El Método de Eliminación de Gauss-Jordan

Al considerar una matriz, a través de las operaciones elementales por fila podemos establecer una equivalencia entre dicha matriz y otra matriz diferente. En esta sección, veremos que toda matriz es equivalente por filas a otra matriz más simple. Así que empecemos por responder la siguiente pregunta: ¿qué es una matriz más simple?

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Matriz escalonada reducida

Diremos que una matriz A de tamaño m \times n es escalonada reducida si esta cumple con las siguientes condiciones:

  • Todas las filas iguales a cero están en el fondo de la matriz. Formalmente, diremos que

    Si a_{ij}=0 para todo i, entonces, a_{kj}=0 para todo i, donde j \leq k \leq m.
  • Si una fila es distinta de cero, entonces su primer elemento distinto de cero es igual a 1. Formalmente, diremos que

    Si a_{ij} \neq 0 y a_{kj}=0 para todo k < i, entonces a_{ij} = 1
  • Si dos filas son distintas de cero, entonces el primer elemento de la que está por encima, está a la izquierda del primer elemento de la que está por debajo. Formalmente, diremos que

    Si las filas i y j son distintas de cero tales que i < j y; a_{ip} y a_{jq} son los primeros elementos distintos de cero de sus filas respectivas, entonces p < q.
  • Considerando el primer elemento distinto de cero de una fila, todos los demás elementos de la columna en que este se encuentra, son iguales a cero. Formalmente, diremos que

    Si a_{ij} \neq 0 y a_{kj}=0 para todo k < i, entonces a_{ih} = 0 para todo h \neq j.

    Al elemento a_{ij} = 1 se le conoce como el uno principal de la fila.

Veamos en los siguientes ejemplos como están expresadas las matrices escalonadas reducidas para entenderlas mejor.

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Ejemplos

Ejemplo 1

La matriz de tamaño 2 \times 2 considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Matriz escalonada reducida | totumat.com

Ejemplo 2

La matriz de tamaño 3 \times 3 considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Matriz identidad | totumat.com

Ejemplo 3

La matriz de tamaño 3 \times 4 considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Matriz escalonada reducida | totumat.com

Ejemplo 4

La matriz de tamaño 4 \times 5 considerada a continuación, es una matriz escalonada reducida.

Matriz escalonada reducida | totumat.com

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan

El Teorema de Eliminación de Gauss-Jordan establece que toda matriz es equivalente por filas a una matriz escalonada reducida, es decir, al considerar una matriz, podemos aplicar operaciones por filas sobre ella hasta conseguir una matriz escalonada reducida. A partir de este teorema se define El Método de Eliminación de Gauss-Jordan, también conocido como el Método de Reducción Gaussiana.

Veamos algunos ejemplos en los que se reduce una matriz a una matriz escalonada reducida.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la matriz de tamaño 2 \times 2. Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Dividimos la fila 1 por -1

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 1 multiplicada por 4 a la fila 2

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Dividimos la fila 2 por -8

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 2 multiplicada por 2 a la fila 1 y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com
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Ejemplo 6

Considerando la matriz de tamaño 3 \times 3. Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Dividimos la fila 1 por -3

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 1 multiplicada por -6 a la fila 2

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 1 multiplicada por -3 a la fila 3

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Intercambiamos la fila 2 por la fila 3

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Dividimos la fila 2 por -7

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Dividimos la fila 3 por 11

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 3 multiplicada por \frac{4}{3} a la fila 1

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 3 multiplicada por -\frac{8}{7} a la fila 2 y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com
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Ejemplo 7

Considerando la matriz de tamaño 3 \times 4. Reduzca esta matriz a una matriz escalonada reducida usando el Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Dividimos la fila 1 por -1

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 1 multiplicada por -2 a la fila 2

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 1 multiplicada por -8 a la fila 3

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Dividimos la fila 2 por -16

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 2 multiplicada por -5 a la fila 1

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 2 multiplicada por -48 a la fila 3

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Dividimos la fila 3 por -6

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 3 multiplicada por \frac{13}{16} a la fila 1

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Restamos la fila 3 multiplicada por -\frac{23}{16} a la fila 2 y así, obtenemos la matriz escalonada reducida,

El Método de Eliminación de Gauss-Jordan | totumat.com

Operaciones entre filas y columnas de una matriz

Si bien hemos podido definir operaciones entre matrices, es posible definir operaciones entre y sobre las filas de una matriz y de igual manera, es posible definir operaciones entre y sobre las columnas de una matriz. Veremos además, que al aplicar estas operaciones, podemos deducir el determinante de la nueva matriz a partir de la matriz original.

