Sistemas de Ecuaciones Lineales – Gauss-Jordan

Una vez que hemos planteado un sistema de ecuaciones lineales con n ecuaciones y n incógnitas de forma matricial, es decir, de la siguiente forma:

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Podemos establecer un método que nos permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz de términos independientes en la solución que estamos buscando.

Formalmente, si A es una matriz cuadrada no-singular, es decir, tal que su determinante es distinto de cero. Podemos usar el Método de Eliminación de Gauss-Jordan para calcular la solución del sistema de ecuaciones ampliando la matriz A adosando la matriz de términos independientes C a su lado derecho, de la siguiente forma:

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Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando este método.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando el sistemas de ecuaciones con 2 ecuaciones y 3 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

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Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz $C$ en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = -\frac{3}{16}, y = \frac{43}{48}.

Ejemplo 2

Considerando el sistemas de ecuaciones con 2 ecuaciones y 3 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

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Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz C en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = -\frac{1}{17}, y = -\frac{94}{85}.

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Ejemplo 3

Considerando el sistemas de ecuaciones con 3 ecuaciones y 4 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

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Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz C en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = \frac{111}{85}, y = \frac{22}{17}, z = -\frac{16}{85}.

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Ejemplo 4

Considerando el sistemas de ecuaciones con 3 ecuaciones y 4 incógnitas. Calcule la solución del mismo usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

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Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz C en el lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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El Método de Eliminación de Gauss-Jordan permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz identidad en la inversa que estamos buscando.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones está dada por: x = -\frac{50}{169}, y = \frac{32}{169}, z = -\frac{85}{169}.


Nota: Queda de parte del lector verificar que los valores calculados son en efecto, la solución de los sistemas de ecuaciones planteados. Para esto debe sustituir los valores en cada una de las ecuaciones y verificar que se cumple la igualdad.

Cálculo de Matriz Inversa – Gauss-Jordan

A continuación veremos un método que nos permite calcular la inversa de una matriz usando las operaciones elementales por filas para reducir la matriz a una matriz escalonada reducida, pero a su vez, con las mismas operaciones transformar la matriz identidad en la inversa que estamos buscando.

Formalmente, si A es una matriz cuadrada no-singular, es decir, tal que su determinante es distinto de cero. Podemos usar el Método de Eliminación de Gauss-Jordan (ó Método de Eliminación Gaussiana) para calcular su inversa ampliando la matriz A adosando la matriz identidad a su lado derecho, de la siguiente forma:

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Veamos algunos ejemplos para entender como se calcula la matriz inversa desarrollando este procedimiento.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz de tamaño 2 \times 2. Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz identidad de lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la matriz inversa de A está definida de la siguiente forma,

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Ejemplo 2

Considerando la matriz de tamaño 2 \times 2. Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz identidad de lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la matriz inversa de A está definida de la siguiente forma,

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Ejemplo 3

Considerando la matriz de tamaño 3 \times 3. Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz identidad de lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la matriz inversa de A está definida de la siguiente forma,

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Ejemplo 4

Considerando la matriz de tamaño 3 \times 3. Calcule la matriz inversa usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Empezamos calculando el determinante de la matriz A para verificar que éste sea diferente de cero,

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Habiendo verificado que el determinante de la matriz A es distinto de cero, ampliamos la matriz adosando la matriz identidad de lado derecho y aplicamos el Método de Eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz A.

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Finalmente, la matriz inversa de A está definida de la siguiente forma,

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El Método de Eliminación de Gauss-Jordan

Al considerar una matriz, a través de las operaciones elementales por fila podemos establecer una equivalencia entre dicha matriz y otra matriz diferente. En esta sección, veremos que toda matriz es equivalente por filas a otra matriz más simple. Así que empecemos por responder la siguiente pregunta: ¿qué es una matriz más simple?

