Método de las Fracciones Simples

Supongamos que queremos calcular integral de la función f(x)=\frac{2x+5}{x^2 + 5x + 6}. La solución salta a la vista, pues podemos notar inmediatamente que la derivada de x^2 + 5x + 6 es precisamente 2x+5, entonces podemos considerar la variable auxiliar t=x^2 + 5x + 6 cuyo diferencial es dt=(2x+5)dx y concluir que

\int \frac{2x+5}{x^2 + 5x + 6} \, dx
= \int \frac{1}{x^2 + 5x + 6} (2x+5)\, dx
= \int \frac{1}{t} \, dt
= \ln|t| + C
= \ln|x^2 + 5x + 6| + C

Muy bien, pero, ¿y si cambiamos levemente la función? Supongamos que queremos calcular la integral de la función f(x)=\frac{x+1}{x^2 + 5x + 6}, la solución no se hace tan trivial. Debemos entonces desarrollar otro método que nos permita calcular la integral de este tipo de funciones.

El método de sustitución de variables y integración por partes abren el espectro de funciones de las que podemos calcular su integral y aunque estos permiten calcular la solución de algunas operaciones entre funciones, veremos ahora un método que permite calcular la solución de algunas divisiones entre funciones cuando esto no es posible, particularmente la división de polinomios.

A continuación veremos el Método de las Fracciones Simples, que consiste en reescribir la división de dos polinomios como la suma de fracciones de polinomios más simples que se pueden calcular mediante los métodos hasta ahora desarrollados, sin embargo, debemos segmentar este método pues las fracciones generadas dependerán de la forma en que está definido el polinomio que se encuentra en el numerador.

Caso I

Consideremos P(x) y Q(x) dos polinomios de grado m y n, respectivamente, tal que Q(x) tiene n raíces reales distintas entre sí, este se puede factorizar como

Q(x) = k \cdot (x-x_1)(x-x_2) \cdot \ldots \cdot (x-x_n)

Entonces, existen constantes A_1, A_2, …, A_n tales que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de x:

Ejemplo 1

Calcule la integral de f(x) = \frac{x+1}{x^2 + 5x + 6}, es decir,

\int \frac{x+1}{x^2 + 5x + 6} \, dx

Notando que esta es una división de polinomios, entonces podemos utilizar el método de las fracciones simples. Empecemos por factorizar el polinomio que está en el denominador, al ser un polinomio cuadrático se puede usar el método con el que se sienta más a gusto y concluir que

x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)

Ya que hemos factorizado el denominador, existen dos constantes A y B tales que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de x

\frac{x+1}{(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3}

Lo que haremos a continuación es multiplicar en ambos lados de la igualdad por el polinomio factorizado de la siguiente forma

Simplificamos los factores comunes en el numerador y denominador de cada uno de los sumandos involucrados

Así, la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de x

x+1 = A(x+3) + B(x+2)

Es importante recalcar que estas igualdades se mantienen para cualquier valor de x pues usaremos esta afirmación para calcular los valores de A y B. Consideremos valores de x muy particulares para ver qué ocurre con la igualdad.

Si x = -2, entonces, -2+1 = A(-2+3) + B(-2+2)
\Rightarrow \ -1 = A(1) + B(0)
\Rightarrow \ -1 = A

Si x = -3, entonces, -3+1 = A(-3+3) + B(-3+2)
\Rightarrow \ -1 = A(0) + B(-1)
\Rightarrow \ -1 = -B
\Rightarrow \ 1 = B

De esta forma determinamos que A=-1 y B=1, así que podemos sustituir estos valores en las fracciones simples que hemos establecido para poder calcular la integral de la siguiente de forma

\int \frac{x+1}{x^2 + 5x + 6} \, dx
= \int \frac{x+1}{(x+2)(x+3)} \, dx
= \int \left( \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3} \right) \, dx
= \int \left( \frac{-1}{x+2} + \frac{1}{x+3} \right) \, dx
= \int \frac{-1}{x+2} \, dx + \int \frac{1}{x+3} \, dx
= - \ln|x+2| + \ln|x+3| + C

Nota: Invitamos al lector a calcular de forma general la integral de la función \frac{1}{x+a} para cualquier constante a y así calcular la integral de las fracciones simples expresadas en nuestro procedimiento.

