La Curva de Lorenz y el Coeficiente de Gini

01.05.202102.12.2022 Anthonny Arias García1 comentario

Una vez que se determina el Producto Interno Bruto de un país, ¿qué cantidad de este dinero le corresponde a cada ciudadano? Independientemente de cómo esté distribuida la riqueza entre los habitantes de un país, por distintas razones (justas o no), esta distribución no es equitativa, de ahí radica la importancia de presentar un modelo matemático que permita describir esta distribución.

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La Curva de Lorenz

La Curva de Lorenz es una función que permite describir la distribución de la riqueza de en un país y también es conocida como la Línea de Desigualdad Perfecta. Usualmente esta se denota como $L(x)$ . En términos porcentuales, establece una correspondencia entre el porcentaje acumulado de ingresos y el porcentaje acumulado de la población receptora de ingresos, de esta forma, podemos decir que esta cumple con las siguientes condiciones:

Esta función corresponde a valores desde el 0% de la población acumulada hasta el 100% de la población acumulada, es decir, $Dom(L) = [0,1]$ .
Esta función corresponde a valores desde el 0% de ingresos acumulados hasta el 100% de los ingresos acumulados, es decir, $Rgo(L) = [0,1]$ .
El 0% de los ingresos es repartido entre el 0% de la población, es decir, $L(0)=0$ .
El 100% de los ingresos es repartido entre el 110% de la población, es decir, $L(1)=1$ .
La distribución de los ingresos nunca es equitativa, es decir, $L(x) < x$ para todo $x$ en su dominio.

Este último punto se debe a que la distribución equitativa de los ingresos se representa con la función identidad, es decir, con la función $f(x)=x$ ; y es conocida como la Línea de Igualdad Perfecta. La Curva de Lorenz se representa gráficamente con una función estrictamente creciente por debajo de la recta identidad de la siguiente forma:

La Curva de Lorenz o Línea de Desigualdad Perfecta | totumat.com

Veamos en los siguientes ejemplos algunas Curva de Lorenz y la distribución de los ingresos que estas describen.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considere la función $L(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x$ , esta es una Curva de Lorenz y sobre ella podemos considerar lo siguiente:

Si evaluamos esta función en $0.2$ , tenemos que $L(0.2) = \frac{1}{3}(0.2)^2 + \frac{2}{3}(0.2) = 0.1466$ esto implica que el 20% de la población percibe el 14.66% de los ingresos.
Si evaluamos esta función en $0.4$ , tenemos que $L(0.4) = \frac{1}{3}(0.4)^2 + \frac{2}{3}(0.4) = 0.32$ esto implica que el 40% de la población percibe el 32% de los ingresos.
Si evaluamos esta función en $0.75$ , tenemos que $L(0.75) = \frac{1}{3}(0.75)^2 + \frac{2}{3}(0.75) = 0.6875$ esto implica que el 75% de la población percibe el 68.75% de los ingresos.

La función $L(x)$ se representa gráficamente de la siguiente forma:

Ejemplo 2

Considere la función $L(x) = \frac{7}{18}x^6 + \frac{11}{18}x^2$ , esta es una Curva de Lorenz y sobre ella podemos considerar lo siguiente:

Si evaluamos esta función en $0.15$ , tenemos que $f(0.15) = \frac{7}{18}(0.15)^6 + \frac{11}{18}(0.15)^2 = 0.013$ esto implica que el 15% de la población percibe el 1.3% de los ingresos.
Si evaluamos esta función en $0.5$ , tenemos que $f(0.5) = \frac{7}{18}(0.5)^6 + \frac{11}{18}(0.5)^2 = 0.1588$ esto implica que el 50% de la población percibe el 15.88% de los ingresos.
Si evaluamos esta función en $0.8$ , tenemos que $f(0.8) = \frac{1}{3}(0.8)^2 + \frac{2}{3}(0.8) = 0.4930$ esto implica que el 80% de la población percibe el 49.30% de los ingresos.

