Determinantes – Método de Laplace

Habiendo definido los cofactores de una matriz, podemos establecer un método que nos permite calcular el determinante de cualquier matriz cuadrada de tamaño n. Al considerar una columna j, el Método de Laplace indica que el determinante de una matriz se calcula de la siguiente manera:

\sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot c(a_{ij})

En otras palabras, debemos escoger una columna, multiplicar cada elemento de la columna por su cofactor y sumar estos productos. Veamos el caso para una matriz cuadrada A de tamaño tres para tener esta idea más clara, formalmente,

Podemos calcular su determinante escogiendo la primera columna y plantear la siguiente suma:

Podemos calcular su determinante escogiendo la segunda columna y plantear la siguiente suma:

Podemos calcular su determinante escogiendo la tercera columna y plantear la siguiente suma:

Veamos entonces, con algunos ejemplos como calcular determinantes de matrices cuadradas de tamaño tres.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, calcule su determinante escogiendo la columna 2.

= ( -9 ) \big[ ( -4 ) - ( 0 ) \big] + ( -2 ) \big[ ( -8 ) - ( 0 ) \big] + ( 4 ) \big[ ( -6 ) - ( -2 ) \big]

= ( -9 ) ( -4 ) + ( -2 ) ( -8 ) + ( 4 ) ( -4 )

= ( 36 ) + ( 16 ) + ( -16 )

36

Ejemplo 2

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, calcule su determinante escogiendo la columna 1.

= ( -3 ) \big[ ( 7 ) - ( 35 ) \big] + ( -3 ) \big[ ( 1 ) - ( -30 ) \big] + ( 0 ) \big[ ( 7 ) - ( -42 ) \big]

= ( -3 ) ( -28 ) + ( -3 ) ( 31 ) + ( 0 ) ( 49 )

= ( 84 ) + ( -93 ) + ( 0 )

-9

Ejemplo 3

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, calcule su determinante escogiendo la columna 3.

= ( -2 ) \big[ ( -20 ) - ( -8 ) \big] + ( -7 ) \big[ ( -10 ) - ( -2 ) \big] + ( 1 ) \big[ ( -16 ) - ( -8 ) \big]

= ( -2 ) ( -12 ) + ( -7 ) ( -8 ) + ( 1 ) ( -8 )

= ( 24 ) + ( 56 ) + ( -8 )

72

Ejemplo 4

Considerando la matriz cuadrada A de tamaño tres, calcule su determinante escogiendo la columna 1.

= ( -3 ) \big[ ( 9 ) - ( -5 ) \big] + ( -4 ) \big[ ( -2 ) - ( 2 ) \big] + ( -2 ) \big[ ( -10 ) - ( -18 ) \big]

= ( -3 ) ( 14 ) + ( -4 ) ( -4 ) + ( -2 ) ( 8 )

= ( -42 ) + ( 16 ) + ( -16 )

-42


Autor: Anthonny Arias

Coordinador de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.

¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

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