Propiedades de las Potencias

A continuación se presentará una lista de algunas propiedades de la potencia de un número, del producto y la división. Sean $a$ y $b$ números reales; $m$ y $n$ números naturales, entonces

1. $a^0 = 1$ , todo número elevado a la cero es igual a uno, esto aplica incluso si $a=0$ .

2. $a^1 = a$ , todo número real se puede expresar con exponente.

3. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , al multiplicar dos números que tienen la misma base, mantenemos la misma base y sumamos los exponentes. Esto se debe a que

$a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m-veces} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces} = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{(m+n)-veces}$

4. $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ , si tenemos un número elevado a una potencias y a su vez esta expresión está elevada a una potencias, entonces multiplicamos las potencias. Esto se debe a

$(a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \ldots \cdot a^m}_{n-veces} = a^{\overbrace{m+m+\ldots+m}^{n-veces}} = a^{m \cdot n}$

5. $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ , si un producto está elevado a una potencia, podemos distribuir el exponente entre cada uno de los elementos del producto. Esto se debe a

$(a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot \ldots \cdot (a \cdot b)}_{n-veces} = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n-veces} = a^n \cdot b^n$

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6. $a^{-1} = \dfrac{1}{a}, \ a \neq 0$ , el inverso multiplicativo de todo número distinto de cero se puede expresar como el número con exponente menos uno (-1) o como el cociente de uno entre ese número.

7. $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \ a \neq 0$ , todo número distinto de cero con una potencia negativa, se puede reescribir como uno sobre el mismo número pero con potencia positiva.

8. $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \ a \neq 0$ , al dividir dos números que tienen la misma base, mantenemos la misma base y restamos los exponentes, el exponente de arriba menos el de abajo. Supongamos que $m > n$ para entender esta idea, entonces, esto se debe a que

$\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{m-veces} }{ \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces}} = \dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{n-veces} }{ \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces}} \cdot \dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{(m-n)-veces}}{1} = a^{m-n}$

9. $\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{1}{a^{n-m}}, \ a \neq 0$ , al dividir dos números que tienen la misma base, mantenemos la misma base en el denominador y restamos los exponentes, el exponente de abajo menos el de arriba. Supongamos que $m < n$ para entender esta idea, entonces, esto se debe a que

$\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{m-veces} }{ \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-veces}} = \dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{m-veces} }{ \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m-veces}} \cdot \dfrac{1}{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{(n-m)-veces}} = \dfrac{1}{a^{n-m}}$

10. $\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}, \ b \neq 0$ , si un cociente está elevado a una potencia, podemos distribuir el exponente entre cada uno de los elementos del cociente. Esto se debe a

$\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \underbrace{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \dfrac{a}{b}}_{n-veces} = \dfrac{ \overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{n-veces} }{ \underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n-veces}} = \dfrac{a^n}{b^n}$

Esta lista es citada por algunos autores como la Ley de las Potencias o Ley de los Exponentes, pero estas en realidad, son propiedades que se deducen del producto entre números reales. De forma resumida, tenemos que

Lista de las Propiedades de las Potencias

$a^0 = 1$

$a^1 = a$

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

$a^{-1} = \dfrac{1}{a}, \ a \neq 0$

$\left( \dfrac{a}{b} \right)^{-1} = \dfrac{b}{a}, \ a,b \neq 0$

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \ a \neq 0$

$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \ a \neq 0$

$\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{1}{a^{n-m}}, \ a \neq 0$

$\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}, \ b \neq 0$

Estas propiedades se pueden usar para simplificar o expandir expresiones algebraicas, es decir, aquellas que se expresan como suma, resta, producto y división de números reales. Veamos en los siguientes ejemplos cómo usar estas propiedades.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Simplifique la expresión $2^2 \cdot 2^3$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos sumar sus exponentes,

$2^7 \cdot 2^3 = 2^{7+3} = 2^{10}$

Ejemplo 2

Simplifique la expresión $3^4 \cdot 3$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos sumar sus exponentes considerando que $3 = 3^1$ ,

$3^4 \cdot 3^1 = 3^{4+1} = 3^5$

Ejemplo 3

Simplifique la expresión $9^5 \cdot 9^2 \cdot 9^{10}$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos sumar sus exponentes,

$9^5 \cdot 9^2 \cdot 9 = 9^{5+2+1} = 9^{8}$

Finalmente, podemos descomponer el número $9$ en factores primos para obtener que

$9^{8} = \left( 3^2 \right)^{8} = 3^{2 \cdot 8} = 3^{16}$

Ejemplo 4

Simplifique la expresión $3^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{6}$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Sumamos los exponentes de los factores con la misma base,

$3^4 \cdot 3^2 \cdot 5^{6} = 3^{4+2} \cdot 5^{6} = 3^{6} \cdot 5^{6}$

Como ambas bases tienen el mismo exponente, podemos agrupar ambas bases bajo el mismo exponente,

