La Integral Indefinida

Hemos visto que el cálculo de derivadas es un recurso valioso para estudiar el comportamiento de una función, sin embargo, podemos encontrarnos en la situación de conocer la derivada de una función y por ende su comportamiento, pero no la función en sí. Es posible determinar una función a partir de su derivada y para esto se deben desarrollar métodos que lo permitan. Veamos de manera formal como hacer esto.

Sea f(x) una función, definimos una antiderivada (primitiva en algunos libros de texto) de ella como una función A(x) tal que al derivarla, obtenemos la función f(x), es decir, un función que cumple con la siguiente condición:

Veamos un caso particular, ¿cuál es una antiderivada de la función f(x)=x? Piense detenidamente en una función tal que al derivarla el resultado sea f(x)=x, tómese su tiempo pues para los que haremos luego, es necesario que usted desarrolle su ingenio,

¿Será la función constante 1? Suena tentativo, calculemos su derivada a ver, (1)' = 0 pues la derivada de toda constante es igual a 0. Si nos fijamos, propusimos lla derivada de x para obtener la posible antiderivada, entonces consideremos otra opción tomando esto en cuenta,

¿Será la función identidad x? Calculemos su derivada a ver, (x)' = 1, así que no es la antiderivada que estamos buscando. Entonces consideremos otra opción,

¿Será la función cuadrática x^2? Calculemos su derivada a ver, (x^2)' = 2x, es casi lo que estamos buscando, el detalle es que la variable x está siendo multiplicada por dos, así que no es la antiderivada que estamos buscando. Entonces consideremos otra opción dividiendo por dos,

Sin consideramos la función cuadrática dividida entre dos, \frac{x^2}{2}, entonces su derivada es \left( \frac{x^2}{2} \right)' =2\frac{x}{2}=x. Entonces, concluimos que en efecto A(x)=\frac{x^2}{2} es una antiderivada de la función f(x)=x.

Notemos que hasta ahora hemos hablado de una antiderivada y no de la antiderivada, entonces surge la siguiente pregunta: ¿hay más antiderivadas? Sí, las hay, ¿puede usted pensar en otra función que también sea una antiderivada de la función f(x)=x? Piense con detenimiento antes de que seguir leyendo.

La respuesta parecerá sencilla una vez que se dé, pero recuerde que para llegar a ella hubo un proceso de razonamiento. Sin consideramos la función A(x)=\frac{x^2}{2} + 1 esta es otra función, que también será una antiderivada de f(x)=x pues la derivada de uno es igual a cero.

Ahora, ¿puede pensar en otra antiderivada? Por supuesto, A(x)=\frac{x^2}{2} + 2. ¿Otra? Claro que sí, A(x)=\frac{x^2}{2} + 3… Entonces, ¿cuántas antiderivadas tiene al función f(x)=x? Tantas como constantes que se puedan sumar, es decir, de forma general si C es una constante, podemos decir que cualquier antiderivada de la función f(x)=x estará expresada de la forma

A(x)=\frac{x^2}{2} + C

Sabiendo esto, podemos generalizar y decir que si A(x) es una antiderivada de una función f(x) entonces, también lo será A(x)+C. Es posible aglomerar todas las antiderivadas pues definimos la integral indefinida de una función f(x) como la familia de todas las antiderivadas de f(x) y la denotamos de la siguiente forma

Donde \int es una s alargada que llamaremos integral y se usa para denotar el operador de integración; dx es el diferencial de x y se usa para indicar la variable respecto a la cual se está integrando.

Diremos que integrar una función es el proceso de calcular la integral de una función y podemos empezar este proceso nombrando algunas integrales que se obtienen de forma directa de la tabla de derivadas:

Tabla de Integrales

¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

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