La función $L(x)$ se representa gráficamente de la siguiente forma:

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El Coeficiente de Gini

Es notable que en algunos casos la Curva de Lorenz está más cercana a la recta identidad pero en otros, está más lejana, lo que pudiera indicar que tan desigual es la distribución de los ingresos. Observando esta situación, vale la pena preguntarse: ¿habrá una forma cuantificar esta diferencia? La respuesta es sí.

El Coeficiente de Gini mide la separación de la Curva de Lorenz respecto a la Línea de Igualdad Perfecta para determinar el grado de desigualdad que existe en la distribución de los ingreso, para llevar a cabo esta medición, consideramos las áreas A (roja) y B (azul) expresadas en el siguiente gráfico:

La Curva de Lorenz, áreas y Coeficiente de Gini | totumat.com

El área A es el área entre la Línea de Igualdad Perfecta y la Curva de Lorenz.
El área B es el área bajo la Curva de Lorenz.

El Coeficiente de Gini se determina calculando el cociente entre la área A y la suma de las áreas A+B, es decir,

$\frac{A}{A+B}$

Pero podemos notar inmediatamente que la suma de las áreas $A+B$ es justamente el área de un triángulo de base igual a $1$ y de altura igual a $1$ , por lo tanto, el área de este triángulo es $\frac{1}{2}$ . De esta forma, si efectuamos siguiente división

$\dfrac{ \ A \ }{\frac{1}{2}}$

Obtenemos una nueva expresión para calcular el Coeficiente de Gini, que será multiplicar el área A por 2:

$2 \cdot A$

Esta fórmula para calcular el Coeficiente de Gini nos indica que tan amplia es el área A y en consecuencia, qué tan alejada está la distribución de los ingresos de una distribución equitativa perfecta. Es por esto que al calcular este coeficiente, debemos tomar en cuenta que:

Si el Coeficiente de Gini está cercano a cero, esto quiere decir que la Curva de Lorenz está cerca de la Línea de Igualdad Perfecta y en consecuencia, la distribución de los ingresos tiende a ser equitativa.
Si el Coeficiente de Gini está cercano a uno, esto quiere decir que la Curva de Lorenz está alejada de la Línea de Igualdad Perfecta y en consecuencia, la distribución de los ingresos tiende a ser desigual.

En los siguientes ejemplos, veremos usaremos la fórmula para calcular el Coeficiente de Gini y veremos su interpretación.

Ejemplos

Ejemplo 3

Considerando la Curva de Lorenz $L(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x$ , calcule el Coeficiente de Gini e interprete su resultado.

Representamos gráficamente la función $L(x)$ e identificamos las áreas involucradas para el cálculo del Coeficiente de Gini.

Calculamos el área A, identificada con rojo:

$A \ = \ \int_{0}^{1} \left( x - L(x) \right) \ dx$

$\ = \ \int_{0}^{1} \left( x - \left( \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x \right) \right) \ dx$

$\ = \ \left. \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{3} \frac{x^3}{3} - \frac{2}{3} \frac{x^2}{2} \right) \right|_{0}^{1}$

$\ = \ \left( \frac{(1)^2}{2} - \frac{1}{3} \frac{(1)^3}{3} - \frac{2}{3} \frac{(1)^2}{2} \right) - \left( \frac{(0)^2}{2} - \frac{1}{3} \frac{(0)^3}{3} - \frac{2}{3} \frac{(0)^2}{2} \right)$

$\ = \ 0.0555$

Por lo tanto, el Coeficiente de Gini es:

$2 \cdot A = 2 \cdot 0.0555 = 0.1111$

Al estar este valor cercano a cero, concluimos que la distribución de los ingresos tiende a ser equitativa.

Considerando la Curva de Lorenz $L(x) = \frac{7}{18}x^6 + \frac{11}{18}x^3$ , calcule el Coeficiente de Gini e interprete su resultado.

Representamos gráficamente la función $L(x)$ e identificamos las áreas involucradas para el cálculo del Coeficiente de Gini.

