Fracciones

Las fracciones son una forma alternativa para denotar la división entre dos números y generalmente se usan para expresar proporciones, por ejemplo, para expresar las tres cuartas partes de una cantidad escribimos $\frac{3}{4}$ o por ejemplo, para denotar la mitad de una torta simplemente escribimos $\frac{1}{2}$ . Es posible representar las fracciones de forma gráfica para facilitar su entendimiento.

Formalmente, si consideremos dos números enteros $a$ y $b \neq 0$ , entonces diremos que $a$ es el numerador de la fracción y $b$ es el denominador de la fracción, y así, la división $a \div b$ estará representada por la siguiente expresión

La raya entre ambos números usualmente es llamada raya de fracción, el número sobre la raya se conoce como numerador y el número bajo la raya se conoce como denominador.

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Propiedades de las Fracciones

Cuando trabajamos con fracciones, encontraremos expresiones muy particulares que podemos identificar cuando queremos simplificar operaciones matemáticas. Consideremos $a$ un número entero distinto de cero y veamos a continuación cuales son estas fracciones.

Uno dividio entre uno, es igual a uno. De forma general, si consideramos cualquier número real distinto de cero, la división de este número por él mismo, es igual a uno, entonces,

$\dfrac{1}{1} = 1$ .

$\dfrac{a}{a} = 1$ .

Cualquier número entero se puede expresar como la división de él mismo con uno, esta información será últil cuando se nos presenten operaciones entre números expresados en fracciones y números enteros.

$\dfrac{a}{1} = a$ .

Al dividir cero por cualquier número real distinto de cero, el resultado siempre será el mismo, cero.

$\dfrac{0}{a} = 0$

Por el contrario, si tomamos cualquier número real, este no podrá ser dividio por cero pues esta operación no está definida, es decir, la división por cero no está definida.

$\dfrac{a}{0}$

no está definida.

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Ley de los Signos para las Fracciones

Ya que las fracciones representan divisiones, podemos también establecer la ley de los signos para la división, si $a$ y $b$ son números enteros positivos tal que $b$ es distinto de cero, entonces

El resultado de dividir un número positivo entre un número positivo, es positivo.

$\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

El resultado de dividir un número positivo entre un número negativo, es negativo.

$\displaystyle \frac{-a}{b} = -\frac{a}{b}$

El resultado de dividir un número negativo entre un número positivo, es negativo.

$\displaystyle \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$

El resultado de dividir un número negativo entre un número negativo, es positivo.

$\displaystyle \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$

La ventaja en el uso de las fracciones es que nos proveen rigidez en los resultados y así evitamos errores de aproximación o redondeo al efectuar divisiones, es por esto que es necesario dominar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre las fracciones.

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Fracciones propias e impropias

Una forma de clasificar las fracciones es considerando el tamaño de su numerador y su denominador, pues estos determinarán la porción que realmente representan. Si $a$ y $b$ son dos enteros tal que $b \neq 0$ , tenemos que

Si $a < b$ , diremos que la fracción es $\frac{a}{b}$ es propia, es decir, si el numerador es menor que el denominador.
Si $a \geq b$ , diremos que la fracción es $\frac{a}{b}$ es impropia, es decir, si el numerador es mayor o igual que el denominador.

Para aclarar esta idea, veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 1

La fracción $\frac{1}{2}$ , es una fracción propia, pues su numerador es menor que su denominador.

Ejemplo 2

La fracción $\frac{7}{15}$ , es una fracción propia, pues su numerador es menor que su denominador.

Ejemplo 3

La fracción $\frac{4}{9}$ , es una fracción propia, pues su numerador es menor que su denominador.

Ejemplo 4

La fracción $\frac{6}{20}$ , es una fracción propia, pues su numerador es menor que su denominador.

Ejemplo 5

La fracción $\frac{5}{3}$ , es una fracción impropia, pues su numerador es mayor que su denominador.

Ejemplo 6

La fracción $\frac{10}{4}$ , es una fracción impropia, pues su numerador es mayor que su denominador.

Ejemplo 7

La fracción $\frac{20}{12}$ , es una fracción impropia, pues su numerador es mayor que su denominador.

Ejemplo 8

La fracción $\frac{75}{44}$ , es una fracción impropia, pues su numerador es mayor que su denominador.

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Fracciones Mixtas

Al leer una receta de cocina es común encontrarse con medidas para los ingredientes como una taza y media de azúcar o, es por esto que podemos encontrar recipientes con medidas de $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{4}$ o $\frac{1}{8}$ . Esto también ocurre cuando se compran alimentos que deben ser pesados, como un kilo y cuarto de queso o tres kilos y medios de carne.

Las fracciones son ideales para expresar este tipo de medidas, justamente están diseñadas para medir porciones, por ejemplo, para escribir una taza y media se puede escribir $1 + \frac{1}{2}$ que a su vez es igual a $\frac{3}{2}$ . Sin embargo, la forma en que se escriben pueden no presentar comodidad o claridad en la práctica, es por esto que se definen las fracciones mixtas (o números mixtos), entonces, que en vez de escribir $1 + \frac{1}{2}$ , se escribe

$1\tfrac{1}{2}$

De esta forma, definimos las fracciones mixtas para separar la parte entera de su parte no entera, esta última usualmente representada con una fracción propia. Cualquier fracción mixta se puede reescribir como una fracción impropia, pues si $a$ , $b$ y $c$ son números enteros positivos, entonces la siguiente fracción mixta