Propiedades de los Determinantes

Calcular determinantes, ya sea por el Método de Laplace o por el Método de Sarrus puede resultar en un proceso extenso, es por esto que estudiaremos con detenimiento cómo la forma en la que está definida una matriz, nos puede ahorrar tiempo a la hora de calcular el determinante.

En esta sección están expuestas las siguientes propiedades con sus respectivos ejemplos:

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Determinante del Producto de Matrices

Si consideramos dos matrices cuadradas $A$ y $B$ , el determinante del producto entre estas dos matrices $A \times B$ es exactamente igual al determinante de la matriz $A$ multiplicado por el determinante de la matriz $B$ , es decir,

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las matrices cuadrada $A$ y $B$ de tamaño dos calculemos el determinante de cada una de ellas,

El producto de estos dos determinantes es igual a -588, veamos que este producto es igual al determinante del producto de las dos matrices.

Ejemplo 2

Considerando las matrices cuadrada $A$ y $B$ de tamaño dos calculemos el determinante de cada una de ellas,

El producto de estos dos determinantes es igual a -405, veamos que este producto es igual al determinante del producto de las dos matrices.

Ejemplo 3

Considerando las matrices cuadrada $A$ y $B$ de tamaño dos, calculemos el determinante de cada una de ellas,

El producto de estos dos determinantes es igual a 2064, veamos que este producto es igual al determinante del producto de las dos matrices.

Ejemplo 4

Considerando las matrices cuadrada $A$ y $B$ de tamaño dos, calculemos el determinante de cada una de ellas,

El producto de estos dos determinantes es igual a -4851, veamos que este producto es igual al determinante del producto de las dos matrices.

Determinante de la matriz transpuesta

Si consideramos una matriz cuadrada $A$ , el determinante de la matriz transpuesta $A^T$ es exactamente igual al determinante de la matriz $A$ , es decir, $\left| A \right| = \left| A^T \right|$ .

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,

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Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos calcular el determinante de esta matriz y su transpuesta para notar que $|A| = \left| A^T \right|$ .

Ejemplo 6

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos calcular el determinante de esta matriz y su transpuesta para notar que $|A| = \left| A^T \right|$ .

Ejemplo 7

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos calcular el determinante de esta matriz y su transpuesta para notar que $|A| = \left| A^T \right|$ .

Ejemplo 8

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos calcular el determinante de esta matriz y su transpuesta para notar que $|A| = \left| A^T \right|$ .

Determinante de descomponer elementos como sumandos

Si consideramos una matriz y descomponemos todos los elementos de una fila en dos sumandos, el determinante de la matriz se puede descomponer como la suma de dos determinantes donde la primera matriz contiene sólo los primeros sumandos y la otra matriz contiene sólo los segundos sumandos.

Formalmente, si consideramos una matriz $A$ donde cada elemento elemento $a_{ij}$ de la fila $i$ se puede descomponer como $a_{ij} = b_{ij} + c_{ij}$ , entonces tenemos que

Determinante de descomponer elementos como sumandos | totumat.com

Por otra parte, si consideramos una matriz $A$ donde cada elemento elemento $a_{ij}$ de la columna $i$ se puede descomponer como $a_{ij} = b_{ij} + c_{ij}$ , entonces tenemos que

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

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Ejemplos

Ejemplo 9

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, descompongamos los elementos de la fila $1$ .

Descomponemos los elementos de la fila $1$ en dos sumandos y calculamos los determinantes respectivos para verificar que la suma de estos es igual al determinante de $|A|$ .

Ejemplo 10

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, descompongamos los elementos de la columna $1$ .

Descomponemos los elementos de la columna $1$ en dos sumandos y calculamos los determinantes respectivos para verificar que la suma de estos es igual al determinante de $|A|$ .

Ejemplo 11

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, descompongamos los elementos de la fila $2$ .

Descomponemos los elementos de la fila $2$ en dos sumandos y calculamos los determinantes respectivos para verificar que la suma de estos es igual al determinante de $|A|$ .

Ejemplo 12

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, descompongamos los elementos de la columna $1$ .

Descomponemos los elementos de la columna $1$ en dos sumandos y calculamos los determinantes respectivos para verificar que la suma de estos es igual al determinante de $|A|$ .

