Fracciones

Las fracciones son una forma alternativa para denotar la división entre dos números y generalmente se usan para expresar proporciones, por ejemplo, para expresar las tres cuartas partes de una cantidad escribimos \frac{3}{4} o por ejemplo, para denotar la mitad de una torta simplemente escribimos \frac{1}{2}. Es posible representar las fracciones de forma gráfica para facilitar su entendimiento.

Fracciones | totumat.com
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Formalmente, si consideremos dos números enteros a y b \neq 0, entonces diremos que a es el numerador de la fracción y b es el denominador de la fracción, y así, la división a \div b estará representada por la siguiente expresión

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La raya entre ambos números usualmente es llamada raya de fracción, el número sobre la raya se conoce como numerador y el número bajo la raya se conoce como denominador.

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Propiedades de las Fracciones

Cuando trabajamos con fracciones, encontraremos expresiones muy particulares que podemos identificar cuando queremos simplificar operaciones matemáticas. Consideremos a un número entero distinto de cero y veamos a continuación cuales son estas fracciones.

Uno dividio entre uno, es igual a uno. De forma general, si consideramos cualquier número real distinto de cero, la división de este número por él mismo, es igual a uno, entonces,

\dfrac{1}{1} = 1.

\dfrac{a}{a} = 1.

Cualquier número entero se puede expresar como la división de él mismo con uno, esta información será últil cuando se nos presenten operaciones entre números expresados en fracciones y números enteros.

\dfrac{a}{1} = a.

Al dividir cero por cualquier número real distinto de cero, el resultado siempre será el mismo, cero.

\dfrac{0}{a} = 0

Por el contrario, si tomamos cualquier número real, este no podrá ser dividio por cero pues esta operación no está definida, es decir, la división por cero no está definida.

\dfrac{a}{0}

no está definida.

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Ley de los Signos para las Fracciones

Ya que las fracciones representan divisiones, podemos también establecer la ley de los signos para la división, si a y b son números enteros tal que b es distinto de cero, entonces

\dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}.

\dfrac{-a}{b} = -\dfrac{a}{b}.

\dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b}.

\dfrac{-a}{-b} = \dfrac{a}{b}.

La ventaja en el uso de las fracciones es que nos proveen rigidez en los resultados y así evitamos errores de aproximación o redondeo al efectuar divisiones, es por esto que es necesario dominar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre las fracciones.

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Fracciones propias e impropias

Una forma de clasificar las fracciones es considerando el tamaño de su numerador y su denominador, pues estos determinarán la porción que realmente representan. Si a y b son dos enteros tal que b \neq 0, tenemos que

  • Si a < b, diremos que la fracción es \frac{a}{b} es propia, es decir, si el numerador es menor que el denominador.
  • Si a \geq b, diremos que la fracción es \frac{a}{b} es impropia, es decir, si el numerador es mayor o igual que el denominador.

Para aclarar esta idea, veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

Ejemplo 1

La fracción \frac{1}{2}, es una fracción propia, pues su numerador es menor que su denominador.

Ejemplo 2

La fracción \frac{7}{15}, es una fracción propia, pues su numerador es menor que su denominador.

Ejemplo 3

La fracción \frac{4}{9}, es una fracción propia, pues su numerador es menor que su denominador.

Ejemplo 4

La fracción \frac{6}{20}, es una fracción propia, pues su numerador es menor que su denominador.

Ejemplo 5

La fracción \frac{5}{3}, es una fracción impropia, pues su numerador es mayor que su denominador.

Ejemplo 6

La fracción \frac{10}{4}, es una fracción impropia, pues su numerador es mayor que su denominador.

Ejemplo 7

La fracción \frac{20}{12}, es una fracción impropia, pues su numerador es mayor que su denominador.

Ejemplo 8

La fracción \frac{75}{44}, es una fracción impropia, pues su numerador es mayor que su denominador.


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Fracciones Mixtas

Al leer una receta de cocina es común encontrarse con medidas para los ingredientes como una taza y media de azúcar o, es por esto que podemos encontrar recipientes con medidas de \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} o \frac{1}{8}. Esto también ocurre cuando se compran alimentos que deben ser pesados, como un kilo y cuarto de queso o tres kilos y medios de carne.

