Curva de Lorenz y Áreas

La Curva de Lorenz y el Coeficiente de Gini

Una vez que se determina el Producto Interno Bruto de un país, ¿qué cantidad de este dinero le corresponde a cada ciudadano? Independientemente de cómo esté distribuida la riqueza entre los habitantes de un país, por distintas razones (justas o no), esta distribución no es equitativa, de ahí radica la importancia de presentar un modelo matemático que permita describir esta distribución.

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La Curva de Lorenz

La Curva de Lorenz es una función que permite describir la distribución de la riqueza de en un país y también es conocida como la Línea de Desigualdad Perfecta. Usualmente esta se denota como L(x). En términos porcentuales, establece una correspondencia entre el porcentaje acumulado de ingresos y el porcentaje acumulado de la población receptora de ingresos, de esta forma, podemos decir que esta cumple con las siguientes condiciones:

  • Esta función corresponde a valores desde el 0% de la población acumulada hasta el 100% de la población acumulada, es decir, Dom(L) = [0,1].
  • Esta función corresponde a valores desde el 0% de ingresos acumulados hasta el 100% de los ingresos acumulados, es decir, Rgo(L) = [0,1].
  • El 0% de los ingresos es repartido entre el 0% de la población, es decir, L(0)=0.
  • El 100% de los ingresos es repartido entre el 110% de la población, es decir, L(1)=1.
  • La distribución de los ingresos nunca es equitativa, es decir, L(x) < x para todo x en su dominio.

Este último punto se debe a que la distribución equitativa de los ingresos se representa con la función identidad, es decir, con la función f(x)=x; y es conocida como la Línea de Igualdad Perfecta. La Curva de Lorenz se representa gráficamente con una función estrictamente creciente por debajo de la recta identidad de la siguiente forma:

La Curva de Lorenz o Línea de Desigualdad Perfecta | totumat.com

Veamos en los siguientes ejemplos algunas Curva de Lorenz y la distribución de los ingresos que estas describen.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considere la función L(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x, esta es una Curva de Lorenz y sobre ella podemos considerar lo siguiente:

  • Si evaluamos esta función en 0.2, tenemos que f(0.2) = \frac{1}{3}(0.2)^2 + \frac{2}{3}(0.2) = 0.1466 esto implica que el 20% de la población percibe el 14.66% de los ingresos.
  • Si evaluamos esta función en 0.4, tenemos que f(0.4) = \frac{1}{3}(0.4)^2 + \frac{2}{3}(0.4) = 0.32 esto implica que el 40% de la población percibe el 32% de los ingresos.
  • Si evaluamos esta función en 0.75, tenemos que f(0.75) = \frac{1}{3}(0.75)^2 + \frac{2}{3}(0.75) = 0.6875 esto implica que el 75% de la población percibe el 68.75% de los ingresos.

La función L(x) se representa gráficamente de la siguiente forma:

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Ejemplo 2

Considere la función L(x) = \frac{7}{18}x^6 + \frac{11}{18}x^2, esta es una Curva de Lorenz y sobre ella podemos considerar lo siguiente:

  • Si evaluamos esta función en 0.15, tenemos que f(0.15) = \frac{7}{18}(0.15)^6 + \frac{11}{18}(0.15)^2 = 0.013 esto implica que el 15% de la población percibe el 1.3% de los ingresos.
  • Si evaluamos esta función en 0.5, tenemos que f(0.5) = \frac{7}{18}(0.5)^6 + \frac{11}{18}(0.5)^2 = 0.1588 esto implica que el 50% de la población percibe el 15.88% de los ingresos.
  • Si evaluamos esta función en 0.8, tenemos que f(0.8) = \frac{1}{3}(0.8)^2 + \frac{2}{3}(0.8) = 0.4930 esto implica que el 80% de la población percibe el 49.30% de los ingresos.

La función L(x) se representa gráficamente de la siguiente forma:

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El Coeficiente de Gini

Es notable que en algunos casos la Curva de Lorenz está más cercana a la recta identidad pero en otros, está más lejana, lo que pudiera indicar que tan desigual es la distribución de los ingresos. Observando esta situación, vale la pena preguntarse: ¿habrá una forma cuantificar esta diferencia? La respuesta es sí.