Determinante de multiplicar un escalar por una fila o columna

Si consideramos una matriz $A$ , el determinante de la matriz que resulta al multiplicar una fila o una columna por un escalar $k$ es exactamente igual al determinante de la matriz $A$ multiplicada por el escalar $k$ , es decir, $k \cdot \left| A \right|$

Determinante de multiplicar un escalar por fila o columna | totumat.com

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,

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Ejemplos

Ejemplo 13

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que al multiplicar una fila por el escalar $9$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $9 \cdot |A|$ .

Multiplicamos la fila 1 por la el escalar 9 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Ejemplo 14

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que al multiplicar una fila por el escalar $5$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $5 \cdot |A|$ .

Multiplicamos la fila 2 por la el escalar 5 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Ejemplo 15

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al multiplicar una fila por el escalar $6$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $6 \cdot |A|$ .

Multiplicamos la fila 2 por la el escalar 6 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Ejemplo 16

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al multiplicar una fila por el escalar $4$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $4 \cdot |A|$ .

Multiplicamos la columna 1 por la el escalar 4 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Determinante de multiplicar un escalar por una matriz

Si consideramos una matriz $A$ cuadrada de tamaño $n$ , el determinante de la matriz que resulta al multiplicar esta matriz por un escalar $k$ es exactamente igual al determinante de la matriz $A$ multiplicada por el escalar $k$ elevado a la $n$ , es decir, $k^n \cdot \left| A \right|$

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,

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Ejemplos

Ejemplo 17

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que al multiplicar esta matriz por el escalar $3$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $3^2 \cdot |A|$ .

Multiplicamos la matriz $A$ por la el escalar 3 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Ejemplo 18

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al multiplicar esta matriz por el escalar $6$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $6^3 \cdot |A|$ .

Multiplicamos la matriz $A$ por la el escalar 6 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Determinante de una matriz con fila o columna cero

Si consideramos una matriz $A$ tal que al menos una de sus filas o una de sus columnas está compuesta de ceros, el determinante esta matriz es igual a cero.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

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Ejemplos

Ejemplo 19

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que si una de sus filas es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 20

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que si una de sus columnas es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 21

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que si una de sus filas es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 22

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que si una de sus columnas es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Determinante de una matriz con filas o columnas iguales

Si consideramos una matriz $A$ tal que al menos dos de sus filas o al menos dos de sus columnas son iguales, el determinante esta matriz es igual a cero. Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

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Ejemplos

Ejemplo 23

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que si una de sus filas o sus columnas es igual a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 24

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que si una de sus filas es igual a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 25

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que si una de sus columnas es igual a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Determinante de una matriz con fila o columna proporcional a otra

Si consideramos una matriz $A$ tal que al menos una de sus filas o al menos una de sus columnas es proporcional a otra, es decir, que está expresada como un múltiplo de otra, el determinante esta matriz es igual a cero.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

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Ejemplos

Ejemplo 26

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que si una de sus filas es proporcional otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 27

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que si una de sus columnas es proporcional otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 28

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que si una de sus filas es proporcional a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 29

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que si una de sus columnas es proporcional a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes

Si consideramos una matriz $A$ tal que el conjunto de sus filas o el conjunto de sus columnas es linealmente dependiente, es decir, tal que al menos una de sus filas o al menos de sus columnas está expresada como combinación lineal de las otras, el determinante esta matriz es igual a cero.

También podemos afirmar que si las filas o las columnas de una matriz son linealmente independientes, entonces su determinante es distinto de cero.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

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Ejemplos

Ejemplo 30

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que la fila $1$ está expresada como combinación lineal de las otras filas, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes | totumat.com

Ejemplo 31

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que la fila $3$ está expresada como combinación lineal de las otras filas, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 32

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que la columna $1$ está expresada como combinación lineal de las otras columnas, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Ejemplo 33

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que la columna $2$ está expresada como combinación lineal de las otras columnas, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Determinante de una matriz con intercambio de filas o columnas

Si consideramos una matriz $A$ , el determinante de la matriz que resulta de intercambiar dos filas o columnas es exactamente igual al determinante de la matriz $A$ pero con signo contrario, es decir, igual a $-\left| A \right|$ .

Formalmente, si intercambiamos la fila $i$ por la $j$ , tenemos que

Por otra parte, si intercambiamos la columna $i$ por la $j$ , tenemos que

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,

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Ejemplos

Ejemplo 34

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que al intercambiar dos filas, el determinante de la matriz resultante es igual a $-|A|$ .

