Transformación de funciones

Las funciones elementales tienen variaciones que vienen dadas cuando se altera la expresión que las define al sumar, restar, multiplicar o dividir por un escalar.

Para entender las transformaciones de funciones o alteraciones que podemos efectuar sobre una función elemental, dibujemos primero el bosquejo de la gráfica de una función a la cual le podamos efectuar las transformaciones. Consideremos f(x) una función que pasa por el origen, es decir, tal que f(0)=0 y sea a > 0 un número real. Supongamos que la gráfica de la función f(x) es la siguiente:

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Traslación de Funciones

Traslaciones en el Eje Y

Si consideramos la función f(x) + a, estamos sumando a a cada imagen de la función, gráficamente estamos trasladando la función f(x) en a unidades hacia arriba en el Eje Y de la siguiente forma:

Si consideramos la función f(x) - a, estamos restando a a cada imagen de la función, gráficamente estamos trasladando la función f(x) en a unidades hacia abajo en el Eje Y de la siguiente forma:

Notemos que hemos sumado a fuera de la función, es decir, hemos sumando a a la función como un todo. Es por esto que la traslación se ha dado en el Eje Y. Básicamente, lo que está ocurriendo es que si y=f(x) estamos graficando y \pm a. A continuación veremos una traslación que altera la imagen de la función si no las pre-imágenes de esta, es decir, los elementos del dominio.

Traslaciones en el Eje X

Para entender este tipo de traslaciones debemos tener claro el concepto de argumento de la función. Al considerar una función, cada elemento de su dominio será una pre-imagen de ésta y el argumento de la función será la expresión que define estas pre-imágenes. Veamos algunos ejemplos para entender mejor esta idea:

  • Si f(x)=x, la expresión que define el argumento de la función es x.
  • Si f(x)=x^2, estamos considerando la función cuadrática y la expresión que define el argumento es x.
  • Si f(x)=(x-1)^2, la expresión que define el argumento de esta función cuadrática es x+1. Hemos restado 1 al argumento de la función x^2.
  • Si f(x)=\sqrt{x+3}, la expresión que define el argumento de la función es x+3. Hemos sumado 3 al argumento de la función \sqrt{x}.
  • Si f(x)=\dfrac{1}{x-2}, la expresión que define el argumento de la función es x-2. Hemos restado 2 al argumento de la función \frac{1}{x}.
  • Si f(x)=\text{\rm \Large e}^{2x+7}, la expresión que define el argumento de la función es 2x+7. Hemos multiplicado por 2 y sumado 7 en el argumento de la función \text{\rm \Large e}^{x}.
  • Si f(x)=\ln(x-8), la expresión que define el argumento de la función es x-8. Hemos restado 8 al argumento de la función \ln(x).

Si consideramos la función f(x+a), estamos sumando a a cada pre-imagen de la función. Recordando que la función se anula en cero, es decir, f(0)=0. Debemos tomar en cuenta que

f(x+a)=0 \Rightarrow x + a = 0 \Rightarrow x=-a

gráficamente estamos trasladando la función f(x) hasta el punto donde se anula el argumento, esto es, en -a. Por lo que que en este caso particular, la función se traslada en a unidades hacia la izquierda en el Eje X de la siguiente forma:

Si consideramos la función f(x-a), estamos restando $a$ a cada pre-imagen de la función. Recordando que la función se anula en cero, es decir, f(0)=0. Debemos tomar en cuenta que

f(x-a)=0 \Rightarrow x - a = 0 \Rightarrow x=a

gráficamente estamos trasladando la función f(x) hasta el punto donde se anula el argumento, esto es, en a. Por lo que que en este caso particular, la función se traslada en a unidades hacia la derecha en el Eje X de la siguiente forma:

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Reflexión de Funciones

Respecto al Eje X

Si consideramos la función -f(x), estamos multiplicando por -1 a cada imagen de la función. Por lo tanto, todas las imágenes positivas de la función pasan a ser negativas y todas las imágenes negativas de la función pasan a ser positivas, gráficamente todos los elementos que están por encima del Eje X pasan a estar por debajo y todos los elementos que están por debajo del Eje X pasan a estar por encima de la siguiente forma:

Respecto al Eje Y

Si consideramos la función f(-x), estamos multiplicando por -1 a cada imagen de la función. Por lo tanto, todas las pre-imágenes positivas de la función pasan a ser negativas y todas las pre-imágenes negativas de la función pasan a ser positivas, gráficamente todos los elementos que están a la izquierda del Eje Y pasan a estar a la derecha y todos los elementos que están a la izquierda del Eje Y pasan a estar a la izquierda de la siguiente forma:

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Valor Absoluto de una Función

Si consideramos el Valor Absoluto la función f(x), es decir, |f(x)|, debemos tomar en cuenta que

|f(x)| = f(x) \text{ si } f(x) > 0
ó
|f(x)| = -f(x) \text{ si } f(x) < 0

Por lo tanto, todas las imágenes positivas de la función permanecen positivas y todas las imágenes negativas de la función pasan a ser positivas, gráficamente todos los elementos que están por encima del Eje X permanecen inalterados y todos los elementos que están por debajo del Eje X pasan a estar por encima de la siguiente forma:

Contracción y expansión de Funciones

Al considerar funciones, definimos un escalar simplemente como un número constante, que tal como lo dice su nombre, altera la escala de estas.

Respecto al Eje X

Si a>1, consideramos la función a \cdot f(x), estamos multiplicando por a a cada imagen de la función. Por lo tanto, esta crecerá a una velocidad a veces más rápido, haciendo que se expanda la función f(x) verticalmente de la siguiente forma:

Si a<1, consideramos la función a \cdot f(x), estamos multiplicando por a a cada imagen de la función. Por lo tanto, esta crecerá a una velocidad a veces más lento, haciendo que se contraiga la función f(x) verticalmente de la siguiente forma:

Respecto al Eje Y

Si a<1, consideramos la función f(a \cdot x), estamos multiplicando por a a cada pre-imagen de la función. Por lo tanto, esta alcanzará una imagen después de lo que la alcanzaba, haciendo que se expanda la función f(x) horizontalmente de la siguiente forma:

Si a>1, consideramos la función f(a \cdot x), estamos multiplicando por a a cada pre-imagen de la función. Por lo tanto, esta alcanzará una imagen antes de lo que la alcanzaba, haciendo que se contraiga la función f(x) horizontalmente de la siguiente forma:


Inecuaciones con Valor Absoluto (2 de 2)

¡Acotemos las soluciones!

Consideremos el segundo caso de las ecuaciones con valor absoluto, es decir, aquellas ecuaciones cuya relación viene establecida por la desigualdad menor que. Si queremos hallar todos los números cuya distancia a 0 es menor que 3 podemos plantear la siguiente inecuación:

|x| < 3

¿Qué números satisfacen esa inecuación? El número 5 no la satisface, pues |5|=5 y 5 no es menor que 3. Sin embargo, si consideramos 2 o 1 entonces estos números si satisfacen la inecuación, ¿podemos decir que cualquier menor que 3 satisface la inecuación? La respuesta es no, pues si consideramos -2, -1 ó 0 entonces estos números también satisfacen la inecuación entonces podemos notar que cualquier número que sea menor que 3 y a su vez mayor que -3 satisface la inecuación.

En general, diremos que al considerar una ecuación de la forma |x| > a, donde a es un número real, la solución viene dada por todos los números menores que a y todos los números mayores que a al mismo tiempo, formalmente se puede calcular la solución planteando la siguiente equivalencia:

Inecuaciones con Valor Absoluto | totumat.com

En general, considerando una inecuación del tipo |ax+b|<c hallaremos los valores que la satisfacen planteando la siguiente equivalencia:

Inecuaciones con Valor Absoluto | totumat.com

La solución viene dada por cada una de las dos inecuaciones planteadas, analíticamente representaremos la solución como la intersección de los dos conjuntos que representan las soluciones de estas dos inecuaciones.