El Coeficiente de Gini mide la separación de la Curva de Lorenz respecto a la Línea de Igualdad Perfecta para determinar el grado de desigualdad que existe en la distribución de los ingreso, para llevar a cabo esta medición, consideramos las áreas A (roja) y B (azul) expresadas en el siguiente gráfico:

La Curva de Lorenz, áreas y Coeficiente de Gini | totumat.com
  • El área A es el área entre la Línea de Igualdad Perfecta y la Curva de Lorenz.
  • El área B es el área bajo la Curva de Lorenz.

El Coeficiente de Gini se determina calculando el cociente entre la área A y la suma de las áreas A+B, es decir,

\frac{A}{A+B}

Pero podemos notar inmediatamente que la suma de las áreas A+B es justamente el área de un triángulo de base igual a 1 y de altura igual a 1, por lo tanto, el área de este triángulo es \frac{1}{2}. De esta forma, si efectuamos siguiente división

\dfrac{ \ A \ }{\frac{1}{2}}

Obtenemos una nueva expresión para calcular el Coeficiente de Gini, que será multiplicar el área A por 2:

2 \cdot A

Esta fórmula para calcular el Coeficiente de Gini nos indica que tan amplia es el área A y en consecuencia, qué tan alejada está la distribución de los ingresos de una distribución equitativa perfecta. Es por esto que al calcular este coeficiente, debemos tomar en cuenta que:

  • Si el Coeficiente de Gini está cercano a cero, esto quiere decir que la Curva de Lorenz está cerca de la Línea de Igualdad Perfecta y en consecuencia, la distribución de los ingresos tiende a ser equitativa.
  • Si el Coeficiente de Gini está cercano a uno, esto quiere decir que la Curva de Lorenz está alejada de la Línea de Igualdad Perfecta y en consecuencia, la distribución de los ingresos tiende a ser desigual.

En los siguientes ejemplos, veremos usaremos la fórmula para calcular el Coeficiente de Gini y veremos su interpretación.

Ejemplos

Ejemplo 3

Considerando la Curva de Lorenz L(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x, calcule el Coeficiente de Gini e interprete su resultado.

Representamos gráficamente la función L(x) e identificamos las áreas involucradas para el cálculo del Coeficiente de Gini.

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Calculamos el área A, identificada con rojo:

A \ = \ \int_{0}^{1} \left( x - L(x) \right) \ dx

\ = \ \int_{0}^{1} \left( x - \left( \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x \right) \right) \ dx

\ = \ \left. \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{3} \frac{x^3}{3} - \frac{2}{3} \frac{x^2}{2} \right) \right|_{0}^{1}

\ = \ \left( \frac{(1)^2}{2} - \frac{1}{3} \frac{(1)^3}{3} - \frac{2}{3} \frac{(1)^2}{2} \right) - \left( \frac{(0)^2}{2} - \frac{1}{3} \frac{(0)^3}{3} - \frac{2}{3} \frac{(0)^2}{2} \right)

\ = \ 0.0555

Por lo tanto, el Coeficiente de Gini es:

2 \cdot A = 2 \cdot 0.0555 = 0.1111

Al estar este valor cercano a cero, concluimos que la distribución de los ingresos tiende a ser equitativa.

  • Considerando la Curva de Lorenz L(x) = \frac{7}{18}x^6 + \frac{11}{18}x^3, calcule el Coeficiente de Gini e interprete su resultado.

Representamos gráficamente la función L(x) e identificamos las áreas involucradas para el cálculo del Coeficiente de Gini.