Intercambiamos la fila 1 por la fila 2 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Ejemplo 35

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño dos, podemos notar que al intercambiar dos columnas, el determinante de la matriz resultante es igual a $-|A|$ .

Intercambiamos la columna 1 por la columna 2 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Ejemplo 36

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al intercambiar dos filas, el determinante de la matriz resultante es igual a $-|A|$ .

Intercambiamos la fila 1 por la fila 2 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Ejemplo 37

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al intercambiar dos columnas, el determinante de la matriz resultante es igual a $-|A|$ .

Intercambiamos la columna 1 por la columna 3 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Determinante de una matriz con filas o columnas sumadas

Si consideramos una matriz $A$ , el determinante de la matriz que resulta de sumar dos filas o columnas es exactamente igual al determinante de la matriz $A$ .

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

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Ejemplos

Ejemplo 38

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al sumar la fila $2$ a la fila $3$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $|A|$ .

Sumamos la fila $2$ a la fila $3$ .

Ejemplo 39

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al sumar la fila $3$ a la fila $1$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $|A|$ .

Sumamos la fila $3$ a la fila $1$ .

Ejemplo 40

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al sumar la columna $1$ a la columna $2$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $|A|$ .

Sumamos la columna $1$ a la columna $2$ .

Ejemplo 41

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al sumar la columna $3$ a la columna $2$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $|A|$ .

Sumamos la columna $3$ a la columna $2$ .

Determinante de una matriz con suma de filas o columnas multiplicadas por un escalar

Si consideramos una matriz $A$ , el determinante de la matriz que resulta de sumar a una fila otra fila multiplicada por un escalar o de sumar a columna otra columna multiplicada por un escalar, es exactamente igual al determinante de la matriz $A$ .

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

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Ejemplos

Ejemplo 42

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al sumar la fila $1$ a la fila $3$ multiplicada por $4$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $|A|$ .

Sumamos la fila $1$ a la fila $3$ multiplicada por $4$ .

Ejemplo 43

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al sumar la fila $1$ a la fila $3$ multiplicada por $3$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $|A|$ .

Sumamos la fila $1$ a la fila $3$ multiplicada por $3$ .

Ejemplo 44

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al sumar la columna $1$ a la columna $3$ multiplicada por $10$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $|A|$ .

Sumamos la columna $1$ a la columna $3$ multiplicada por $10$ .

Ejemplo 45

Considerando la matriz cuadrada $A$ de tamaño tres, podemos notar que al sumar la columna $3$ a la columna $2$ multiplicada por $7$ , el determinante de la matriz resultante es igual a $|A|$ .

Sumamos la columna $3$ a la columna $2$ multiplicada por $7$ .

Determinante de la Matriz Inversa

Si consideramos $A$ una matriz no-singular, definimos la matriz inversa de $A$ como una nueva matriz $A^{-1}$ que cumple con la siguiente condición:

$A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}$

El determinante de la matriz inversa de $A$ se puede deducir fácilmente de las otras propiedades y es exactamente igual al inverso multiplicativo del determinante de $A$ , es decir,

$|A^{-1}| = \dfrac{1}{|A|}$

Esto se debe a

$A^{-1} \times A = \mathbf{I}$
$\Rightarrow \ | A^{-1} \times A | = |\mathbf{I}|$
$\Rightarrow \ | A^{-1} | \cdot | A | = 1$
$\Rightarrow \ | A^{-1} | = \dfrac{1}{| A |}$

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Determinante del Producto de Matrices

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Determinante de la matriz transpuesta

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Determinante de descomponer elementos como sumandos

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Determinante de multiplicar un escalar por una fila o columna

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Determinante de multiplicar un escalar por una matriz

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Determinante de una matriz con fila o columna cero

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Ejemplo 19

Ejemplo 20

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Determinante de una matriz con filas o columnas iguales

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Ejemplo 25

Determinante de una matriz con fila o columna proporcional a otra

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Ejemplo 28

Ejemplo 29

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes

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Ejemplo 30

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Ejemplo 33

Determinante de una matriz con intercambio de filas o columnas

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Ejemplo 34

Ejemplo 35

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Determinante de una matriz con filas o columnas sumadas

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Ejemplo 41

Determinante de una matriz con suma de filas o columnas multiplicadas por un escalar

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Determinante de la Matriz Inversa

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