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Matriz escalonada reducida

Diremos que una matriz A de tamaño m \times n es escalonada reducida si esta cumple con las siguientes condiciones:

  • Todas las filas iguales a cero están en el fondo de la matriz. Formalmente, diremos que

    Si a_{ij}=0 para todo i, entonces, a_{kj}=0 para todo i, donde j \leq k \leq m.
  • Si una fila es distinta de cero, entonces su primer elemento distinto de cero es igual a 1. Formalmente, diremos que

    Si a_{ij} \neq 0 y a_{kj}=0 para todo k < i, entonces a_{ij} = 1
  • Si dos filas son distintas de cero, entonces el primer elemento de la que está por encima, está a la izquierda del primer elemento de la que está por debajo. Formalmente, diremos que

    Si las filas i y j son distintas de cero tales que i < j y; a_{ip} y a_{jq} son los primeros elementos distintos de cero de sus filas respectivas, entonces p < q.
  • Considerando el primer elemento distinto de cero de una fila, todos los demás elementos de la columna en que este se encuentra, son iguales a cero. Formalmente, diremos que

    Si a_{ij} \neq 0 y a_{kj}=0 para todo k < i, entonces a_{ih} = 0 para todo h \neq j.

    Al elemento a_{ij} = 1 se le conoce como el uno principal de la fila.

Veamos en los siguientes ejemplos como están expresadas las matrices escalonadas reducidas para entenderlas mejor.

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Ejemplos

Ejemplo 1

La matriz de tamaño 2 \times 2 considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

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Ejemplo 2

La matriz de tamaño 3 \times 3 considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Matriz identidad | totumat.com

Ejemplo 3

La matriz de tamaño 3 \times 4 considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Matriz escalonada reducida | totumat.com

Ejemplo 4

La matriz de tamaño 4 \times 5 considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Matriz escalonada reducida | totumat.com

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan

El Teorema de Eliminación de Gauss-Jordan establece que toda matriz es equivalente por filas a una matriz escalonada reducida, es decir, al considerar una matriz, podemos aplicar operaciones por filas sobre ella hasta conseguir una matriz escalonada reducida. A partir de este teorema se define El Método de Eliminación de Gauss-Jordan, también conocido como el Método de Reducción Gaussiana.

Veamos algunos ejemplos en los que se reduce una matriz a una matriz escalonada reducida.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la matriz de tamaño 2 \times 2. Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Dividimos la fila 1 por -1

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Restamos la fila 1 multiplicada por 4 a la fila 2

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Dividimos la fila 2 por -8

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Restamos la fila 2 multiplicada por 2 a la fila 1 y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,

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Ejemplo 6

Considerando la matriz de tamaño 3 \times 3. Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Dividimos la fila 1 por -3

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Restamos la fila 1 multiplicada por -6 a la fila 2

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Restamos la fila 1 multiplicada por -3 a la fila 3

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Intercambiamos la fila 2 por la fila 3

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Dividimos la fila 2 por -7

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Dividimos la fila 3 por 11

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Restamos la fila 3 multiplicada por \frac{4}{3} a la fila 1

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Restamos la fila 3 multiplicada por -\frac{8}{7} a la fila 2 y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,

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Ejemplo 7

Considerando la matriz de tamaño 3 \times 4. Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

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Dividimos la fila 1 por -1

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Restamos la fila 1 multiplicada por -2 a la fila 2

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Restamos la fila 1 multiplicada por -8 a la fila 3

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Dividimos la fila 2 por -16

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Restamos la fila 2 multiplicada por -5 a la fila 1

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Restamos la fila 2 multiplicada por -48 a la fila 3

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Dividimos la fila 3 por -6

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Restamos la fila 3 multiplicada por \frac{13}{16} a la fila 1

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Restamos la fila 3 multiplicada por -\frac{23}{16} a la fila 2 y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,

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Propiedades de los Determinantes

Calcular determinantes, ya sea por el Método de Laplace o por el Método de Sarrus puede resultar en un proceso extenso, es por esto que estudiaremos con detenimiento cómo la forma en la que está definida una matriz, nos puede ahorrar tiempo a la hora de calcular el determinante.

