Cómo dividir 630÷24

Se ha levantado revuelo en Twitter por un tweet de una persona que no entiende cómo ha sido el procedimiento que ha llevado a cabo su hija para efectuar la operación 630÷24. A mi parecer, ambos procedimientos son iguales, salvo que en el primero se han hecho algunas cuentas mentales y en el segundo ha sido más detallado.

Considerando que en muchas de las respuestas indican que no saben efectuar esa división y aunque no veo ningún problema con eso, para los curiosos, comparto con detalle cual fue el procedimiento que ha usado la hija y veremos que ambos procedimientos expuestos son el mismo.

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Para empezar, debemos notar que la división 630÷24 se conoce como una división entre dos cifras, esto se debe a que el número 24 cuenta con dos cifras. Antes de empezar con el procedimiento para efectuar esta división, veamos con algunos ejemplos como dividir por un número de una cifra.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si dividimos 13 entre 5, entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 5 el resultado sea exactamente igual a 13, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 13.

Particularmente el número que estamos buscando es 2 pues 2 \cdot 5 = 10 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 13 - 10 = 3, esto lo expresamos de la siguiente forma:

División de Números Enteros | totumat.com

Como el resto 3 es menor que el divisor 5, ha concluido el procedimiento y decimos que 13 = 2 \cdot 5 + 3. En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejemplo 2

Si dividimos 125 entre 9, pudiéramos buscar un número entero tal que al multiplicarlo por 9 el resultado sea exactamente igual a 125, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 125.

Sin embargo, al ser 125 un número de tres cifras, podemos facilitar las cuentas (aunque alargando el procedimiento) considerando sólo las primeras dos cifras de 125.

Entonces, buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 9 el resultado sea exactamente igual a 12, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 12.

Particularmente el número que estamos buscando es 1 pues 1 \cdot 9 = 9 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 12 - 9 = 3, esto lo expresamos de la siguiente forma:

División de Números Enteros | totumat.com

Una vez que hemos dado este primer paso, bajamos el número 5 y lo escribimos del lado derecho del 3.

División de Números Enteros | totumat.com

Como 35 es mayor que 9, entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 9 el resultado sea exactamente igual a 35, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 35.

Particularmente el número que estamos buscando es 3 pues 3 \cdot 9 = 27 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 35-27 = 8, esto lo expresamos de la siguiente forma:

División de Números Enteros | totumat.com

Como el resto 8 es menor que el divisor 9, ha concluido el procedimiento y decimos que 125 = 13 \cdot 9 + 8. En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

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Visto un ejemplo de una cifra y teniendo clara la idea de como efectuar una división, veamos qué es lo que ocurre al efectuar la división 630÷24:

630÷24

Si dividimos 630 entre 24, debemos considerar que el número 24 tiene dos cifras. Pudiéramos buscar un número entero tal que al multiplicarlo por 24 el resultado sea exactamente igual a 630, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 630.

Sin embargo, al ser 630 un número de tres cifras, podemos facilitar las cuentas (aunque alargando el procedimiento) considerando sólo las primeras dos cifras de 630.

Entonces, buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 24 el resultado sea exactamente igual a 63, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 63.

Particularmente el número que estamos buscando es 2 pues 2 \cdot 24 = 48 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 63 - 48 = 15, esto lo expresamos de la siguiente forma:

División de Números Enteros | totumat.com

Una vez que hemos dado este primer paso, bajamos el número 0 y lo escribimos del lado derecho del 15.

División de Números Enteros | totumat.com

Como 150 es mayor que 24, buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 24 el resultado sea exactamente igual a 150, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 150.

Notemos que 150 es un número de tres cifras, pero si consideramos sólo las primeras dos cifras, no podemos continuar con el procedimiento pues 15 es menor que 24.

Particularmente el número que estamos buscando es 6 pues 6 \cdot 24 = 144 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 150-144 = 6, esto lo expresamos de la siguiente forma:

División de Números Enteros | totumat.com

Como el resto 6 es menor que el divisor 24, ha concluido el procedimiento y decimos que 125 = 13 \cdot 9 + 3. En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ley de los Signos

Al efectuar el producto entre números reales, debemos ser estar muy atentos al signo de los factores involucrados para llegar a la conclusión correcta. Es por esto que enunciaremos los cuatro casos que se pueden presentar al efectuar el producto de de dos factores.

