Matrices

A medida que los desarrollos matemáticos se hacen más complejos es necesario introducir herramientas que nos permitan reescribirlos de forma sencilla y entendible. La herramienta que introducimos a continuación permite encapsular varios elementos en una sola estructura y al definir operaciones sobre estas estructuras, podemos establecer relaciones con otro tipo de estructuras matemáticas.

Definimos entonces, una matriz como un arreglo rectangular de números reales encerrados entre paréntesis $( \ * \ )$ , dispuestos en filas y columnas de la siguiente manera:

Los números que componen la matriz serán llamados elementos o entradas de la matriz, diremos que las filas son los arreglos horizontales y los contaremos de arriba hacia abajo, por otra parte, diremos que las columnas son los arreglos verticales y los contaremos de izquierda a derecha. En este caso, la matriz tiene tres filas y cuatro columnas, es por esto que diremos que es una matriz de tamaño $3 \times 4$ .

Veamos algunos ejemplos de matrices de distintos tamaños para entender la idea sobre como contar las filas y las columnas de una matriz.

Ejemplos

Ejemplo 1

es una matriz de tamaño $2 \times 2$ .

Ejemplo 2

es una matriz de tamaño $2 \times 5$ .

Ejemplo 3

es una matriz de tamaño $3 \times 3$ .

Ejemplo 4

es una matriz de tamaño $4 \times 1$ .

Una vez que hemos identificado cada fila y cada columna, podemos identificar cada uno de los elementos de una matriz considerando la fila y la columna en que se encuentren, por ejemplo,

Ejemplos

Ejemplo 5

$6$ está en la fila $1$ y columna $1$ .

Ejemplo 6

$0$ está en la fila $2$ y columna $3$ .

Ejemplo 7

$-8$ está en la fila $2$ y columna $4$ .

Ejemplo 8

$3$ está en la fila $3$ y columna $2$ .

Usualmente denotaremos las matrices con letras mayúsculas ( $A,B,C,\ldots$ ) y a cada elemento de la matriz lo denotamos con letras mayúsculas ( $a,b,c,\ldots$ ). Así, de forma general, diremos que una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ se denota de la siguiente manera:

Donde $a_{ij}$ denota el elemento que se encuentra en la fila $i$ y la columna $j$ de la matriz A, aunque este elemento también se puede denotar con $[A]_{ij}$ . Todos los elementos de la forma $a_{ii}$ son los elementos de la diagonal de $A$ , veamos algunos ejemplos para identificar estos elementos con mayor facilidad.