La jerarquía de las operaciones y los signos de agrupación

24.10.202007.12.2022 Anthonny Arias-García12 comentarios

La jerarquía de las operaciones

¿Qué es saber sumar, restar, multiplicar y dividir? Si bien, durante los estudios básicos de matemáticas aprendemos a efectuar cualquiera de las operaciones básicas, es poco lo que se indaga cuando estas operaciones se encuentran combinadas.

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Al efectuar distintas operaciones entre números reales, resulta necesario especificar el orden en el que se deben efectuar las operaciones, esto es para evitar ambigüedades la hora de expresar los resultados. Entonces, si consideramos las operaciones de suma, resta, multiplicación y división; el orden en el que estas deben efectuarse es el siguiente:

La jerarquía de las operaciones | totumat.com

Es decir, primero se efectúan todos los productos, después todas las divisiones, después todas las sumas y por último, todas las restas.

La suma será expresada con una cruz ( $+$ ). La resta será expresada con una raya horizontal ( $-$ ). El producto o multiplicación será expresado con un punto ( $\cdot$ ), aunque también se puede expresar con dos rayas cruzadas ( $\times$ ). La división será expresada con dos puntos y una raya horizontal ( $\div$ ) que denota un número sobre otro número, aunque también se puede expresar simplemente con dos puntos ( $:$ ) o con una barra vertical ( $/$ ).

Veamos en lo siguientes ejemplos como aplicar esta jerarquía de las operaciones al toparnos con expresiones que cuentan con distintas operaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$3 \cdot 2 + 5$

En esta ocasión encontramos un producto y una suma. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

$6 + 5$

Posteriormente, efectuamos la suma y concluimos que el resultado será

$11$

Ejemplo 2

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$3 + 2 \cdot 5$

En esta ocasión encontramos un producto y una suma. Notemos que a diferencia del ejemplo anterior, la suma aparece primero, sin embargo, la jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

$3 + 10$

Finalmente, efectuamos la suma y concluimos que el resultado será

$13$

Ejemplo 3

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$4 + 3 \cdot 6 - 7$

En esta ocasión encontramos un producto, una suma y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

$4 + 18 - 7$

Posteriormente, efectuamos la suma,

$22 - 7$

Finalmente, efectuamos la resta

$15$

Ejemplo 4

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$-14 + 15 \div 3 + 20$

En esta ocasión encontramos un producto, una suma y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, de esta forma, obtenemos

$-14 + 5 + 20$

Posteriormente, efectuamos las sumas,

$-14 + 25$

Finalmente, efectuamos la resta

$11$

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Ejemplo 5

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$20 - 5 \cdot 2 - 30 \div 10$

En esta ocasión encontramos un producto, una división y dos resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

$20 - 10 - 30 \div 10$

Posteriormente, efectuamos la división,

$20 - 10 - 3$

En este caso, notamos que hay dos restas, entonces agrupamos las restas y las efectuamos

$20 - 13$

Finalmente, efectuamos la resta

$7$

Ejemplo 6

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$4 \cdot 3 + 7 \cdot 5 - 55 \div 11 + 9$

En esta ocasión encontramos dos productos, una división, dos sumas y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar los productos, de esta forma, obtenemos

$12 + 35 - 55 \div 11 + 9$

Posteriormente, efectuamos la división,

$12 + 35 - 5 + 9$

En este caso, notamos que hay más de dos números sumando, entonces agrupamos las sumas

$12 + 35 + 9 - 5$

Posteriormente, efectuamos las sumas

$56 - 5$

Finalmente, efectuamos la resta

$51$

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Los signos de agrupación

Hay expresiones en las que las jerarquía de las operaciones no basta para calcular un resultado, pues puede no estar muy claro cual es la operación que debe efectuarse. Por ejemplo, si consideramos la expresión

$12 \div 2 \cdot 3$

La jerarquía de las operaciones indica que primero debe efectuarse el producto, sin embargo, ¿es correcto multiplicar un número entero por un divisor? ¿Es correcto efectuar primero la división y después el producto? ¿Es correcto multiplicar el doce por el tres? No queda claro como efectuar esta operación correctamente.

Considerando esto, debemos definir una nueva herramienta que indique con claridad cuales son las operaciones que se deben efectuar primero, que llamaremos signos de agrupación.

Usaremos paréntesis $( \ )$ para agrupar las operaciones que se deben efectuar antes de efectuar cualquier otra operación. De esta forma, si consideramos la operación

$12 \div (2 \cdot 3)$

Se está indicando que primero se debe efectuar el producto $2 \cdot 3$ , para obtener $12 \div 6$ que a su vez, es igual a $2$ . Por otra parte, si consideramos la operación

$(12 \div 2) \cdot 3$

Se está indicando que primero se debe efectuar la división $12 \div 2$ , para obtener $6 \cdot 3$ que a su vez, es igual a $18$ .

Notemos que ambos casos arrojan resultados distintos, ahí radica la importancia del uso de los paréntesis para agrupar las operaciones que se deben efectuar primero.

