Curva de Lorenz y Áreas

La Curva de Lorenz y el Coeficiente de Gini

Una vez que se determina el Producto Interno Bruto de un país, ¿qué cantidad de este dinero le corresponde a cada ciudadano? Independientemente de cómo esté distribuida la riqueza entre los habitantes de un país, por distintas razones (justas o no), esta distribución no es equitativa, de ahí radica la importancia de presentar un modelo matemático que permita describir esta distribución.

También pudiera interesarte

Anuncios

La Curva de Lorenz

La Curva de Lorenz es una función que permite describir la distribución de la riqueza de en un país y también es conocida como la Línea de Desigualdad Perfecta. Usualmente esta se denota como L(x). En términos porcentuales, establece una correspondencia entre el porcentaje acumulado de ingresos y el porcentaje acumulado de la población receptora de ingresos, de esta forma, podemos decir que esta cumple con las siguientes condiciones:

  • Esta función corresponde a valores desde el 0% de la población acumulada hasta el 100% de la población acumulada, es decir, Dom(L) = [0,1].
  • Esta función corresponde a valores desde el 0% de ingresos acumulados hasta el 100% de los ingresos acumulados, es decir, Rgo(L) = [0,1].
  • El 0% de los ingresos es repartido entre el 0% de la población, es decir, L(0)=0.
  • El 100% de los ingresos es repartido entre el 110% de la población, es decir, L(1)=1.
  • La distribución de los ingresos nunca es equitativa, es decir, L(x) < x para todo x en su dominio.

Este último punto se debe a que la distribución equitativa de los ingresos se representa con la función identidad, es decir, con la función f(x)=x; y es conocida como la Línea de Igualdad Perfecta. La Curva de Lorenz se representa gráficamente con una función estrictamente creciente por debajo de la recta identidad de la siguiente forma:

La Curva de Lorenz o Línea de Desigualdad Perfecta | totumat.com

Veamos en los siguientes ejemplos algunas Curva de Lorenz y la distribución de los ingresos que estas describen.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considere la función L(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x, esta es una Curva de Lorenz y sobre ella podemos considerar lo siguiente:

  • Si evaluamos esta función en 0.2, tenemos que f(0.2) = \frac{1}{3}(0.2)^2 + \frac{2}{3}(0.2) = 0.1466 esto implica que el 20% de la población percibe el 14.66% de los ingresos.
  • Si evaluamos esta función en 0.4, tenemos que f(0.4) = \frac{1}{3}(0.4)^2 + \frac{2}{3}(0.4) = 0.32 esto implica que el 40% de la población percibe el 32% de los ingresos.
  • Si evaluamos esta función en 0.75, tenemos que f(0.75) = \frac{1}{3}(0.75)^2 + \frac{2}{3}(0.75) = 0.6875 esto implica que el 75% de la población percibe el 68.75% de los ingresos.

La función L(x) se representa gráficamente de la siguiente forma:

La Curva de Lorenz o Línea de Desigualdad Perfecta | totumat.com

Ejemplo 2

Considere la función L(x) = \frac{7}{18}x^6 + \frac{11}{18}x^2, esta es una Curva de Lorenz y sobre ella podemos considerar lo siguiente:

  • Si evaluamos esta función en 0.15, tenemos que f(0.15) = \frac{7}{18}(0.15)^6 + \frac{11}{18}(0.15)^2 = 0.013 esto implica que el 15% de la población percibe el 1.3% de los ingresos.
  • Si evaluamos esta función en 0.5, tenemos que f(0.5) = \frac{7}{18}(0.5)^6 + \frac{11}{18}(0.5)^2 = 0.1588 esto implica que el 50% de la población percibe el 15.88% de los ingresos.
  • Si evaluamos esta función en 0.8, tenemos que f(0.8) = \frac{1}{3}(0.8)^2 + \frac{2}{3}(0.8) = 0.4930 esto implica que el 80% de la población percibe el 49.30% de los ingresos.

La función L(x) se representa gráficamente de la siguiente forma:

La Curva de Lorenz o Línea de Desigualdad Perfecta | totumat.com

Anuncios

El Coeficiente de Gini

Es notable que en algunos casos la Curva de Lorenz está más cercana a la recta identidad pero en otros, está más lejana, lo que pudiera indicar que tan desigual es la distribución de los ingresos. Observando esta situación, vale la pena preguntarse: ¿habrá una forma cuantificar esta diferencia? La respuesta es sí.

El Coeficiente de Gini mide la separación de la Curva de Lorenz respecto a la Línea de Igualdad Perfecta para determinar el grado de desigualdad que existe en la distribución de los ingreso, para llevar a cabo esta medición, consideramos las áreas A (roja) y B (azul) expresadas en el siguiente gráfico:

La Curva de Lorenz, áreas y Coeficiente de Gini | totumat.com
  • El área A es el área entre la Línea de Igualdad Perfecta y la Curva de Lorenz.
  • El área B es el área bajo la Curva de Lorenz.

