La Integral Definida

En esta publicación se presenta una idea general de como se dio forma históricamente a la Integral Definida, se recomienda leer el artículo El método de investigación de Arquímedes de Siracusa: Intuición, mecánica y exhaución de Ángel Molina para precisar algunos eventos históricos y el libro Calculo Infinitesimal de Michael Spivak para empaparse en la rigurosidad matemática.


Calcular el área de un rectángulo no presenta mayor dificultad, pues si consideramos un rectángulo cuya base es de longitud b y su altura es longitud h, entonces su área se calcula multiplicando estos dos valores. De igual forma, al calcular el área de un triángulo cuya base es de longitud b y de altura h, entonces su área se calcula multiplicando estos dos valores y dividiendo el resultado entre dos.

A partir de estos dos elementos, podemos calcular el área de cualquier polígono pues podemos inscribir triángulos y rectángulos de forma conveniente. Sin embargo, se presenta una situación diferente cuando queremos calcular el área de figuras que presentan curvas en sus aristas, como por ejemplo, circunferencias. Es por esto que debemos desarrollar métodos que lo permitan.

El Método de Exhaución

Si consideramos una circunferencia, podemos estimar su área usando un triángulo inscrito en ella pero esta estimación será muy holgada pues podemos notar que hay espacios del triángulo que no cubren esta área. De igual forma pudiéramos considerar un triángulo que circunscribe a la circunferencia, la estimación también será holgada pues hay espacios del triángulo que exceden a la circunferencia.

Lo ideal es refinar la estimación, pero, ¿cómo hacemos esto? Una idea intuitiva es considerar un cuadrado en vez de un triángulo pero nos topamos con el mismo problema, si consideramos un hexágono o un octágono, el problema será el mismo. Sin embargo, notamos que a medida que usamos polígonos con una mayor cantidad de lados, la estimación sobre el área de la circunferencia se hace más precisa.

Pudiéramos entonces, considerar cada vez polígonos con más y más lados para estimar el área de la circunferencia, esto se conoce como el Método de Exhaución (anglicismo de agotamiento) y fue desarrollado en la Antigua Grecia por Eudoxo de Cnido para calcular el área de figuras irregulares y volúmenes de sólidos. De esta forma, si la circunferencia tiene radio r y el polígono regular tiene n lados, entonces el área viene dada por

n \cdot \sin\left(\frac{180}{n}\right) \cdot \cos\left(\frac{180}{n}\right) \cdot r^2 \ \text{ y }\ n \cdot \frac{\sin\left(\frac{180}{n}\right)} {\cos\left(\frac{180}{n}\right)} \cdot r^2

Para polígonos regulares inscritos en la circunferencia y polígonos regulares circunscritos en la circunferencia, respectivamente.

En el momento que se planteó, no se conocían las herramientas con las que contamos hoy en día, por lo que el problema permaneció latente por cientos de años hasta que se fundamentó el cálculo infinitesimal pues de esta forma se puede considerar un polígono con una cantidad infinita de lados.

El Área bajo la curva

Consideremos una función f(x) definida en un intervalo [a,b] y supongamos que queremos calcular el área que se encuentra bajo la curva que ella define, para ser más precisos: El área delimitada por la izquierda por la recta x=a, por la derecha por la recta x=b, por arriba por la curva f(x) y por debajo por el Eje X,

¿Cómo calculamos esta área? Una idea intuitiva es usar el Método de Exhaución, particularmente usando rectángulos pues el área de estos se calcula con facilidad. Para entender esta idea, consideremos un rectángulo de base (b-a) y de altura f(a). Entonces el área estimada es f(a) \cdot (b-a)

Esta estimación es muy holgada pues podemos notar que hay espacios del rectángulo que no cubren el área que estamos calculando y otros espacios la exceden. Lo ideal es refinar la estimación, pero, ¿cómo hacemos esto? En vez de considerar un rectángulo, podemos considerar dos rectángulos pero nos topamos con el mismo problema, si consideramos cuatro rectángulos, el problema será el mismo. Sin embargo, notamos que a medida que usamos más rectángulos, la estimación del área de bajo la curva se hace más precisa.

Precisemos un poco esta idea definiendo el siguiente elemento: dado un intervalo [a,b], definimos una partición de tamaño n de dicho intervalo como un conjunto finito de elementos x_1, x_2, \ldots, x_n \in [a,b] tal que

a=x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b

Para nuestro desarrollo consideraremos una partición muy particular, una tal que la distancia entre dos elementos consecutivos siempre es la misma. De esta forma, podemos notar que si la longitud del intervalo es b-a, entonces la distancia entre dos elementos consecutivos es \frac{b-a}{n}.

Entonces, si consideramos rectángulos de base (x_{i+1} - x_{i}) y de altura f(x_i) (con i = 1, \ldots, n-1), podemos estimar el área bajo la curva sumando el área de todos estos intervalos, es decir,

f(x_0) \cdot \left( x_{1} - x_{0} \right) + f(x_1) \cdot \left( x_{2} - x_{1} \right) + \ldots + f(x_{n-1}) \cdot \left( x_{n} - x_{n-1} \right)

Esta suma la podemos resumir usando la notación de sumatoria y además considerando el hecho de que la distancia entre dos elementos consecutivos siempre es la misma, es decir, x_{i+1} - x_{i} = \frac{b-a}{n},

\sum_{i=0}^n f(x_i) \cdot \frac{b-a}{n}

Estas sumas son conocidas como las Sumas de Riemann y aunque proveen una muy buena estimación, aún es muy tosca, así que debemos recurrir al calculo infinitesimal para poder considerar particiones con la mayor cantidad de elementos posible. Así, el área bajo la curva se calcula con absoluta precisión calculando el siguiente límite

\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^n f(x_i) \cdot \frac{b-a}{n}

En el infinito la sigma mayúscula de la notación de sumatoria pasa a ser una S cursiva, la variable x_i deja de ser discreta para ser una variable continua x y la distancia \frac{b-a}{n} al ser muy pequeña pasará a ser un diferencial de la variable x. De esta forma, podemos reescribir este límite de la siguiente forma

A esta expresión la llamaremos Integral Definida en el intervalo [a,b] y los extremos del intervalo serán llamados límites de integración, para ser más precisos, a es el límite inferior y b es el límite superior.


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