También puede ocurrir que debemos agrupar operaciones que entre números que ya están agrupados por otras operaciones, para esto usamos otros signos de agrupación: corchetes $[ \ ]$ y llaves ${ \ }$ , sobre los cuales también definimos una jerarquía.

Es decir, primero se efectúan todas las operaciones que se encuentran entre paréntesis, después todas las operaciones que se encuentran entre corchetes y por último, todas las operaciones que se encuentran entre llaves.

Veamos en lo siguientes ejemplos como aplicar esta jerarquía de las operaciones y los signos de agrupación al toparnos con expresiones que cuentan con distintas operaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 7

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$3 \cdot (5 + 1)$

Lo primero que debemos notar es que la suma $5 + 1$ está encerrada en un paréntesis. La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

$3 \cdot 6$

Finalmente, efectuamos el producto,

$18$

Ejemplo 8

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$2 \cdot (9 - 2) + 10$

Lo primero que debemos notar es que la resta $9 - 4$ está encerrada en un paréntesis. La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

$2 \cdot 7 + 10$

La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

$14 + 10$

Finalmente, efectuamos la suma,

$24$

Ejemplo 9

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$3 + 4 \cdot [ 24 \div (2+6) + 5]$

Debemos notar que hay dos signos de agrupación: paréntesis y corchetes. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

$3 + 4 \cdot [ 24 \div 8 + 5]$

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, obteniendo

$3 + 4 \cdot [3 + 5]$

Posteriormente, efectuamos la suma que se encuentra dentro de los corchetes,

$3 + 4 \cdot 8$

Posteriormente, efectuamos el producto,

$3 + 32$

Posteriormente, efectuamos la suma,

$35$

Ejemplo 10

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$100 - 2 \cdot \big[ (10 + 20) \div 15 - 5 \cdot (12 - 3) \big]$

Debemos notar que hay dos signos de agrupación: paréntesis y corchetes. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

$100 - 2 \cdot [ 30 \div 15 - 5 \cdot 9 ]$

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto e incluso, en este caso podemos efectuar la división en el mismo paso sin que se altere el resultado, obteniendo

$100 - 2 \cdot [ 2 - 45 ]$

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de los corchetes,

$100 - 2 \cdot [ -43 ]$

Posteriormente, efectuamos el producto y aplicando la ley de los signos, tenemos

$100 + 86$

Posteriormente, efectuamos la suma,

$186$

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Ejemplo 11

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$5 - \{ 20 + 35 \div [17 - (3+7) + 25 \div (3+2) - 2] \}$

Debemos notar que hay tres signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

$5 - \{ 20 + 35 \div [17 - 10 + 25 \div 5 - 5] \}$

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, obteniendo

$5 - \{ 20 + 35 \div [17 - 10 + 5 - 5] \}$

Posteriormente, agrupamos las sumas dentro de los corchetes

$5 - \{ 20 + 35 \div [17 + 5 - 10 - 5] \}$

Posteriormente, efectuamos las sumas que se encuentra dentro de los corchetes e incluso, en este caso podemos efectuar las restas en el mismo paso sin que se altere el resultado

$5 - \{ 20 + 35 \div [22 - 15] \}$

Posteriormente, efectuamos la resta,

$5 - \{ 20 + 35 \div [7] \}$

Posteriormente, efectuamos la división,

$5 - \{ 20 + 5 \}$

Posteriormente, efectuamos la suma,

$5 - \{ 20 + 5 \}$

Posteriormente, efectuamos la suma,

$5 - \{ 25 \}$

Finalmente, efectuamos la resta,

$-20$

Ejemplo 12

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

$72 + \cdot \{ -30 + 5 \cdot [4 + 2 \cdot (5-2) - 3 \cdot (1+4) - 2] \} \div [ 3 \cdot (10 - 7) ]$

Debemos notar que hay tres signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

$72 + \{ -30 + 5 \cdot [4 + 2 \cdot 3 - 3 \cdot 5 - 2] \} \div [ 3 \cdot 3 ]$

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar los productos, obteniendo

$72 + \{ -30 + 5 \cdot [4 + 6 - 15 - 2] \} \div [ 9 ]$

Posteriormente, efectuamos las sumas que se encuentra dentro de los corchetes e incluso, en este caso podemos efectuar las restas en el mismo paso sin que se altere el resultado

$72 + \{ -30 + 5 \cdot [10 - 17] \} \div [ 9 ]$

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de los corchetes,

$72 + \{ -30 + 5 \cdot [-3] \} \div [ 9 ]$

Posteriormente, efectuamos el producto que se encuentra dentro de las llaves,

$72 + \{ -30 - 15 \} \div [ 9 ]$

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de las llaves,

$72 + \{ -45 \} \div [ 9 ]$

Posteriormente, efectuamos la división,

$72 - 5$

Finalmente, efectuamos la resta,

$-67$

Herramientas Básicas de una Calculadora Científica

17.10.202004.04.2024 Anthonny Arias-García2 comentarios

En mis años de experiencia docente a nivel universitario, he notado que si bien, la mayoría de los estudiantes tienen acceso a una calculadora científica, el uso que se le da no es mayor del que se le puede dar a una «calculadora bodeguera», es decir, una de este tipo

MX-12B | Serie con valor agregado | HOGAR | Calculadoras | CASIO

La Calculadora CASIO fx-82MS

La calculadora más común encontrada en las aulas de clases, desde bachillerato hasta el nivel universitario, es la calculadora CASIO fx-82MS. Aunque es sencilla en comparación con otras calculadoras científicas, es muy versátil.

