El Método de Eliminación de Gauss-Jordan

Al considerar una matriz, a través de las operaciones elementales por fila podemos establecer una equivalencia entre dicha matriz y otra matriz diferente. En esta sección, veremos que toda matriz es equivalente por filas a otra matriz más simple. Así que empecemos por responder la siguiente pregunta: ¿qué es una matriz más simple?

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Matriz escalonada reducida

Diremos que una matriz A de tamaño m \times n es escalonada reducida si esta cumple con las siguientes condiciones:

  • Todas las filas iguales a cero están en el fondo de la matriz. Formalmente, diremos que

    Si a_{ij}=0 para todo i, entonces, a_{kj}=0 para todo i, donde j \leq k \leq m.
  • Si una fila es distinta de cero, entonces su primer elemento distinto de cero es igual a 1. Formalmente, diremos que

    Si a_{ij} \neq 0 y a_{kj}=0 para todo k < i, entonces a_{ij} = 1
  • Si dos filas son distintas de cero, entonces el primer elemento de la que está por encima, está a la izquierda del primer elemento de la que está por debajo. Formalmente, diremos que

    Si las filas i y j son distintas de cero tales que i < j y; a_{ip} y a_{jq} son los primeros elementos distintos de cero de sus filas respectivas, entonces p < q.
  • Considerando el primer elemento distinto de cero de una fila, todos los demás elementos de la columna en que este se encuentra, son iguales a cero. Formalmente, diremos que

    Si a_{ij} \neq 0 y a_{kj}=0 para todo k < i, entonces a_{ih} = 0 para todo h \neq j.

    Al elemento a_{ij} = 1 se le conoce como el uno principal de la fila.

Veamos en los siguientes ejemplos como están expresadas las matrices escalonadas reducidas para entenderlas mejor.

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Ejemplos

Ejemplo 1

La matriz de tamaño 2 \times 2 considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Matriz escalonada reducida | totumat.com

Ejemplo 2

La matriz de tamaño 3 \times 3 considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Matriz identidad | totumat.com

Ejemplo 3

La matriz de tamaño 3 \times 4 considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Matriz escalonada reducida | totumat.com

Ejemplo 4

La matriz de tamaño 4 \times 5 considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Matriz escalonada reducida | totumat.com

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan

El Teorema de Eliminación de Gauss-Jordan establece que toda matriz es equivalente por filas a una matriz escalonada reducida, es decir, al considerar una matriz, podemos aplicar operaciones por filas sobre ella hasta conseguir una matriz escalonada reducida. A partir de este teorema se define El Método de Eliminación de Gauss-Jordan, también conocido como el Método de Reducción Gaussiana.

Veamos algunos ejemplos en los que se reduce una matriz a una matriz escalonada reducida.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la matriz de tamaño 2 \times 2. Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Dividimos la fila 1 por -1

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 1 multiplicada por 4 a la fila 2

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Dividimos la fila 2 por -8

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 2 multiplicada por 2 a la fila 1 y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com
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Ejemplo 6

Considerando la matriz de tamaño 3 \times 3. Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Dividimos la fila 1 por -3

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 1 multiplicada por -6 a la fila 2

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 1 multiplicada por -3 a la fila 3

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Intercambiamos la fila 2 por la fila 3

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Dividimos la fila 2 por -7

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Dividimos la fila 3 por 11

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Restamos la fila 3 multiplicada por \frac{4}{3} a la fila 1

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Restamos la fila 3 multiplicada por -\frac{8}{7} a la fila 2 y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,

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Ejemplo 7

Considerando la matriz de tamaño 3 \times 4. Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Dividimos la fila 1 por -1

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 1 multiplicada por -2 a la fila 2

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 1 multiplicada por -8 a la fila 3

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Dividimos la fila 2 por -16

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 2 multiplicada por -5 a la fila 1

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 2 multiplicada por -48 a la fila 3

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Dividimos la fila 3 por -6

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 3 multiplicada por \frac{13}{16} a la fila 1

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 3 multiplicada por -\frac{23}{16} a la fila 2 y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

2 comentarios en “El Método de Eliminación de Gauss-Jordan

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