Cálculo de Matriz Inversa – Gauss-Jordan

A continuación veremos un método que nos permite calcular la inversa de una matriz usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz identidad en la inversa que estamos buscando.

Formalmente, si A es una matriz cuadrada no-singular, es decir, tal que su determinante es distinto de cero. Podemos usar el Método de Eliminación de Gauss-Jordan (ó Método de Eliminación Gaussiana) para calcular su inversa ampliando la matriz A adosando la matriz identidad a su lado derecho, de la siguiente forma:

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Veamos algunos ejemplos para entender como se calcula la matriz inversa desarrollando este procedimiento.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz de tamaño 2 \times 2. Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz identidad de lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la matriz inversa de A está definida de la siguiente forma,

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Ejemplo 2

Considerando la matriz de tamaño 2 \times 2. Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz identidad de lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la matriz inversa de A está definida de la siguiente forma,

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Ejemplo 3

Considerando la matriz de tamaño 3 \times 3. Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz identidad de lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la matriz inversa de A está definida de la siguiente forma,

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Ejemplo 4

Considerando la matriz de tamaño 3 \times 3. Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz identidad de lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la matriz inversa de A está definida de la siguiente forma,

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Cálculo de Matriz Inversa – Regla de Cramer

Una vez que hemos definido la matriz inversa, lo natural es determinar una forma de calcular la matriz inversa, pues no siempre contaremos con ella. Existen diversos métodos para calcular la matriz inversa de una matriz no-singular A, por ahora veremos solo uno de ellos.

A continuación veremos un método que nos permite calcular la inversa de una matriz usando el cálculo de determinantes y la transposición de matrices, a partir de este método se deriva una técnica para calcular la solución sistemas de ecuaciones lineales conocida como la Regla de Cramer.

Consideraremos cinco pasos que nos permitirán calcular la matriz inversa de una matriz A:

Paso I: Verificamos que la matriz A sea no-singular. Es decir, verificamos que

|A| \neq 0

Paso II: Calculamos todos los cofactores de la matriz A y con ellos, construimos la matriz de cofactores C(A). Es decir, una matriz tal que,

[C(A)]_{ij} = c(a_{ij})

Paso III: Transponemos la matriz de cofactores. A esta nueva matriz la llamamos Matriz Adjunta de A, la denotamos por

adj(A)

Pso IV: Definimos la inversa de la matriz A como la matriz adjunta, dividida entre el determinante de A. Es decir,

A^{-1} = \frac{adj(A)}{|a|}

Paso V: Verificamos que nuestros cálculos son correctos multiplicando

A \times A^{-1} \text{ y } A^{-1} \times A

Veamos con algunos ejemplos como calcular la inversa de matrices de tamaño tres, pues de esta forma podemos seguir los cálculos con facilidad.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la inversa de la matriz A.

Paso I: Verificamos que la matriz A sea no-singular. Es decir, verificamos que |A| \neq 0.

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Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de A, es decir, C(A).

Cofactores | totumat.com
Matriz de Cofactores | totumat.com

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de A, es decir, adj(A).

Matriz Adjunta | totumat.com

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de A, es decir, A^{-1}.

Paso V: Queda de parte del lector verificar que A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3.

Ejemplo 2

Calcule la inversa de la matriz A.

Paso I: Verificamos que la matriz A sea no-singular. Es decir, verificamos que |A| \neq 0.

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de A, es decir, C(A).

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Paso III: Calculamos la matriz adjunta de A, es decir, adj(A).

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Paso IV: Calculamos la matriz inversa de A, es decir, A^{-1}.

Matriz Adjunta | totumat.com

Paso V: Queda de parte del lector verificar que A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3.

Ejemplo 3

Calcule la inversa de la matriz A.

Paso I: Verificamos que la matriz A sea no-singular. Es decir, verificamos que |A| \neq 0.

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Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de A, es decir, C(A).

Cofactores | totumat.com

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de A, es decir, adj(A).

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Paso IV: Calculamos la matriz inversa de A, es decir, A^{-1}.

Paso V: Queda de parte del lector verificar que A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3.

Ejemplo 4

Calcule la inversa de la matriz A.

Paso I: Verificamos que la matriz A sea no-singular. Es decir, verificamos que |A| \neq 0.

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Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de A, es decir, C(A).

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Paso III: Calculamos la matriz adjunta de A, es decir, adj(A).

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Paso IV: Calculamos la matriz inversa de A, es decir, A^{-1}.

Paso V: Queda de parte del lector verificar que A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3.


La Matriz Inversa

Hemos definido operaciones de suma, resta y multiplicación entre matrices, sin embargo, ¿existirá la división entre matrices? Así como hemos definido el inverso multiplicativo en el conjunto de los número reales, para algunas matrices, es posible definir una nueva matriz que cumple con las propiedades del inverso multiplicativo.

Si consideramos una matriz cuadrada A, diremos que esta es una matriz singular si su determinante es exactamente igual a cero, es decir, |A| = 0. Por otra parte, diremos que es una matriz no-singular si su determinante es distinto de cero, es decir, A \neq 0.

Si consideramos A una matriz no-singular, definimos la matriz inversa de A como una nueva matriz A^{-1} que cumple con la siguiente condición:

A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}

De cumplirse esta condición, también podemos decir que A es una matriz invertible. Veamos algunos ejemplos de matrices invertibles de tamaño dos por dos para ver con claridad los cálculos involucrados.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz A, de tamaño, 2 \times 2 y la matriz A^{-1}, de tamaño, 2 \times 2 . Verifique que A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_2.

Calculamos A \times A^{-1}.

Calculamos A^{-1} \times A.

Ejemplo 2

Considerando la matriz A, de tamaño, 2 \times 2 y la matriz A^{-1}, de tamaño, 2 \times 2 . Verifique que A \times A^{-1} = A \times A^{-1} = \mathbf{I}_2.

Calculamos A \times A^{-1}.

Calculamos A^{-1} \times A.