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Expresiones Racionales

Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Habiendo estudiado las operaciones entre polinomios, particularmente la división de polinomios, podemos ampliar las operaciones entre fracciones como una herramienta para simplificar las operaciones entre polinomios antes de efectuarlas.

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Definimos una expresión racional como el cociente entre dos polinomios. Formalmente, si P(x) y Q(x) son dos polinomios con Q(x) \neq 0, entonces el siguiente cociente será una expresión racional:

\dfrac{P(x)}{Q(x)}

Diremos que P(x) es el numerador (o dividendo) de la expresión y Q(x) es el denominador (o divisor) de la expresión. En este caso, al ser, P(x) y Q(x) polinomios, este tipo de expresiones racionales serán expresiones algebraicas racionales.

Operaciones entre Expresiones Racionales

Las operaciones entre expresiones racionales se efectúan de la misma forma en que se efectúan las operaciones entre fracciones, es decir, si A(x), B(x), C(x) y D(x) son polinomios, con B(x) y D(x) distintos de cero, definimos:

Suma de Expresiones Racionales

\dfrac{A(x)}{B(x)} + \dfrac{C(x)}{D(x)} = \dfrac{A(x) \cdot D(x) + B(x) \cdot C(x)}{B(x) \cdot D(x)}

Resta de Expresiones Racionales

\dfrac{A(x)}{B(x)} - \dfrac{C(x)}{D(x)} = \dfrac{A(x) \cdot D(x) - B(x) \cdot C(x)}{B(x) \cdot D(x)}

Multiplicación de Expresiones Racionales

\dfrac{A(x)}{B(x)} \cdot \dfrac{C(x)}{D(x)} = \dfrac{A(x) \cdot C(x)}{B(x) \cdot D(x)}

División de Expresiones Racionales

\dfrac{A(x)}{B(x)} \div \dfrac{C(x)}{D(x)} = \dfrac{A(x) \cdot D(x)}{B(x) \cdot C(x)}

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El objetivo de plantear expresiones racionales es el de simplificar expresiones que a primera vista parezcan complicadas o engorrosas para trabajar. Veamos en los siguientes ejemplos como efectuar operaciones entre expresiones racionales y de ser posible, su simplificación.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la suma de las expresiones racionales \frac{2x+5}{2x+3} y \frac{6x+4}{8x+3}, y de ser posible, simplifique el resultado.

\dfrac{2x+5}{2x+3} + \dfrac{6x+4}{8x+3}

= \dfrac{(2x+5) \cdot (8x+3) + (2x+3) \cdot (6x+4)}{(2x+3) \cdot (8x+3)}

= \dfrac{ 16x^2 + 6x + 40x + 15 + 12x^2 + 8x + 18x + 12 }{(2x+3) \cdot (8x+3)}

= \dfrac{ 28x^2 + 72x + 27 }{(2x+3) \cdot (8x+3)}

Notemos que en el numerador se efectuó la propiedad distributiva en ambos sumandos para poder sumar los elementos comunes, sin embargo, en el denominador no hizo falta aplicar la propiedad distributiva, pues ya la expresión estaba factorizada.

Ejemplo 2

Efectúe la resta de las expresiones racionales \frac{7x-2}{3x+1} menos \frac{5x+2}{2x+4}, y de ser posible, simplifique el resultado.

\dfrac{7x-2}{3x+1} - \dfrac{5x+2}{2x+4}

= \dfrac{(7x-2) \cdot (2x+4) + (3x+1) \cdot (5x+2)}{(3x+1) \cdot (2x+4)}

= \dfrac{ 14x^2 + 28x - 4x - 8 - (15x^2 + 6x + 5x + 2) }{(3x+1) \cdot 2 (x+2)}

= \dfrac{ -x^2 + 13x - 10 }{2(3x+1) \cdot (x+2)}

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Ejemplo 3

Efectúe el producto de las expresiones racionales \frac{4x^2+6}{-7x+2} y \frac{4x-3}{2x^2+3}, y de ser posible, simplifique el resultado.