Calculamos el área A, identificada con rojo:

$A \ = \ \int_{0}^{1} \left( x - L(x) \right) \ dx$

$\ = \ \int_{0}^{1} \left( x - \left( \frac{7}{18}x^6 + \frac{11}{18}x^3 \right) \right) \ dx$

$\ = \ \left. \left( \frac{x^2}{2} - \frac{7}{18} \frac{x^7}{7} - \frac{11}{18} \frac{x^4}{4} \right) \right|_{0}^{1}$

$\ = \ \left( \frac{(1)^2}{2} - \frac{7}{18} \frac{(1)^7}{7} - \frac{11}{18} \frac{(1)^4}{4} \right) - \left( \frac{(0)^2}{2} - \frac{7}{18} \frac{(0)^7}{7} - \frac{11}{18} \frac{(0)^4}{4} \right)$

$\ = \ 0.2916$

Por lo tanto, el Coeficiente de Gini es:

$2 \cdot A = 2 \cdot 0.2916 = 0.5833$

Al estar este valor está más cercano a uno, que a cero, concluimos que la distribución de los ingresos tiende a ser desigual.

Excedente de los Consumidores y de los Productores – Caso no lineal

26.04.202107.12.2022 Anthonny Arias García1 comentario

Al estudiar el mercado, es notorio que los productores siempre querrán vender a un precio elevado y los consumidores siempre querrán comprar a un precio bajo. El punto de equilibrio del mercado permite establecer un consenso entre las dos partes, sin embargo, ¿qué tanto beneficia este consenso a las partes?

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Excedente de los Consumidores

Suponga que usted va al supermercado con el objetivo de comprar un producto y que cuando lo va a pagar, recibe la grata sorpresa de que está más barato de lo que usted pensaba, esta situación tiene una interpretación formal. Si observamos la función de demanda de un determinado artículo, podemos notar que si se fija el precio de cada unidad en $p_1$ Perolitos (Ps.), los consumidores estarán dispuestos a comprar $q_1$ unidades de dicho artículo.

Sin embargo, una vez que se ha fijado el punto de equilibrio $(q_0,p_0)$ Ps., podemos notar que aquellos consumidores que están dispuestos a comprar $q_1$ unidades cuando el precio se había fijado en $p_1$ Ps., ahora comprarán las mismas $q_1$ unidades pagando cada unidad en un menor precio de $p_0$ Ps.

De esta forma, si un consumidor pensaba gastar $p_1 \cdot q_1$ Ps. (precio por unidad multiplicado por la cantidad adquirida), una vez que se ha fijado el precio de equilibrio, gastará $p_0 \cdot q_1$ Ps. Esto genera un beneficio para los consumidores, y a partir de este hecho surge la siguiente pregunta: ¿es posible cuantificar este beneficio?

Para responder a esta pregunta, supongamos que la cantidad de unidades que los consumidores piensan comprar no es fija sino que es una gama representada por un rango de unidades comprendidas entre ninguna unidad y la cantidad $q_0$ , fijada por el punto de equilibrio. El gasto que pagarían originalmente, está representado por el área que está debajo de la función de demanda de la siguiente forma,

Pero como al final los consumidores están pagando un precio de $p_0$ Ps. por cada unidad, el beneficio generado al fijar el equilibrio, está representado por el área que está debajo de la función de demanda y por encima del precio de equilibrio de la siguiente forma,

El área que representa el beneficio para los consumidores una vez que se ha fijado el precio de equilibrio se llama Excedente de los Consumidores o Superávit de los Consumidores, y lo podemos medir calculando el área que se encuentra entre la función de demanda, la recta que define del precio de equilibrio y el Eje P.

