Ejercicios Propuestos – Operaciones entre números racionales (fracciones)

Calcule las siguientes sumas entre fracciones.

  1. \frac{1}{5} + \frac{1}{2}
  2. \frac{1}{2} + \frac{4}{7}
  3. -5 + \frac{3}{2}
  4. -\frac{5}{6} + 2

  1. -\frac{2}{3} + \frac{3}{2}
  2. \frac{1}{10} + \frac{2}{3}
  3. -\frac{5}{9} + \frac{7}{4}
  4. \frac{2}{7} + \frac{7}{5}

  1. -\frac{8}{5} + \left( -3 \right)
  2. -\frac{1}{6} + \frac{3}{4}
  3. 2 + \frac{4}{5}
  4. \frac{2}{3} + \frac{3}{5}

Calcule las siguientes restas entre fracciones.

  1. \frac{8}{7} - \frac{8}{5}
  2. -\frac{5}{6} - \left( -2 \right)
  3. -\frac{3}{2} - \frac{7}{4}
  4. -6 - \left( -\frac{3}{5} \right)

  1. \frac{10}{9} - \left( -3 \right)
  2. \frac{5}{9} - \left( -\frac{8}{5} \right)
  3. \frac{2}{3} - \frac{7}{8}
  4. -2 - \left( -\frac{4}{9} \right)

  1. \frac{4}{7} - \frac{3}{2}
  2. -\frac{7}{6} - \frac{5}{3}
  3. -\frac{4}{7} - \left( -\frac{4}{9} \right)
  4. \frac{5}{8} - \frac{4}{3}

Calcule las siguientes multiplicaciones entre fracciones.

  1. -\frac{5}{4} \cdot \left( -\frac{4}{9} \right)
  2. \frac{8}{9} \cdot \frac{8}{7}
  3. -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}
  4. \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{2}

  1. -\frac{5}{3} \cdot \left( -\frac{3}{2} \right)
  2. \frac{1}{10} \cdot 1
  3. 10 \cdot \frac{1}{6}
  4. -\frac{8}{9} \cdot \frac{9}{5}

  1. -\frac{5}{6} \cdot \left( -\frac{7}{3} \right)
  2. \frac{8}{5} \cdot \left( -1 \right)
  3. -5 \cdot \frac{5}{3}
  4. \frac{8}{9} \cdot \left( -3 \right)

Calcule las siguientes divisiones entre fracciones.

  1. \frac{3}{8} \div \left( -\frac{5}{4} \right)
  2. -\frac{1}{6} \div \frac{5}{8}
  3. 2 \div \left( -\frac{7}{4} \right)
  4. -\frac{4}{7} \div \left( -\frac{1}{3} \right)

  1. \frac{9}{2} \div \left( -\frac{5}{2} \right)
  2. -\frac{5}{4} \div \left( -\frac{5}{4} \right)
  3. -\frac{2}{5} \div \left( -\frac{7}{9} \right)
  4. \frac{1}{9} \div \left( -\frac{2}{9} \right)

  1. -\frac{9}{10} \div 1
  2. \frac{2}{7} \div \frac{4}{7}
  3. -8 \div \left( -\frac{5}{4} \right)
  4. -\frac{1}{4} \div \left( -\frac{1}{2} \right)

División de Fracciones

Al dividir fracciones, debemos tomar en cuenta que si p y q son números enteros, con q distinto de cero, entonces, la división p \div q es en realidad la multiplicación de p por el inverso multiplicativo de q, es decir, \frac{1}{q}. Tomando esto en cuenta, consideremos lo siguiente:

Sean a, b, c y d números enteros tales que b y d son distintos de cero. Definimos la división de las fracciones \frac{a}{b} entre \frac{c}{d}, multiplicando \frac{a}{b} por el inverso multiplicativo de \frac{c}{d}, es decir, \frac{d}{c}. Por lo tanto, multiplicamos a por d y dividimos esto entre el producto de b por c, de la siguiente forma:

Una forma fácil de recordar esta suma para aquellos a los que se les presenta dificultad, es notar que al efectuar las operaciones se hace la forma de una cruz al multiplicar numerador por denominador y denominador por numerador tal como veremos a continuación

Otra forma de recordar la división de fracciones consiste en reescribir la división entre fracciones como una fracción de fracciones y aplicar lo que en algunos países se conoce como la Doble C y en otros como la Ley del Sandwich (¿cómo le llaman en tu país?) de la siguiente forma

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la división entre fracciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la división de \frac{1}{2} entre \frac{3}{4}.

\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Ejemplo 2

Efectúe la división de \frac{7}{3} entre \frac{2}{5}.

\frac{7}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{35}{6}

Ejemplo 3

Efectúe la división de 1 entre \frac{4}{9}. Para efectuar esta división debemos notar primero que el número 1 se puede escribir como la fracción \frac{1}{1}, entonces tenemos que

\frac{1}{1} \div \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 4} = \frac{9}{4}

Ejemplo 4

Efectúe la división de \frac{3}{11} entre 6. Para efectuar esta división debemos notar primero que el número 6 se puede escribir como la fracción \frac{6}{1}, entonces tenemos que

\frac{3}{11} \div \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1}{11 \cdot 6} = \frac{3}{66} = \frac{1}{22}

Ejemplo 5

Efectúe la división de \frac{5}{2} entre \frac{3}{7} y a su vez, todo esto, dividido entre \frac{11}{8}. Para efectuar esta división debemos proceder de la misma forma en que este problema ha sido enunciado, y para esto, usamos la propiedad asociativa.