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Consideremos dos números reales a y b; y para ser enfáticos, los denotaremos con +a y +b. En contraparte, consideremos sus opuestos aditivos denotados con -a y -b, entonces tenemos que:

(+a) \cdot (+b) = +(a \cdot b)

(-a) \cdot (+b) = -(a \cdot b)

(+a) \cdot (-b) = -(a \cdot b)

(-a) \cdot (-b) = +(a \cdot b)

De esta forma, podemos establecer una regla informal conocida como la Ley de Los Signos sobre el producto de números enteros de la siguiente forma:

Más por más, más.
Más por menos, menos.
Menos por más, menos.
Menos por menos, más.

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Ejemplo

Ejemplo 1

Para efectuar el producto 3 \cdot 3, el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

3 \cdot 3 = 9

Ejemplo 2

Para efectuar el producto 2 \cdot \sqrt(5), el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

2 \cdot \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}

Ejemplo 3

Para efectuar el producto (-2) \cdot 5, el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

(-2) \cdot 5 = - ( 2 \cdot 5 ) = -10

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Ejemplo 4

Para efectuar el producto (-3) \cdot \frac{1}{3}, el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

(-3) \cdot  \frac{1}{3}  = - ( 3 \cdot  \frac{1}{3} ) = -1

Ejemplo 5

Para efectuar el producto 6 \cdot (-3), el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

6 \cdot (-3) = - (6 \cdot 3) = -18

Ejemplo 6

Para efectuar el producto 10 \cdot (-\sqrt{7}), el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

10 \cdot (- \sqrt{7}) = - (10 \cdot  \sqrt{7}) = -10 \sqrt{7}

Ejemplo 7

Para efectuar el producto (-4) \cdot (-8), el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

(-4) \cdot (-8) = (4 \cdot 8) = 32

Ejemplo 8

Para efectuar el producto (-x) \cdot (-x), donde x es una variable real. Notemos que si bien no sabemos si la variable es positiva o negativa, el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

(-x) \cdot (-x) = (x \cdot x) = x^2


Ángulos, Grados y Radianes

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones que existen entre los lados y los ángulos de un triángulo. Los resultados que se generan a partir de estas se pueden generalizar para estudiar otro tipo de figuras geométricas y sus aplicaciones en la vida real tienen un amplio espectro, principalmente en la construcción, el arte y el diseño.

Antes de estudiar las relaciones que se pueden establecer en la trigonometría, es necesario definir algunas figuras geométricas y elementos para formalizar estas relaciones con mayor precisión.

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Circunferencias

Fijando un punto en el plano que llamaremos centro y una distancia que llamaremos radio, definimos una circunferencia como el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia del centro

Circunferencia de radio r | totumat.com

Al estudiar las circunferencias podemos definir elementos que la componen para posteriormente, estudiar las relaciones entre estos elementos.

  • El arco de la circunferencia, son todos los puntos de la circunferencia, usualmente se denota con la letra C.
  • Una cuerda es un segmento de recta cuyos extremos forman parte de la circunferencia.
  • El diámetro es la medida del segmento más grande formado por dos puntos de la circunferencia, usualmente se denota con la letra d.
  • El radio es la medida que hay desde el centro hasta el arco de la circunferencia, usualmente se denota con la letra r.
Partes de una circunferencia: Arco, Cuerda, Diámetro y Radio | totumat.com

La relación más importante que podemos encontrar entre los elementos de una circunferencia es entre la medida o longitud del arco de la circunferencia (C) y el diámetro (d), pues sea cual sea la circunferencia la proporción entre estos dos elementos siempre es la misma. Entonces, el cociente de C entre d se denota con un número especial llamado pi de la siguiente forma

\pi = \frac{C}{d}

Debemos notar además, que el diámetro de una circunferencia es el doble del radio, entonces, podemos establecer una relación entre la longitud de arco de la circunferencia y el radio, sustituyendo d = 2r y despejando C de la ecuación planteada al definir a \pi = \frac{C}{2r} para obtener que

C = 2 \pi \cdot r

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Ángulos

Si consideramos dos segmentos de recta con un extremo común, decimos que estos forman un ángulo y al punto en común de estos segmentos lo llamamos vértice del ángulo; es posible medir la amplitud del ángulo que estos forman recurriendo a algunas figuras geométricas.