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Calculamos el área A, identificada con rojo:

A \ = \ \int_{0}^{1} \left( x - L(x) \right) \ dx

\ = \ \int_{0}^{1} \left( x - \left( \frac{7}{18}x^6 + \frac{11}{18}x^3 \right) \right) \ dx

\ = \ \left. \left( \frac{x^2}{2} - \frac{7}{18} \frac{x^7}{7} - \frac{11}{18} \frac{x^4}{4} \right) \right|_{0}^{1}

\ = \ \left( \frac{(1)^2}{2} - \frac{7}{18} \frac{(1)^7}{7} - \frac{11}{18} \frac{(1)^4}{4} \right) - \left( \frac{(0)^2}{2} - \frac{7}{18} \frac{(0)^7}{7} - \frac{11}{18} \frac{(0)^4}{4} \right)

\ = \ 0.2916

Por lo tanto, el Coeficiente de Gini es:

2 \cdot A = 2 \cdot 0.2916 = 0.5833

Al estar este valor está más cercano a uno, que a cero, concluimos que la distribución de los ingresos tiende a ser desigual.


Área entre dos curvas

Propiedades de la Integral Definida

Al calcular áreas usando el Teorema Fundamental del Cálculo, no siempre encontraremos funciones elementales positivas, es por esto que debemos contar con herramientas para abordar áreas definidas por otro tipo de funciones. A continuación se presentan una serie de propiedades de la integral definida que permiten ampliar el espectro de áreas bajo curvas que podemos calcular.

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en un intervalo [a,b], k un escalar y c un elemento de [a,b], entonces tenemos que

Las primeras tres propiedades son análogas a las propiedades vistas en la integral indefinida y hacen referencia a la suma, resta y multiplicación por un escalar de funciones.

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La siguiente propiedad nos permite comparar el tamaño del área bajo la curva que definen dos funciones considerando la forma en que estas están relacionadas.

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Esta propiedad indica que al intercambiar los límites de integración, cambia el signo de la integral.

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Las siguientes propiedades indican que si la función es cero entonces su integral será igual a cero y también que la integral definida sobre un sólo punto es igual a cero, respectivamente

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Esta propiedad es muy interesante pues lo que indica que es que al calcular la integral de una función es posible partir el intervalo, de esta forma calcular la integral una parte de la función por un lado y otra parte por otro lado, finalmente se pueden juntar los resultados.

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Área entre dos curvas

El método que hemos usado para calcular áreas resulta motivado para calcular áreas bajo curvas definidas por funciones positivas, así que es inevitable preguntarse, ¿qué ocurre si la función es negativa? Supongamos que queremos calcular el área bajo la curva f(x)=x^3 en el intervalo [-1,1].

Identificamos el área que queremos calcular

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Si aplicamos directamente el Teorema Fundamental del Cálculo, tenemos que

A

= \ \int_{-1}^{1} x^3 dx

= \ \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-1}^{1}

= \ \frac{{1}^4}{4} - \frac{{-1}^4}{4}

= \ \frac{1}{4} - \frac{1}{4}

= \ 0

Sin embargo, esto es intuitivamente imposible pues al menos gráficamente podemos identificar el área bajo la curva y no pareciera ser igual a cero. Considerando esto en cuenta, debemos abordar este problema de una forma diferente.

Para entender lo que está pasando debemos recordar que al definir la Sumas de Riemann, calculamos el área de rectángulos cuyas alturas venían dadas por las imágenes de la función, así que al calcular el área cuando la función es negativa, el resultado de la integral será negativo.

Por ahora diremos que basta multiplicar por menos uno (-1) el resultado negativo de la integral para obtener el valor del área, aunque veremos luego veremos cómo solventar esta situación formalmente.

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Entonces, para calcular el área bajo la curva f(x)=x^3 en el intervalo [-1,1] debemos partir el intervalo en dos partes, uno en el que las imágenes de la función son negativas y otro en el que las imágenes de la función son positivas, a simple vista podemos ver que esto pasa cuando x está en [-1,0] y cuando x está en [0,1], respectivamente. Entonces podemos identificar dos áreas A_1 y A_2

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Gracias a las propiedades del la Integral Definida podemos partir la integral que hemos planteado como \int_{-1}^{1} x^3 dx = \int_{-1}^{0} x^3 dx + \int_{0}^{1} x^3 dx

Si aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo para cada una de estas integrales, tenemos que

A_1

= \ - \int_{-1}^{0} x^3 dx

= \ -\left( \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-1}^{0} \right)

