Menores y Cofactores

Para cada elemento ij de una matriz cuadrada A, definimos el menor del elemento ij (o la submatriz principal ij de A) como la matriz que resulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A, entonces, si A es una matriz de tamaño n \times n el menor ij estará expresado como

Una vez definidos los menores de una matriz, definimos cofactor del elemento ij multiplicando (-1)^{i+j} por el determinante del menor del elemento ij. Lo denotamos como c(a_{ij}) y escrito de forma exhaustiva, tenemos

A esta expresión también se le conoce en algunos textos como el adjunto de a_{ij} y se denota como A_{ij}, y aunque esta expresión luce monstruosamente fea, veamos con algunos ejemplos como calcular los cofactores de una matriz cuadrada de tamaño tres.

A esta expresión también se le conoce en algunos textos como el adjunto de a_{ij} y se denota como A_{ij}, y aunque esta expresión luce monstruosamente fea, veamos con algunos ejemplos como calcular los cofactores de una matriz cuadrada de tamaño tres.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, el cofactor c(a_{ 3 3 }).

= (1) \big[ ( -5 )\cdot( -4 ) - ( 4 ) \cdot ( 0 ) \big] = 20 - ( 0 ) = 20

Ejemplo 2

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, el cofactor c(a_{ 3 1 }).

= ( 1 ) \big[ ( -1 )\cdot( 8 ) - ( -8 ) \cdot ( 3 ) \big] = -8 - ( -24 ) = -8 + 24 = 16

Ejemplo 3

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, el cofactor c(a_{ 2 1 }).

= ( -1 ) \big[ ( 7 )\cdot( 5 ) - ( -2 ) \cdot ( 1 ) \big] = ( -1 ) \big[ 35 - ( -2 ) \big] = ( -1 ) \big( 35 + 2 \big) = -37

Ejemplo 4

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, el cofactor c(a_{ 1 1 }).

= ( 1 ) \big[ ( 6 )\cdot( 7 ) - ( 0 ) \cdot ( 9 ) \big] = 42 - ( 0 ) = 42

Ejemplo 5

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, el cofactor c(a_{ 2 2 }).

= ( 1 ) \big[ ( -6 )\cdot( -6 ) - ( -5 ) \cdot ( -2 ) \big] = 36 - ( 10 ) = 26


2 comentarios en “Menores y Cofactores

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