Caso II

Consideremos P(x) y Q(x) dos polinomios de grado m y n, respectivamente, tal que Q(x) tiene n raíces reales todas iguales, decir, una raíz x_0 de multiplicidad n, este se puede factorizar como

Q(x) = k \cdot (x-x_0)^n

Entonces, existen constantes A_1, A_2, …, A_n tales que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de x:

Ejemplo 2

Calcule la integral de f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 2x + 1}, es decir,

\int \frac{x^2+4}{x^2 - 2x + 1} \, dx

Notando que esta es una división de polinomios, entonces podemos utilizar el método de las fracciones simples. Empecemos por factorizar el polinomio que está en el denominador, al ser un polinomio cuadrático se puede usar el método con el que se sienta más a gusto y concluir que

x^2 - 2x + 1 = (x-1)(x-1) = (x-1)^2

Ya que hemos factorizado el denominador, existen dos constantes A y B tales que la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de x

\frac{x^2+4}{(x-1)^2} = frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2}

Lo que haremos a continuación es multiplicar en ambos lados de la igualdad por el polinomio factorizado de la siguiente forma

Simplificamos los factores comunes en el numerador y denominador de cada uno de los sumandos involucrados

Así, la siguiente igualdad se mantiene para cualquier valor de x

x^2+4 = A(x-1) + B

Es importante recalcar que estas igualdades se mantienen para cualquier valor de x pues usaremos esta afirmación para calcular los valores de A y B. Consideremos valores de x muy particulares para ver qué ocurre con la igualdad.

Si x = 1, entonces, (1)^2+4 = A(1-1) + B
\Rightarrow \ 1 + 5 = A(0) + B
\Rightarrow \ 6 = B

En el Caso I consideramos valores de x que anularon los sumandos y en este caso, si bien pudimos anular el sumando que tiene a A como factor, no existe un valor de x que anule al factor B pero esto no es un inconveniente pues si sustituimos el valor de A en nuestra ecuación, tenemos que

x^2+4 = 6(x-1) + B

Como esta igualdad se mantiene para cualquier valor de x, sustituimos la variable x por el valor de nuestra preferencia y posteriormente despejamos B,

Si x = 0, entonces, (0)^2+4 = 6(0-1) + B
\Rightarrow \ 4 = -6 + B
\Rightarrow \ 4 + 6 = B
\Rightarrow \ 10 = B

De esta forma determinamos que A=6 y B=10, así que podemos sustituir estos valores en las fracciones simples que hemos establecido para poder calcular la integral de la siguiente de forma

\int \frac{x^2+4}{x^2 - 2x + 1} \, dx
= \int \frac{x^2+4}{(x-1)^2} \, dx
= \int \left( \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} \right) \, dx
= \int \left( \frac{6}{x-1} + \frac{10}{(x-1)^2} \right) \, dx
= \int \frac{6}{x-1} \, dx + \int \frac{10}{(x-1)^2} \, dx
= 6\ln|x-1| - \frac{6}{x-1} + C

Nota: Invitamos al lector a calcular de forma general la integral de las funciones \frac{1}{x+a} y \frac{1}{(x+a)^2} para cualquier constante a y así calcular la integral de las fracciones simples expresadas en nuestro procedimiento.


Existen dos casos más en los que el polinomio involucrado en el denominador del cociente no se puede factorizar, estos casos se abordan usando sustituciones trigonométricas, es por esto que lo dejaremos para estudios posteriores.

División de Fracciones

Sean a, b, c y d números enteros tales que b y d son distintos de cero. Definimos la división de las fracciones \frac{a}{b} por \frac{c}{d}, multiplicando a por d y dividiendo esto entre el producto de b por c, de la siguiente forma:

Una forma fácil de recordar esta suma para aquellos a los que se les presenta dificultad, es notar que al efectuar las operaciones se hace la forma de una cruz al multiplicar numerador por denominador y denominador por numerador tal como veremos a continuación

Otra forma de recordar la división de fracciones consiste en reescribir la división entre fracciones como una fracción de fracciones y aplicar lo que en algunos países se conoce como la Doble C y en otros como la Ley del Sandwich (¿cómo le llaman en tu país?) de la siguiente forma

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la división entre fracciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la división de \frac{1}{2} entre \frac{3}{4}.

\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Ejemplo 2

Efectúe la división de \frac{7}{3} entre \frac{2}{5}.