Ángulo | totumat.com

Grados

Podemos usar las circunferencias para medir ángulos y es que si seccionamos una circunferencia en 360 partes, podemos corresponder cada ángulo con cada una de estas secciones para poder definir un patrón de medida que llamaremos grados.

Círculo con todos los ángulos de 15 en 15 | totumat.com

Veamos la ilustración de algunos ángulos para entender esta idea con mayor claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Un ángulo con una amplitud de 45 grados, que se denota como 45^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de 45 grados en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 2

Un ángulo con una amplitud de 109 grados, que se denota como 109^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de 109 grados en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 3

Un ángulo con una amplitud de 26 grados, que se denota como 26^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de 26 grados en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 4

Un ángulo con una amplitud de 285 grados, que se denota como 285^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de 285 grados en una circunferencia | totumat.com

En este último caso, notemos que hemos considerado exactamente el espacio entre ellos dos, si no que más bien hemos fijado uno de los segmentos y hemos medido la amplitud del ángulo en sentido anti horario, pues este será el estándar para la medición de ángulos.


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Radianes

Habiendo establecido una relación entre una circunferencia y los ángulos, consideremos de forma particular una circunferencia de radio r=1, entonces podemos expresar la longitud de arco de esta circunferencia de la forma

C = 2 \pi

Un ángulo de 180 grados, puede presentarse como un segmento de circunferencia tomado de una mitad de dicha circunferencia, ilustrado de la siguiente forma:

Semicírculo, mitad de una circunferencia | totumat.com

Si llamamos S a la longitud de este segmento de circunferencia, podemos calcular su medida tomando en cuenta que si el segmento representa la mitad de la circunferencia y que la longitud de arco de la circunferencia es C = 2 \pi, entonces basta con dividir por dos en ambos lados de la igualdad para obtener que

S = \frac{2\pi}{2} = \pi

Por otra parte, un ángulo de 90 grados, puede presentarse como un segmento de circunferencia tomado de un cuarto de dicha circunferencia, ilustrado de la siguiente forma:

cuarto de una circunferencia | totumat.com

Si llamamos S a la longitud de este segmento de circunferencia, podemos calcular su medida tomando en cuenta que si el segmento representa la mitad de la circunferencia y que la longitud de arco de la circunferencia es C = 2 \pi, entonces basta con dividir por cuatro en ambos lados de la igualdad para obtener que

S = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}

Más aún, un ángulo de 45 grados, puede presentarse como un segmento de circunferencia tomado de un octavo de dicha circunferencia, ilustrado de la siguiente forma:

octavo de una circunferencia | totumat.com

Si llamamos S a la longitud de este segmento de circunferencia, podemos calcular su medida tomando en cuenta que si el segmento representa la mitad de la circunferencia y que la longitud de arco de la circunferencia es C = 2 \pi, entonces basta con dividir por ocho en ambos lados de la igualdad para obtener que

S = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}

Entonces, podemos establecer una relación entre estos ángulos y el número \pi, de forma que 180^{\circ} está correspondido con \pi, 90^{\circ} está correspondido con \frac{\pi}{2} y 45^{\circ} está correspondido con \frac{\pi}{4} e incluso, un ángulo de 360^{\circ} está correspondido con 2 \pi. Así que vale la pena preguntarse, ¿será posible corresponder cualquier ángulo con una proporción de \pi?

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La respuesta es sí, pues dado un ángulo \alpha, partimos de la siguientes correspondencias: si 180 está correspondido con \pi y \alpha estará correspondido con un valor x. Esto quiere decir que sus proporciones son las mismas, es decir,

\frac{180}{\alpha} = \frac{\pi}{x}

Y a partir de esta ecuación, podemos despejar la incógnita x para obtener que

x = \frac{\alpha}{180} \cdot \pi

Al valor de x correspondido con el ángulo \alpha se conoce como radián y de esta forma, definimos un nuevo patrón de medida para ángulos en función de \pi que llamaremos radianes y que podemos corresponder con cada medida en grados. En la siguiente tabla, definimos los ángulos más comunes.

Equivalencia de ángulos desde 15 grados hasta 180 grados.

Tabla de Conversión de Grados a Radianes | totumat.com

Equivalencia de ángulos desde 195 grados hasta 360 grados.

