Propiedades de las Potencias

A continuación se presentará una lista de algunas propiedades de la potencia de un número, del producto y la división. Sean $a$ y $b$ números reales; $m$ y $n$ números naturales, entonces

$a^0 = 1$
$a^1 = a$
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

$a^{-1} = \dfrac{1}{a}, \ a \neq 0$
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \ a \neq 0$
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \ a \neq 0$
$\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{1}{a^{n-m}}, \ a \neq 0$
$\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}, \ b \neq 0$

Estas propiedades se pueden usar para simplificar o expandir expresiones algebraicas, es decir, aquellas que se expresan como suma, resta, producto y división de números reales. Veamos en los siguientes ejemplos como usar estas propiedades.

Ejemplos

Ejemplo 1

Simplifique la expresión $2^2 \cdot 2^3$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos sumar sus exponentes,

$2^7 \cdot 2^3 = 2^{7+3} = 2^{10}$

Ejemplo 2

Simplifique la expresión $3^4 \cdot 3$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos sumar sus exponentes considerando que $3 = 3^1$ ,

$3^4 \cdot 3^1 = 3^{4+1} = 3^5$

Ejemplo 3

Simplifique la expresión $9^5 \cdot 9^2 \cdot 9^{10}$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos sumar sus exponentes,

$9^5 \cdot 9^2 \cdot 9 = 9^{5+2+1} = 9^{8}$

Finalmente, podemos descomponer el número $9$ en factores primos para obtener que

$9^{8} = \left( 3^2 \right)^{8} = 3^{2 \cdot 8} = 3^{16}$

Ejemplo 4

Simplifique la expresión $3^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{6}$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Sumamos los exponentes de los factores con la misma base,

$3^4 \cdot 3^2 \cdot 5^{6} = 3^{4+2} \cdot 5^{6} = 3^{6} \cdot 5^{6}$

Como ambas bases tienen el mismo exponente, podemos agrupar ambas bases bajo el mismo exponente,

$3^{6} \cdot 5^{6} = \left( 3 \cdot 5 \right)^{6}$

Ejemplo 5

Simplifique la expresión $\left( 7^{9} \cdot 7^{-2} \cdot 7^{5} \right)^{2}$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Sumamos los exponentes de los factores con la misma base,

$\left( 7^{9} \cdot 7^{-2} \cdot 7^{5} \right)^{2} = \left( 7^{9-2+5} \right)^{2} = \left( 7^{12} \right)^{2}$

Multiplicamos el exponente que está fuera del paréntesis con el exponente que está dentro del paréntesis

$\left( 7^{12} \right)^{2} =7^{12 \cdot 2} = 7^{24}$

Ejemplo 6

Simplifique la expresión $\frac{2^5}{2^3}$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Notamos que los elementos involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos restar sus exponentes,

$\frac{2^5}{2^3} = 2^{5-3} = 2^{2}$

Ejemplo 7

Simplifique la expresión $\frac{4^{7} \cdot 3^{-15} \cdot 3^{4}}{4^{3} \cdot 4^{5} \cdot 3^{-20}}$ usando únicamente las propiedades de las potencias.

Sumamos los exponentes de los factores con la misma base,

$\frac{4^{7} \cdot 3^{-15} \cdot 3^{4}}{4^{3} \cdot 4^{5} \cdot 3^{-20}} = \frac{4^{7} \cdot 3^{-15+4}}{4^{3+5} \cdot 3^{-20}} = \frac{4^{7} \cdot 3^{-11}}{4^{8} \cdot 3^{-20}}$