Por lo tanto, si la función de demanda está denotada de la forma $D(q)$ , determinamos el excedente de los consumidores calculando la siguiente integral definida:

$\displaystyle E.C. \ = \ \int_{0}^{q_0} \left( D(q) - p_0 \right) \ dq$

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

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Excedente de los Productores

Suponga que usted es productor de un artículo pero luego de estudiar los costos y un posible precio de venta para recibir unos ingresos aceptables, recibe la grata sorpresa de que puede fijar un precio por encima de lo que usted pensaba, esta situación tiene una interpretación formal. Si observamos la función de oferta de un determinado artículo, podemos notar que los productores estarán dispuestos a ofertar $q_1$ unidades de dicho artículo si se fija el precio de cada unidad en $p_1$ Perolitos (Ps.),

Sin embargo, una vez que se ha fijado el punto de equilibrio $(q_0,p_0)$ Ps., podemos notar que aquellos productores que están dispuestos a ofertar $q_1$ unidades cuando el precio se había fijado en $p_1$ Ps., ahora ofertarán las mismas $q_1$ unidades vendiendo cada unidad en un mayor precio de $p_0$ Ps.

De esta forma, si un productor pensaba recibir $p_1 \cdot q_1$ Ps. (precio por unidad multiplicado por la cantidad ofertada), una vez que se ha fijado el precio de equilibrio, recibir $p_0 \cdot q_1$ Ps. Esto genera un beneficio para los productores, y a partir de este hecho surge la siguiente pregunta: ¿es posible cuantificar este beneficio?

Para responder a esta pregunta, supongamos que la cantidad de unidades que los productores piensan ofertar no es fija sino que es una gama representada por un rango de unidades comprendidas entre ninguna unidad y la cantidad $q_0$ , fijada por el punto de equilibrio. Los ingresos que recibirían originalmente, están representado por el área que está debajo de la función de oferta de la siguiente forma,

Pero como al final los productores están vendiendo a un precio de $p_0$ Ps. por cada unidad, el beneficio generado al fijar el equilibrio, está representado por el área que está debajo del precio de equilibrio y por encima de la función de oferta de la siguiente forma,

El área que representa el beneficio para los productores una vez que se ha fijado el precio de equilibrio se llama Excedente de los Productores o Superávit de los Productores, y lo podemos medir calculando el área del triángulo que genera la función de oferta, la función del precio de equilibrio y el Eje P.

Por lo tanto, si la función de oferta está denotada de la forma $O(q)$ , determinamos el excedente de los productores calculando la siguiente integral definida:

$\displaystyle E.P. \ = \ \int_{0}^{q_0} \big( p_0 - O(q) \big) \ dq$

Consideremos en los siguientes ejemplos cómo calcular el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes considerando la curva de demanda y la curva de oferta del mercado.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la ecuación de demanda $p = -\frac{67}{100}q +126$ y la ecuación de oferta $p = \frac{13}{25}q^2 +36$ , calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego planteamos una ecuación cuadrática para calcular $q$ .

$\displaystyle -\frac{67}{100}q +126 = \frac{13}{25}q^2+36$

$\displaystyle \Rightarrow \ -\frac{67}{100}q +126 - \frac{13}{25}q^2 - 36 = 0$

$\displaystyle \Rightarrow \ - \frac{13}{25}q^2 -\frac{67}{100}q + 90 = 0$

$\displaystyle \Rightarrow \ \frac{13}{25}q^2 + \frac{67}{100}q - 90 = 0$

Para calcular la solución de esta ecuación cuadrática utilizamos el método de discriminante:

$\displaystyle q \ = \ \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$\displaystyle \ = \ \dfrac{- \frac{67}{100} \pm \sqrt{\left( \frac{67}{100} \right)^2-4 \cdot \left( \frac{13}{25} \right) \cdot \left( - 90 \right)}}{2 \cdot \left( \frac{13}{25} \right)}$

De donde concluimos que $q \approx -13.84163$ ó $q \approx 12.50163$ , pero al ser $q$ una variable que representa cantidades, consideramos únicamente su valor positivo.

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la función de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos en este caso el valor de $q \approx 12.50163$ en la ecuación de demanda.