Tabla de Conversión de Grados a Radianes | totumat.com

Veamos la ilustración de algunos ángulos para entender esta idea con mayor claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Un ángulo con una amplitud de \frac{\pi}{4} radianes es equivalente a 45^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de pi cuartos radianes en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 6

Un ángulo con una amplitud de 5\frac{\pi}{6} radianes es equivalente a 150^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de cinco pi sextos radianes en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 7

Un ángulo con una amplitud de 5\frac{\pi}{36} radianes es equivalente a 25^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de cinco pi treinta y seisavos radianes en una circunferencia | totumat.com

Ejemplo 8

Un ángulo con una amplitud de 191\frac{\pi}{180} radianes es equivalente a 191^{\circ}, estará ilustrado de la siguiente forma:

ángulo de siento noventa y uno pi ciento ochentavos radianes en una circunferencia | totumat.com

La Notación Científica

¡Cuenta rápido! ¿Cuántos ceros hay en el siguiente número entero?

3870 0000 0000 0000 0000 0000

¡Cuenta más rápido! ¿Cuántos ceros hay en el siguiente número decimal?

0,00 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0419

¿Cuánto demoraste en contar todos estos ceros? Yo ni los conté. Es claro que los números que hemos expuesto son demasiado largos como para determinar a simple vista que tan grandes o que tan pequeños son. Es por esto que debemos definir una nueva forma de reescribir este tipo de números de forma que sea más fácil identificarlos.

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Abreviar números usando múltiplos de 10

Una forma de abreviar este tipo de números consiste en notar que todo número se puede descomponer en unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etc; usaremos este hecho para corresponder cada componente con un múltiplo de 10. Ilustremos esta idea considerando directamente los múltiplos de 10.

10 = \ 1 \cdot 10
100 = \ 1 \cdot 10^2
1000 = \ 1 \cdot 10^3
10000 = \ 1 \cdot 10^4
\vdots
1\underbrace{0 \ldots 0}_{n-ceros} = \ 1 \cdot 10^n

Intuitivamente, lo que está ocurriendo es que al considerar un número, al multiplicar por 10, estamos moviendo la coma que separa la parte decimal hacia la derecha. Por ejemplo, si consideramos el número 123000, notamos que hay tres ceros después de la cadena de dígitos 123, entonces podemos abreviar los ceros de este número reescribiéndolo como

123 \cdot 10^{3}

De igual forma, podemos notar que la parte decimal de todo número también se puede descomponer en unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etc; usaremos este hecho para corresponder cada componente con un múltiplo inverso de 10. Ilustremos esta idea considerando directamente los múltiplos inversos de 10.

0,1 = \ 1 \cdot 10^{-1}
0,01 = \ 1 \cdot 10^{-2}
0,001 = \ 1 \cdot 10^{-3}
0,0001 = \ 1 \cdot 10^{-4}
\vdots
0,\underbrace{0 \ldots 0}_{n-ceros}1 = \ 1 \cdot 10^{-n}

Intuitivamente, lo que está ocurriendo es que al considerar un número, al multiplicar por 10^{-1}, estamos moviendo la coma que separa la parte decimal hacia la izquierda. Por ejemplo, si consideramos el número 0,0000074, notamos que hay cinco ceros entre la coma y 74, entonces podemos abreviar los ceros de este número reescribiéndolo como

0,74 \cdot 10^{-5}

La Notación Científica

Partiendo de estos principios, definimos la notación científica como una forma de reescribir cualquier número multiplicándolo por múltiplos o múltiplos inversos de 10 para dejar sólo un dígito para su parte entera.

Para ilustrar esta idea, consideremos en los siguientes ejemplos algunos números y veamos la técnica para reescribirlos en notación científica.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Reescriba el número 4084 en notación científica indicando el procedimiento paso a paso. Considerando que la parte decimal de todo número entero es igual a cero, podemos escribir este número como 4084,0, entonces

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

408,4 \cdot 10

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

40,84 \cdot 10^{2}

Finalmente movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener el número 4084 expresado en notación científica de la siguiente forma:

4,084 \cdot 10^{3}

Notemos que al multiplicar 4,084 \cdot 10^{3} obtenemos el número original, 4084.

Ejemplo 2

Reescriba el número 83295 en notación científica indicando el procedimiento paso a paso. Considerando que la parte decimal de todo número entero es igual a cero, podemos escribir este número como 83295,0.

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

8329,5 \cdot 10

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

832,95 \cdot 10^{2}

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

83,295 \cdot 10^{3}

Finalmente movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener el número 83295 expresado en notación científica de la siguiente forma:

8,3295 \cdot 10^{4}

Notemos que al multiplicar 8.3295 \cdot 10^{4}, obtenemos el número original, latex 83295.