En esta sección están expuestas las siguientes propiedades con sus respectivos ejemplos:

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Determinante del Producto de Matrices

Si consideramos dos matrices cuadradas A y B, el determinante del producto entre estas dos matrices A \times B es exactamente igual al determinante de la matriz A multiplicado por el determinante de la matriz B, es decir,

\left| A \times B \right| = \left| A \right| \cdot \left| B \right|

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las matrices cuadrada A y B de tamaño dos calculemos el determinante de cada una de ellas,

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El producto de estos dos determinantes es igual a -588, veamos que este producto es igual al determinante del producto de las dos matrices.

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Ejemplo 2

Considerando las matrices cuadrada A y B de tamaño dos calculemos el determinante de cada una de ellas,

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El producto de estos dos determinantes es igual a -405, veamos que este producto es igual al determinante del producto de las dos matrices.

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Ejemplo 3

Considerando las matrices cuadrada A y B de tamaño dos, calculemos el determinante de cada una de ellas,

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El producto de estos dos determinantes es igual a 2064, veamos que este producto es igual al determinante del producto de las dos matrices.

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Ejemplo 4

Considerando las matrices cuadrada A y B de tamaño dos, calculemos el determinante de cada una de ellas,

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El producto de estos dos determinantes es igual a -4851, veamos que este producto es igual al determinante del producto de las dos matrices.

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Determinante de la matriz transpuesta

Si consideramos una matriz cuadrada A, el determinante de la matriz transpuesta A^T es exactamente igual al determinante de la matriz A, es decir, \left| A \right| = \left| A^T \right|.

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Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,

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Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño dos, podemos calcular el determinante de esta matriz y su transpuesta para notar que |A| = \left| A^T \right|.

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Ejemplo 6

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño dos, podemos calcular el determinante de esta matriz y su transpuesta para notar que |A| = \left| A^T \right|.

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Ejemplo 7

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos calcular el determinante de esta matriz y su transpuesta para notar que |A| = \left| A^T \right|.

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Ejemplo 8

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos calcular el determinante de esta matriz y su transpuesta para notar que |A| = \left| A^T \right|.

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Determinante de descomponer elementos como sumandos

Si consideramos una matriz y descomponemos todos los elementos de una fila en dos sumandos, el determinante de la matriz se puede descomponer como la suma de dos determinantes donde la primera matriz contiene sólo los primeros sumandos y la otra matriz contiene sólo los segundos sumandos.

Formalmente, si consideramos una matriz A donde cada elemento elemento a_{ij} de la fila i se puede descomponer como a_{ij} = b_{ij} + c_{ij}, entonces tenemos que

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Por otra parte, si consideramos una matriz A donde cada elemento elemento a_{ij} de la columna i se puede descomponer como a_{ij} = b_{ij} + c_{ij}, entonces tenemos que

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Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

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Ejemplos

Ejemplo 9

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño dos, descompongamos los elementos de la fila 1.

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Descomponemos los elementos de la fila 1 en dos sumandos y calculamos los determinantes respectivos para verificar que la suma de estos es igual al determinante de |A|.

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Ejemplo 10

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño dos, descompongamos los elementos de la columna 1.

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Descomponemos los elementos de la columna 1 en dos sumandos y calculamos los determinantes respectivos para verificar que la suma de estos es igual al determinante de |A|.

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Ejemplo 11

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño dos, descompongamos los elementos de la fila 2.

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Descomponemos los elementos de la fila 2 en dos sumandos y calculamos los determinantes respectivos para verificar que la suma de estos es igual al determinante de |A|.

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Ejemplo 12

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño dos, descompongamos los elementos de la columna 1.

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Descomponemos los elementos de la columna 1 en dos sumandos y calculamos los determinantes respectivos para verificar que la suma de estos es igual al determinante de |A|.

