Sistemas de Ecuaciones Lineales – Cramer

Diremos que un sistema de ecuaciones lineales (ó sistema de ecuaciones lineales simultáneas) es un conjunto de ecuaciones con incógnitas comunes. Formalmente, sean x_1, x_2, \ldots, x_n un conjunto de n incógnitas, definimos un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas y m ecuaciones, de la siguiente forma:

Una vez que hemos planteado un sistema de ecuaciones lineales con n ecuaciones y n incógnitas de forma matricial, es decir, de la siguiente forma:

Podemos definir varios elementos que nos permitan calcular la solución del sistema de ecuaciones usando determinantes de matrices, así que empezaremos definiendo

\Delta = |A|

Si \Delta \neq 0, podemos garantizar que existe una única solución para el sistema de ecuaciones, por lo tanto

Definimos \Delta_{x_1} como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la primera columna por la matriz C, es decir,

Definimos \Delta_{x_2} como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la segunda columna por la matriz C, es decir,

Continuando así, definimos \Delta_{x_j} como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la \emph{j-ésima} columna por la matriz C, es decir,

Finalmente, definimos \Delta_{x_n} como el determinante de la matriz que resulta al sustituir la \emph{n-ésima} columna por la matriz C, es decir,

Una vez que hemos definido esta serie de elementos, podemos definir los valores que dan solución al sistema de ecuaciones planteando los siguientes cocientes:

x_1 = \frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}, \ x_2 = \frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}, \ \ldots , \ x_n = \frac{\Delta_{x_n}}{\Delta}.

Este método es conocido como el Método de Cramer, veamos entonces con algunos ejemplos como calcular la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando este método.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos \Delta que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{15}{16}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{71}{32}

Ejemplo 2

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos \Delta que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{400}{133}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{270}{133}, \ z=\frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{41}{133}

Ejemplo 3

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos \Delta que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

x=\frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{-355}{257}, \ y=\frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{-145}{257}, \ z=\frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{133}{257}

Ejemplo 4

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Este sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial, de la siguiente manera:

Una vez que hemos expresado el sistema de forma matricial, calculamos los elementos \Delta que nos permitirán calcular las soluciones.

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones lineales está definida de la siguiente forma:

x = \frac{\Delta_{ x }}{\Delta} = \frac{-109}{235}, \ y = \frac{\Delta_{ y }}{\Delta} = \frac{213}{235}, \ z = \frac{\Delta_{ z }}{\Delta} = \frac{34}{47}, \ w = \frac{\Delta_{ w }}{\Delta} = \frac{354}{235}


Sistemas de Ecuaciones Lineales

Al definir una ecuación, de forma básica, se establece la relación entre un número desconocido y números conocidos a partir de una igualdad, también hemos visto que es posible establecer relaciones entre más números desconocidos tal como cuando se define una recta de la forma ax + by + c = 0 y calcular el punto de intersección entre dos rectas, se determinan los valores de x y y que satisfacen ambas ecuaciones; generalizando así, nuestra definición de ecuación.

Diremos que un sistema de ecuaciones lineales (ó sistema de ecuaciones lineales simultáneas) es un conjunto de ecuaciones con incógnitas comunes. Formalmente, sean x_1, x_2, \ldots, x_n un conjunto de n incógnitas, definimos un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas y m ecuaciones, de la siguiente forma:

La solución de este sistema es un conjunto de números reales que satisface todas las ecuaciones al mismo tiempo, y para determinar si un sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución, debemos tomar ciertas consideraciones.

Todo sistema de ecuaciones lineales se puede ver como una ecuación donde los elementos involucrados son matrices pues las expresiones que están del lado izquierdo de la igualdad se pueden escribir como un producto de matrices y los elementos que están del lado derecho se pueden escribir como una matriz de una sola columna, de la siguiente manera:

Identificando las matrices A, X y C; podemos asegurar que el sistema de ecuaciones tendrá exactamente una solución si la matriz A es una matriz cuadrada y si esta es una matriz \emph{no-singular}, es decir, si |A| \neq 0. Existen diversos métodos para calcular esta única solución de un sistema de ecuaciones.