Aparte de las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Veamos cuales son las operaciones básicas que se pueden efectuar con esta calculadora, pero además, veamos que con conocimientos matemáticos, varias de las opciones se pueden usar para hacer distintos tipos de operaciones.

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Fracciones y Decimales

Las operaciones con fracciones o con decimales pueden resultar engorrosas para calcular a mano, afortunadamente, las calculadoras tienen una opción para reescribir fracciones como números decimales y viceversa. Para esto, se debe presionar el siguiente botón:

Este botón, reescribirá los números decimales como fracciones mixtas, particularmente para poder usar la opción correspondiente a las fracciones puras, se debe presionar la tecla SHITF previamente, pues con ella se pueden usar las opciones resaltadas en amarillo sobre cada tecla.

Potencias

El caso en el que más se usa una potencia en los cursos de matemáticas es cuando debemos elevar un número al cuadrado, seguido de esto, cuando debemos elevar un número al cubo. Para esto, existen dos botones dedicados.

Sin embargo, ¿qué haremos si queremos elevar un número a la 4? ¿O a la 10? ¿Y a la 7/5? Para esto, debemos usar el circunflejo… ¿El circunqué? El circunflejo es el signo (^) y de forma general, en el lenguaje matemático compucional, se usa para denotar una potencia.

Usando esta tecla, podemos calcular distintas potencias, de forma que

Si queremos calcular 6 elevado a la 4, entonces escribimos
6^4.
Si queremos calcular 2 elevado a la 10, entonces escribimos
2^10.
Si queremos calcular 4 elevado a la 7/5, entonces escribimos
4^(7/5).

Nótese que en este último caso, se usaron paréntesis para escribir la potencia. Esto es para indicarle a la calculadora que primero debe hacer las operación que está dentro del paréntesis. El uso de los paréntesis para definir operaciones es necesario para no incurrir en errores de cálculo.

Radicales

El caso en el que más se usa un radical en los cursos de matemáticas es cuando debemos calcular la raíz cuadrada, seguido de esto, cuando debemos calcular la raíz cúbica. Para esto, existen dos botones dedicados.

Particularmente para poder usar la opción correspondiente a la raíz cúbica, se debe presionar la tecla SHITF previamente, pues con ella se pueden usar las opciones resaltadas en amarillo sobre cada tecla.

Sin embargo, ¿qué haremos si queremos calcular la raíz cuarta? ¿O a la raíz décima? ¿Y a la sétima de un número elevado a la 5? Para esto, debemos usar presionar SHIFT seguido de el circunflejo (^), pues con esto activamos la expresión $\sqrt[x]{ \ }$ .

Usando esta tecla, podemos calcular distintas raíces, de forma que

Si queremos calcular la raíz cuarta de 6, entonces escribimos
4 $\sqrt[x]{ \ }$ 6.
Si queremos calcular la raíz décima de 2, entonces escribimos
10 $\sqrt[x]{ \ }$ 2.
Si queremos calcular la raíz quinta de 4 elevado a la 7, entonces escribimos
5 $\sqrt[x]{ \ }$ (4^7).

También nos podemos fijar que la raíz quinta de 4 elevado a la 7 también se puede calcular usando 4^(7/5), esto se debe a que de acuerdo a las propiedades de las potencias y radicales, tenemos que

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

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Logaritmos

Los logaritmos se usan con frecuencia para estudiar cambios proporcionales o porcentuales en conjuntos de datos. Usualmente se considera el logaritmo con base 10 o el logarimo con base $\textit{\Large e}$ , este último conocido como el logaritmo neperiano o logaritmo natural. Para esto, existen dos botones dedicados.

Usando esta tecla, podemos calcular distintos logaritmos, de forma que

Si queremos el logaritmo base 10 de 6, entonces escribimos
log6.
Si queremos el logaritmo base 10 de 2 elevado a la 5, entonces escribimos
log(2^5).
Si queremos el logaritmo neperiano de 8, entonces escribimos
ln8.
Si queremos el logaritmo neperiano de la raíz cúbica de 15, entonces escribimos
ln( $\sqrt[3]{ \ }$ 15).

Calcular el logaritmo de cualquier base

Usualmente, las calculadoras científicas sólo permiten calcular el logaritmo base diez o el logaritmo neperiano. Sin embargo, debemos recordar la propiedad cambio de base, que indica que

$\log_a(b) = \dfrac{\log_c(b)}{\log_c(a)}$

Entonces, podemos calcular el logaritmo de cualquier base en la calculadora de la siguiente forma:

Si queremos el logaritmo base 3 de 2, entonces escribimos
log2/log3.
Si queremos el logaritmo base 9 de 13, entonces escribimos
log13/log9.
Si queremos el logaritmo base 12 de 33, entonces escribimos
log(33)/log12.
Si queremos el logaritmo base 5 de 4+7, entonces escribimos
log(4+7)/log5.