\dfrac{4x^2+6}{-7x+2} \cdot \dfrac{4x-3}{2x^2+3}

= \dfrac{(4x^2+6) \cdot (4x-3)}{(-7x+2) \cdot (2x^2+3)}

= \dfrac{2 (2x^2+3) \cdot (4x-3)}{(-7x+2) \cdot (2x^2+3)}

= 2 \cdot \dfrac{(2x^2+3) \cdot (4x-3)}{(-7x+2) \cdot (2x^2+3)}

= 2 \cdot \dfrac{ (4x-3) \cdot (2x^2+3)}{(-7x+2) \cdot (2x^2+3)}

= 2 \cdot \dfrac{(4x-3)}{(-7x+2)}

Números Decimales

Anthonny Arias-García1 comentario

Si bien las fracciones se usan para representar divisiones, existe otra forma de representar una divisíon, y esto es, partiendo en diez partes el espacio entre dos números enteros consecutivos. A estas partes las llamaremos décimas. La idea básica es contar las décimas que el resultado de la división ocupa.

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¿Qué son los números decimales?

Consideremos de forma particular la división uno entre dos: la fracción que la representa es \frac{1}{2} y gráficamente, si dividimos el espacio entre el número cero y el número uno en diez partes iguales, esta representa cinco de estas partes, es decir, cinco décimas, de la siguiente forma:

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Si una división entre dos números no es exacta, esta constará dos partes: una parte entera y una parte representada en décimas. Para denotar estas divisiones no exactas definimos los números decimales. En el ejemplo que hemos visto, la división uno entre dos se denota con el número decimal

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Notemos que la parte entera se separa de la parte decimal con una coma (,).

Nota: El estándar en el inglés se usa un punto para separar decimales, hay que tomar esto en consideración al usar calculadoras configuradas en inglés.

Centésimas y Milésimas

Al definir números decimales, podemos partir aún más el espacio entre dos números enteros consecutivos. Si partimos el espacio entre dos décimas en diez partes, a estas partes las llamaremos centésimas; si partimos el espacio entre dos centésimas en diez partes, a estas partes las llamaremos milésimas e incluso podemos seguir partiendo en más partes pero en la práctica no es común referirse a ellas.

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La importancia de los números decimales radica en que permite comparar números enteros y números fraccionarios con mayor facilidad. Veamos entonces, algunos ejemplos de números decimales para entenderlos con mayor claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 1

La división tres entre dos se representa con la fracción \frac{3}{2} y con el número decimal 1,5; diremos que la parte entera es igual a uno y la décima es igual a cinco. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal finita o que es un decimal exacto, pues la cantidad de números después de la coma es finito.

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Ejemplo 2

La división trece entre catorce se representa con la fracción \frac{13}{4} y con el número decimal 3,25; diremos la parte entera es igual a tres, la décima es igual a dos y la centésima es igual a cinco. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal finita o que es un decimal exacto, pues la cantidad de números después de la coma es finito.

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Ejemplo 3

La división noventa y ocho entre ciento veinticinco se representa con la fracción \frac{98}{125} y con el número decimal 0,784; diremos la parte entera es igual a cero, la décima es igual a siete, la centésima es igual a ocho y la milésima es igual a cuatro. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal finita o que es un decimal exacto, pues la cantidad de números después de la coma es finito.

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Ejemplo 4

La división uno entre tres se representa con la fracción \frac{1}{3} y el número decimal que la presenta una particularidad, pues es igual a 0,33333333\ldots y este 3 se repite de forma indefinida. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal infinita periódica pues la cantidad de números después de la coma se repite indefinidamente. La extensión decimal infinita periódica también se puede denotar usando un arco o una barra sobre el número que se repite, 0,33\overline{3}.

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Ejemplo 5

La división treinta y cuatro entre nueve se representa con la fracción \frac{34}{3} y el número decimal que la presenta una particularidad, pues es igual a 3,777777\ldots y este 7 se repite de forma indefinida. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal infinita periódica pues la cantidad de números después de la coma se repite indefinidamente. La extensión decimal infinita periódica también se puede denotar usando un arco o una barra sobre el número que se repite, 3,77\overline{7}.

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Ejemplo 6

La división quince entre once se representa con la fracción \frac{15}{11} y el número decimal que la presenta una particularidad, pues es igual a 0.3636 3636 \ldots y notamos que 36 se repite de forma indefinida. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal infinita periódica mixta pues no es sólo un dígito el que se repite indefinidamente si no varios. La extensión decimal infinita periódica también se puede denotar usando un arco o una barra sobre el número que se repite, 1,\overline{36}.

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Ejemplo 7

La división cinco entre siete se representa con la fracción \frac{5}{7} y el número decimal que la presenta una particularidad, pues es igual a 0,714285 7142 \ldots y notamos que 714285 se repite de forma indefinida. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal infinita periódica mixta pues no es sólo un dígito el que se repite indefinidamente si no varios. La extensión decimal infinita periódica también se puede denotar usando un arco o una barra sobre el número que se repite, 0,\overline{714285}.