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Determinante de multiplicar un escalar por una fila o columna

Si consideramos una matriz A, el determinante de la matriz que resulta al multiplicar una fila o una columna por un escalar k es exactamente igual al determinante de la matriz A multiplicada por el escalar k, es decir, k \cdot \left| A \right|

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ó

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Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,

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Ejemplos

Ejemplo 13

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño dos, podemos notar que al multiplicar una fila por el escalar 9, el determinante de la matriz resultante es igual a 9 \cdot |A|.

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Multiplicamos la fila 1 por la el escalar 9 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

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Ejemplo 14

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño dos, podemos notar que al multiplicar una fila por el escalar 5, el determinante de la matriz resultante es igual a 5 \cdot |A|.

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Multiplicamos la fila 2 por la el escalar 5 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

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Ejemplo 15

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que al multiplicar una fila por el escalar 6, el determinante de la matriz resultante es igual a 6 \cdot |A|.

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Multiplicamos la fila 2 por la el escalar 6 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

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Ejemplo 16

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que al multiplicar una fila por el escalar 4, el determinante de la matriz resultante es igual a 4 \cdot |A|.

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Multiplicamos la columna 1 por la el escalar 4 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

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Determinante de multiplicar un escalar por una matriz

Si consideramos una matriz A cuadrada de tamaño n, el determinante de la matriz que resulta al multiplicar esta matriz por un escalar k es exactamente igual al determinante de la matriz A multiplicada por el escalar k elevado a la n, es decir, k^n \cdot \left| A \right|

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Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,

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Ejemplos

Ejemplo 17

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño dos, podemos notar que al multiplicar esta matriz por el escalar 3, el determinante de la matriz resultante es igual a 3^2 \cdot |A|.

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Multiplicamos la matriz A por la el escalar 3 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

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Ejemplo 18

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que al multiplicar esta matriz por el escalar 6, el determinante de la matriz resultante es igual a 6^3 \cdot |A|.

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Multiplicamos la matriz A por la el escalar 6 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

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Determinante de una matriz con fila o columna cero

Si consideramos una matriz A tal que al menos una de sus filas o una de sus columnas está compuesta de ceros, el determinante esta matriz es igual a cero.

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Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

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Ejemplos

Ejemplo 19

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño dos, podemos notar que si una de sus filas es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

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Ejemplo 20

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño dos, podemos notar que si una de sus columnas es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

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Ejemplo 21

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que si una de sus filas es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

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Ejemplo 22

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que si una de sus columnas es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

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Determinante de una matriz con filas o columnas iguales

Si consideramos una matriz A tal que al menos dos de sus filas o al menos dos de sus columnas son iguales, el determinante esta matriz es igual a cero. Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

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ó

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Ejemplos

Ejemplo 23

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño dos, podemos notar que si una de sus filas o sus columnas es igual a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

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Ejemplo 24

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño dos, podemos notar que si una de sus filas es igual a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

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Ejemplo 25

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que si una de sus columnas es igual a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

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Determinante de una matriz con fila o columna proporcional a otra

Si consideramos una matriz A tal que al menos una de sus filas o al menos una de sus columnas es proporcional a otra, es decir, que está expresada como un múltiplo de otra, el determinante esta matriz es igual a cero.

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ó

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Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

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Ejemplos

Ejemplo 26

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño dos, podemos notar que si una de sus filas es proporcional otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Determinante de una matriz con fila o columna proporcional a otra | totumat.com

Ejemplo 27

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño dos, podemos notar que si una de sus columnas es proporcional otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Determinante de una matriz con fila o columna proporcional a otra | totumat.com

Ejemplo 28

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que si una de sus filas es proporcional a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Determinante de una matriz con fila o columna proporcional a otra | totumat.com

Ejemplo 29

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que si una de sus columnas es proporcional a otra, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Determinante de una matriz con fila o columna proporcional a otra | totumat.com

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes

Si consideramos una matriz A tal que el conjunto de sus filas o el conjunto de sus columnas es linealmente dependiente, es decir, tal que al menos una de sus filas o al menos de sus columnas está expresada como combinación lineal de las otras, el determinante esta matriz es igual a cero.