El Coeficiente de Gini se determina calculando el cociente entre la área A y la suma de las áreas A+B, es decir,

\frac{A}{A+B}

Pero podemos notar inmediatamente que la suma de las áreas A+B es justamente el área de un triángulo de base igual a 1 y de altura igual a 1, por lo tanto, el área de este triángulo es \frac{1}{2}. De esta forma, si efectuamos siguiente división

\dfrac{ \ A \ }{\frac{1}{2}}

Obtenemos una nueva expresión para calcular el Coeficiente de Gini, que será multiplicar el área A por 2:

2 \cdot A

Esta fórmula para calcular el Coeficiente de Gini nos indica que tan amplia es el área A y en consecuencia, qué tan alejada está la distribución de los ingresos de una distribución equitativa perfecta. Es por esto que al calcular este coeficiente, debemos tomar en cuenta que:

  • Si el Coeficiente de Gini está cercano a cero, esto quiere decir que la Curva de Lorenz está cerca de la Línea de Igualdad Perfecta y en consecuencia, la distribución de los ingresos tiende a ser equitativa.
  • Si el Coeficiente de Gini está cercano a uno, esto quiere decir que la Curva de Lorenz está alejada de la Línea de Igualdad Perfecta y en consecuencia, la distribución de los ingresos tiende a ser desigual.

En los siguientes ejemplos, veremos usaremos la fórmula para calcular el Coeficiente de Gini y veremos su interpretación.

Ejemplos

Ejemplo 3

Considerando la Curva de Lorenz L(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x, calcule el Coeficiente de Gini e interprete su resultado.

Representamos gráficamente la función L(x) e identificamos las áreas involucradas para el cálculo del Coeficiente de Gini.

La Curva de Lorenz, áreas y Coeficiente de Gini | totumat.com

Calculamos el área A, identificada con rojo:

A \ = \ \int_{0}^{1} \left( x - L(x) \right) \ dx

\ = \ \int_{0}^{1} \left( x - \left( \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x \right) \right) \ dx

\ = \ \left. \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{3} \frac{x^3}{3} - \frac{2}{3} \frac{x^2}{2} \right) \right|_{0}^{1}

\ = \ \left( \frac{(1)^2}{2} - \frac{1}{3} \frac{(1)^3}{3} - \frac{2}{3} \frac{(1)^2}{2} \right) - \left( \frac{(0)^2}{2} - \frac{1}{3} \frac{(0)^3}{3} - \frac{2}{3} \frac{(0)^2}{2} \right)

\ = \ 0.0555

Por lo tanto, el Coeficiente de Gini es:

2 \cdot A = 2 \cdot 0.0555 = 0.1111

Al estar este valor cercano a cero, concluimos que la distribución de los ingresos tiende a ser equitativa.

  • Considerando la Curva de Lorenz L(x) = \frac{7}{18}x^6 + \frac{11}{18}x^3, calcule el Coeficiente de Gini e interprete su resultado.

Representamos gráficamente la función L(x) e identificamos las áreas involucradas para el cálculo del Coeficiente de Gini.

La Curva de Lorenz, áreas y Coeficiente de Gini | totumat.com

Calculamos el área A, identificada con rojo:

A \ = \ \int_{0}^{1} \left( x - L(x) \right) \ dx

\ = \ \int_{0}^{1} \left( x - \left( \frac{7}{18}x^6 + \frac{11}{18}x^3 \right) \right) \ dx

\ = \ \left. \left( \frac{x^2}{2} - \frac{7}{18} \frac{x^7}{7} - \frac{11}{18} \frac{x^4}{4} \right) \right|_{0}^{1}

\ = \ \left( \frac{(1)^2}{2} - \frac{7}{18} \frac{(1)^7}{7} - \frac{11}{18} \frac{(1)^4}{4} \right) - \left( \frac{(0)^2}{2} - \frac{7}{18} \frac{(0)^7}{7} - \frac{11}{18} \frac{(0)^4}{4} \right)

\ = \ 0.2916

Por lo tanto, el Coeficiente de Gini es:

2 \cdot A = 2 \cdot 0.2916 = 0.5833

Al estar este valor está más cercano a uno, que a cero, concluimos que la distribución de los ingresos tiende a ser desigual.


Un comentario en “La Curva de Lorenz y el Coeficiente de Gini

¿Tienes dudas? ¿Necesitas más ejemplos? No dudes en escribir.

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Salir /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Salir /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Salir /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Salir /  Cambiar )

Conectando a %s

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.