La Curva de Lorenz y el Coeficiente de Gini

Una vez que se determina el Producto Interno Bruto de un país, ¿qué cantidad de este dinero le corresponde a cada ciudadano? Independientemente de cómo esté distribuida la riqueza entre los habitantes de un país, por distintas razones (justas o no), esta distribución no es equitativa, de ahí radica la importancia de presentar un modelo matemático que permita describir esta distribución.

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La Curva de Lorenz

La Curva de Lorenz es una función que permite describir la distribución de la riqueza de en un país y también es conocida como la Línea de Desigualdad Perfecta. Usualmente esta se denota como $L(x)$ . En términos porcentuales, establece una correspondencia entre el porcentaje acumulado de ingresos y el porcentaje acumulado de la población receptora de ingresos, de esta forma, podemos decir que esta cumple con las siguientes condiciones:

Esta función corresponde a valores desde el 0% de la población acumulada hasta el 100% de la población acumulada, es decir, $Dom(L) = [0,1]$ .
Esta función corresponde a valores desde el 0% de ingresos acumulados hasta el 100% de los ingresos acumulados, es decir, $Rgo(L) = [0,1]$ .
El 0% de los ingresos es repartido entre el 0% de la población, es decir, $L(0)=0$ .
El 100% de los ingresos es repartido entre el 110% de la población, es decir, $L(1)=1$ .
La distribución de los ingresos nunca es equitativa, es decir, $L(x) < x$ para todo $x$ en su dominio.

Este último punto se debe a que la distribución equitativa de los ingresos se representa con la función identidad, es decir, con la función $f(x)=x$ ; y es conocida como la Línea de Igualdad Perfecta. La Curva de Lorenz se representa gráficamente con una función estrictamente creciente por debajo de la recta identidad de la siguiente forma:

La Curva de Lorenz o Línea de Desigualdad Perfecta | totumat.com

Veamos en los siguientes ejemplos algunas Curva de Lorenz y la distribución de los ingresos que estas describen.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considere la función $L(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x$ , esta es una Curva de Lorenz y sobre ella podemos considerar lo siguiente:

Si evaluamos esta función en $0.2$ , tenemos que $L(0.2) = \frac{1}{3}(0.2)^2 + \frac{2}{3}(0.2) = 0.1466$ esto implica que el 20% de la población percibe el 14.66% de los ingresos.
Si evaluamos esta función en $0.4$ , tenemos que $L(0.4) = \frac{1}{3}(0.4)^2 + \frac{2}{3}(0.4) = 0.32$ esto implica que el 40% de la población percibe el 32% de los ingresos.
Si evaluamos esta función en $0.75$ , tenemos que $L(0.75) = \frac{1}{3}(0.75)^2 + \frac{2}{3}(0.75) = 0.6875$ esto implica que el 75% de la población percibe el 68.75% de los ingresos.

La función $L(x)$ se representa gráficamente de la siguiente forma:

Ejemplo 2

Considere la función $L(x) = \frac{7}{18}x^6 + \frac{11}{18}x^2$ , esta es una Curva de Lorenz y sobre ella podemos considerar lo siguiente:

Si evaluamos esta función en $0.15$ , tenemos que $f(0.15) = \frac{7}{18}(0.15)^6 + \frac{11}{18}(0.15)^2 = 0.013$ esto implica que el 15% de la población percibe el 1.3% de los ingresos.
Si evaluamos esta función en $0.5$ , tenemos que $f(0.5) = \frac{7}{18}(0.5)^6 + \frac{11}{18}(0.5)^2 = 0.1588$ esto implica que el 50% de la población percibe el 15.88% de los ingresos.
Si evaluamos esta función en $0.8$ , tenemos que $f(0.8) = \frac{1}{3}(0.8)^2 + \frac{2}{3}(0.8) = 0.4930$ esto implica que el 80% de la población percibe el 49.30% de los ingresos.

La función $L(x)$ se representa gráficamente de la siguiente forma:

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El Coeficiente de Gini

Es notable que en algunos casos la Curva de Lorenz está más cercana a la recta identidad pero en otros, está más lejana, lo que pudiera indicar que tan desigual es la distribución de los ingresos. Observando esta situación, vale la pena preguntarse: ¿habrá una forma cuantificar esta diferencia? La respuesta es sí.