También podemos afirmar que si las filas o las columnas de una matriz son linealmente independientes, entonces su determinante es distinto de cero.

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

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Ejemplos

Ejemplo 30

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que la fila 1 está expresada como combinación lineal de las otras filas, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes | totumat.com

Ejemplo 31

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que la fila 3 está expresada como combinación lineal de las otras filas, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes | totumat.com

Ejemplo 32

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que la columna 1 está expresada como combinación lineal de las otras columnas, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes | totumat.com

Ejemplo 33

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que la columna 2 está expresada como combinación lineal de las otras columnas, el determinante de la matriz resultante es igual a cero.

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes | totumat.com

Determinante de una matriz con intercambio de filas o columnas

Si consideramos una matriz A, el determinante de la matriz que resulta de intercambiar dos filas o columnas es exactamente igual al determinante de la matriz A pero con signo contrario, es decir, igual a -\left| A \right|.

Formalmente, si intercambiamos la fila i por la j, tenemos que

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes | totumat.com

Por otra parte, si intercambiamos la columna i por la j, tenemos que

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes | totumat.com

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes,

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Ejemplos

Ejemplo 34

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño dos, podemos notar que al intercambiar dos filas, el determinante de la matriz resultante es igual a -|A|.

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes | totumat.com

Intercambiamos la fila 1 por la fila 2 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes | totumat.com

Ejemplo 35

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño dos, podemos notar que al intercambiar dos columnas, el determinante de la matriz resultante es igual a -|A|.

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes | totumat.com

Intercambiamos la columna 1 por la columna 2 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes | totumat.com

Ejemplo 36

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que al intercambiar dos filas, el determinante de la matriz resultante es igual a -|A|.

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes | totumat.com

Intercambiamos la fila 1 por la fila 2 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes | totumat.com

Ejemplo 37

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que al intercambiar dos columnas, el determinante de la matriz resultante es igual a -|A|.

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes | totumat.com

Intercambiamos la columna 1 por la columna 3 y calculamos el determinante de la matriz resultante.

Determinante de una matriz con filas o columnas linealmente dependientes | totumat.com

Determinante de una matriz con filas o columnas sumadas

Si consideramos una matriz A, el determinante de la matriz que resulta de sumar dos filas o columnas es exactamente igual al determinante de la matriz A.

Determinante de una matriz con filas o columnas sumadas | totumat.com


ó

Determinante de una matriz con filas o columnas sumadas | totumat.com

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

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Ejemplos

Ejemplo 38

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que al sumar la fila 2 a la fila 3, el determinante de la matriz resultante es igual a |A|.

Determinante de una matriz con filas o columnas sumadas | totumat.com

Sumamos la fila 2 a la fila 3.

Determinante de una matriz con filas o columnas sumadas | totumat.com

Ejemplo 39

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que al sumar la fila 3 a la fila 1, el determinante de la matriz resultante es igual a |A|.

Determinante de una matriz con filas o columnas sumadas | totumat.com

Sumamos la fila 3 a la fila 1.

Determinante de una matriz con filas o columnas sumadas | totumat.com

Ejemplo 40

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que al sumar la columna 1 a la columna 2, el determinante de la matriz resultante es igual a |A|.

Determinante de una matriz con filas o columnas sumadas | totumat.com

Sumamos la columna 1 a la columna 2.

Determinante de una matriz con filas o columnas sumadas | totumat.com

Ejemplo 41

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que al sumar la columna 3 a la columna 2, el determinante de la matriz resultante es igual a |A|.

Determinante de una matriz con filas o columnas sumadas | totumat.com

Sumamos la columna 3 a la columna 2.

Determinante de una matriz con filas o columnas sumadas | totumat.com

Determinante de una matriz con suma de filas o columnas multiplicadas por un escalar

Si consideramos una matriz A, el determinante de la matriz que resulta de sumar a una fila otra fila multiplicada por un escalar o de sumar a columna otra columna multiplicada por un escalar, es exactamente igual al determinante de la matriz A.