Exponenciales

Hay una potencia muy particular que debemos calcular con regularidad cuando se hacen desarrollos matemáticos y esta se presenta cuando operamos con la función exponencial. Usualmente se considera la base 10 o la base $\textit{\Large e}$ . Para esto, existen dos botones dedicados.

Para poder usar estas opciones, se debe presionar la tecla SHITF previamente, pues con ella se pueden usar las opciones resaltadas en amarillo sobre cada tecla.

Usando esta tecla, podemos calcular distintas expresiones exponciales, de forma que

Si queremos 10 elevado a la 6, entonces escribimos
$10^x$ 6.
Si queremos 10 elevado a la 2, entonces escribimos
$10^x$ 2.
Si queremos 10 elevado a la 7/3, entonces escribimos
$10^x$ (7/3).
Si queremos $\textit{\Large e}$ elevado a la 8, entonces escribimos
$\textit{\Large e}^x$ 8.
Si queremos $\textit{\Large e}$ elevado a la 15 + 5, entonces escribimos
$\textit{\Large e}^x$ (15+5).

Para definir directamente el número $\textit{\Large e}$ tenemos dos opciones, podemos escribir $\textit{\Large e}^x$ 1 o podemos presionar el siguiente botón

Para poder usar estas opciones, se debe presionar la tecla ALPHA previamente, pues con ella se pueden usar las opciones resaltadas en rojo sobre cada tecla.

Usando esta tecla, podemos calcular distintas expresiones exponciales con base $\textit{\Large e}$ , de forma que

Si queremos $\textit{\Large e}$ elevado a la 3, entonces escribimos
$\textit{\Large e}$ ^3.
Si queremos $\textit{\Large e}$ elevado a la 1/2, entonces escribimos
$\textit{\Large e}$ ^(1/2).

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Guardar un número en la memoria de la calculadora

Al hacer recurrir varias veces un mismo cálculo, resulta engorroso tener que escribir la operación una y otra vez. Afortunadamente, las calculadoras cuentan una opción para guardar números o resultados de operaciones en una calculadora.

La opción STO denota la palabra en inglés storage, que se traduce como almacenamiento en español. La calculadora CASIO fx-82MS tiene seis espacios disponibles para almacenar en su memoria, estos son los correspondientes a A, B, C, D, E y F.

Almacenar un número en la memoria se efectúa en tres pasos sencillos. Supongamos que debe almacenar el número 3 en el espacio de memoria A. Entonces, debe presionar 3, seguido de STO (presionando previamente SHITF), seguido de la tecla correspondiente a A (sin presionar ALPHA):

Posteriormente, deberá aparecer en la pantalla lo siguiente:

3 $\rightarrow$ A

De esta forma, si hacemos el llamado de A (presionando previamente ALPHA), este tendrá almacenado el valor 3. Entonces, si escribimos

7 + A

El resultado será igual a 10, pues es como sumar 7+3.

Aunque no pareciera muy útil para operaciones sencillas, esto resultará de utilidad en el caso que estemos evaluando un polinomio. Supongamos que usted está calculando los máximos y mínimos del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 -x +2$ y uno de sus puntos críticos es $x_1=\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ .

Para evalular el polinomio en esta expresión, lo más conveniente es guardarla en la memoria. Si queremos guardarla en el espacio B, seguimos los siguientes pasos

Escribimos la operación
(2 + $\sqrt{ \ }$ 7)/3
Seguido de STO (presionando previamente SHITF)
Seguido de B (sin presionar ALPHA)

Posteriormente, deberá aparecer en la pantalla lo siguiente:

(2 + $\sqrt{ \ }$ 7)/3 $\rightarrow$ B

Una vez que hemos almacenado este valor en memoria, podemos usarlo para evalular el polinomio en ese punto crítico, de la siguiente forma.

B^3 – 2B^2 -B +2

Números Decimales

15.10.202020.05.2024 Anthonny Arias-García1 comentario

Si bien las fracciones se usan para representar divisiones, existe otra forma de representar una divisíon, y esto es, partiendo en diez partes el espacio entre dos números enteros consecutivos. A estas partes las llamaremos décimas. La idea básica es contar las décimas que el resultado de la división ocupa.

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¿Qué son los números decimales?

Consideremos de forma particular la división uno entre dos: la fracción que la representa es $\frac{1}{2}$ y gráficamente, si dividimos el espacio entre el número cero y el número uno en diez partes iguales, esta representa cinco de estas partes, es decir, cinco décimas, de la siguiente forma:

Si una división entre dos números no es exacta, esta constará dos partes: una parte entera y una parte representada en décimas. Para denotar estas divisiones no exactas definimos los números decimales. En el ejemplo que hemos visto, la división uno entre dos se denota con el número decimal

Notemos que la parte entera se separa de la parte decimal con una coma (,).

Nota: El estándar en el inglés se usa un punto para separar decimales, hay que tomar esto en consideración al usar calculadoras configuradas en inglés.