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Método de las Fracciones Simples

Anthonny Arias-García3 comentarios

Supongamos que queremos calcular integral de la función f(x)=\frac{2x+5}{x^2 + 5x + 6}. La solución salta a la vista, pues podemos notar inmediatamente que la derivada de x^2 + 5x + 6 es precisamente 2x+5, entonces podemos considerar la variable auxiliar t=x^2 + 5x + 6 cuyo diferencial es dt=(2x+5)dx y concluir que

\displaystyle \int \frac{2x+5}{x^2 + 5x + 6} \, dx

\displaystyle = \int \frac{1}{x^2 + 5x + 6} (2x+5)\, dx

\displaystyle = \int \frac{1}{t} \, dt

\displaystyle = \ln|t| + C

\displaystyle = \ln|x^2 + 5x + 6| + C

Muy bien, pero, ¿y si cambiamos levemente la función? Supongamos que queremos calcular la integral de la función f(x)=\frac{x+1}{x^2 + 5x + 6}, la solución no se hace tan trivial, por lo tango, debemos entonces desarrollar otro método que nos permita calcular la integral de este tipo de funciones.

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El método de sustitución de variables y integración por partes abren el espectro de funciones de las que podemos calcular su integral y aunque estos permiten calcular la solución de algunas operaciones entre funciones, veremos ahora un método que permite calcular la solución de algunas divisiones entre funciones cuando esto no es posible, particularmente la división de polinomios.

A continuación veremos el Método de las Fracciones Simples, que consiste en reescribir la división de dos polinomios como la suma de fracciones de polinomios más simples que se pueden calcular mediante los métodos hasta ahora desarrollados, sin embargo, debemos segmentar este método pues las fracciones generadas dependerán de la forma en que está definido el polinomio que se encuentra en el numerador.

Caso I: Raíces distintas

Consideremos P(x) y Q(x) dos polinomios de grado m y n, respectivamente, tal que Q(x) tiene n raíces reales distintas entre sí, este se puede factorizar como

Q(x) = k \cdot (x-x_1)(x-x_2) \cdot \ldots \cdot (x-x_n)

Entonces, si el cociente \frac{P(x)}{Q(X)} es irreducible, entonces existen constantes A_1, A_2, \ldots, A_n tales que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de x:

\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x-x_1} + \frac{A_2}{x-x_2} + \ldots + \frac{A_n}{x-x_n}

Ejemplo 1

Calcule la integral de f(x) = \frac{x+1}{x^2 + 5x + 6}, es decir,

\displaystyle \int \frac{x+1}{x^2 + 5x + 6} \, dx

Notando que esta es una división de polinomios, entonces podemos utilizar el método de las fracciones simples. Empecemos por factorizar el polinomio que está en el denominador. Al ser un polinomio cuadrático se puede usar el método con el que se sienta más a gusto y concluir que

x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)

Ya que hemos factorizado el denominador, existen dos constantes A y B tales que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de x

\frac{x+1}{(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3}

Lo que haremos a continuación es multiplicar en ambos lados de la igualdad por el polinomio factorizado de la siguiente forma

\displaystyle \frac{x+1}{(x+2)(x+3)} \cdot (x+2)(x+3) = \frac{A}{x+2} \cdot (x+2)(x+3) + \frac{B}{(x+3)} \cdot (x+2)(x+3)

Simplificamos los factores comunes en el numerador y denominador de cada uno de los sumandos involucrados, de forma que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de x:

x+1 = A(x+3) + B(x+2)

Es importante recalcar que estas igualdades se mantienen para cualquier valor de x pues usaremos esta afirmación para calcular los valores de A y B. Consideremos valores de x muy particulares para ver qué ocurre con la igualdad.

Si x = -2, entonces,

-2+1 = A(-2+3) + B(-2+2)

\Rightarrow \ -1 = A(1) + B(0)

\Rightarrow \ -1 = A

Si x = -3, entonces,

-3+1 = A(-3+3) + B(-3+2)

\Rightarrow \ -2 = A(0) + B(-1)

\Rightarrow \ -2 = -B

\Rightarrow \ B = 2

De esta forma determinamos que A=-1 y B=1, así que podemos sustituir estos valores en las fracciones simples que hemos establecido para poder calcular la integral de la siguiente de forma

\displaystyle \int \frac{x+1}{x^2 + 5x + 6} \, dx

\displaystyle = \int \frac{x+1}{(x+2)(x+3)} \, dx

\displaystyle = \int \left( \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3} \right) \, dx

\displaystyle = \int \left( \frac{-1}{x+2} + \frac{2}{x+3} \right) \, dx

\displaystyle = \int \frac{-1}{x+2} \, dx + 2\int \frac{1}{x+3} \, dx

\displaystyle = - \ln|x+2| + 2\ln|x+3| + C

Nota: Invitamos al lector a calcular de forma general la integral de la función \frac{1}{x+a} para cualquier constante a y así calcular la integral de las fracciones simples expresadas en nuestro procedimiento.