Determinante de una matriz con suma de filas o columnas multiplicadas por un escalar | totumat.com

ó

Determinante de una matriz con suma de filas o columnas multiplicadas por un escalar | totumat.com

Veamos algunos ejemplos de este tipo de determinantes.

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Ejemplos

Ejemplo 42

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que al sumar la fila 1 a la fila 3 multiplicada por 4, el determinante de la matriz resultante es igual a |A|.

Determinante de una matriz con suma de filas o columnas multiplicadas por un escalar | totumat.com

Sumamos la fila 1 a la fila 3 multiplicada por 4.

Determinante de una matriz con suma de filas o columnas multiplicadas por un escalar | totumat.com

Ejemplo 43

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que al sumar la fila 1 a la fila 3 multiplicada por 3, el determinante de la matriz resultante es igual a |A|.

Determinante de una matriz con suma de filas o columnas multiplicadas por un escalar | totumat.com

Sumamos la fila 1 a la fila 3 multiplicada por 3.

Determinante de una matriz con suma de filas o columnas multiplicadas por un escalar | totumat.com

Ejemplo 44

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que al sumar la columna 1 a la columna 3multiplicada por 10, el determinante de la matriz resultante es igual a |A|.

Determinante de una matriz con suma de filas o columnas multiplicadas por un escalar | totumat.com

Sumamos la columna 1 a la columna 3 multiplicada por 10.

Determinante de una matriz con suma de filas o columnas multiplicadas por un escalar | totumat.com

Ejemplo 45

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, podemos notar que al sumar la columna 3 a la columna 2multiplicada por 7, el determinante de la matriz resultante es igual a |A|.

Determinante de una matriz con suma de filas o columnas multiplicadas por un escalar | totumat.com

Sumamos la columna 3 a la columna 2 multiplicada por 7.

Determinante de una matriz con suma de filas o columnas multiplicadas por un escalar | totumat.com

Determinante de la Matriz Inversa

Si consideramos A una matriz no-singular, definimos la matriz inversa de A como una nueva matriz A^{-1} que cumple con la siguiente condición:

A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}

El determinante de la matriz inversa de A se puede deducir fácilmente de las otras propiedades y es exactamente igual al inverso multiplicativo del determinante de A, es decir,

|A^{-1}| = \dfrac{1}{|A|}

Esto se debe a

A^{-1} \times A = \mathbf{I}
\Rightarrow \ | A^{-1} \times A | = |\mathbf{I}|
\Rightarrow \ | A^{-1} | \cdot | A | = 1
\Rightarrow \ | A^{-1} | = \dfrac{1}{| A |}

Operaciones entre filas y columnas de una matriz

Si bien hemos podido definir operaciones entre matrices, es posible definir operaciones entre y sobre las filas de una matriz y de igual manera, es posible definir operaciones entre y sobre las columnas de una matriz. Veremos además, que al aplicar estas operaciones, podemos deducir el determinante de la nueva matriz a partir de la matriz original.

Operaciones elementales por fila

Veamos a continuación cuales son las operaciones que podemos definir sobre y entre las filas de una matriz.

Intercambio de filas de una matriz

Si i y j son dos filas de una matriz A de tamaño m \times n, tales que i < j, denotamos el intercambio de estas dos filas usando la notación f_i \longleftrightarrow f_j y la expresamos de la siguiente manera:

Intercambio de Filas de una matriz | totumat.com

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Consideremos una matriz de tamaño 2 \times 2 e intercambiemos la fila 1 por la fila 2, entonces,

Intercambio de Filas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 2

Consideremos una matriz de tamaño 3 \times 3 e intercambiemos la fila 1 por la fila 3, entonces,

Intercambio de Filas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 3

Consideremos una matriz de tamaño 4 \times 4 e intercambiemos la fila 3 por la fila 2, entonces,

Intercambio de Filas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 4

Consideremos una matriz de tamaño 6 \times 3 e intercambiemos la fila 1 por la fila 3, entonces,

