A continuación se presentará una lista de algunas propiedades de la potencia de un número, del producto y la división. Sean y
números reales;
y
números naturales, entonces
1. , todo número elevado a la cero es igual a uno, esto aplica incluso si
.
2. , todo número real se puede expresar con exponente.
3. , al multiplicar dos números que tienen la misma base, mantenemos la misma base y sumamos los exponentes. Esto se debe a que
4. , si tenemos un número elevado a una potencias y a su vez esta expresión está elevada a una potencias, entonces multiplicamos las potencias. Esto se debe a
5. , si un producto está elevado a una potencia, podemos distribuir el exponente entre cada uno de los elementos del producto. Esto se debe a
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6. , el inverso multiplicativo de todo número distinto de cero se puede expresar como el número con exponente menos uno (-1) o como el cociente de uno entre ese número.
7. , todo número distinto de cero con una potencia negativa, se puede reescribir como uno sobre el mismo número pero con potencia positiva.
8. , al dividir dos números que tienen la misma base, mantenemos la misma base y restamos los exponentes, el exponente de arriba menos el de abajo. Supongamos que
para entender esta idea, entonces, esto se debe a que
9. , al dividir dos números que tienen la misma base, mantenemos la misma base en el denominador y restamos los exponentes, el exponente de abajo menos el de arriba. Supongamos que
para entender esta idea, entonces, esto se debe a que
10. , si un cociente está elevado a una potencia, podemos distribuir el exponente entre cada uno de los elementos del cociente. Esto se debe a
Esta lista es citada por algunos autores como la Ley de las Potencias o Ley de los Exponentes, pero estas en realidad, son propiedades que se deducen del producto entre números reales. De forma resumida, tenemos que
Lista de las Propiedades de las Potencias
Estas propiedades se pueden usar para simplificar o expandir expresiones algebraicas, es decir, aquellas que se expresan como suma, resta, producto y división de números reales. Veamos en los siguientes ejemplos cómo usar estas propiedades.
Ejemplos
Ejemplo 1
Simplifique la expresión usando únicamente las propiedades de las potencias.
Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos sumar sus exponentes,
Ejemplo 2
Simplifique la expresión usando únicamente las propiedades de las potencias.
Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos sumar sus exponentes considerando que ,
Ejemplo 3
Simplifique la expresión usando únicamente las propiedades de las potencias.
Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos sumar sus exponentes,
Finalmente, podemos descomponer el número en factores primos para obtener que
Ejemplo 4
Simplifique la expresión usando únicamente las propiedades de las potencias.
Sumamos los exponentes de los factores con la misma base,
Como ambas bases tienen el mismo exponente, podemos agrupar ambas bases bajo el mismo exponente,
Ejemplo 5
Simplifique la expresión usando únicamente las propiedades de las potencias.
Sumamos los exponentes de los factores con la misma base,
Multiplicamos el exponente que está fuera del paréntesis con el exponente que está dentro del paréntesis
Ejemplo 6
Simplifique la expresión usando únicamente las propiedades de las potencias.
Notamos que los elementos involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos restar sus exponentes,
Ejemplo 7
Simplifique la expresión usando únicamente las propiedades de las potencias.
Sumamos los exponentes de los factores con la misma base,
Separamos las fracciones para agrupar las divisiones que tienen la misma base
Restamos los exponentes de los factores con la misma base,
Descomponemos el número en factores primos para obtener que
Finalmente, podemos reescribir la expresión como
para obtener la siguiente fracción
Ejemplo 8
Efectúe la operación usando la definición de potencia y las operaciones entre números racionales.
Debemos tomar en cuenta que si elevamos un número al cuadrado, esto es multiplicar un número por él mismo, dos veces. Entonces,
Por otra parte, la fracción se puede reescribir como
, entonces podemos reescribir este producto de la siguiente forma:
Finalmente, podemos efectuar el producto de las fracciones y recurriendo a la ley de los signos en el numerador, obtenemos lo siguiente:
Ejemplo 9
Efectúe la operación usando la definición de potencia y las operaciones entre números racionales.
Debemos tomar en cuenta que si elevamos un número al cubo, esto es multiplicar un número por él mismo, tres veces. Entonces,
Por otra parte, la fracción se puede reescribir como
, , entonces podemos reescribir este producto de la siguiente forma:
Finalmente, podemos efectuar el producto de las fracciones y recurriendo a la ley de los signos en el numerador, obtenemos lo siguiente:
[…] Simplifique las siguientes expresiones descomponiendo cada uno de los elementos involucrados en factores primos y posteriormente usando las propiedades de las potencias. […]
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