$\displaystyle p = \ -\frac{67}{100} \cdot \left( 12.50 \right) + 126 \ \approx \ 117.6239$

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado $\left( 12.50163 ; 117.6239 \right)$ . Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

Excedente de los Productores y de los Consumidores, ejemplo. | totumat.com

Calculamos el Excedente de los Consumidores:

$\displaystyle E.C. \ = \ \int_{0}^{q_0} \left( D(q) - p_0 \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \int_{0}^{12.50} \left( -\frac{67}{100}q +126 - 117.62 \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \int_{0}^{12.50} \left( -\frac{67}{100}q + 8.38 \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \left. \left( -\frac{67}{100} \frac{q^2}{2} + 8.38q \right) \right|_{0}^{12.05}$

$\displaystyle \ = \ \left( -\frac{67}{100} \frac{(12.05)^2}{2} + 8.38(12.05) \right) - \left( -\frac{67}{100} \frac{(0)^2}{2} + 8.38(0) \right)$

$\displaystyle \ = \ 52.41$

Calculamos el Excedente de los Productores:

$\displaystyle E.P. \ = \ \int_{0}^{q_0} \left( p_0 - O(q) \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \int_{0}^{12.05} \left( 117.62 - \frac{13}{25}q^2 - 36 \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \int_{0}^{12.05} \left( 81.62 - \frac{13}{25}q^2 \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \left. \left( 81.62q - \frac{13}{25} \frac{q^3}{3} \right) \right|_{0}^{12.05}$

$\displaystyle \ = \ \left( 81.62 (12.05) - \frac{13}{25} \frac{(12.05)^3}{3} \right) - \left( 81.62(0) - \frac{13}{25} \frac{(0)^3}{3} \right)$

$\ = \ 680.24$

Ejemplo 2

Considerando la ecuación de demanda $p = -\frac{1}{10}q^2 +115$ y la ecuación de oferta $p = \frac{87}{100}q +11$ , calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Para calcular el punto de equilibrio del mercado debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego planteamos una ecuación cuadrática para calcular $q$ .

$\displaystyle -\frac{1}{10}q^2 +115 = \frac{87}{100}q +11$

$\displaystyle \Rightarrow \ -\frac{1}{10}q^2 +115 - \frac{87}{100}q - 11 = 0$

$\displaystyle \Rightarrow \ -\frac{1}{10}q^2 - \frac{87}{100}q + 104 = 0$

$\displaystyle \Rightarrow \ \frac{1}{10}q^2 + \frac{87}{100}q - 104 = 0$

Para calcular la solución de esta ecuación cuadrática utilizamos el método de discriminante:

$\displaystyle q \ = \ \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$\displaystyle \ = \ \dfrac{- \frac{87}{100} \pm \sqrt{\left( \frac{87}{100} \right)^2-4 \cdot \left( \frac{1}{10} \right) \cdot \left( - 104 \right)}}{2 \cdot \left( \frac{1}{10} \right)}$

De donde concluimos que $q \approx -33.41109$ ó $q \approx 31.67109$ , pero al ser $q$ una variable que representa cantidades, consideramos únicamente su valor positivo.

Una vez calculado el valor de $q$ , lo sustituimos en la función de nuestra preferencia y calculamos el valor de $p$ . Sustituyamos en este caso el valor de $q \approx 31.67$ en la ecuación de oferta.

$p = \ \frac{87}{100} (31.67) +11 \ \approx \ 38.55385$

Por lo tanto, el punto de equilibrio del mercado $\left( 31.67 ; 38.55 \right)$ . Grafiquemos ahora el punto de equilibrio del mercado e identifiquemos las áreas que definen los excedentes.