Ejemplo 3

Reescriba el número 1334621 en notación científica indicando el procedimiento paso a paso. Considerando que la parte decimal de todo número entero es igual a cero, podemos escribir este número como 1334621,0, entonces

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

133462,1 \cdot 10

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

13346,21 \cdot 10^{2}

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

1334,621 \cdot 10^{3}

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

133,4621 \cdot 10^{4}

Movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener,

13,34621 \cdot 10^{5}

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la izquierda, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10 y así obtener el número 1334621 expresado en notación científica de la siguiente forma:

1,334621 \cdot 10^{6}

Notemos que al multiplicar 1,334621 \cdot 10^{6} obtenemos el número original, 1334621.

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Ejemplo 4

Reescriba el número 0,004167 en notación científica indicando el procedimiento paso a paso.

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,04167 \cdot 10^{-1}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,4167 \cdot 10^{-2}

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

4,167 \cdot 10^{-3}

Notemos que al multiplicar 4,167 \cdot 10^{-3} obtenemos el número original, 0,004167.

Ejemplo 5

Reescriba el número 0,00058016 en notación científica indicando el procedimiento paso a paso.

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,0058016 \cdot 10^{-1}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,058016 \cdot 10^{-2}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,58016 \cdot 10^{-3}

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

5,8016 \cdot 10^{-4}

Notemos que al multiplicar 5,8016 \cdot 10^{-4} obtenemos el número original, 0,00058016.

Ejemplo 6

Reescriba el número 0,00000082935 en notación científica indicando el procedimiento paso a paso.

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,0000082935 \cdot 10^{-1}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,000082935 \cdot 10^{-2}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,00082935 \cdot 10^{-3}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,0082935 \cdot 10^{-4}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,082935 \cdot 10^{-5}

Movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

0,82935 \cdot 10^{-6}

Finalmente, movemos la coma en un espacio hacia la derecha, pero para compensar esto, multiplicamos el número resultante por 10^{-1} y así obtener,

8,2935 \cdot 10^{-7}

Notemos que al multiplicar 8,2935 \cdot 10^{-7} obtenemos el número original, 0,00000082935.


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Los números que hemos considerado en los ejemplos no pudieran no necesitar se reescritos en notación científica, sin embargo, en la práctica son muy necesarios para poder agilizar la comprensión de la información. Hay ejemplos notables de la notación científica, por ejemplo,

De acuerdo con Wikipedia, una de las siete magnitudes físicas fundamentales del Sistema Internacional de Unidades es el mol y es la unidad con que se mide la cantidad de sustancia. Particularmente, la Constante de Avogadro o a veces referida como el Número de Avogadro es el número de partículas constituyentes (usualmente átomos o moléculas) que se encuentran en la cantidad de sustancia de un mol, este es aproximadamente

6,022 \cdot 10^{-23}

Un gúgol es uno de los números grandes con nombre propio, su nombre en inglés es googol y de ahí se derivó el nombre de la empresa cibernética google. Este número se escribe como un 1 seguido de 100 ceros, de aquí la necesidad de escribirlo con notación científica de la siguiente forma,

1 \cdot 10^{100}

La Notación Científica en las Calculadoras

Debido a lo limitadas que son las pantallas de las calculadoras y también por comodidad, estas presentarán los números muy grandes o los muy pequeños usando notación científica, sin embargo, dependiendo del modelo de la calculadora puede usarse la notación e-N o E-N en vez de \times 10^{n}. Veamos algunos ejemplos para entender esto,

  • En una calculadora, el número 4.49496e-29 representa 4,49496 \cdot 10^{-29}.
  • En una calculadora, el número 8.112E-7 representa 8,112 \cdot 10^{-7}.
  • En una calculadora, el número 3.87e23 representa 3,87 \cdot 10^{23}.
  • En una calculadora, el número 9.6301E200 representa 9,6301 \cdot 10^{200}.

La jerarquía de las operaciones y los signos de agrupación

La jerarquía de las operaciones

¿Qué es saber sumar, restar, multiplicar y dividir? Si bien, durante los estudios básicos de matemáticas aprendemos a efectuar cualquiera de las operaciones básicas, es poco lo que se indaga cuando estas operaciones se encuentran combinadas.