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de inecuaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x+2|<2.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x+2<2 \Rightarrow x<2-2 \Rightarrow x<0 (1)
y
x+2>-2 \Rightarrow x>-2-2 \Rightarrow x>-4 (2)

Solución (1): La solución de esta primera ecuación viene dada por todos los valores menores que 0, formalmente,

(-\infty,0)

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Solución (2): La solución de esta segunda ecuación viene dada por todos los valores mayores que -4, formalmente,

(-4,+\infty)

Intervalos | totumat.com

La solución general viene dada por la intersección de estas dos soluciones, es decir, todos los valores mayores que -4 y todos los valores menores que 0,

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Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |3x-3|\leq6.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

3x - 3 \leq 6 \Rightarrow 3x \leq 9 \Rightarrow x \leq 3 (1)
y
3x - 3 \geq -6 \Rightarrow x \geq -3 \Rightarrow x \geq -1 (2)

Solución (1):

(-\infty,3]

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Solución (2):

[-1,+\infty)

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Solución General:
(-\infty,3] \cap [-1,+\infty) = [-1,3]

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Ejemplo 3

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |7x-11| < - 1.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

Al considerar esta inecuación, no es necesario hacer el procedimiento que hemos visto en los primeros ejemplos pues recordando que el valor absoluto de un número siempre es positivo, tenemos que sea cual sea el valor de x ese valor absoluto nunca será menor que -1. Básicamente la pregunta es: ¿Cuándo un número positivo es menor que un número negativo? La respuesta es: Nunca. Por lo tanto, la solución de esta inecuación viene dada por el conjunto vacío: \emptyset .


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Si la expresión que está en el lado derecho de la desigualdad tiene una variable, el procedimiento es muy parecido, la diferencia radica en que debemos excluir los valores de x para los cuales la expresión que se encuentra del lado derecho sea menor que cero pues en ese caso, no existe ningún número real cumpla con la desigualdad.

Veamos entonces con algunos ejemplos como abordar este tipo de ecuaciones.

Ejemplos

Ejemplo 4

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |2x-1| < -x+3.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

2x-1 < -x+3 \Rightarrow 2x+x < 3+1 \Rightarrow 3x < 4 \Rightarrow x < \frac{4}{3} (1)
y
2x-1 > -(-x+3) \Rightarrow 2x-1 > x-3 \Rightarrow 2x-x > -3+1 \Rightarrow x > -2 (2)

Solución (1) y (2):
\left( -\infty, \frac{4}{3} \right) \cap (-2, +\infty) = \left( -2 , \frac{4}{3} \right)

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Finalmente, debemos excluir los valores de x para los cuales -x+3 < 0. Para esto calculamos los valores de x para los cuales -x+3 \geq 0 y posteriormente intersectamos con las soluciones antes calculadas, es decir,

-x+3 \geq 0 \Rightarrow -x \geq -3 \Rightarrow x \leq 3 \Rightarrow x \in (-\infty,3]

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La solución general viene dada por la intersección de estos conjuntos:

\left( -2 , \frac{4}{3} \right) \cap (-\infty,3] = \left( -2 , \frac{4}{3} \right)

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Ejemplo 5

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |-3x+2| \leq 4x+1.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

-3x+2 \leq 4x+1 \Rightarrow -3x-4x \leq 1-2 \Rightarrow -7x \leq -1 \Rightarrow x \geq \frac{-1}{-7} \Rightarrow x \geq \frac{1}{7} (1)
y
-3x+2 \geq -(4x+1) \Rightarrow -3x+2 \geq -4x-1 \Rightarrow -3x+4x \geq -1-2 \Rightarrow x \geq -3 (2)

Solución (1) y (2):
[ \frac{1}{7} , +\infty ) \cap [ - 3 , +\infty ) = [ \frac{1}{7} , +\infty )

Intervalos | totumat.com

Finalmente, debemos excluir los valores de x para los cuales 4x+1 < 0. Para esto calculamos los valores de x para los cuales 4x+1 \geq 0 y posteriormente intersectamos con las soluciones antes calculadas, es decir,

4x+1 \geq 0 \Rightarrow 4x \geq -1 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{4} \Rightarrow x \in \left[ -\frac{1}{4} , +\infty \right)

Intervalos | totumat.com

La solución general viene dada por la intersección de estos dos conjuntos:

[ \frac{1}{7} , + \infty ) \cap [ -\frac{1}{4} , +\infty ) = [ \frac{1}{7} , + \infty )

Intervalos | totumat.com
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Ejemplo 6

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x-2| \leq x+4.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x-2 \leq x+4 \Rightarrow x-x \leq 4+2 \Rightarrow 0 \leq 4 \Rightarrow 0 \leq 4 (1)
y
x-2 \geq -(x+4) \Rightarrow x-2 \geq -x-4 \Rightarrow x+x \geq -4+2 \Rightarrow 2x \geq -2 \Rightarrow x \geq -1 (2)