Operaciones elementales por fila

Veamos a continuación cuales son las operaciones que podemos definir sobre y entre las filas de una matriz.

Intercambio de filas de una matriz

Si i y j son dos filas de una matriz A de tamaño m \times n, tales que i < j, denotamos el intercambio de estas dos filas usando la notación f_i \longleftrightarrow f_j y la expresamos de la siguiente manera:

Intercambio de Filas de una matriz | totumat.com

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Consideremos una matriz de tamaño 2 \times 2 e intercambiemos la fila 1 por la fila 2, entonces,

Intercambio de Filas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 2

Consideremos una matriz de tamaño 3 \times 3 e intercambiemos la fila 1 por la fila 3, entonces,

Intercambio de Filas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 3

Consideremos una matriz de tamaño 4 \times 4 e intercambiemos la fila 3 por la fila 2, entonces,

Intercambio de Filas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 4

Consideremos una matriz de tamaño 6 \times 3 e intercambiemos la fila 1 por la fila 3, entonces,

Intercambio de Filas de una matriz | totumat.com

Suma de filas de una matriz

Si i y j son dos filas de una matriz A de tamaño m \times n, tales que i < j. Podemos considerar la fila i y sumarle la fila j, es decir, sumar los términos correspondientes, para esto usamos la notación f_i \longrightarrow f_i + f_j y la expresamos de la siguiente manera:

Suma de Filas de una matriz | totumat.com

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Consideremos una matriz de tamaño 2 \times 2 y a la fila 1 le sumamos la fila 2, entonces,

Suma de Filas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 6

Consideremos una matriz de tamaño 3 \times 3 y a la fila 1 le sumamos la fila 3, entonces,

Suma de Filas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 7

Consideremos una matriz de tamaño 4 \times 4 y a la fila 3 le sumamos la fila 2, entonces,

Suma de Filas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 8

Consideremos una matriz de tamaño 6 \times 3 y a la fila 5 le sumamos la fila 1, entonces,

Suma de Filas de una matriz | totumat.com

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar

Si i es una fila de una matriz A de tamaño m \times n. Podemos considerar la fila i y multiplicarla por un escalar k, para esto usamos la notación f_i \longrightarrow k \cdot f_i y la expresamos de la siguiente manera:

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar | totumat.com

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 9

Consideremos una matriz de tamaño 2 \times 2 y multipliquemos la fila 1 por el escalar 5, entonces,

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar | totumat.com

Ejemplo 10

Consideremos una matriz de tamaño 3 \times 3 y multipliquemos la fila 3 por el escalar -1, entonces,

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar | totumat.com

Ejemplo 11

Consideremos una matriz de tamaño 4 \times 4 y multipliquemos la fila 2 por el escalar 10, entonces,

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar | totumat.com

Ejemplo 12

Consideremos una matriz de tamaño 6 \times 3 y multipliquemos la fila 5 por el escalar -4, entonces,

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar | totumat.com

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar

Finalmente, veremos una operación elemental que de cierta forma mezcla efectúa varias operaciones al mismo tiempo. Si i y j son dos filas de una matriz A de tamaño m \times n, tales que i < j. Podemos considerar la fila i y sumarle la fila j multiplicada por un escalar k, para esto usamos la notación f_i \longrightarrow f_i + k \cdot f_j y la expresamos de la siguiente manera:

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 13

Consideremos una matriz de tamaño 2 \times 2 y a la fila 1 le sumamos la fila 2 multiplicada por 5, entonces,

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com

Ejemplo 14

Consideremos una matriz de tamaño 3 \times 3 y a la fila 1 le sumamos la fila 3 multiplicada por 2, entonces,

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com

Ejemplo 15

Consideremos una matriz de tamaño 4 \times 4 y a la fila 3 le sumamos la fila 2 multiplicada por -1, entonces,

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com

Notemos que en este caso estamos definiendo la resta de filas de una matriz.

Ejemplo 16

Consideremos una matriz de tamaño 6 \times 3 y a la fila 5 le sumamos la fila 1 multiplicada por 10, entonces,

Sumar una fila de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com

Matrices equivalentes por filas

Una vez que se ha hecho una operación elemental por fila a una matriz, se pueden seguir haciendo operaciones elementales por fila a las matrices resultantes de forma sucesiva. Diremos que si una matriz B se obtiene a partir de una matriz A a través de una sucesión finita de operaciones elementales por filas, entonces diremos que las matrices A y B son matrices equivalentes por filas y esta relación la denotaremos por

A \stackrel{f}{\sim} B

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

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Ejemplo

Consideremos una matriz de tamaño 2 \times 2, haciendo operaciones elementales por fila de forma sucesiva, veamos que esta es equivalente a la matriz identidad \mathbf{I}.