Centésimas y Milésimas

Al definir números decimales, podemos partir aún más el espacio entre dos números enteros consecutivos. Si partimos el espacio entre dos décimas en diez partes, a estas partes las llamaremos centésimas; si partimos el espacio entre dos centésimas en diez partes, a estas partes las llamaremos milésimas e incluso podemos seguir partiendo en más partes pero en la práctica no es común referirse a ellas.

La importancia de los números decimales radica en que permite comparar números enteros y números fraccionarios con mayor facilidad. Veamos entonces, algunos ejemplos de números decimales para entenderlos con mayor claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 1

La división tres entre dos se representa con la fracción $\frac{3}{2}$ y con el número decimal $1,5$ ; diremos que la parte entera es igual a uno y la décima es igual a cinco. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal finita o que es un decimal exacto, pues la cantidad de números después de la coma es finito.

Ejemplo 2

La división trece entre catorce se representa con la fracción $\frac{13}{4}$ y con el número decimal $3,25$ ; diremos la parte entera es igual a tres, la décima es igual a dos y la centésima es igual a cinco. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal finita o que es un decimal exacto, pues la cantidad de números después de la coma es finito.

Ejemplo 3

La división noventa y ocho entre ciento veinticinco se representa con la fracción $\frac{98}{125}$ y con el número decimal $0,784$ ; diremos la parte entera es igual a cero, la décima es igual a siete, la centésima es igual a ocho y la milésima es igual a cuatro. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal finita o que es un decimal exacto, pues la cantidad de números después de la coma es finito.

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Ejemplo 4

La división uno entre tres se representa con la fracción $\frac{1}{3}$ y el número decimal que la presenta una particularidad, pues es igual a $0,33333333\ldots$ y este 3 se repite de forma indefinida. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal infinita periódica pues la cantidad de números después de la coma se repite indefinidamente. La extensión decimal infinita periódica también se puede denotar usando un arco o una barra sobre el número que se repite, $0,33\overline{3}$ .

Ejemplo 5

La división treinta y cuatro entre nueve se representa con la fracción $\frac{34}{3}$ y el número decimal que la presenta una particularidad, pues es igual a $3,777777\ldots$ y este 7 se repite de forma indefinida. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal infinita periódica pues la cantidad de números después de la coma se repite indefinidamente. La extensión decimal infinita periódica también se puede denotar usando un arco o una barra sobre el número que se repite, $3,77\overline{7}$ .

Ejemplo 6

La división quince entre once se representa con la fracción $\frac{15}{11}$ y el número decimal que la presenta una particularidad, pues es igual a $0.3636 3636 \ldots$ y notamos que 36 se repite de forma indefinida. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal infinita periódica mixta pues no es sólo un dígito el que se repite indefinidamente si no varios. La extensión decimal infinita periódica también se puede denotar usando un arco o una barra sobre el número que se repite, $1,\overline{36}$ .

Ejemplo 7

La división cinco entre siete se representa con la fracción $\frac{5}{7}$ y el número decimal que la presenta una particularidad, pues es igual a $0,714285 7142 \ldots$ y notamos que 714285 se repite de forma indefinida. En este caso, diremos que este es un número con extensión decimal infinita periódica mixta pues no es sólo un dígito el que se repite indefinidamente si no varios. La extensión decimal infinita periódica también se puede denotar usando un arco o una barra sobre el número que se repite, $0,\overline{714285}$ .

Ejercicios Propuestos – Expresiones Algebraicas

02.10.202021.10.2022 Anthonny Arias-GarcíaDeja un comentario

Operaciones Básicas

Simplifique las siguientes expresiones efectuando las operaciones básicas. Recuerde tomar en cuenta la jerarquía entre las operaciones.