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Caso II: Raíces iguales

Consideremos P(x) y Q(x) dos polinomios de grado m y n, respectivamente, tal que Q(x) tiene n raíces reales todas iguales, decir, una raíz x_0 de multiplicidad n, este se puede factorizar como

Q(x) = k \cdot (x-x_0)^n

Entonces, si el cociente \frac{P(x)}{Q(X)} es irreducible, existen constantes A_1, A_2, \ldots, A_n tales que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de x:

\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x-x_0} + \frac{A_2}{(x-x_0)^2} + \ldots + \frac{A_n}{(x-x_0)^n}

Ejemplo 2

Calcule la integral de f(x) = \frac{x+4}{x^2 - 2x + 1}, es decir,

\int \frac{x+4}{x^2 - 2x + 1} \, dx

Notando que esta es una división de polinomios, entonces podemos utilizar el método de las fracciones simples. Empecemos por factorizar el polinomio que está en el denominador. Al ser un polinomio cuadrático se puede usar el método con el que se sienta más a gusto y concluir que

x^2 - 2x + 1 = (x-1)(x-1) = (x-1)^2

Ya que hemos factorizado el denominador, existen dos constantes A y B tales que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de x

\frac{x+4}{(x-1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2}

Lo que haremos a continuación es multiplicar en ambos lados de la igualdad por el polinomio factorizado de la siguiente forma

\displaystyle \frac{x+4}{(x-1)^2} \cdot (x-1)^2 = \frac{A}{x-1} \cdot (x-1)^2 + \frac{B}{(x-1)^2} \cdot (x-1)^2

Simplificamos los factores comunes en el numerador y denominador de cada uno de los sumandos involucrados, de forma que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de x:

x+4 = A(x-1) + B

Es importante recalcar que estas igualdades se mantienen para cualquier valor de x pues usaremos esta afirmación para calcular los valores de A y B. Consideremos valores de x muy particulares para ver qué ocurre con la igualdad.

Si x = 1, entonces,

(1)+4 = A(1-1) + B

\Rightarrow \ 1 + 4 = A(0) + B

\Rightarrow \ 5 = 0 + B

\Rightarrow \ B = 5

De forma conveniente, consideramos x = 1, pues con este valor pudimos anular el sumando que involucra el factor A, sin embargo, no existe ningún número real que anule el sumando que involucra al factor B, pero habiendo calculado el valor de B=5, los sustituimos en nuestra ecuación, para obtener:

x+4 = A(x-1) + 5

Como esta igualdad se mantiene para cualquier valor de x, sustituimos la variable x por el valor de nuestra preferencia y posteriormente despejamos A,

Si x = 2, entonces,

x+4 = A(x-1) + 5

\Rightarrow \ 2+4 = A(2-1) + 5

\Rightarrow \ 6 = A(1) + 6

\Rightarrow \ 6 - 5 = A

\Rightarrow \ 1 = A

\Rightarrow \ A = 1

De esta forma determinamos que A=1 y B=5, así que podemos sustituir estos valores en las fracciones simples que hemos establecido para poder calcular la integral de la siguiente de forma

\displaystyle \int \frac{x+4}{x^2 - 2x + 1} \, dx

\displaystyle = \int \frac{x+4}{(x-1)^2} \, dx

\displaystyle = \int \left( \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} \right) \, dx

\displaystyle = \int \left( \frac{1}{x-1} + \frac{5}{(x-1)^2} \right) \, dx

\displaystyle = \int \frac{1}{x-1} \, dx + \int \frac{5}{(x-1)^2} \, dx

\displaystyle = \ln|x-1| - \frac{5}{x-1} + C

Nota: Invitamos al lector a calcular de forma general la integral de las funciones \frac{1}{x+a} y \frac{1}{(x+a)^2} para cualquier constante a y así calcular la integral de las fracciones simples expresadas en nuestro procedimiento.

Existen dos casos más en los que el polinomio involucrado en el denominador del cociente no se puede factorizar, estos casos se abordan usando sustituciones trigonométricas, es por esto que lo dejaremos para estudios posteriores.