= \ -\left( \frac{{0}^4}{4} - \frac{{-1}^4}{4} \right)

= \ -\left( \frac{0}{4} - \frac{1}{4} \right)

= \ \frac{1}{4}

A_2

= \ \int_{0}^{1} x^3 dx

= \ \left. \frac{x^4}{4} \right|_{0}^{-1}

= \ \frac{{1}^4}{4} - \frac{{0}^4}{4}

= \ \frac{1}{4} - \frac{0}{4}

= \ \frac{1}{4}

Finalmente, el área que queremos calcular estará determinada por la suma de estas dos áreas, es decir,

A = A_1 + A_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Calcular el área por debajo de una curva que está debajo del Eje X pierde sentido literario, tampoco tiene mucho sentido hablar de áreas negativas. Es por esto que simplemente multiplicar por menos uno no parece una respuesta satisfactoria cuando calculamos áreas si la función tiene imágenes negativas. Es por esto que debemos generalizar nuestra motivación para replantear el enfoque de la integral definida y definirla no como el área bajo la curva si no como el área encerrada entre la curva y el Eje X.

Es posible determinar el área entre dos curvas basándose en la forma que calculamos la longitud de un intervalo, es decir, tomando el valor más grande y restándole el valor más pequeño. De esta forma, si consideramos dos funciones g(x) \leq f(x) continuas en un intervalo [a,b], podemos calcular el área encerrada entre las curvas que definen tomando el área de la función f(x) que está por encima y le restamos el área la función g(x) que está por debajo,

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Por lo tanto, calculamos el área entre las curvas que definen las funciones f(x) y g(x) de la siguiente forma:

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Vemos con algunos ejemplos como calcular encerradas entre curvas.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el área encerrada entre las curvas f(x)=x^3 y g(x)=0 en el intervalo [0,1].

Identificamos el área que queremos calcular

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Notamos que la función g(x) está por encima del la función f(x). Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

A

= \ \int_{-1}^{0} g(x) dx - \int_{-1}^{0} f(x) dx

= \ \int_{-1}^{0} 0 dx - \int_{-1}^{0} x^3 dx

= \ 0 - \int_{-1}^{0} x^3 dx

= \ -\left( \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-1}^{0} \right)

= \ -\left( \frac{{0}^4}{4} - \frac{{-1}^4}{4} \right)

= \ -\left( \frac{0}{4} - \frac{1}{4} \right)

= \ \frac{1}{4}

Este ejemplo nos señala el porqué basta con multiplicar por menos uno al calcular el área bajo la curva de una de una función con imágenes negativas.

Ejemplo 2

Calcule el área encerrada entre las curvas f(x)=x y g(x)=x^2 en el intervalo [0,1].

Identificamos el área que queremos calcular

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Notamos que la función f(x) está por encima del la función g(x). Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

A

= \ \int_{0}^{1} f(x) dx - \int_{0}^{1} g(x) dx

= \ \int_{0}^{1} x dx - \int_{0}^{1} x^2 dx

= \ \int_{0}^{1} \left( x- x^2 \right) dx

= \ \left. \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{-1}^{0}

= \ \left( \frac{(1)^2}{2} - \frac{(1)^3}{3} \right) - \left( \frac{(0)^2}{2} - \frac{(0)^3}{3} \right)

= \ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( 0 \right)

= \ \frac{1}{6}

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Ejemplo 3

Calcule el área encerrada entre las curvas f(x)=-(x-2)^2 + 4 y g(x)=x^2 en el intervalo [-1,3].

En los ejemplos anteriores los puntos de intersección entre ambas funciones eran obvios y así fue bastante claro determinar los puntos en los que unas función estaba por encima de la otra, sin embargo, esto no siempre es así.

Antes de identificar el área que se debe calcular, es necesario calcular los puntos de intersección entre ambas funciones y así apreciar los puntos en los que la una función pasa a estar encima de la otra.

