División de Fracciones

Al dividir fracciones, debemos tomar en cuenta que si p y q son números enteros, con q distinto de cero, entonces, la división p \div q es en realidad la multiplicación de p por el inverso multiplicativo de q, es decir, \frac{1}{q}. Tomando esto en cuenta, consideremos lo siguiente:

Sean a, b, c y d números enteros tales que b y d son distintos de cero. Definimos la división de las fracciones \frac{a}{b} entre \frac{c}{d}, multiplicando \frac{a}{b} por el inverso multiplicativo de \frac{c}{d}, es decir, \frac{d}{c}. Por lo tanto, multiplicamos a por d y dividimos esto entre el producto de b por c, de la siguiente forma:

Una forma fácil de recordar esta suma para aquellos a los que se les presenta dificultad, es notar que al efectuar las operaciones se hace la forma de una cruz al multiplicar numerador por denominador y denominador por numerador tal como veremos a continuación

Otra forma de recordar la división de fracciones consiste en reescribir la división entre fracciones como una fracción de fracciones y aplicar lo que en algunos países se conoce como la Doble C y en otros como la Ley del Sandwich (¿cómo le llaman en tu país?) de la siguiente forma

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la división entre fracciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la división de \frac{1}{2} entre \frac{3}{4}.

\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Ejemplo 2

Efectúe la división de \frac{7}{3} entre \frac{2}{5}.

\frac{7}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{35}{6}

Ejemplo 3

Efectúe la división de 1 entre \frac{4}{9}. Para efectuar esta división debemos notar primero que el número 1 se puede escribir como la fracción \frac{1}{1}, entonces tenemos que

\frac{1}{1} \div \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 4} = \frac{9}{4}

Ejemplo 4

Efectúe la división de \frac{3}{11} entre 6. Para efectuar esta división debemos notar primero que el número 6 se puede escribir como la fracción \frac{6}{1}, entonces tenemos que

\frac{3}{11} \div \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1}{11 \cdot 6} = \frac{3}{66} = \frac{1}{22}

Ejemplo 5

Efectúe la división de \frac{5}{2} entre \frac{3}{7} y a su vez, todo esto, dividido entre \frac{11}{8}. Para efectuar esta división debemos proceder de la misma forma en que este problema ha sido enunciado, y para esto, usamos la propiedad asociativa.

\left( \frac{5}{2} \div \frac{3}{7} \right) \div  \frac{11}{6} = \left( \frac{35}{6} \right) \div  \frac{11}{8}

Una vez que hemos calculado la división que está entre los paréntesis, procedemos a hacer la segunda división.

\frac{35}{6} \div  \frac{11}{8} = \frac{280}{66} = \frac{140}{33}

Ejemplo 5 (Otro enfoque)

Otra forma de efectuar la división \frac{5}{2} \div \frac{3}{7} \div \frac{11}{8} es recordando que si la división es multiplicar por el inverso multiplicativo, entonces, consideramos los inversos multiplicativos de \frac{7}{3} y \frac{8}{11}. Posteriormente, efectuamos el producto de las siguientes tres fracciones:

\frac{5}{2} \div \frac{7}{3} \div \frac{8}{11} = \frac{280}{66} = \frac{140}{33}


Multiplicación de Fracciones

Sean a, b, c y d números enteros tales que b y d son distintos de cero. Definimos la multiplicación de las fracciones \frac{a}{b} por \frac{c}{d}, multiplicando a por c y dividiendo esto entre el producto de b por d, de la siguiente forma:

Una forma fácil de recordar esta suma para aquellos a los que se les presenta dificultad, es notar que al efectuar las operaciones se hace la forma de un canal al multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador tal como veremos a continuación

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la multiplicación entre fracciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la multiplicación de \frac{1}{2} por \frac{3}{4}.

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}

Ejemplo 2

Efectúe la multiplicación de \frac{7}{3} por \frac{2}{5}.