\frac{7}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{35}{6}

Ejemplo 3

Efectúe la división de 1 entre \frac{4}{9}. Para efectuar esta división debemos notar primero que el número 1 se puede escribir como la fracción \frac{1}{1}, entonces tenemos que

\frac{1}{1} \div \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 4} = \frac{9}{4}

Ejemplo 4

Efectúe la división de \frac{3}{11} entre 6. Para efectuar esta división debemos notar primero que el número 6 se puede escribir como la fracción \frac{6}{1}, entonces tenemos que

\frac{3}{11} \div \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1}{11 \cdot 6} = \frac{3}{66} = \frac{1}{22}


Multiplicación de Fracciones

Sean a, b, c y d números enteros tales que b y d son distintos de cero. Definimos la multiplicación de las fracciones \frac{a}{b} por \frac{c}{d}, multiplicando a por c y dividiendo esto entre el producto de b por d, de la siguiente forma:

Una forma fácil de recordar esta suma para aquellos a los que se les presenta dificultad, es notar que al efectuar las operaciones se hace la forma de un canal al multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador tal como veremos a continuación

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la multiplicación entre fracciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la multiplicación de \frac{1}{2} por \frac{3}{4}.

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}

Ejemplo 2

Efectúe la multiplicación de \frac{7}{3} por \frac{2}{5}.

\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{14}{15}

Ejemplo 3

Efectúe la multiplicación de 1 por \frac{4}{9}. Para efectuar esta multiplicación debemos notar primero que el número 1 se puede escribir como la fracción \frac{1}{1}, entonces tenemos que

\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{4}{9}

Ejemplo 4

Efectúe la multiplicación de \frac{3}{11} por 6. Para efectuar esta multiplicación debemos notar primero que el número 6 se puede escribir como la fracción \frac{6}{1}, entonces tenemos que

\frac{3}{11} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{18}{11}


Resta de Fracciones

Sean a, b, c y d números enteros tales que b y d son distintos de cero. Definimos la resta de las fracciones \frac{a}{b} menos \frac{c}{d}, restando el producto de a por d menos el producto de b por c y dividiendo todo esto entre el producto de b por d, de la siguiente forma:

Una forma fácil de recordar esta suma para aquellos a los que se les presenta dificultad, es notar que al efectuar las operaciones se hace la forma de una \textbf{copa} tal como veremos a continuación

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la resta entre fracciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la resta de \frac{1}{2} menos \frac{3}{4}.

\frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 - 2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 6}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{2}{8}

Ejemplo 2

Efectúe la resta de \frac{7}{3} menos \frac{2}{5}.

\frac{7}{3} - \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 - 3 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{35 - 6}{15} = \frac{29}{15}

Ejemplo 3

Efectúe la resta de 1 menos \frac{4}{9}. Para efectuar esta resta debemos notar primero que el número 1 se puede escribir como la fracción \frac{1}{1}, entonces tenemos que

\frac{1}{1} - \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 - 1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{9 - 4}{9} = \frac{5}{9}

Ejemplo 4

Efectúe la resta de \frac{3}{11} menos 6. Para efectuar esta resta debemos notar primero que el número 6 se puede escribir como la fracción \frac{6}{1}, entonces tenemos que

\frac{3}{11} - \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1 - 11 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{3 - 66}{11} = \frac{-63}{11} = -\frac{63}{11}


Suma de Fracciones

Sean a, b, c y d números enteros tales que b y d son distintos de cero. Definimos la suma de las fracciones \frac{a}{b} más \frac{c}{d}, sumando el producto de a por d más el producto de b por c y dividiendo todo esto entre el producto de b por d, de la siguiente forma:

Una forma fácil de recordar esta suma para aquellos a los que se les presenta dificultad, es notar que al efectuar las operaciones se hace la forma de una copa tal como veremos a continuación

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la suma entre fracciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la suma de \frac{1}{2} más \frac{3}{4}.

\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 6}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}

Ejemplo 2

Efectúe la suma de \frac{7}{3} más \frac{2}{5}.

\frac{7}{3} + \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 3 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{35 + 6}{15} = \frac{41}{15}

Ejemplo 3

Efectúe la suma de 1 más \frac{4}{9}. Para efectuar esta suma debemos notar primero que el número 1 se puede escribir como la fracción \frac{1}{1}, entonces tenemos que

\frac{1}{1} + \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{9 + 4}{9} = \frac{13}{9}

Ejemplo 4

Efectúe la suma de \frac{3}{11} más 6. Para efectuar esta suma debemos notar primero que el número 6 se puede escribir como la fracción \frac{6}{1}, entonces tenemos que

\frac{3}{11} + \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1 + 11 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{3 + 66}{11} = \frac{69}{11}