Las fracciones son ideales para expresar este tipo de medidas, justamente están diseñadas para medir porciones, por ejemplo, para escribir una taza y media se puede escribir 1 + \frac{1}{2} que a su vez es igual a \frac{3}{2}. Sin embargo, la forma en que se escriben pueden no presentar comodidad o claridad en la práctica, es por esto que se definen las fracciones mixtas (o números mixtos), entonces, que en vez de escribir 1 + \frac{1}{2}, se escribe

1\tfrac{1}{2}

De esta forma, definimos las fracciones mixtas para separar la parte entera de su parte no entera, esta última usualmente representada con una fracción propia. Cualquier fracción mixta se puede reescribir como una fracción impropia, pues si a, b y c son números enteros positivos, entonces la siguiente fracción mixta

a\tfrac{b}{c}

se reescribe como una fracción impropia sumando a con \frac{b}{c}, es decir,

a + \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}

Veamos algunos ejemplos de cómo reescribir fracciones mixtas.

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Ejemplos

Ejemplo 9

Reescriba la fracción mixta 1\tfrac{1}{2} como una fracción impropia.

1\tfrac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}

Ejemplo 10

Reescriba la fracción mixta 1\tfrac{1}{8} como una fracción impropia.

1\tfrac{1}{8} = 1 + \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{2} = \frac{9}{2}

Ejemplo 11

Reescriba la fracción mixta 2\tfrac{3}{4} como una fracción impropia.

2\tfrac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}

Ejemplo 12

Reescriba la fracción mixta 2\tfrac{3}{4} como una fracción impropia.

3\tfrac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}

Ejemplo 13

Reescriba la fracción mixta 5\tfrac{9}{16} como una fracción impropia.

5\tfrac{9}{16} = 5 + \frac{9}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{89}{16}


Números Racionales

¿Qué es la división?

Suponga que usted tiene cuatro panes y desea repartirlos a dos niños de modo que ambos queden contentos, usted le da dos panes a cada niño. Ahora, suponga que tiene dos panes y desea repartirlos entre cuatro niños de modo que todos queden contentos, lo más sensato es partir cada pan por la mitad y darle una mitad a cada niño, muy bien pero, ¿cómo representa esta situación con números?

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Esta situación es representada usando la notación 2 \div 4, esto se lee “dos dividido entre cuatro” e indica la repartición de dos objetos en cuatro partes iguales y se conoce como división. Si usamos una calculadora o usamos el método de división larga obtenemos el valor 0,5.

Por otra parte, si usted tiene una torta y quiere repartirla entre dos niños, le da la mitad a cada uno. Esto lo representamos con la división 1 \div 2 cuyo resultado es 0,5. En otra situación, suponga que tiene siete litros de agua y quiere verterlos equitativamente entre catorce recipientes, en este caso debe llenar cada uno de los recipientes con medio litro de agua, esto lo representamos con la división 7 \div 14 cuyo resultado es 0,5. Notemos que se nos pueden presentar muchas ocasiones en el que obtenemos el valor 0,5, es decir, podemos pensar en varias combinaciones de números cuya división nos dé como resultado 0,5.

Definiremos los Números Racionales para expresar todas las divisiones posibles. Para cualquier par de números enteros a y b (con b \neq 0), definiremos un nuevo número de la forma \frac{a}{b} que representa el resultado de la división a \div b. Entonces el conjunto de los números racionales lo denotaremos por \mathbb{Q} y estará definido de la siguiente manera:

El conjunto de los números racionales | totumat.com

Estos números representarán todas las divisiones posibles entre dos números enteros. Particularmente podemos considerar las divisiones de la forma a \div 1 para notar que 3 \div 1 = 3, 10 \div 1 = 10, -2 \div 1 = -2, 45 \div 1 = 45. En general si a \in \mathbb{Z} entonces a \div 1 = a. Esto nos indica que todo número entero se puede representar como la división entre dos números enteros y por lo tanto el conjunto de los números Enteros es un subconjunto del conjunto de los números Racionales, es decir,

El conjunto de los números enteros está contenido en el conjunto de los números racionales | totumat.com
El conjunto de los números enteros está contenido en el conjunto de los números racionales

Todos estos números tendrán una particularidad y es que siempre representarán un número con una extensión decimal finita como por ejemplo \frac{1}{2} = 0,5 o representarán números con extensión decimal infinita periódica, es decir, que se repite indefinidamente, como por ejemplo \frac{1}{3} = 0,333333...

Será posible representar gráficamente algunos elementos de este conjunto, sin embargo, no podremos representarlos todos porque este trabajo sería imposible. Hay que destacar que los números racionales llenan los espacios que encontramos entre cada par de números enteros.

Representación gráfica de algunos números racionales | totumat.com
Representación gráfica de algunos números racionales

Es importante destacar algunas divisiones particulares y para esto consideremos dos números enteros a y b.

Las siguiente divisiones nos indican que así como hay una “ley de los signos” para la multiplicación, también la hay para la división,

Ley de los Signos para la división

La expresión \frac{a}{b} también se conoce como Fracción y se puede conocer con más detalle haciendo click en el siguiente enlace: https://totumat.com/2020/04/25/fracciones/