Calculamos el Excedente de los Consumidores:

$\displaystyle E.C. \ = \ \int_{0}^{q_0} \left( D(q) - p_0 \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \int_{0}^{31.67} \left( -\frac{1}{10}q^2 +115 - 38.55 \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \int_{0}^{31.67} \left( -\frac{1}{10}q^2 + 76.45 \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \left. \left( -\frac{1}{10} \frac{q^3}{3} + 76.45q \right) \right|_{0}^{31.67}$

$\displaystyle \ = \ \left( -\frac{1}{10} \frac{(31.67)^3}{3} + 76.45(31.67) \right) - \left( -\frac{1}{10} \frac{(0)^3}{3} +76.45(0) \right)$

$\ = \ 1362.35$

Calculamos el Excedente de los Productores:

$\displaystyle E.P. \ = \ \int_{0}^{q_0} \left( p_0 - O(q) \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \int_{0}^{31.67} \left( 38.55 - \frac{87}{100}q - 11 \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \int_{0}^{31.67} \left( 27.55 - \frac{87}{100}q \right) \ dq$

$\displaystyle \ = \ \left. \left( 27.55 q - \frac{87}{100} \frac{q^2}{2} \right) \right|_{0}^{31.67}$

$\displaystyle \ = \ \left( 27.55 (31.67) - \frac{87}{100} \frac{(31.67)^2}{2} \right) - \left( 27.55 (0) - \frac{87}{100} \frac{(0)^2}{2} \right)$

$\ = \ 436.20$

Área entre dos curvas

25.05.202007.12.2022 Anthonny Arias García4 comentarios

Propiedades de la Integral Definida

Al calcular áreas usando el Teorema Fundamental del Cálculo, no siempre encontraremos funciones elementales positivas, es por esto que debemos contar con herramientas para abordar áreas definidas por otro tipo de funciones. A continuación se presentan una serie de propiedades de la integral definida que permiten ampliar el espectro de áreas bajo curvas que podemos calcular.

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Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos funciones continuas en un intervalo $[a,b]$ , $k$ un escalar y $c$ un elemento de $[a,b]$ , entonces tenemos que

Las primeras tres propiedades son análogas a las propiedades vistas en la integral indefinida y hacen referencia a la suma, resta y multiplicación por un escalar de funciones.

Propiedades de la Integral Definida | totumat.com

La siguiente propiedad nos permite comparar el tamaño del área bajo la curva que definen dos funciones considerando la forma en que estas están relacionadas.

Esta propiedad indica que al intercambiar los límites de integración, cambia el signo de la integral.

Las siguientes propiedades indican que si la función es cero entonces su integral será igual a cero y también que la integral definida sobre un sólo punto es igual a cero, respectivamente

Esta propiedad es muy interesante pues lo que indica que es que al calcular la integral de una función es posible partir el intervalo, de esta forma calcular la integral una parte de la función por un lado y otra parte por otro lado, finalmente se pueden juntar los resultados.

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Área entre dos curvas

El método que hemos usado para calcular áreas resulta motivado para calcular áreas bajo curvas definidas por funciones positivas, así que es inevitable preguntarse, ¿qué ocurre si la función es negativa? Supongamos que queremos calcular el área bajo la curva $f(x)=x^3$ en el intervalo $[-1,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

Si aplicamos directamente el Teorema Fundamental del Cálculo, tenemos que

$\displaystyle A$

$\displaystyle = \ \int_{-1}^{1} x^3 dx$

$\displaystyle = \ \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-1}^{1}$

$\displaystyle = \ \frac{{1}^4}{4} - \frac{{-1}^4}{4}$

$\displaystyle = \ \frac{1}{4} - \frac{1}{4}$

$\displaystyle = \ 0$

Sin embargo, esto es intuitivamente imposible pues al menos gráficamente podemos identificar el área bajo la curva y no pareciera ser igual a cero. Considerando esto en cuenta, debemos abordar este problema de una forma diferente.

Para entender lo que está pasando debemos recordar que al definir la Sumas de Riemann, calculamos el área de rectángulos cuyas alturas venían dadas por las imágenes de la función, así que al calcular el área cuando la función es negativa, el resultado de la integral será negativo.

Por ahora diremos que basta multiplicar por menos uno (-1) el resultado negativo de la integral para obtener el valor del área, aunque veremos luego veremos cómo solventar esta situación formalmente.