Intercambio de Filas de una matriz | totumat.com

Suma de filas de una matriz

Si i y j son dos filas de una matriz A de tamaño m \times n, tales que i < j. Podemos considerar la fila i y sumarle la fila j, es decir, sumar los términos correspondientes, para esto usamos la notación f_i \longrightarrow f_i + f_j y la expresamos de la siguiente manera:

Suma de Filas de una matriz | totumat.com

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Consideremos una matriz de tamaño 2 \times 2 y a la fila 1 le sumamos la fila 2, entonces,

Suma de Filas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 6

Consideremos una matriz de tamaño 3 \times 3 y a la fila 1 le sumamos la fila 3, entonces,

Suma de Filas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 7

Consideremos una matriz de tamaño 4 \times 4 y a la fila 3 le sumamos la fila 2, entonces,

Suma de Filas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 8

Consideremos una matriz de tamaño 6 \times 3 y a la fila 5 le sumamos la fila 1, entonces,

Suma de Filas de una matriz | totumat.com

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar

Si i es una fila de una matriz A de tamaño m \times n. Podemos considerar la fila i y multiplicarla por un escalar k, para esto usamos la notación f_i \longrightarrow k \cdot f_i y la expresamos de la siguiente manera:

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar | totumat.com

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 9

Consideremos una matriz de tamaño 2 \times 2 y multipliquemos la fila 1 por el escalar 5, entonces,

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar | totumat.com

Ejemplo 10

Consideremos una matriz de tamaño 3 \times 3 y multipliquemos la fila 3 por el escalar -1, entonces,

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar | totumat.com

Ejemplo 11

Consideremos una matriz de tamaño 4 \times 4 y multipliquemos la fila 2 por el escalar 10, entonces,

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar | totumat.com

Ejemplo 12

Consideremos una matriz de tamaño 6 \times 3 y multipliquemos la fila 5 por el escalar -4, entonces,

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar | totumat.com

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar

Finalmente, veremos una operación elemental que de cierta forma mezcla efectúa varias operaciones al mismo tiempo. Si i y j son dos filas de una matriz A de tamaño m \times n, tales que i < j. Podemos considerar la fila i y sumarle la fila j multiplicada por un escalar k, para esto usamos la notación f_i \longrightarrow f_i + k \cdot f_j y la expresamos de la siguiente manera:

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 13

Consideremos una matriz de tamaño 2 \times 2 y a la fila 1 le sumamos la fila 2 multiplicada por 5, entonces,

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com

Ejemplo 14

Consideremos una matriz de tamaño 3 \times 3 y a la fila 1 le sumamos la fila 3 multiplicada por 2, entonces,

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com

Ejemplo 15

Consideremos una matriz de tamaño 4 \times 4 y a la fila 3 le sumamos la fila 2 multiplicada por -1, entonces,

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com

Notemos que en este caso estamos definiendo la resta de filas de una matriz.

Ejemplo 16

Consideremos una matriz de tamaño 6 \times 3 y a la fila 5 le sumamos la fila 1 multiplicada por 10, entonces,

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com

Matrices equivalentes por filas

Una vez que se ha hecho una operación elemental por fila a una matriz, se pueden seguir haciendo operaciones elementales por fila a las matrices resultantes de forma sucesiva. Diremos que si una matriz B se obtiene a partir de una matriz A a través de una sucesión finita de operaciones elementales por filas, entonces diremos que las matrices A y B son matrices equivalentes por filas y esta relación la denotaremos por

A \stackrel{f}{\sim} B

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

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Ejemplo

Consideremos una matriz de tamaño 2 \times 2, haciendo operaciones elementales por fila de forma sucesiva, veamos que esta es equivalente a la matriz identidad \mathbf{I}.

Método de Reducción Gaussiana | totumat.com

Operaciones elementales por columna

Veamos a continuación cuales son las operaciones que podemos definir sobre y entre las filas de una matriz.

