarrow 2x > 3

\Rightarrow x > \frac{3}{2}

La solución de esta inecuación viene dada por todos los valores mayores que \frac{3}{2}, formalmente,

\left(\frac{3}{2},+\infty\right)

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) y todos los números que cumplen con la solución (2) al mismo tiempo. Por lo tanto, consideraremos la intersección de la solución (1) y (2).

Solución Parcial:
\emptyset \cap \left(\frac{3}{2},+\infty\right) = \emptyset

No hace falta verificar los valores de x para los cuales la expresión x-6 es negativa, pues al ser la solución parcial el conjunto vacío. Cualquier cosa que excluyamos nos dará como resultado, el conjunto vacío. Por lo tanto, la solución general es igual al conjunto vacío \emptyset.


5 comentarios en “Inecuaciones con Valor Absoluto, caso: «menor que»

      • El ejercicio tal como está planteado no tiene solución, pues note que si

        5/2x – 1 = 1/x – 1

        El -1 que está en el lado derecho de la ecuación, se cancela con el -1 que está en el lado izquierdo, de esta forma obtenemos

        5/2x = 1/x

        Luego, el 2x que está dividiendo al 5 en el lado izquierdo de la ecuación pasa a multiplicar al lado derecho y de igual forma, la x que está dividiendo al 1 en el lado izquierdo pasa a multiplicar al lado derecho, así obtenemos

        5x =2x

        Y esta igualdad sólo se mantiene cuando x = 0, pero esto es imposible, porque al sustituir este valor en la ecuación original tenemos

        5/2(0) – 1 = 1/(0) – 1

        Pero la división por cero no está definida. Es por esto que concluimos que la ecuación no tiene solución.

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