\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{14}{15}

Ejemplo 3

Efectúe la multiplicación de 1 por \frac{4}{9}. Para efectuar esta multiplicación debemos notar primero que el número 1 se puede escribir como la fracción \frac{1}{1}, entonces tenemos que

\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{4}{9}

Ejemplo 4

Efectúe la multiplicación de \frac{3}{11} por 6. Para efectuar esta multiplicación debemos notar primero que el número 6 se puede escribir como la fracción \frac{6}{1}, entonces tenemos que

\frac{3}{11} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{18}{11}


Resta de Fracciones

Sean a, b, c y d números enteros tales que b y d son distintos de cero. Definimos la resta de las fracciones \frac{a}{b} menos \frac{c}{d}, restando el producto de a por d menos el producto de b por c y dividiendo todo esto entre el producto de b por d, de la siguiente forma:

Una forma fácil de recordar esta suma para aquellos a los que se les presenta dificultad, es notar que al efectuar las operaciones se hace la forma de una \textbf{copa} tal como veremos a continuación

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la resta entre fracciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la resta de \frac{1}{2} menos \frac{3}{4}.

\frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 - 2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 6}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{2}{8}

Ejemplo 2

Efectúe la resta de \frac{7}{3} menos \frac{2}{5}.

\frac{7}{3} - \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 - 3 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{35 - 6}{15} = \frac{29}{15}

Ejemplo 3

Efectúe la resta de 1 menos \frac{4}{9}. Para efectuar esta resta debemos notar primero que el número 1 se puede escribir como la fracción \frac{1}{1}, entonces tenemos que

\frac{1}{1} - \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 - 1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{9 - 4}{9} = \frac{5}{9}

Ejemplo 4

Efectúe la resta de \frac{3}{11} menos 6. Para efectuar esta resta debemos notar primero que el número 6 se puede escribir como la fracción \frac{6}{1}, entonces tenemos que

\frac{3}{11} - \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1 - 11 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{3 - 66}{11} = \frac{-63}{11} = -\frac{63}{11}


Suma de Fracciones

Sean a, b, c y d números enteros tales que b y d son distintos de cero. Definimos la suma de las fracciones \frac{a}{b} más \frac{c}{d}, sumando el producto de a por d más el producto de b por c y dividiendo todo esto entre el producto de b por d, de la siguiente forma:

Una forma fácil de recordar esta suma para aquellos a los que se les presenta dificultad, es notar que al efectuar las operaciones se hace la forma de una copa tal como veremos a continuación

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la suma entre fracciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la suma de \frac{1}{2} más \frac{3}{4}.

\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 6}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}

Ejemplo 2

Efectúe la suma de \frac{7}{3} más \frac{2}{5}.

\frac{7}{3} + \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 3 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{35 + 6}{15} = \frac{41}{15}

Ejemplo 3

Efectúe la suma de 1 más \frac{4}{9}. Para efectuar esta suma debemos notar primero que el número 1 se puede escribir como la fracción \frac{1}{1}, entonces tenemos que

\frac{1}{1} + \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{9 + 4}{9} = \frac{13}{9}

Ejemplo 4

Efectúe la suma de \frac{3}{11} más 6. Para efectuar esta suma debemos notar primero que el número 6 se puede escribir como la fracción \frac{6}{1}, entonces tenemos que

\frac{3}{11} + \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1 + 11 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{3 + 66}{11} = \frac{69}{11}


Fracciones

Las fracciones son una forma alternativa para denotar la división entre dos números y generalmente se usan para expresar proporciones, por ejemplo, para expresar las tres cuartas partes de una cantidad escribimos \frac{3}{4} o por ejemplo, para denotar la mitad de una torta simplemente escribimos \frac{1}{2}. Es posible representar las fracciones de forma gráfica para facilitar su entendimiento.

Fracciones | totumat.com
Fracciones | totumat.com

Formalmente, si consideremos dos números enteros a y b \neq 0, entonces diremos que a es el numerador de la fracción y b es el denominador de la fracción, y así, la división a \div b estará representada por la siguiente expresión

Fracciones | totumat.com

La raya entre ambos números usualmente es llamada raya de fracción, el número sobre la raya se conoce como numerador y el número bajo la raya se conoce como denominador.

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Propiedades de las Fracciones

Cuando trabajamos con fracciones, encontraremos expresiones muy particulares que podemos identificar cuando queremos simplificar operaciones matemáticas. Consideremos a un número entero distinto de cero y veamos a continuación cuales son estas fracciones.

Uno dividio entre uno, es igual a uno. De forma general, si consideramos cualquier número real distinto de cero, la división de este número por él mismo, es igual a uno, entonces,

\dfrac{1}{1} = 1.

\dfrac{a}{a} = 1.

Cualquier número entero se puede expresar como la división de él mismo con uno, esta información será últil cuando se nos presenten operaciones entre números expresados en fracciones y números enteros.

\dfrac{a}{1} = a.

Al dividir cero por cualquier número real distinto de cero, el resultado siempre será el mismo, cero.