$3^{6} \cdot 5^{6} = \left( 3 \cdot 5 \right)^{6}$

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Ejemplo 5

Simplifique la expresión $\left( 7^{9} \cdot 7^{-2} \cdot 7^{5} \right)^{2}$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Sumamos los exponentes de los factores con la misma base,

$\left( 7^{9} \cdot 7^{-2} \cdot 7^{5} \right)^{2} = \left( 7^{9-2+5} \right)^{2} = \left( 7^{12} \right)^{2}$

Multiplicamos el exponente que está fuera del paréntesis con el exponente que está dentro del paréntesis

$\left( 7^{12} \right)^{2} =7^{12 \cdot 2} = 7^{24}$

Ejemplo 6

Simplifique la expresión $\frac{2^5}{2^3}$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Notamos que los elementos involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos restar sus exponentes,

$\frac{2^5}{2^3} = 2^{5-3} = 2^{2}$

Ejemplo 7

Simplifique la expresión $\frac{4^{7} \cdot 3^{-15} \cdot 3^{4}}{4^{3} \cdot 4^{5} \cdot 3^{-20}}$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Sumamos los exponentes de los factores con la misma base,

$\frac{4^{7} \cdot 3^{-15} \cdot 3^{4}}{4^{3} \cdot 4^{5} \cdot 3^{-20}} = \frac{4^{7} \cdot 3^{-15+4}}{4^{3+5} \cdot 3^{-20}} = \frac{4^{7} \cdot 3^{-11}}{4^{8} \cdot 3^{-20}}$

Separamos las fracciones para agrupar las divisiones que tienen la misma base

$\frac{4^{7} \cdot 3^{-11}}{4^{8} \cdot 3^{-20}} = \frac{4^{7}}{4^{8}} \cdot \frac{3^{-11}}{3^{-20}}$

Restamos los exponentes de los factores con la misma base,

$\frac{4^{7}}{4^{8}} \cdot \frac{3^{-11}}{3^{-20}} = 4^{7-8} \cdot 3^{-11-(-20)} = 4^{-1} \cdot 3^{9}$

Descomponemos el número $4$ en factores primos para obtener que

$\left( 2^2 \right)^{-1} \cdot 3^{9} = 2^{-2} \cdot 3^{9}$

Finalmente, podemos reescribir la expresión $2^{-2}$ como $\frac{1}{2^{2}}$ para obtener la siguiente fracción

$2^{-2} \cdot 3^{9} = \frac{1}{2^2} \cdot 3^{9} = \frac{3^9}{2^2}$

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Ejemplo 8

Efectúe la operación $\left( -\frac{5}{2} \right)^2$ usando la definición de potencia y las operaciones entre números racionales.

Debemos tomar en cuenta que si elevamos un número al cuadrado, esto es multiplicar un número por él mismo, dos veces. Entonces,

$\left( -\frac{5}{2} \right)^2 = \left( -\frac{5}{2} \right) \cdot \left( -\frac{5}{2} \right)$

Por otra parte, la fracción $-\frac{5}{2}$ se puede reescribir como $\frac{-5}{2}$ , entonces podemos reescribir este producto de la siguiente forma:

$\left( -\frac{5}{2} \right) \cdot \left( -\frac{5}{2} \right) = \frac{-5}{2} \cdot \frac{-5}{2}$

Finalmente, podemos efectuar el producto de las fracciones y recurriendo a la ley de los signos en el numerador, obtenemos lo siguiente:

$\frac{(-5) \cdot (-5)}{2 \cdot 2} = \frac{25}{4}$

Ejemplo 9

Efectúe la operación $\left( -\frac{2}{3} \right)^3$ usando la definición de potencia y las operaciones entre números racionales.

Debemos tomar en cuenta que si elevamos un número al cubo, esto es multiplicar un número por él mismo, tres veces. Entonces,

$\left( -\frac{2}{3} \right)^3 = \left( -\frac{2}{3} \right) \cdot \left( -\frac{2}{3} \right) \cdot \left( -\frac{2}{3} \right)$

Por otra parte, la fracción $-\frac{2}{3}$ se puede reescribir como $\frac{-2}{3}$ , , entonces podemos reescribir este producto de la siguiente forma:

$\left( -\frac{2}{3} \right) \cdot \left( -\frac{2}{3} \right) \cdot \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{-2}{3} \cdot \frac{-2}{3} \cdot \frac{-2}{3}$

Finalmente, podemos efectuar el producto de las fracciones y recurriendo a la ley de los signos en el numerador, obtenemos lo siguiente:

$\frac{(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{-8}{27} = - \frac{8}{27}$

7 comentarios en “Propiedades de las Potencias”

Ejercicios Propuestos – Propiedades de las Potencias – totumat dice:

31.05.2021 a las 11:35 pm

[…] Simplifique las siguientes expresiones descomponiendo cada uno de los elementos involucrados en factores primos y posteriormente usando las propiedades de las potencias. […]

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