Podemos notar que en la inecuación (1) se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 \leq 4, esta desigualdad es cierta, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con todo el conjunto los números reales pues cualquier valor de x que la satisface. Por lo tanto, la solución viene dada de la siguiente forma:

\mathbb{R} \cap \left( \frac{3}{2} , +\infty \right) = \mathbb{R}

Intervalos | totumat.com

Finalmente, debemos excluir los valores de x para los cuales x+4 < 0. Para esto calculamos los valores de x para los cuales x+4 \geq 0 y posteriormente intersectamos con las soluciones antes calculadas, es decir,

x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4 \Rightarrow x \in \left( -4 , +\infty \right)

Intervalos | totumat.com

La solución general viene dada por la intersección de estos dos conjuntos:

(-\infty,-1] \cap \left( -\infty , -4 \right) = (-\infty,-1]

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Ejemplo 7

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x+3| < x-6.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x+3 < x-6 \Rightarrow x-x < -6-3 \Rightarrow 0 < -9 \Rightarrow 0 < -9 (1)
y
x+3 > -(x-6) \Rightarrow x+3 > -x+6 \Rightarrow x+x > 6-3 \Rightarrow 2x > 3 \Rightarrow x > \frac{3}{2} (2)

Podemos notar que en la inecuación (1) se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 < -9, esta desigualdad es falsa, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con el conjunto vacío \emptyset pues no hay ningún valor de x que la satisfaga. Por lo tanto, la solución viene dada de la siguiente forma:

\emptyset \cap \left( \frac{3}{2} , +\infty \right] = \emptyset

Por lo tanto, no existe ningún número real que cumpla con la desigualdad planteada.


Inecuaciones con Valor Absoluto (1 de 2)

Valores tanto de un lado como del otro.

Hemos notado que al trabajar con inecuaciones, éstas tienen un comportamiento cuando consideramos las desigualdades mayor que (>, \geq) y otro cuando consideramos las desigualdades menor que (<, \leq).

Veamos entonces este primer caso. Si queremos hallar todos los números cuya distancia a 0 es mayor que 7 podemos plantear la siguiente inecuación:

|x| > 7

¿Qué números satisfacen esa inecuación? El número 2 no la satisface, pues |2|=2 y 2 no es mayor que 7. Sin embargo, si consideramos 8, 9, 10 u 11 entonces estos números sí satisfacen la inecuación, en general podemos decir que cualquier número mayor que 5 satisface la inecuación pero, ¿serán esos los únicos números que satisfacen la inecuación? La respuesta es no, pues si consideramos -8, -9, -10, -18 ó -30 entonces estos números también satisfacen la inecuación, en general podemos decir que cualquier número menor que -7 satisface la inecuación. Con esto podemos concluir que cualquier número que sea mayor que 7 o menor que -7 satisface la inecuación.

En general, diremos que al considerar una ecuación de la forma |x| > a, donde a es un número real, la solución viene dada por todos los números mayores que a ó todos los números menores que a, formalmente se puede calcular la solución planteando la siguiente equivalencia:

Inecuaciones con Valor Absoluto | totumat.com
el valor absoluto de x es mayor que a

De forma aún más general, considerando una inecuación del tipo |ax+b|>c hallaremos los valores que la satisfacen planteando la siguiente equivalencia:

Inecuaciones con Valor Absoluto | totumat.com

La solución viene dada por la solución de cada una de las dos inecuaciones planteadas, analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que representan las soluciones de estas dos inecuaciones.

Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de inecuaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad |x+3| > 1.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x+3>1 \Rightarrow x>1-3 \Rightarrow x>-2 (1)
ó
x+3<-1 \Rightarrow x<-1-3 \Rightarrow x<-4 (2)

Solución (1): La solución de esta primera ecuación viene dada por todos los valores mayores que -2, formalmente,

(-2,+\infty)

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Solución (2): La solución de esta segunda ecuación viene dada por todos los valores menores que -4, formalmente,

(-\infty,-4)

Intervalos | totumat.com

La solución general viene dada por la unión de estas dos soluciones, es decir, todos los valores menores que -4 junto todos los valores mayores que -2,

(-\infty,-4) \cup (-2,+\infty)

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Ejemplo 2

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad |4x+1| \geq 7.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

4x+1>7 \Rightarrow 4x>6 \Rightarrow x>\frac{3}{2} (1)
ó
4x+1<-7 \Rightarrow 4x<-8 \Rightarrow x<-2 (2)

Solución (1):

\left[ \frac{3}{2},+\infty \right)

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Solución (2):

(-\infty,-2]

Intervalos | totumat.com

Solución General:
(-\infty,-2] \cup \left[ \frac{3}{2},+\infty \right)

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Ejemplo 3

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad |-2x+16| > -8.

