Ángulos, Grados y Radianes

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones que existen entre los lados y los ángulos de un triángulo. Los resultados que se generan a partir de estas se pueden generalizar para estudiar otro tipo de figuras geométricas y sus aplicaciones en la vida real tienen un amplio espectro, principalmente en la construcción, el arte y el diseño.

Antes de estudiar las relaciones que se pueden establecer en la trigonometría, es necesario definir algunas figuras geométricas y elementos para formalizar estas relaciones con mayor precisión.

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Circunferencias

Fijando un punto en el plano que llamaremos centro y una distancia que llamaremos radio, definimos una circunferencia como el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia del centro

Circunferencia de radio r | totumat.com

Al estudiar las circunferencias podemos definir elementos que la componen para posteriormente, estudiar las relaciones entre estos elementos.

  • El arco de la circunferencia, son todos los puntos de la circunferencia, usualmente se denota con la letra C.
  • Una cuerda es un segmento de recta cuyos extremos forman parte de la circunferencia.
  • El diámetro es la medida del segmento más grande formado por dos puntos de la circunferencia, usualmente se denota con la letra d.
  • El radio es la medida que hay desde el centro hasta el arco de la circunferencia, usualmente se denota con la letra r.
Partes de una circunferencia: Arco, Cuerda, Diámetro y Radio | totumat.com

La relación más importante que podemos encontrar entre los elementos de una circunferencia es entre la medida o longitud del arco de la circunferencia (C) y el diámetro (d), pues sea cual sea la circunferencia la proporción entre estos dos elementos siempre es la misma. Entonces, el cociente de C entre d se denota con un número especial llamado pi de la siguiente forma

\pi = \frac{C}{d}

Debemos notar además, que el diámetro de una circunferencia es el doble del radio, entonces, podemos establecer una relación entre la longitud de arco de la circunferencia y el radio, sustituyendo d = 2r y despejando C de la ecuación planteada al definir a \pi = \frac{C}{2r} para obtener que

C = 2 \pi \cdot r

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Ángulos

Si consideramos dos segmentos de recta con un extremo común, decimos que estos forman un ángulo y al punto en común de estos segmentos lo llamamos vértice del ángulo; es posible medir la amplitud del ángulo que estos forman recurriendo a algunas figuras geométricas.

Ángulo | totumat.com

Grados

Podemos usar las circunferencias para medir ángulos y es que si seccionamos una circunferencia en 360 partes, podemos corresponder cada ángulo con cada una de estas secciones para poder definir un patrón de medida que llamaremos grados.

Círculo con todos los ángulos de 15 en 15 | totumat.com

Veamos la ilustración de algunos ángulos para entender esta idea con mayor claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Un ángulo con una amplitud de 45 grados, que se denota como 45^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de 45 grados en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 2

Un ángulo con una amplitud de 109 grados, que se denota como 109^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de 109 grados en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 3

Un ángulo con una amplitud de 26 grados, que se denota como 26^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de 26 grados en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 4

Un ángulo con una amplitud de 285 grados, que se denota como 285^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de 285 grados en una circunferencia | totumat.com

En este último caso, notemos que hemos considerado exactamente el espacio entre ellos dos, si no que más bien hemos fijado uno de los segmentos y hemos medido la amplitud del ángulo en sentido anti horario, pues este será el estándar para la medición de ángulos.


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Radianes

Habiendo establecido una relación entre una circunferencia y los ángulos, consideremos de forma particular una circunferencia de radio r=1, entonces podemos expresar la longitud de arco de esta circunferencia de la forma

C = 2 \pi

Un ángulo de 180 grados, puede presentarse como un segmento de circunferencia tomado de una mitad de dicha circunferencia, ilustrado de la siguiente forma:

Semicírculo, mitad de una circunferencia | totumat.com

Si llamamos S a la longitud de este segmento de circunferencia, podemos calcular su medida tomando en cuenta que si el segmento representa la mitad de la circunferencia y que la longitud de arco de la circunferencia es C = 2 \pi, entonces basta con dividir por dos en ambos lados de la igualdad para obtener que

S = \frac{2\pi}{2} = \pi

Por otra parte, un ángulo de 90 grados, puede presentarse como un segmento de circunferencia tomado de un cuarto de dicha circunferencia, ilustrado de la siguiente forma:

cuarto de una circunferencia | totumat.com

Si llamamos S a la longitud de este segmento de circunferencia, podemos calcular su medida tomando en cuenta que si el segmento representa la mitad de la circunferencia y que la longitud de arco de la circunferencia es C = 2 \pi, entonces basta con dividir por cuatro en ambos lados de la igualdad para obtener que

S = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}

Más aún, un ángulo de 45 grados, puede presentarse como un segmento de circunferencia tomado de un octavo de dicha circunferencia, ilustrado de la siguiente forma:

octavo de una circunferencia | totumat.com

Si llamamos S a la longitud de este segmento de circunferencia, podemos calcular su medida tomando en cuenta que si el segmento representa la mitad de la circunferencia y que la longitud de arco de la circunferencia es C = 2 \pi, entonces basta con dividir por ocho en ambos lados de la igualdad para obtener que

S = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}

Entonces, podemos establecer una relación entre estos ángulos y el número \pi, de forma que 180^{\circ} está correspondido con \pi, 90^{\circ} está correspondido con \frac{\pi}{2} y 45^{\circ} está correspondido con \frac{\pi}{4} e incluso, un ángulo de 360^{\circ} está correspondido con 2 \pi. Así que vale la pena preguntarse, ¿será posible corresponder cualquier ángulo con una proporción de \pi?

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La respuesta es sí, pues dado un ángulo \alpha, partimos de la siguientes correspondencias: si 180 está correspondido con \pi y \alpha estará correspondido con un valor x. Esto quiere decir que sus proporciones son las mismas, es decir,

\frac{180}{\alpha} = \frac{\pi}{x}

Y a partir de esta ecuación, podemos despejar la incógnita x para obtener que

x = \frac{\alpha}{180} \cdot \pi

Al valor de x correspondido con el ángulo \alpha se conoce como radián y de esta forma, definimos un nuevo patrón de medida para ángulos en función de \pi que llamaremos radianes y que podemos corresponder con cada medida en grados. En la siguiente tabla, definimos los ángulos más comunes.

Equivalencia de ángulos desde 15 grados hasta 180 grados.

Tabla de Conversión de Grados a Radianes | totumat.com

Equivalencia de ángulos desde 195 grados hasta 360 grados.

Tabla de Conversión de Grados a Radianes | totumat.com

Veamos la ilustración de algunos ángulos para entender esta idea con mayor claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Un ángulo con una amplitud de \frac{\pi}{4} radianes es equivalente a 45^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de pi cuartos radianes en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 6

Un ángulo con una amplitud de 5\frac{\pi}{6} radianes es equivalente a 150^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de cinco pi sextos radianes en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 7

Un ángulo con una amplitud de 5\frac{\pi}{36} radianes es equivalente a 25^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de cinco pi treinta y seisavos radianes en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 8

Un ángulo con una amplitud de 191\frac{\pi}{180} radianes es equivalente a 191^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de siento noventa y uno pi ciento ochentavos radianes en una circunferencia | totumat.com

2 comentarios en “Ángulos, Grados y Radianes

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