El Método de Eliminación de Gauss-Jordan

Al considerar una matriz, a través de las operaciones elementales por fila podemos establecer una equivalencia entre dicha matriz y otra matriz diferente. En esta sección, veremos que toda matriz es equivalente por filas a otra matriz más simple. Así que empecemos por responder la siguiente pregunta: ¿qué es una matriz más simple?

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Matriz escalonada reducida

Diremos que una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ es escalonada reducida si esta cumple con las siguientes condiciones:

Todas las filas iguales a cero están en el fondo de la matriz. Formalmente, diremos que

Si $a_{ij}=0$ para todo $i$ , entonces, $a_{kj}=0$ para todo $i$ , donde $j \leq k \leq m$ .

Si una fila es distinta de cero, entonces su primer elemento distinto de cero es igual a 1. Formalmente, diremos que

Si $a_{ij} \neq 0$ y $a_{kj}=0$ para todo $k < i$ , entonces $a_{ij} = 1$

Si dos filas son distintas de cero, entonces el primer elemento de la que está por encima, está a la izquierda del primer elemento de la que está por debajo. Formalmente, diremos que

Si las filas $i$ y $j$ son distintas de cero tales que $i < j$ y; $a_{ip}$ y $a_{jq}$ son los primeros elementos distintos de cero de sus filas respectivas, entonces $p < q$ .

Considerando el primer elemento distinto de cero de una fila, todos los demás elementos de la columna en que este se encuentra, son iguales a cero. Formalmente, diremos que

Si $a_{ij} \neq 0$ y $a_{kj}=0$ para todo $k < i$ , entonces $a_{ih} = 0$ para todo $h \neq j$ .

Al elemento $a_{ij} = 1$ se le conoce como el uno principal de la fila.

Veamos en los siguientes ejemplos como están expresadas las matrices escalonadas reducidas para entenderlas mejor.

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Ejemplos

Ejemplo 1

La matriz de tamaño $2 \times 2$ considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Ejemplo 2

La matriz de tamaño $3 \times 3$ considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Ejemplo 3

La matriz de tamaño $3 \times 4$ considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Matriz escalonada reducida | totumat.com

Ejemplo 4

La matriz de tamaño $4 \times 5$ considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan

El Teorema de Eliminación de Gauss-Jordan establece que toda matriz es equivalente por filas a una matriz escalonada reducida, es decir, al considerar una matriz, podemos aplicar operaciones por filas sobre ella hasta conseguir una matriz escalonada reducida. A partir de este teorema se define El Método de Eliminación de Gauss-Jordan, también conocido como el Método de Reducción Gaussiana.

Veamos algunos ejemplos en los que se reduce una matriz a una matriz escalonada reducida.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la matriz de tamaño $2 \times 2$ . Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Dividimos la fila $1$ por -1

Restamos la fila $1$ multiplicada por 4 a la fila $2$

Dividimos la fila $2$ por -8

Restamos la fila $2$ multiplicada por 2 a la fila $1$ y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,

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Ejemplo 6

Considerando la matriz de tamaño $3 \times 3$ . Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Dividimos la fila $1$ por $-3$

Restamos la fila $1$ multiplicada por $-6$ a la fila $2$

Restamos la fila $1$ multiplicada por $-3$ a la fila $3$

Intercambiamos la fila $2$ por la fila $3$

Dividimos la fila $2$ por $-7$

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Dividimos la fila $3$ por $11$

Restamos la fila $3$ multiplicada por $\frac{4}{3}$ a la fila $1$

Restamos la fila $3$ multiplicada por $-\frac{8}{7}$ a la fila $2$ y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,

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Ejemplo 7

Considerando la matriz de tamaño $3 \times 4$ . Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Dividimos la fila $1$ por $-1$

Restamos la fila $1$ multiplicada por $-2$ a la fila $2$

Restamos la fila $1$ multiplicada por $-8$ a la fila $3$

Dividimos la fila $2$ por $-16$

Restamos la fila $2$ multiplicada por $-5$ a la fila $1$

Restamos la fila $2$ multiplicada por $-48$ a la fila $3$

Dividimos la fila $3$ por $-6$

Restamos la fila $3$ multiplicada por $\frac{13}{16}$ a la fila $1$

Restamos la fila $3$ multiplicada por $-\frac{23}{16}$ a la fila $2$ y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,

2 comentarios en “El Método de Eliminación de Gauss-Jordan”

[…] matriz cuadrada no-singular, es decir, tal que su determinante es distinto de cero. Podemos usar el Método de Eliminación de Gauss-Jordan para calcular la solución del sistema de ecuaciones ampliando la matriz adosando la matriz de […]

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[…] matriz cuadrada no-singular, es decir, tal que su determinante es distinto de cero. Podemos usar el Método de Eliminación de Gauss-Jordan (ó Método de Eliminación Gaussiana) para calcular su inversa ampliando la matriz adosando la […]

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