Números Racionales

¿Qué es la división?

Suponga que usted tiene cuatro panes y desea repartirlos a dos niños de modo que ambos queden contentos, usted le da dos panes a cada niño. Ahora, suponga que tiene dos panes y desea repartirlos entre cuatro niños de modo que todos queden contentos, lo más sensato es partir cada pan por la mitad y darle una mitad a cada niño, muy bien pero, ¿cómo representa esta situación con números?

La representamos usando la notación 2 \div 4, que indica la división de dos objetos en cuatro partes iguales. Si usamos una calculadora o usamos un método aprendido en educación básica obtenemos el valor 0,5. Por otra parte, si usted tiene una torta y quiere repartirla entre dos niños, le da la mitad a cada uno. Esto lo representamos con la división 1 \div 2 cuyo resultado es 0,5. En otra situación, suponga que tiene siete litros de agua y quiere verterlos equitativamente entre catorce recipientes, en este caso debe llenar cada uno de los recipientes con medio litro de agua, esto lo representamos con la división 7 \div 14 cuyo resultado es 0,5. Notemos que se nos pueden presentar muchas ocasiones en el que obtenemos el valor 0,5, es decir, podemos pensar en varias combinaciones de números cuya división nos dé como resultado 0,5.

Definiremos los Números Racionales para expresar todas las divisiones posibles. Para cualquier par de números enteros a y b (con b \neq 0), definiremos un nuevo número de la forma \frac{a}{b} que representa el resultado de la división a \div b. Entonces el conjunto de los números racionales lo denotaremos por \mathbb{Q} y estará definido de la siguiente manera:

El conjunto de los números racionales

Estos números representarán todas las divisiones posibles entre dos números enteros. Particularmente podemos considerar las divisiones de la forma a \div 1 para notar que 3 \div 1 = 3, 10 \div 1 = 10, -2 \div 1 = -2, 45 \div 1 = 45. En general si a \in \mathbb{Z} entonces a \div 1 = a. Esto nos indica que todo número entero se puede representar como la división entre dos números enteros y por lo tanto el conjunto de los números Enteros es un subconjunto del conjunto de los números Racionales, es decir,

El conjunto de los números naturales está contenido en el conjunto de los números racionales

Todos estos números tendrán una particularidad y es que siempre representarán un número con una extensión decimal finita como por ejemplo \frac{1}{2} = 0,5 o representarán números con extensión decimal infinita periódica, es decir, que se repite indefinidamente, como por ejemplo \frac{1}{3} = 0,333333...

Será posible representar gráficamente algunos elementos de este conjunto, sin embargo, no podremos representarlos todos porque este trabajo sería imposible. Hay que destacar que los números racionales llenan los espacios que encontramos entre cada par de números enteros.

Representación gráfica de algunos números racionales

Es importante destacar algunas divisiones particulares y para esto consideremos dos números enteros a y b.

Las siguiente divisiones nos indican que así como hay una “ley de los signos” para la multiplicación, también la hay para la división,

Ley de los Signos para la división

Comúnmente se conoce a los números racionales como fracciones y además a esto, al considerar un número racional expresado de la forma \frac{a}{b}, se dirá que a es el numerador y b es el denominador.


2 comentarios en “Números Racionales

  1. En la representación gráfica de los números racionales (y/o reales), no se coloca la doble fecha (). De hecho, se coloca una sola dirección (–>), ya que está indicará donde se ubican los números racionales (y/o reales) positivos. La sutileza de poner un solo sentido en la representación de dichos números, se agradece cuando aparecen más dimensiones en juego, por ejemplo, el espacio $R^{3}$.

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    • Lo que usted dice es cierto, sin embargo, las flechas en este caso indican la continuidad de las mismas pues si se fija, hasta ahora no hemos definido qué es un número positivo. Más adelante sí se tomará en cuenta esa convención.

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