El Coeficiente de Gini mide la separación de la Curva de Lorenz respecto a la Línea de Igualdad Perfecta para determinar el grado de desigualdad que existe en la distribución de los ingreso, para llevar a cabo esta medición, consideramos las áreas A (roja) y B (azul) expresadas en el siguiente gráfico:

La Curva de Lorenz, áreas y Coeficiente de Gini | totumat.com

El área A es el área entre la Línea de Igualdad Perfecta y la Curva de Lorenz.
El área B es el área bajo la Curva de Lorenz.

El Coeficiente de Gini se determina calculando el cociente entre la área A y la suma de las áreas A+B, es decir,

$\frac{A}{A+B}$

Pero podemos notar inmediatamente que la suma de las áreas $A+B$ es justamente el área de un triángulo de base igual a $1$ y de altura igual a $1$ , por lo tanto, el área de este triángulo es $\frac{1}{2}$ . De esta forma, si efectuamos siguiente división

$\dfrac{ \ A \ }{\frac{1}{2}}$

Obtenemos una nueva expresión para calcular el Coeficiente de Gini, que será multiplicar el área A por 2:

$2 \cdot A$

Esta fórmula para calcular el Coeficiente de Gini nos indica que tan amplia es el área A y en consecuencia, qué tan alejada está la distribución de los ingresos de una distribución equitativa perfecta. Es por esto que al calcular este coeficiente, debemos tomar en cuenta que:

Si el Coeficiente de Gini está cercano a cero, esto quiere decir que la Curva de Lorenz está cerca de la Línea de Igualdad Perfecta y en consecuencia, la distribución de los ingresos tiende a ser equitativa.
Si el Coeficiente de Gini está cercano a uno, esto quiere decir que la Curva de Lorenz está alejada de la Línea de Igualdad Perfecta y en consecuencia, la distribución de los ingresos tiende a ser desigual.

En los siguientes ejemplos, veremos usaremos la fórmula para calcular el Coeficiente de Gini y veremos su interpretación.

Ejemplos

Ejemplo 3

Considerando la Curva de Lorenz $L(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x$ , calcule el Coeficiente de Gini e interprete su resultado.

Representamos gráficamente la función $L(x)$ e identificamos las áreas involucradas para el cálculo del Coeficiente de Gini.

Calculamos el área A, identificada con rojo:

$A \ = \ \int_{0}^{1} \left( x - L(x) \right) \ dx$

$\ = \ \int_{0}^{1} \left( x - \left( \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x \right) \right) \ dx$

$\ = \ \left. \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{3} \frac{x^3}{3} - \frac{2}{3} \frac{x^2}{2} \right) \right|_{0}^{1}$

$\ = \ \left( \frac{(1)^2}{2} - \frac{1}{3} \frac{(1)^3}{3} - \frac{2}{3} \frac{(1)^2}{2} \right) - \left( \frac{(0)^2}{2} - \frac{1}{3} \frac{(0)^3}{3} - \frac{2}{3} \frac{(0)^2}{2} \right)$

$\ = \ 0.0555$

Por lo tanto, el Coeficiente de Gini es:

$2 \cdot A = 2 \cdot 0.0555 = 0.1111$

Al estar este valor cercano a cero, concluimos que la distribución de los ingresos tiende a ser equitativa.

Considerando la Curva de Lorenz $L(x) = \frac{7}{18}x^6 + \frac{11}{18}x^3$ , calcule el Coeficiente de Gini e interprete su resultado.

Representamos gráficamente la función $L(x)$ e identificamos las áreas involucradas para el cálculo del Coeficiente de Gini.

Calculamos el área A, identificada con rojo:

$A \ = \ \int_{0}^{1} \left( x - L(x) \right) \ dx$

$\ = \ \int_{0}^{1} \left( x - \left( \frac{7}{18}x^6 + \frac{11}{18}x^3 \right) \right) \ dx$

$\ = \ \left. \left( \frac{x^2}{2} - \frac{7}{18} \frac{x^7}{7} - \frac{11}{18} \frac{x^4}{4} \right) \right|_{0}^{1}$

$\ = \ \left( \frac{(1)^2}{2} - \frac{7}{18} \frac{(1)^7}{7} - \frac{11}{18} \frac{(1)^4}{4} \right) - \left( \frac{(0)^2}{2} - \frac{7}{18} \frac{(0)^7}{7} - \frac{11}{18} \frac{(0)^4}{4} \right)$

$\ = \ 0.2916$