$90 + 58 \cdot 13$
$54 + 3 \cdot 48$
$( 11 + 52) \cdot 13$
$( 72 + 19) \cdot 88$
$78 + ( 50 + 54) \cdot 72$
$5 + ( 73 - 84) \cdot 37$
$4^2 + ( 2 + 7) \cdot 4$
$2^3 + ( 6 - 3) \cdot 7$
$53 + [ 9^3 + ( 4 + 8) \cdot 2 ]$
$62 - [ 4^2 + ( 9 + 6) \cdot 6 ]$
$7 \cdot [ 4^3 + ( 7 + 1) \cdot 2 ] + 17$
$8 \cdot [ 2^2 - ( 1 + 3) \cdot 5 ] - 25$
$(7^2 + 56 ) \cdot {6 + [ 6^2 + ( 5 + 6) \cdot 7 ] + 24}$
$(2^2 - 69 ) \cdot {2 + [ 3^2 + ( 7 + 6) \cdot 7 ] - 71}$
$\dfrac{ 68 + 96 \cdot 61 }{ 49 + 13 \cdot 78 }$
$\dfrac{ 98 + 10 \cdot 28 }{ 11 - 82 \cdot 73 }$
$73 + 84 \cdot \dfrac{ 42 }{ 78 + 29 \cdot 69 }$
$8 + 85 \cdot \dfrac{ 1 }{ 11 - 39 \cdot 59 }$
$\dfrac{ 32 + [ 8^2 + ( 10 + 1) \cdot 6 ] }{ 19 + [ 4^3 + ( 4 + 4) \cdot 5 ] }$
$\dfrac{ 62 - [ 8^3 + ( 5 + 9) \cdot 2 ] }{ 54 - [ 10^3 - ( 2 + 4) \cdot 7 ] }$
$81 + 8^2 + \dfrac{ ( 1 - 8) \cdot 8 ] }{ 6 - [ 8^2 - ( 6 + 4) \cdot 8 ] }$
$89 + 7^3 + \dfrac{ ( 4 - 3) \cdot 8 ] }{ 88 - [ 8^3 - ( 7 + 3) \cdot 1 ] }$
$\dfrac{ (4^3 - 68 ) \cdot {7 + [ 5^3 - ( 1 - 9) \cdot 6 ] + 52} }{ (2^3 - 91 ) \cdot {4 + [ 3^3 - ( 5 - 5) \cdot 10 ] + 19} }$
$\dfrac{ (10^2 - 37 ) \cdot {10 + [ 9^2 - ( 10 - 4) \cdot 5 ] + 89} }{ (4^2 - 37 ) \cdot {10 + [ 9^3 - ( 4 - 10) \cdot 8 ] + 49} }$
$(5^3 + 98 ) + \dfrac{ 3\cdot{5 + [ 9^2 + ( 2 + 10) \cdot 9 ] + 20} }{ (9^3 + 48 ) \cdot {2 + [ 6^3 + ( 1 + 4) \cdot 10 ] + 95} }$
$(3^2 + 42 ) + \dfrac{ 7\cdot{3 + [ 2^3 + ( 1 + 7) \cdot 3 ] + 90} }{ (8^3 + 32 ) \cdot {8 + [ 3^2 + ( 1 + 10) \cdot 9 ] + 82} }$

Potencias y Radicales

Simplifique las siguientes expresiones reescribiéndolas como producto de factores primos usando las propiedades de las potencias.

$78$
$72$
$28 \cdot 30$
$24 \cdot 14$
$15^2 \cdot 25^5$
$16^3 \cdot 14^4$
$(17 \cdot 25)^5$
$(16 \cdot 20)^4$
$(17^{-1} \cdot 25^{14})^5$
$(16^{-3} \cdot 20^{15})^4$
$\sqrt[4]{76}$
$\sqrt[6]{115}$
$\sqrt{15^2} \cdot \sqrt[3]{25^5}$
$\sqrt[3]{16^3} \cdot \sqrt[4]{14^4}$
$\sqrt[3]{27 \cdot 30}$
$\sqrt[5]{24 \cdot 16}$
$\dfrac{18}{3}$
$\dfrac{24}{8}$
$\dfrac{18^{10}}{3^5}$
$\dfrac{24^9}{8^6}$
$\dfrac{12^{-4}}{3^5}$
$\dfrac{24^{-3}}{8^6}$
$\dfrac{28 \cdot 30}{24 \cdot 14}$
$\dfrac{60 \cdot 20}{63 \cdot 96}$
$\dfrac{(17 \cdot 25)^5}{(16 \cdot 20)^4}$
$\dfrac{(52 \cdot 21)^3}{(22 \cdot 55)^2}$
$\dfrac{(17^{-1} \cdot 25^{14})^5}{(16^{-3} \cdot 20^{15})^4}$
$\dfrac{(52^{-5} \cdot 41^{23})^3}{(22^{-7} \cdot 85^{12})^2}$
$\dfrac{\sqrt[4]{76}}{\sqrt[6]{115}}$
$\dfrac{\sqrt[8]{49}}{\sqrt[10]{90}}$
$\dfrac{\sqrt{15^2} \cdot \sqrt[3]{25^9}}{\sqrt[3]{16^3} \cdot \sqrt[4]{14^4}}$
$\dfrac{\sqrt[5]{18^4} \cdot \sqrt[6]{20^7}}{\sqrt[8]{22^5} \cdot \sqrt[6]{44^3}}$
$\dfrac{\sqrt[3]{27 \cdot 30}}{\sqrt[5]{24 \cdot 16}}$
$\dfrac{\sqrt[7]{62 \cdot 20}}{\sqrt[9]{63 \cdot 98}}$

Logaritmos

Simplifique las siguientes expresiones reescribiéndolas usando las propiedades de las potencias y logaritmos.

