La Matriz Inversa

Hemos definido operaciones de suma, resta y multiplicación entre matrices, sin embargo, ¿existirá la división entre matrices? Así como hemos definido el inverso multiplicativo en el conjunto de los número reales, para algunas matrices, es posible definir una nueva matriz que cumple con las propiedades del inverso multiplicativo.

Si consideramos una matriz cuadrada $A$ , diremos que esta es una matriz singular si su determinante es exactamente igual a cero, es decir, $|A| = 0$ . Por otra parte, diremos que es una matriz no-singular si su determinante es distinto de cero, es decir, $A \neq 0$ .

Si consideramos $A$ una matriz no-singular, definimos la matriz inversa de $A$ como una nueva matriz $A^{-1}$ que cumple con la siguiente condición:

$A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}$

De cumplirse esta condición, también podemos decir que $A$ es una matriz invertible. Veamos algunos ejemplos de matrices invertibles de tamaño dos por dos para ver con claridad los cálculos involucrados.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz $A$ , de tamaño, $2 \times 2$ y la matriz $A^{-1}$ , de tamaño, $2 \times 2$ . Verifique que $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_2$ .

Calculamos $A \times A^{-1}$ .

Calculamos $A^{-1} \times A$ .

Ejemplo 2

Considerando la matriz $A$ , de tamaño, $2 \times 2$ y la matriz $A^{-1}$ , de tamaño, $2 \times 2$ . Verifique que $A \times A^{-1} = A \times A^{-1} = \mathbf{I}_2$ .