\left( \frac{5}{2} \div \frac{3}{7} \right) \div  \frac{11}{6} = \left( \frac{35}{6} \right) \div  \frac{11}{8}

Una vez que hemos calculado la división que está entre los paréntesis, procedemos a hacer la segunda división.

\frac{35}{6} \div  \frac{11}{8} = \frac{280}{66} = \frac{140}{33}

Ejemplo 5 (Otro enfoque)

Otra forma de efectuar la división \frac{5}{2} \div \frac{3}{7} \div \frac{11}{8} es recordando que si la división es multiplicar por el inverso multiplicativo, entonces, consideramos los inversos multiplicativos de \frac{7}{3} y \frac{8}{11}. Posteriormente, efectuamos el producto de las siguientes tres fracciones:

\frac{5}{2} \div \frac{7}{3} \div \frac{8}{11} = \frac{280}{66} = \frac{140}{33}


Multiplicación de Fracciones

Sean a, b, c y d números enteros tales que b y d son distintos de cero. Definimos la multiplicación de las fracciones \frac{a}{b} por \frac{c}{d}, multiplicando a por c y dividiendo esto entre el producto de b por d, de la siguiente forma:

Una forma fácil de recordar esta suma para aquellos a los que se les presenta dificultad, es notar que al efectuar las operaciones se hace la forma de un canal al multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador tal como veremos a continuación

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la multiplicación entre fracciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la multiplicación de \frac{1}{2} por \frac{3}{4}.

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}

Ejemplo 2

Efectúe la multiplicación de \frac{7}{3} por \frac{2}{5}.

\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{14}{15}

Ejemplo 3

Efectúe la multiplicación de 1 por \frac{4}{9}. Para efectuar esta multiplicación debemos notar primero que el número 1 se puede escribir como la fracción \frac{1}{1}, entonces tenemos que

\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{4}{9}

Ejemplo 4

Efectúe la multiplicación de \frac{3}{11} por 6. Para efectuar esta multiplicación debemos notar primero que el número 6 se puede escribir como la fracción \frac{6}{1}, entonces tenemos que

\frac{3}{11} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{18}{11}


Resta de Fracciones

Sean a, b, c y d números enteros tales que b y d son distintos de cero. Definimos la resta de las fracciones \frac{a}{b} menos \frac{c}{d}, restando el producto de a por d menos el producto de b por c y dividiendo todo esto entre el producto de b por d, de la siguiente forma:

Una forma fácil de recordar esta suma para aquellos a los que se les presenta dificultad, es notar que al efectuar las operaciones se hace la forma de una \textbf{copa} tal como veremos a continuación

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la resta entre fracciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la resta de \frac{1}{2} menos \frac{3}{4}.

\frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 - 2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 6}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{2}{8}

Ejemplo 2

Efectúe la resta de \frac{7}{3} menos \frac{2}{5}.

\frac{7}{3} - \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 - 3 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{35 - 6}{15} = \frac{29}{15}

Ejemplo 3

Efectúe la resta de 1 menos \frac{4}{9}. Para efectuar esta resta debemos notar primero que el número 1 se puede escribir como la fracción \frac{1}{1}, entonces tenemos que

\frac{1}{1} - \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 - 1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{9 - 4}{9} = \frac{5}{9}

Ejemplo 4

Efectúe la resta de \frac{3}{11} menos 6. Para efectuar esta resta debemos notar primero que el número 6 se puede escribir como la fracción \frac{6}{1}, entonces tenemos que

\frac{3}{11} - \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1 - 11 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{3 - 66}{11} = \frac{-63}{11} = -\frac{63}{11}


Suma de Fracciones

Sean a, b, c y d números enteros tales que b y d son distintos de cero. Definimos la suma de las fracciones \frac{a}{b} más \frac{c}{d}, sumando el producto de a por d más el producto de b por c y dividiendo todo esto entre el producto de b por d, de la siguiente forma:

Una forma fácil de recordar esta suma para aquellos a los que se les presenta dificultad, es notar que al efectuar las operaciones se hace la forma de una copa tal como veremos a continuación

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la suma entre fracciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Efectúe la suma de \frac{1}{2} más \frac{3}{4}.

\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 6}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}

Ejemplo 2

Efectúe la suma de \frac{7}{3} más \frac{2}{5}.

\frac{7}{3} + \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 3 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{35 + 6}{15} = \frac{41}{15}

Ejemplo 3

Efectúe la suma de 1 más \frac{4}{9}. Para efectuar esta suma debemos notar primero que el número 1 se puede escribir como la fracción \frac{1}{1}, entonces tenemos que

\frac{1}{1} + \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{9 + 4}{9} = \frac{13}{9}

Ejemplo 4

Efectúe la suma de \frac{3}{11} más 6. Para efectuar esta suma debemos notar primero que el número 6 se puede escribir como la fracción \frac{6}{1}, entonces tenemos que

\frac{3}{11} + \frac{6}{1} = \frac{3 \cdot 1 + 11 \cdot 6}{11 \cdot 1} = \frac{3 + 66}{11} = \frac{69}{11}