Cálculo de Matriz Inversa – Cramer

Una vez que hemos definido la matriz inversa, lo natural es determinar una forma de calcular la matriz inversa, pues no siempre contaremos con ella. Existen diversos métodos para calcular la matriz inversa de una matriz no-singular A, por ahora veremos solo uno de ellos.

A continuación veremos un método que nos permite calcular la inversa de una matriz usando el cálculo de determinantes y la transposición de matrices, a partir de este método se deriva una técnica para calcular la solución sistemas de ecuaciones lineales conocida como la Regla de Cramer.

Consideraremos cinco pasos que nos permitirán calcular la matriz inversa de una matriz A:

Paso I: Verificamos que la matriz A sea no-singular. Es decir, verificamos que

|A| \neq 0

Paso II: Calculamos todos los cofactores de la matriz A y con ellos, construimos la matriz de cofactores C(A). Es decir, una matriz tal que,

[C(A)]_{ij} = c(a_{ij})

Paso III: Transponemos la matriz de cofactores. A esta nueva matriz la llamamos Matriz Adjunta de A, la denotamos por

adj(A)

Pso IV: Definimos la inversa de la matriz A como la matriz adjunta, dividida entre el determinante de A. Es decir,

A^{-1} = \frac{adj(A)}{|a|}

Paso V: Verificamos que nuestros cálculos son correctos multiplicando

A \times A^{-1} \text{ y } A^{-1} \times A

Veamos con algunos ejemplos como calcular la inversa de matrices de tamaño tres, pues de esta forma podemos seguir los cálculos con facilidad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la inversa de la matriz A.

Paso I: Verificamos que la matriz A sea no-singular. Es decir, verificamos que |A| \neq 0.

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de A, es decir, C(A).

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de A, es decir, adj(A).

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de A, es decir, A^{-1}.

Paso V: Queda de parte del lector verificar que A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3.

Ejemplo 2

Calcule la inversa de la matriz A.

Paso I: Verificamos que la matriz A sea no-singular. Es decir, verificamos que |A| \neq 0.

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de A, es decir, C(A).

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de A, es decir, adj(A).

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de A, es decir, A^{-1}.

Paso V: Queda de parte del lector verificar que A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3.

Ejemplo 3

Calcule la inversa de la matriz A.

Paso I: Verificamos que la matriz A sea no-singular. Es decir, verificamos que |A| \neq 0.

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de A, es decir, C(A).

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de A, es decir, adj(A).

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de A, es decir, A^{-1}.

Paso V: Queda de parte del lector verificar que A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3.

Ejemplo 4

Calcule la inversa de la matriz A.

Paso I: Verificamos que la matriz A sea no-singular. Es decir, verificamos que |A| \neq 0.

Paso II: Calculamos la matriz de cofactores de A, es decir, C(A).

Paso III: Calculamos la matriz adjunta de A, es decir, adj(A).

Paso IV: Calculamos la matriz inversa de A, es decir, A^{-1}.

Paso V: Queda de parte del lector verificar que A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_3.


La Matriz Inversa

Hemos definido operaciones de suma, resta y multiplicación entre matrices, sin embargo, ¿existirá la división entre matrices? Así como hemos definido el inverso multiplicativo en el conjunto de los número reales, para algunas matrices, es posible definir una nueva matriz que cumple con las propiedades del inverso multiplicativo.

Si consideramos una matriz cuadrada A, diremos que esta es una matriz singular si su determinante es exactamente igual a cero, es decir, |A| = 0. Por otra parte, diremos que es una matriz no-singular si su determinante es distinto de cero, es decir, A \neq 0.

Si consideramos A una matriz no-singular, definimos la matriz inversa de A como una nueva matriz A^{-1} que cumple con la siguiente condición:

A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}

De cumplirse esta condición, también podemos decir que A es una matriz invertible. Veamos algunos ejemplos de matrices invertibles de tamaño dos por dos para ver con claridad los cálculos involucrados.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz A, de tamaño, 2 \times 2 y la matriz A^{-1}, de tamaño, 2 \times 2 . Verifique que A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = \mathbf{I}_2.