Para calcular los puntos de intersección entre dos funciones, basta con igualar las expresiones que las definen, es decir,

-(x-2)^2 + 4 = x^2

En este caso podemos agrupar todos los elementos de un sólo lado de la ecuación para plantear una ecuación cuadrática de la siguiente forma

-(x^2 - 4x + 4) + 4 = x^2 \Rightarrow -x^2 + 4x - 4 + 4 = x^2 \Rightarrow -2x^2 + 4x = 0

Y aplicando el método de su preferencia para calcular la solución de una ecuación cuadrática, obtenemos que los puntos de intersección entre las dos funciones son x=0 y x=2, notando que ambos están dentro del intervalo dado. Identificamos el área que queremos calcular

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Entonces, par calcular el área debemos partir el intervalo en tres partes, ya que funciones involucradas se relacionan de forma diferente en cada una de esta partes. Entonces tenemos que calcular tres áreas y posteriormente sumarlas.

Notamos que la función g(x) está por encima del la función f(x) en el intervalo [-1,0]. Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

A_1

= \ \int_{-1}^{0} g(x) dx - \int_{-1}^{0} f(x) dx

= \ \int_{-1}^{0} x^2 dx - \int_{-1}^{0} -(x-2)^2 + 4 dx

= \ \int_{-1}^{0} \left( x^2 - \left( -(x-2)^2 + 4 \right) \right) dx

= \ \int_{-1}^{0} \left( x^2 + (x-2)^2 - 4 \right) dx

= \ \left. \left( \frac{x^3}{3} + \frac{(x-2)^3}{3} - 4x \right) \right|_{-1}^{0}

= \ \left( \frac{(0)^3}{3} + \frac{(0-2)^3}{3} - 4(0) \right)

- \left( \frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1-2)^3}{3} - 4(-1) \right)

= \ \left( 0 - \frac{8}{3} - 0 \right)

- \left( - \frac{1}{3} - \frac{27}{3} + 4 \right)

= \ - \frac{8}{3} + \frac{1}{3} + 9 - 4

= \ \frac{8}{3}

Notamos que la función f(x) está por encima del la función g(x) en el intervalo [0,2]. Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

A_2

= \ \int_{0}^{2} f(x) dx - \int_{0}^{2} g(x) dx

= \ \int_{0}^{2} -(x-2)^2 + 4 dx - \int_{0}^{2} x^2 dx

= \ \int_{0}^{2} \left( -(x-2)^2 + 4 - x^2 \right) dx

= \ \left. \left( -\frac{(x-2)^3}{3} + 4x - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{2}

= \ \left( -\frac{(2-2)^3}{3} + 4(2) - \frac{(2)^3}{3} \right)

- \left( -\frac{(0-2)^3}{3} + 4(0) - \frac{(0)^3}{3} \right)

= \ \left( 0 + 8 - \frac{8}{3} \right)

- \left( - \frac{(-8)}{3} + 0 + 0 \right)

= \ 8 - \frac{8}{3} - \frac{8}{3}

= \ \frac{8}{3}

Notamos que la función g(x) está por encima del la función f(x) en el intervalo [2,1]. Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

A_3

= \ \int_{2}^{3} g(x) dx - \int_{2}^{3} f(x) dx

= \ \int_{2}^{3} x^2 dx - \int_{2}^{3} -(x-2)^2 + 4 dx

= \ \int_{2}^{3} \left( x^2 - \left( -(x-2)^2 + 4 \right) \right) dx

= \ \int_{2}^{3} \left( x^2 + (x-2)^2 - 4 \right) dx

= \ \left. \left( \frac{x^3}{3} + \frac{(x-2)^3}{3} - 4x \right) \right|_{2}^{3}

= \ \left( \frac{(3)^3}{3} + \frac{(3-2)^3}{3} - 4(3) \right)

- \left( \frac{(2)^3}{3} + \frac{(2-2)^3}{3} - 4(2) \right)

= \ \left( \frac{27}{3} + \frac{1}{3} - 12 \right)

- \left( \frac{8}{3} + \frac{0}{3} - 8 \right)

= \ 9 + \frac{1}{3} - 12 - \frac{8}{3} - 0 + 8

= \ \frac{8}{3}

Finalmente, el área que queremos calcular estará determinada por la suma de estas tres áreas, es decir,

A = A_1 + A_2 + A_3 = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = 8