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Al efectuar distintas operaciones entre números reales, resulta necesario especificar el orden en el que se deben efectuar las operaciones, esto es para evitar ambigüedades la hora de expresar los resultados. Entonces, si consideramos las operaciones de suma, resta, multiplicación y división; el orden en el que estas deben efectuarse es el siguiente:

La jerarquía de las operaciones | totumat.com

Es decir, primero se efectúan todos los productos, después todas las divisiones, después todas las sumas y por último, todas las restas.

La suma será expresada con una cruz ( + ). La resta será expresada con una raya horizontal ( - ). El producto o multiplicación será expresado con un punto ( \cdot ), aunque también se puede expresar con dos rayas cruzadas ( \times ). La división será expresada con dos puntos y una raya horizontal ( \div ) que denota un número sobre otro número, aunque también se puede expresar simplemente con dos puntos ( : ) o con una barra vertical ( / ).

Veamos en lo siguientes ejemplos como aplicar esta jerarquía de las operaciones al toparnos con expresiones que cuentan con distintas operaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

3 \cdot 2 + 5

En esta ocasión encontramos un producto y una suma. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

6 + 5

Posteriormente, efectuamos la suma y concluimos que el resultado será

11

Ejemplo 2

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

3 + 2 \cdot 5

En esta ocasión encontramos un producto y una suma. Notemos que a diferencia del ejemplo anterior, la suma aparece primero, sin embargo, la jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

3 + 10

Finalmente, efectuamos la suma y concluimos que el resultado será

13

Ejemplo 3

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

4 + 3 \cdot 6 - 7

En esta ocasión encontramos un producto, una suma y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

4 + 18 - 7

Posteriormente, efectuamos la suma,

22 - 7

Finalmente, efectuamos la resta

15

Ejemplo 4

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

-14 + 15 \div 3 + 20

En esta ocasión encontramos un producto, una suma y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, de esta forma, obtenemos

-14 + 5 + 20

Posteriormente, efectuamos las sumas,

-14 + 25

Finalmente, efectuamos la resta

11

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Ejemplo 5

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

20 - 5 \cdot 2 - 30 \div 10

En esta ocasión encontramos un producto, una división y dos resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

20 - 10 - 30 \div 10

Posteriormente, efectuamos la división,

20 - 10 - 3

En este caso, notamos que hay dos restas, entonces agrupamos las restas y las efectuamos

20 - 13

Finalmente, efectuamos la resta

7

Ejemplo 6

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

4 \cdot 3 + 7 \cdot 5 - 55 \div 11 + 9

En esta ocasión encontramos dos productos, una división, dos sumas y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar los productos, de esta forma, obtenemos

12 + 35 - 55 \div 11 + 9

Posteriormente, efectuamos la división,

12 + 35 - 5 + 9

En este caso, notamos que hay más de dos números sumando, entonces agrupamos las sumas

12 + 35 + 9 - 5

Posteriormente, efectuamos las sumas

56 - 5

Finalmente, efectuamos la resta

51


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Los signos de agrupación

Hay expresiones en las que las jerarquía de las operaciones no basta para calcular un resultado, pues puede no estar muy claro cual es la operación que debe efectuarse. Por ejemplo, si consideramos la expresión

12 \div 2 \cdot 3

La jerarquía de las operaciones indica que primero debe efectuarse el producto, sin embargo, ¿es correcto multiplicar un número entero por un divisor? ¿Es correcto efectuar primero la división y después el producto? ¿Es correcto multiplicar el doce por el tres? No queda claro como efectuar esta operación correctamente.

Considerando esto, debemos definir una nueva herramienta que indique con claridad cuales son las operaciones que se deben efectuar primero, que llamaremos signos de agrupación.

Usaremos paréntesis ( \ ) para agrupar las operaciones que se deben efectuar antes de efectuar cualquier otra operación. De esta forma, si consideramos la operación

12 \div (2 \cdot 3)

Se está indicando que primero se debe efectuar el producto 2 \cdot 3, para obtener 12 \div 6 que a su vez, es igual a 2. Por otra parte, si consideramos la operación

(12 \div 2) \cdot 3

Se está indicando que primero se debe efectuar la división 12 \div 2, para obtener 6 \cdot 3 que a su vez, es igual a 18.

Notemos que ambos casos arrojan resultados distintos, ahí radica la importancia del uso de los paréntesis para agrupar las operaciones que se deben efectuar primero.