Método de Reducción Gaussiana | totumat.com

Operaciones elementales por columna

Veamos a continuación cuales son las operaciones que podemos definir sobre y entre las filas de una matriz.

Intercambio de columnas de una matriz

Si i y j son dos columnas de una matriz A de tamaño m \times n, tales que i < j, denotamos el intercambio de estas dos columnas usando la notación c_i \longleftrightarrow c_j y la expresamos de la siguiente manera:

Intercambio de columnas de una matriz | totumat.com

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 17

Consideremos una matriz de tamaño 2 \times 2 e intercambiemos la columna 1 por la columna 2, entonces,

Intercambio de columnas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 18

Consideremos una matriz de tamaño 3 \times 3 e intercambiemos la columna 1 por la columna 3, entonces,

Intercambio de columnas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 19

Consideremos una matriz de tamaño 4 \times 4 e intercambiemos la columna 3 por la columna 2, entonces,

Intercambio de columnas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 20

Consideremos una matriz de tamaño 6 \times 3 e intercambiemos la columna 1 por la columna 2, entonces,

Intercambio de columnas de una matriz | totumat.com

Suma de columnas de una matriz

Si i y j son dos columnas de una matriz A de tamaño m \times n, tales que i < j. Podemos considerar la columna i y sumarle la columna j, es decir, sumar los términos correspondientes, para esto usamos la notación c_i \longrightarrow c_i + c_j y la expresamos de la siguiente manera:

Suma de columnas de una matriz | totumat.com

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 21

Consideremos una matriz de tamaño 2 \times 2 y a la columna 1 le sumamos la columna 2, entonces,

Suma de columnas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 22

Consideremos una matriz de tamaño 3 \times 3 y a la columna 1 le sumamos la columna 3, entonces,

Suma de columnas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 23

Consideremos una matriz de tamaño 4 \times 4 y a la columna 3 le sumamos la columna 2, entonces,

Suma de columnas de una matriz | totumat.com

Ejemplo 24

Consideremos una matriz de tamaño 6 \times 3 y a la columna 2 le sumamos la columna 1, entonces,

Suma de columnas de una matriz | totumat.com

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar

Si i es una columna de una matriz A de tamaño m \times n. Podemos considerar la columna i y multiplicarla por un escalar k, para esto usamos la notación c_i \longrightarrow k \cdot c_i y la expresamos de la siguiente manera:

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar | totumat.com

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 25

Consideremos una matriz de tamaño 2 \times 2 y multipliquemos la columna 1 por el escalar 5, entonces,

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar | totumat.com

Ejemplo 26

Consideremos una matriz de tamaño 3 \times 3 y multipliquemos la columna 3 por el escalar -1, entonces,

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar | totumat.com

Ejemplo 27

Consideremos una matriz de tamaño 4 \times 4 y multipliquemos la columna 2 por el escalar 10, entonces,

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar | totumat.com

Ejemplo 28

Consideremos una matriz de tamaño 6 \times 3 y multipliquemos la columna 1 por el escalar -4, entonces,

Multiplicar una columna de una matriz por un escalar | totumat.com

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar

Finalmente, veremos una operación elemental que de cierta forma mezcla efectúa varias operaciones al mismo tiempo. Si i y j son dos columnas de una matriz A de tamaño m \times n, tales que i < j. Podemos considerar la columna i y sumarle la columna j multiplicada por un escalar k, para esto usamos la notación c_i \longrightarrow c_i + k \cdot c_j y la expresamos de la siguiente manera:

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com

Veamos algunos ejemplos para ilustrar esta idea con más claridad.

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Ejemplos

Ejemplo 29

Consideremos una matriz de tamaño 2 \times 2 y a la columna 1 le sumamos la columna 2 multiplicada por 5, entonces,

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com

Ejemplo 30

Consideremos una matriz de tamaño 3 \times 3 y a la columna 1 le sumamos la columna 3 multiplicada por 2, entonces,

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com

Ejemplo 31

Consideremos una matriz de tamaño 4 \times 4 y a la columna 3 le sumamos la columna 2 multiplicada por -1, entonces,

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com

Notemos que en este caso estamos definiendo la resta de columnas.

Ejemplo 32

Consideremos una matriz de tamaño 6 \times 3 y a la columna 2 le sumamos la columna 1 multiplicada por 10, entonces,

Sumar una columna de una matriz multiplicada por un escalar | totumat.com