$\log_2\big( 78 \big)$
$\log_3\big( 72 \big)$
$\log_7\big( 24 \cdot 14 \big)$
$\log_8\big( 60 \cdot 20 \big)$
$\log_{10}\big( 15^2 \cdot 25^5 \big)$
$\log_{12}\big( 16^3 \cdot 14^4 \big)$
$\log_2\big( (17 \cdot 25)^5 \big)$
$\log_4\big( (16 \cdot 20)^4 \big)$
$\log_3\big( (17^{-1} \cdot 25^{14})^5 \big)$
$\log_5\big( (16^{-3} \cdot 20^{15})^4 \big)$
$\log_2\big( \sqrt[4]{76} \big)$
$\log_3\big( \sqrt[6]{115} \big)$
$\log_4\big( \sqrt{15^2} \cdot \sqrt[3]{25^5} \big)$
$\log_5\big( \sqrt[3]{16^3} \cdot \sqrt[4]{14^4} \big)$
$\log_2\big( \sqrt[3]{27 \cdot 30} \big)$
$\log_3\big( \sqrt[5]{24 \cdot 16} \big)$
$\log_2 \left( \dfrac{18}{3} \right)$
$\log_3 \left( \dfrac{24}{8} \right)$
$\log_6 \left( \dfrac{18^{10}}{3^5} \right)$
$\log_7 \left( \dfrac{24^9}{8^6} \right)$
$\log_2 \left( \dfrac{12^{-4}}{3^5} \right)$
$\log_4 \left( \dfrac{24^{-3}}{8^6} \right)$
$\log_3 \left( \dfrac{28 \cdot 30}{24 \cdot 14} \right)$
$\log_5 \left( \dfrac{60 \cdot 20}{63 \cdot 96} \right)$
$\log_2 \left( \dfrac{(17 \cdot 25)^5}{(16 \cdot 20)^4} \right)$
$\log_5 \left( \dfrac{(52 \cdot 21)^3}{(22 \cdot 55)^2} \right)$
$\log_9 \left( \dfrac{(17^{-1} \cdot 25^{14})^5}{(16^{-3} \cdot 20^{15})^4} \right)$
$\log_8 \left( \dfrac{(52^{-5} \cdot 41^{23})^3}{(22^{-7} \cdot 85^{12})^2} \right)$
$\log_5 \left( \dfrac{\sqrt[4]{76}}{\sqrt[6]{115}} \right)$
$\log_4 \left( \dfrac{\sqrt[8]{49}}{\sqrt[10]{90}} \right)$
$\log_3 \left( \dfrac{\sqrt{15^2} \cdot \sqrt[3]{25^9}}{\sqrt[3]{16^3} \cdot \sqrt[4]{14^4}} \right)$
$\log_6 \left( \dfrac{\sqrt[5]{18^4} \cdot \sqrt[6]{20^7}}{\sqrt[8]{22^5} \cdot \sqrt[6]{44^3}} \right)$
$\log_4 \left( \dfrac{\sqrt[3]{27 \cdot 30}}{\sqrt[5]{24 \cdot 16}} \right)$
$\log_8 \left( \dfrac{\sqrt[7]{62 \cdot 20}}{\sqrt[9]{63 \cdot 98}} \right)$

Expresiones Algebraicas

Factorice y simplifique las siguientes expresiones algebraicas.

$3x + 3$
$10x + 10$
$5x + 5 + 5\sqrt[]{5}$
$10x + 10 + 10\sqrt[3]{6}$
$x^2 - 1$
$x^2 - 4$
$10x^2 - 50$
$3x^2 - 18$
$x^4 - 1$
$x^4 - 16$
$x^3 - x$
$x^4 - x^2$
$x^2 + 5x + 6$
$x^2 + 6x + 5$
$x^2 + 5x - 14$
$x^2 + 4x - 32$
$2x^2 + 16x + 24$
$3x^2 + 30x + 72$
$5x^2 - 15x - 200$
$6x^2 - 30x - 216$
$\dfrac{3x + 3}{3}$
$\dfrac{10x + 10}{10}$
$\dfrac{3x + 3}{x+1}$
$\dfrac{10x + 20}{x+2}$
$\dfrac{x^2 - 1}{x+1}$
$\dfrac{x^2 - 4}{x-2}$
$\dfrac{10x^2 - 50}{10}$
$\dfrac{3x^2 - 18}{3}$
$\dfrac{x^4 - 1}{x+1}$
$\dfrac{x^4 - 16}{x-2}$
$\dfrac{x^2 + 5x + 6}{x+3}$
$\dfrac{x^2 + 6x + 5}{x+1}$
$\dfrac{2x^2 + 16x + 24}{x+2}$
$\dfrac{3x^2 + 30x + 72}{x+6}$
$\dfrac{x^2 + 5x - 14}{x^2 + x - 42}$
$\dfrac{x^2 + 4x - 32}{x^2 + 6x + 16}$

Propiedades de los Radicales

14.05.202007.12.2022 Anthonny Arias-García2 comentarios

A continuación se presentará una lista de algunas propiedades del radical de un número, del producto y la división. Sean $a$ y $b$ números reales; $m$ y $n$ números naturales, entonces

1. $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a} = a^{1/2}$ , si el radical de un número no tiene índice, se sobreentiende que es la raíz cuadrada. Más aún, la segunda raíz se puede expresar como la potencia $\frac{1}{2}$ .

2. $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ , la n-ésima raíz se puede expresar como la potencia $\frac{1}{n}$ .

3. $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ , la n-ésima raíz de la m-ésima potencia se puede expresar como la potencia $\frac{m}{n}$ .

4. $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ , si $n$ es par; la n-ésima raíz de la n-ésima potencia es el valor absoluto, siempre que $n$ se par. Esto se debe a que el resultado de esta operación siempre será positivo.

5. $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ , si $n$ es impar; la n-ésima raíz de la n-ésima potencia del opuesto aditivo de un número negativo es el opuesto aditivo, de la la n-ésima raíz de la n-ésima potencia del número. Esto se debe a que al multiplicar un número negativo, por sí mismo un número impar de veces, resulta en un número negativo.