También puede ocurrir que debemos agrupar operaciones que entre números que ya están agrupados por otras operaciones, para esto usamos otros signos de agrupación: corchetes [ \ ] y llaves { \ }, sobre los cuales también definimos una jerarquía.

Es decir, primero se efectúan todas las operaciones que se encuentran entre paréntesis, después todas las operaciones que se encuentran entre corchetes y por último, todas las operaciones que se encuentran entre llaves.

Veamos en lo siguientes ejemplos como aplicar esta jerarquía de las operaciones y los signos de agrupación al toparnos con expresiones que cuentan con distintas operaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 7

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

3 \cdot (5 + 1)

Lo primero que debemos notar es que la suma 5 + 1 está encerrada en un paréntesis. La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

3 \cdot 6

Finalmente, efectuamos el producto,

18

Ejemplo 8

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

2 \cdot (9 - 2) + 10

Lo primero que debemos notar es que la resta 9 - 4 está encerrada en un paréntesis. La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

2 \cdot 7 + 10

La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

14 + 10

Finalmente, efectuamos la suma,

24

Ejemplo 9

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

3 + 4 \cdot [ 24 \div (2+6) + 5]

Debemos notar que hay dos signos de agrupación: paréntesis y corchetes. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

3 + 4 \cdot [ 24 \div 8 + 5]

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, obteniendo

3 + 4 \cdot [3 + 5]

Posteriormente, efectuamos la suma que se encuentra dentro de los corchetes,

3 + 4 \cdot 8

Posteriormente, efectuamos el producto,

3 + 32

Posteriormente, efectuamos la suma,

35

Ejemplo 10

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

100 - 2 \cdot \big[ (10 + 20) \div 15 - 5 \cdot (12 - 3) \big]

Debemos notar que hay dos signos de agrupación: paréntesis y corchetes. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

100 - 2 \cdot [ 30 \div 15 - 5 \cdot 9 ]

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto e incluso, en este caso podemos efectuar la división en el mismo paso sin que se altere el resultado, obteniendo

100 - 2 \cdot [ 2 - 45 ]

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de los corchetes,

100 - 2 \cdot [ -43 ]

Posteriormente, efectuamos el producto y aplicando la ley de los signos, tenemos

100 + 86

Posteriormente, efectuamos la suma,

186

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Ejemplo 11

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

5 - \{ 20 + 35 \div [17 - (3+7) + 5 \div (3+2) - 2] \}

Debemos notar que hay tres signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

5 - \{ 20 + 35 \div [17 - 10 + 5 \div 5 - 5] \}

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, obteniendo

5 - \{ 20 + 35 \div [17 - 10 + 5 - 5] \}

Posteriormente, agrupamos las sumas dentro de los corchetes

5 - \{ 20 + 35 \div [17 + 5 - 10 - 5] \}

Posteriormente, efectuamos las sumas que se encuentra dentro de los corchetes e incluso, en este caso podemos efectuar las restas en el mismo paso sin que se altere el resultado

5 - \{ 20 + 35 \div [22 - 15] \}

Posteriormente, efectuamos la resta,

5 - \{ 20 + 35 \div [7] \}

Posteriormente, efectuamos la división,

5 - \{ 20 + 5 \}

Posteriormente, efectuamos la suma,

5 - \{ 20 + 5 \}

Posteriormente, efectuamos la suma,

5 - \{ 25 \}

Finalmente, efectuamos la resta,

-20

Ejemplo 12

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

72 + \cdot \{ -30 + 5 \cdot [4 + 2 \cdot (5-2) - 3 \cdot (1+4) - 2] \} \div [ 3 \cdot (10 - 7) ]

Debemos notar que hay tres signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

72 + \{ -30 + 5 \cdot [4 + 2 \cdot 3 - 3 \cdot 5 - 2] \} \div [ 3 \cdot 3 ]

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar los productos, obteniendo

72 + \{ -30 + 5 \cdot [4 + 6 - 15 - 2] \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos las sumas que se encuentra dentro de los corchetes e incluso, en este caso podemos efectuar las restas en el mismo paso sin que se altere el resultado

72 + \{ -30 + 5 \cdot [10 - 17] \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de los corchetes,

72 + \{ -30 + 5 \cdot [-3] \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos el producto que se encuentra dentro de las llaves,

72 + \{ -30 - 15 \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de las llaves,

72 + \{ -45 \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos la división,

72 - 5

Finalmente, efectuamos la resta,

-67