Al considerar esta inecuación, no es necesario hacer el procedimiento que hemos visto en los primeros ejemplos pues recordando que el valor absoluto de un número siempre es positivo, tenemos que sea cual sea el valor de x ese valor absoluto siempre será mayor que -8. Básicamente la pregunta es: ¿Cuándo un número positivo es mayor que un número negativo? La respuesta es: Siempre. Por lo tanto, la solución de esta inecuación viene dada por el conjunto de todos los números reales:

\mathbb{R} = (-\infty,+\infty).


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Si la expresión que está en el lado derecho de la desigualdad tiene una variable, el procedimiento es muy parecido, la diferencia radica en que debemos incluir los valores de x para los cuales la expresión que se encuentra del lado derecho sea menor que cero pues en ese caso, cualquier número real cumple con la desigualdad.

Veamos entonces con algunos ejemplos como abordar este tipo de ecuaciones.

Ejemplos

Ejemplo 4

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |2x-1|> -x+3.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

2x-1>-x+3 \Rightarrow 2x+x>3+1 \Rightarrow 3x>4 \Rightarrow x>\frac{4}{3} (1)
ó
2x-1<-(-x+3) \Rightarrow 2x-1<x-3 \Rightarrow 2x-x<-3+1 \Rightarrow x<-2 (2)

Solución (1) y (2):
\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2)

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Finalmente, debemos incluir los valores de x para los cuales -x+3 < 0, es decir,

-x+3 < 0 \Rightarrow -x<-3 \Rightarrow x > 3 \Rightarrow x \in (3,+\infty)

Intervalos | totumat.com

La solución general viene dada por la unión de estos dos conjuntos:

\left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2) \cup (3,+\infty) = \left( \frac{4}{3},+\infty \right) \cup (-\infty,-2)

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Ejemplo 5

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |-3x+2| \geq 4x+1.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

-3x+2 \geq 4x+1 \Rightarrow -3x-4x \geq 1-2 \Rightarrow -7x \geq -1 \Rightarrow x \leq \frac{-1}{-7} \Rightarrow x \leq \frac{1}{7} (1)
ó
-3x+2 \leq -(4x+1) \Rightarrow -3x+2 \leq -4x-1 \Rightarrow -3x+4x \leq -1-2 \Rightarrow x \leq -3 (2)

Solución (1) y (2):
\left( -\infty , \frac{1}{7} \right] \cup ( -\infty,- 3 ] = \left( -\infty , \frac{1}{7} \right]

Intervalos | totumat.com

Finalmente, debemos incluir los valores de x para los cuales 4x+1 < 0, es decir,

4x+1 < 0 \Rightarrow 4x<-1 \Rightarrow x < -\frac{1}{4} \Rightarrow x \in \left( -\infty , -\frac{1}{4} \right)

Intervalos | totumat.com

La solución general viene dada por la unión de estos dos conjuntos:

(-\infty,\frac{1}{7}] \cup \left( -\infty , -\frac{1}{4} \right) = (-\infty,-\frac{1}{7}]

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Ejemplo 6

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x-2| \geq x+4.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x-2 \geq x+4 \Rightarrow x-x \geq 4+2 \Rightarrow 0 \geq 4 \Rightarrow 0 \geq 4 (1)
ó
x-2 \leq -(x+4) \Rightarrow x-2 \leq -x-4 \Rightarrow x+x\leq-4+2 \Rightarrow 2x \leq -2 \Rightarrow x \leq -1 (2)

Podemos notar que en la inecuación (1) se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 \geq 4, esta desigualdad es falsa, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con el conjunto vacío \emptyset pues no hay ningún valor de x que la satisfaga. Por lo tanto, la solución viene dada de la siguiente forma:

\emptyset \cup (-\infty,-1] = (-\infty,-1]

Intervalos | totumat.com

Finalmente, debemos incluir los valores de x para los cuales x+4 < 0, es decir,

x+4 < 0 \Rightarrow x<-4 \Rightarrow x \in \left( -\infty , -4 \right)

Intervalos | totumat.com

La solución general viene dada por la unión de estos dos conjuntos:

(-\infty,-1] \cup \left( -\infty , -4 \right) = (-\infty,-1]

Intervalos | totumat.com

Ejemplo 7

Calcule los valores de x que satisfacen la desigualdad |x+3| > x-6.