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6. $\sqrt[n]{0} = 0$ , la raíz n-ésima de cero es igual a cero, esto se debe a que cero multiplicado por sí mismo, $n$ veces, es igual a cero.

7. $\sqrt[n]{1} = 1$ , la raíz n-ésima de uno es igual a uno, esto se debe a que uno multiplicado por sí mismo, $n$ veces, es igual a uno.

8. $\sqrt[n]{a \cdot b} =\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ , la raíz n-ésima del producto de dos números, es igual al producto de las raíces n-ésimas de dichos números.

9. $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \ b \neq 0$ , la raíz n-ésima de la división de dos números, es igual a la división de las raíces n-ésimas de dichos números.

Esta lista es citada por algunos autores como la Ley de los Radicales o Leyes de Radicación, pero estas en realidad, son propiedades que se deducen de la propiedades de las potencias. De forma resumida, tenemos que

$\sqrt{a} = a^{1/2}$

$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$

$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$

$\sqrt[n]{a^n} = |a|$ , si $n$ es par

$\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ , si $n$ es impar

$\sqrt[n]{0} = 0$

$\sqrt[n]{1} = 1$

$\sqrt[n]{a \cdot b} =\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \ b \neq 0$

Estas propiedades se pueden usar para simplificar o expandir expresiones algebraicas, es decir, aquellas que se expresan como suma, resta, producto y división de números reales. Veamos en los siguientes ejemplos como usar estas propiedades.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Simplifique la expresión $\sqrt[3]{7^4}$ usando las propiedades de los radicales.

Cuando el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical, usualmente se simplifica este tipo de expresiones separando el producto que se encuentra dentro del radical, de la siguiente manera

$\sqrt[3]{7^4} = \sqrt[3]{7^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{7^3} \cdot \sqrt[3]{7} = 7 \cdot \sqrt[3]{3}$

Ejemplo 2

Simplifique la expresión $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2}$ usando las propiedades de los radicales.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos reescribir los radicales como exponentes y sumarlos,

$2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{2^5}$

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Ejemplo 3

Simplifique la expresión $\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[3]{9^{4}}$ usando las propiedades de los radicales.

Notamos que los factores involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos sumar sus exponentes,

$\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[3]{9^{4}} = 9^{\frac{1}{5}} \cdot 9^{\frac{3}{4}} = 9^{\frac{1}{5} + \frac{4}{3}} = 9^{\frac{23}{15}}$

Antes de reescribir este exponente como un radical, podemos descomponer el número $9$ en factores primos para obtener que

$9^{\frac{23}{15}} = \left( 3^2 \right)^{\frac{23}{15}} = 3^{\frac{46}{15}} = \sqrt[15]{3^{46}}$

$\sqrt[15]{3^{46}} = \sqrt[15]{3^{15} \cdot 3^{31}} = \sqrt[15]{3^{15}} \cdot \sqrt[15]{3^{31}} = 3 \cdot \sqrt[15]{3^{31}}$

Nuevamente que el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical,

$3\sqrt[15]{3^{31}} = 3 \sqrt[15]{3^{15} \cdot 3^{16}} = 3 \cdot 3 \cdot \sqrt[15]{3^{16}} = 3^2 \cdot \sqrt[15]{3^{16}}$

Nuevamente que el exponente dentro del radical es mayor que el índice del radical,

$3^2 \cdot \sqrt[15]{3^{16}} = 3 \sqrt[15]{3^{15} \cdot 3} = 3^{2} \cdot 3 \cdot \sqrt[15]{3^{16}} = 3^3 \cdot \sqrt[15]{3}$

Nota: Estos últimos tres pasos se pudieron resumir separando $\sqrt[15]{3^{46}}$ como $\sqrt[15]{3^{45} \cdot 3}$ y simplificando directamente el $45$ con $15$ para obtener el exponente $3$ .

Ejemplo 4

Simplifique la expresión $\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{5^3}$ usando las propiedades de los radicales.

Sumamos los exponentes de los factores con la misma base,

$3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}$

Como ambas bases tienen el mismo exponente, podemos agrupar ambas bases bajo el mismo exponente,

$3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} = \left( 3 \cdot 5 \right)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{\left( 3 \cdot 5 \right)^3}$

Ejemplo 5

Simplifique la expresión $\frac{\sqrt[5]{2^{27}}}{2}$ usando las propiedades de los radicales.

Notamos que los elementos involucrados tienen la misma base, por lo tanto, podemos restar sus exponentes,

$\frac{2^{\frac{27}{5}}}{2} = 2^{\frac{9}{5}-1} = 2^{\frac{22}{5}} = \sqrt[5]{2^{22}}$

$\sqrt[5]{2^{22}} = \sqrt[5]{2^{20} \cdot 2^{2}} = 2^{4} \cdot \sqrt[5]{2^{2}}$

Nota: Se pudo en un principio simplificar el numerador y posteriormente simplificar con el denominador, sin embargo, no se hizo así para demostrar como aplicar las propiedades.