\dfrac{0}{a} = 0

Por el contrario, si tomamos cualquier número real, este no podrá ser dividio por cero pues esta operación no está definida, es decir, la división por cero no está definida.

\dfrac{a}{0}

no está definida.

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Ley de los Signos para las Fracciones

Ya que las fracciones representan divisiones, podemos también establecer la ley de los signos para la división, si a y b son números enteros tal que b es distinto de cero, entonces

\dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}.

\dfrac{-a}{b} = -\dfrac{a}{b}.

\dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b}.

\dfrac{-a}{-b} = \dfrac{a}{b}.

La ventaja en el uso de las fracciones es que nos proveen rigidez en los resultados y así evitamos errores de aproximación o redondeo al efectuar divisiones, es por esto que es necesario dominar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre las fracciones.

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Fracciones propias e impropias

Una forma de clasificar las fracciones es considerando el tamaño de su numerador y su denominador, pues estos determinarán la porción que realmente representan. Si a y b son dos enteros tal que b \neq 0, tenemos que

  • Si a < b, diremos que la fracción es \frac{a}{b} es propia, es decir, si el numerador es menor que el denominador.
  • Si a \geq b, diremos que la fracción es \frac{a}{b} es impropia, es decir, si el numerador es mayor o igual que el denominador.

Para aclarar esta idea, veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 1

La fracción \frac{1}{2}, es una fracción propia, pues su numerador es menor que su denominador.

Ejemplo 2

La fracción \frac{7}{15}, es una fracción propia, pues su numerador es menor que su denominador.

Ejemplo 3

La fracción \frac{4}{9}, es una fracción propia, pues su numerador es menor que su denominador.

Ejemplo 4

La fracción \frac{6}{20}, es una fracción propia, pues su numerador es menor que su denominador.

Ejemplo 5

La fracción \frac{5}{3}, es una fracción impropia, pues su numerador es mayor que su denominador.

Ejemplo 6

La fracción \frac{10}{4}, es una fracción impropia, pues su numerador es mayor que su denominador.

Ejemplo 7

La fracción \frac{20}{12}, es una fracción impropia, pues su numerador es mayor que su denominador.

Ejemplo 8

La fracción \frac{75}{44}, es una fracción impropia, pues su numerador es mayor que su denominador.


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Fracciones Mixtas

Al leer una receta de cocina es común encontrarse con medidas para los ingredientes como una taza y media de azúcar o, es por esto que podemos encontrar recipientes con medidas de \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} o \frac{1}{8}. Esto también ocurre cuando se compran alimentos que deben ser pesados, como un kilo y cuarto de queso o tres kilos y medios de carne.

Las fracciones son ideales para expresar este tipo de medidas, justamente están diseñadas para medir porciones, por ejemplo, para escribir una taza y media se puede escribir 1 + \frac{1}{2} que a su vez es igual a \frac{3}{2}. Sin embargo, la forma en que se escriben pueden no presentar comodidad o claridad en la práctica, es por esto que se definen las fracciones mixtas (o números mixtos), entonces, que en vez de escribir 1 + \frac{1}{2}, se escribe

1\tfrac{1}{2}

De esta forma, definimos las fracciones mixtas para separar la parte entera de su parte no entera, esta última usualmente representada con una fracción propia. Cualquier fracción mixta se puede reescribir como una fracción impropia, pues si a, b y c son números enteros positivos, entonces la siguiente fracción mixta

a\tfrac{b}{c}

se reescribe como una fracción impropia sumando a con \frac{b}{c}, es decir,

a + \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}

Veamos algunos ejemplos de cómo reescribir fracciones mixtas.

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Ejemplos

Ejemplo 9

Reescriba la fracción mixta 1\tfrac{1}{2} como una fracción impropia.

1\tfrac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}

Ejemplo 10

Reescriba la fracción mixta 1\tfrac{1}{8} como una fracción impropia.

1\tfrac{1}{8} = 1 + \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{2} = \frac{9}{2}

Ejemplo 11

Reescriba la fracción mixta 2\tfrac{3}{4} como una fracción impropia.

2\tfrac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}

Ejemplo 12

Reescriba la fracción mixta 2\tfrac{3}{4} como una fracción impropia.

3\tfrac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}

Ejemplo 13

Reescriba la fracción mixta 5\tfrac{9}{16} como una fracción impropia.

5\tfrac{9}{16} = 5 + \frac{9}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{89}{16}