Intercambio de columnas de una matriz

Si i y j son dos columnas de una matriz A de tamaño m \times n, tales que i < j, denotamos el intercambio de estas dos columnas usando la notación c_i \longleftrightarrow c_j y la expresamos de la siguiente manera:

Intercambio de columnas de una matriz | totumat.com

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 17

Consideremos una matriz de tamaño 2 \times 2 e intercambiemos la columna 1 por la columna 2, entonces,

Intercambio de columnas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 18

Consideremos una matriz de tamaño 3 \times 3 e intercambiemos la columna 1 por la columna 3, entonces,

Intercambio de columnas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 19

Consideremos una matriz de tamaño 4 \times 4 e intercambiemos la columna 3 por la columna 2, entonces,

Intercambio de columnas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 20

Consideremos una matriz de tamaño 6 \times 3 e intercambiemos la columna 1 por la columna 2, entonces,

Intercambio de columnas de una matriz | totumat.com

Suma de columnas de una matriz

Si i y j son dos columnas de una matriz A de tamaño m \times n, tales que i < j. Podemos considerar la columna i y sumarle la columna j, es decir, sumar los términos correspondientes, para esto usamos la notación c_i \longrightarrow c_i + c_j y la expresamos de la siguiente manera:

Suma de columnas de una matriz | totumat.com

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 21

Consideremos una matriz de tamaño 2 \times 2 y a la columna 1 le sumamos la columna 2, entonces,

Suma de columnas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 22

Consideremos una matriz de tamaño 3 \times 3 y a la columna 1 le sumamos la columna 3, entonces,

Suma de columnas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 23

Consideremos una matriz de tamaño 4 \times 4 y a la columna 3 le sumamos la columna 2, entonces,

Suma de columnas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 24

Consideremos una matriz de tamaño 6 \times 3 y a la columna 2 le sumamos la columna 1, entonces,

Suma de columnas de una matriz | totumat.com

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar

Si i es una columna de una matriz A de tamaño m \times n. Podemos considerar la columna i y multiplicarla por un escalar k, para esto usamos la notación c_i \longrightarrow k \cdot c_i y la expresamos de la siguiente manera:

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar | totumat.com

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 25

Consideremos una matriz de tamaño 2 \times 2 y multipliquemos la columna 1 por el escalar 5, entonces,

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar | totumat.com

Ejemplo 26

Consideremos una matriz de tamaño 3 \times 3 y multipliquemos la columna 3 por el escalar -1, entonces,

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar | totumat.com

Ejemplo 27

Consideremos una matriz de tamaño 4 \times 4 y multipliquemos la columna 2 por el escalar 10, entonces,

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar | totumat.com

Ejemplo 28

Consideremos una matriz de tamaño 6 \times 3 y multipliquemos la columna 1 por el escalar -4, entonces,

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar | totumat.com

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar

Finalmente, veremos una operación elemental que de cierta forma mezcla efectúa varias operaciones al mismo tiempo. Si i y j son dos columnas de una matriz A de tamaño m \times n, tales que i < j. Podemos considerar la columna i y sumarle la columna j multiplicada por un escalar k, para esto usamos la notación c_i \longrightarrow c_i + k \cdot c_j y la expresamos de la siguiente manera:

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 29

Consideremos una matriz de tamaño 2 \times 2 y a la columna 1 le sumamos la columna 2 multiplicada por 5, entonces,

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com

Ejemplo 30

Consideremos una matriz de tamaño 3 \times 3 y a la columna 1 le sumamos la columna 3 multiplicada por 2, entonces,

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com

Ejemplo 31

Consideremos una matriz de tamaño 4 \times 4 y a la columna 3 le sumamos la columna 2 multiplicada por -1, entonces,

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com

Notemos que en este caso estamos definiendo la resta de columnas.

Ejemplo 32

Consideremos una matriz de tamaño 6 \times 3 y a la columna 2 le sumamos la columna 1 multiplicada por 10, entonces,

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com