División de Fracciones

Anthonny Arias-García5 comentarios

Al dividir fracciones, debemos tomar en cuenta que si p y q son números enteros, con q distinto de cero, entonces, la división p \div q es en realidad la multiplicación de p por el inverso multiplicativo de q, es decir, \frac{1}{q}. Tomando esto en cuenta, consideremos lo siguiente:

Sean a, b, c y d números enteros tales que b y d son distintos de cero. Definimos la división de las fracciones \frac{a}{b} entre \frac{c}{d}, multiplicando \frac{a}{b} por el inverso multiplicativo de \frac{c}{d}, es decir, \frac{d}{c}. Por lo tanto, multiplicamos a por d y dividimos esto entre el producto de b por c, de la siguiente forma:

Una forma fácil de recordar esta suma para aquellos a los que se les presenta dificultad, es notar que al efectuar las operaciones se hace la forma de una cruz al multiplicar numerador por denominador y denominador por numerador tal como veremos a continuación

Otra forma de recordar la división de fracciones consiste en reescribir la división entre fracciones como una fracción de fracciones y aplicar lo que en algunos países se conoce como la Doble C y en otros como la Ley del Sandwich (¿cómo le llaman en tu país?) de la siguiente forma

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la división entre fracciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la división de \frac{1}{2} entre \frac{3}{4}.

\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Ejemplo 2

Efectúe la división de \frac{7}{3} entre \frac{2}{5}.

\frac{7}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{35}{6}

Ejemplo 3

Efectúe la división de 1 entre \frac{4}{9}. Para efectuar esta división debemos notar primero que el número 1 se puede escribir como la fracción \frac{1}{1}, entonces tenemos que

\frac{1}{1} \div \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 4} = \frac{9}{4}

Ejemplo 4

Efectúe la división de \frac{3}{11} entre 6. Para efectuar esta división debemos notar primero que el número 6 se puede escribir como la fracción \frac{6}{1}, entonces tenemos que

\frac{3}{11} \div \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1}{11 \cdot 6} = \frac{3}{66} = \frac{1}{22}

Ejemplo 5

Efectúe la división de \frac{5}{2} entre \frac{3}{7} y a su vez, todo esto, dividido entre \frac{11}{8}. Para efectuar esta división debemos proceder de la misma forma en que este problema ha sido enunciado, y para esto, usamos la propiedad asociativa.

\left( \frac{5}{2} \div \frac{3}{7} \right) \div \frac{11}{6} = \left( \frac{35}{6} \right) \div \frac{11}{8}

Una vez que hemos calculado la división que está entre los paréntesis, procedemos a hacer la segunda división.

\frac{35}{6} \div \frac{11}{8} = \frac{280}{66} = \frac{140}{33}

Ejemplo 5 (Otro enfoque)

Otra forma de efectuar la división \frac{5}{2} \div \frac{3}{7} \div \frac{11}{8} es recordando que si la división es multiplicar por el inverso multiplicativo, entonces, consideramos los inversos multiplicativos de \frac{7}{3} y \frac{8}{11}. Posteriormente, efectuamos el producto de las siguientes tres fracciones:

\frac{5}{2} \div \frac{7}{3} \div \frac{8}{11} = \frac{280}{66} = \frac{140}{33}

Multiplicación de Fracciones

Anthonny Arias-García5 comentarios

Sean a, b, c y d números enteros tales que b y d son distintos de cero. Definimos la multiplicación de las fracciones \frac{a}{b} por \frac{c}{d}, multiplicando a por c y dividiendo esto entre el producto de b por d, de la siguiente forma:

Una forma fácil de recordar esta suma para aquellos a los que se les presenta dificultad, es notar que al efectuar las operaciones se hace la forma de un canal al multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador tal como veremos a continuación

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la multiplicación entre fracciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la multiplicación de \frac{1}{2} por \frac{3}{4}.

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}

Ejemplo 2

Efectúe la multiplicación de \frac{7}{3} por \frac{2}{5}.

\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{14}{15}

Ejemplo 3

Efectúe la multiplicación de 1 por \frac{4}{9}. Para efectuar esta multiplicación debemos notar primero que el número 1 se puede escribir como la fracción \frac{1}{1}, entonces tenemos que

\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{4}{9}

Ejemplo 4

Efectúe la multiplicación de \frac{3}{11} por 6. Para efectuar esta multiplicación debemos notar primero que el número 6 se puede escribir como la fracción \frac{6}{1}, entonces tenemos que

\frac{3}{11} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{18}{11}