Esta es una inecuación con valor absoluto que es equivalente a

x+3 > x-6 \Rightarrow x-x> -6-3 \Rightarrow 0 > -9 \Rightarrow 0 > -8 (1)
ó
x+3 < -(x-6) \Rightarrow x+3<-x+6 \Rightarrow x+x < 6-3 \Rightarrow 2x < 3 \Rightarrow x < \frac{3}{2} (2)

Podemos notar que en la inecuación (1) se anularon las variables y obtuvimos la desigualdad 0 \geq -8, esta desigualdad es cierta, por lo tanto, la solución aportada por esta inecuación se representa con todo el conjunto los números reales pues cualquier valor de x que la satisface. Por lo tanto, la solución viene dada de la siguiente forma:

\mathbb{R} \cup \left(-\infty,\frac{3}{2} \right) = \mathbb{R}

Intervalos | totumat.com

Notemos que si incluimos los valores de x para los cuales x-6<0, la solución seguirá siendo la misma.


El Valor Absoluto

¿Qué es una distancia?

En ocasiones, al trabajar con problemas de matemáticas avanzados, más allá de obtener valores, es necesario medir la magnitud de estos, pues su interpretación en el problema que se esté describiendo puede indicar resultados importantes. Para esto definimos el valor absoluto de la siguiente forma:

Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a se define como la distancia que hay entre éste número y el número cero, se denota por |a| y formalmente se expresa así:

Particularmente, si consideramos el número 3, como éste es un número positivo entonces tenemos que 3>0, por lo tanto |3|=3. Por otra parte si consideramos el número -2, como este es un número negativo entonces tenemos que -2<0, por lo tanto |-2|=-(-2)=2.

Ecuaciones con Valor Absoluto

Suponga que se plantea una situación que se puede describir con la siguiente ecuación: |x| = 5 , ¿qué números cumplen con dicha ecuación? Sabemos que |5|=5 pero también sabemos que |-5|=5, entonces la solución de la ecuación viene dada por el conjunto \{-5,5\} pues es el conjunto de todos los valores que satisfacen la ecuación.

Formalmente, la solución de una ecuación de la forma |x| = a viene dada por la siguiente equivalencia:

En general, al considerar una ecuación de la forma |ax+b|=c hallaremos los valores que la satisfacen planteando la siguiente equivalencia:

ecuación lineal con valor absoluto

Consideremos ahora algunos ejemplos en los que se calcula la solución de este tipo de ecuaciones.

Ejemplo 1

|x+4|=1

x+4=1 \Rightarrow x = 1-4 \Rightarrow x =-3
ó
x+4=-1 \Rightarrow x = -1-4 \Rightarrow x =-5

Por lo tanto, la solución de esta inecuación está viene dada por el conjunto \{-3,-5\}.

Ejemplo 2

|-x+5|=9

-x+5=9 \Rightarrow -x = 9-5 \Rightarrow -x = 4 \Rightarrow x = -4
ó
-x+5=-9 \Rightarrow -x = -9-5 \Rightarrow -x = -14 \Rightarrow x = 14

Por lo tanto, la solución de esta inecuación está viene dada por el conjunto \{-4,14\}.

Ejemplo 3

|6x-10|=5

5x-10=5 \Rightarrow 6x=5+10 \Rightarrow 6x=15 \Rightarrow x=\frac{15}{6}
ó
6x-10=-5 \Rightarrow 6x=-5+10 \Rightarrow 6x=5 \Rightarrow x=\frac{5}{6}

Por lo tanto, la solución de esta inecuación está viene dada por el conjunto \left\{ \frac{5}{2} , \frac{5}{6} \right\}.

Ejemplo 4

|2x+7|=-12

Esta ecuación no tiene solución, ya que por definición el valor absoluto de un número siempre adquiere valores positivos. Entonces no existe ningún valor de x que satisfaga esta igualdad. Básicamente, la pregunta es: ¿Cuándo un número positivo es negativo? La respuesta es: Nunca.