Calculamos A \times A^{-1}.

Calculamos A^{-1} \times A.

Ejemplo 2

Considerando la matriz A, de tamaño, 2 \times 2 y la matriz A^{-1}, de tamaño, 2 \times 2 . Verifique que A \times A^{-1} = A \times A^{-1} = \mathbf{I}_2.

Calculamos A \times A^{-1}.

Calculamos A^{-1} \times A.


Matrices Especiales

Al trabajar con matrices, nos toparemos de forma recurrente con algunas matrices que tienen ciertas características muy particulares, a este tipo de matrices se les conocen como matrices especiales y a continuación las listaremos junto con algunas de sus propiedades respecto a las operaciones con otras matrices y su determinante.

Matriz Cero

La Matriz Cero es una matriz cuadrada tal que cada uno de sus elementos es igual a cero, se denota con un cero en negrita \mathbf{0} para diferenciarla del escalar cero.Formalmente decimos que [\mathbf{0}]_{ij} = 0 para todo i,j y la expresamos de la siguiente manera:

  • Si A es una matriz, entonces \mathbf{0} + A = A + \mathbf{0} = A.
  • Si A es una matriz, entonces \mathbf{0} \times A = A \times \mathbf{0} = \mathbf{0}.
  • Su determinante es igual a cero, es decir, |\mathbf{0}| = 0.

Las siguientes matrices son matrices cero del tamaño correspondiente:

Matriz Identidad

La Matriz Identidad es una matriz cuadrada tal que cada uno de sus elementos es igual a cero, salvo los elementos de su diagonal que son todos iguales a uno, se denota con \mathbf{I}_{n}. Formalmente decimos que [\mathbf{I}_{n}]_{ij} = 1 para todo i=j y [\mathbf{I}_{n}]_{ij} = 0 para todo i \neq j, y la expresamos de la siguiente manera:

  • Si A es una matriz, entonces \mathbf{I} \times A = A \times \mathbf{I} = A.
  • Su determinante es igual a uno, es decir, |\mathbf{I}| = 1.

Las siguientes matrices son matrices identidad del tamaño correspondiente:

Matriz Diagonal

Una matriz cuadrada es Matriz Diagonal si cada uno de sus elementos fuera de la diagonal es igual a cero, en ocasiones se denotan con \mathbf{D}. Formalmente decimos que $[D]_{ij} = 0$ para todo $i \neq j$ y la expresamos de la siguiente manera:

  • Su determinante es el producto de todos los elementos de su diagonal, es decir, |\mathbf{D}| = a_{11} \cdot \ldots a_{nn}.

Las siguientes matrices son matrices diagonales del tamaño correspondiente:

También podemos definir matrices diagonales que no sean cuadradas pero en esos casos, no podemos calcular su determinante.

Matriz Triangular Superior

Una matriz cuadrada es una Matriz Triangular Superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal, son iguales a cero, en ocasiones se denotan con \mathbf{T_S}. Formalmente decimos que [\mathbf{T_S}]_{ij} = 0 si i > j y la expresamos de la siguiente manera:

Su determinante es el producto de todos los elementos de su diagonal, es decir, |\mathbf{T_S}| = a_{11} \cdot \ldots a_{nn}.

Las siguientes matrices son matrices diagonales del tamaño correspondiente:

También podemos definir matrices triangulares superiores que no sean cuadradas pero en esos casos, no podemos calcular su determinante.

Matriz Triangular Inferior

Una matriz cuadrada es una Matriz Triangular Inferior si todos los elementos que están por encima de la diagonal, son iguales a cero, en ocasiones se denotan con \mathbf{T_I}. Formalmente decimos que [\mathbf{T_I}]_{ij} = 0 si i < j y la expresamos de la siguiente manera:

  • Su determinante es el producto de todos los elementos de su diagonal, es decir, |\mathbf{T_I}| = a_{11} \cdot \ldots a_{nn}

Las siguientes matrices son matrices diagonales del tamaño correspondiente:

También podemos definir matrices triangulares inferiores que no sean cuadradas pero en esos casos, no podemos calcular su determinante.