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Entonces, para calcular el área bajo la curva $f(x)=x^3$ en el intervalo $[-1,1]$ debemos partir el intervalo en dos partes, uno en el que las imágenes de la función son negativas y otro en el que las imágenes de la función son positivas, a simple vista podemos ver que esto pasa cuando $x$ está en $[-1,0]$ y cuando $x$ está en $[0,1]$ , respectivamente. Entonces podemos identificar dos áreas $A_1$ y $A_2$

Gracias a las propiedades del la Integral Definida podemos partir la integral que hemos planteado como $\int_{-1}^{1} x^3 dx = \int_{-1}^{0} x^3 dx + \int_{0}^{1} x^3 dx$

Si aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo para cada una de estas integrales, tenemos que

$\displaystyle A_1$

$\displaystyle = \ - \int_{-1}^{0} x^3 dx$

$\displaystyle = \ -\left( \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-1}^{0} \right)$

$\displaystyle = \ -\left( \frac{{0}^4}{4} - \frac{{-1}^4}{4} \right)$

$\displaystyle = \ -\left( \frac{0}{4} - \frac{1}{4} \right)$

$\displaystyle = \ \frac{1}{4}$

$\displaystyle A_2$

$\displaystyle = \ \int_{0}^{1} x^3 dx$

$\displaystyle = \ \left. \frac{x^4}{4} \right|_{0}^{-1}$

$\displaystyle = \ \frac{{1}^4}{4} - \frac{{0}^4}{4}$

$\displaystyle = \ \frac{1}{4} - \frac{0}{4}$

$\displaystyle = \ \frac{1}{4}$

Finalmente, el área que queremos calcular estará determinada por la suma de estas dos áreas, es decir,

$\displaystyle A = A_1 + A_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Calcular el área por debajo de una curva que está debajo del Eje X pierde sentido literario, tampoco tiene mucho sentido hablar de áreas negativas. Es por esto que simplemente multiplicar por menos uno no parece una respuesta satisfactoria cuando calculamos áreas si la función tiene imágenes negativas. Es por esto que debemos generalizar nuestra motivación para replantear el enfoque de la integral definida y definirla no como el área bajo la curva si no como el área encerrada entre la curva y el Eje X.

Es posible determinar el área entre dos curvas basándose en la forma que calculamos la longitud de un intervalo, es decir, tomando el valor más grande y restándole el valor más pequeño. De esta forma, si consideramos dos funciones $g(x) \leq f(x)$ continuas en un intervalo $[a,b]$ , podemos calcular el área encerrada entre las curvas que definen tomando el área de la función $f(x)$ que está por encima y le restamos el área la función $g(x)$ que está por debajo,

Por lo tanto, calculamos el área entre las curvas que definen las funciones $f(x)$ y $g(x)$ de la siguiente forma:

Vemos con algunos ejemplos como calcular encerradas entre curvas.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el área encerrada entre las curvas $f(x)=x^3$ y $g(x)=0$ en el intervalo $[0,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

Notamos que la función $g(x)$ está por encima del la función $f(x)$ . Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

$\displaystyle A$

$\displaystyle = \ \int_{-1}^{0} g(x) dx - \int_{-1}^{0} f(x) dx$

$\displaystyle = \ \int_{-1}^{0} 0 dx - \int_{-1}^{0} x^3 dx$

$\displaystyle = \ 0 - \int_{-1}^{0} x^3 dx$

$\displaystyle = \ -\left( \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-1}^{0} \right)$

$\displaystyle = \ -\left( \frac{{0}^4}{4} - \frac{{-1}^4}{4} \right)$

$\displaystyle = \ -\left( \frac{0}{4} - \frac{1}{4} \right)$

$\displaystyle = \ \frac{1}{4}$

Este ejemplo nos señala el porqué basta con multiplicar por menos uno al calcular el área bajo la curva de una de una función con imágenes negativas.

Ejemplo 2

Calcule el área encerrada entre las curvas $f(x)=x$ y $g(x)=x^2$ en el intervalo $[0,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

Notamos que la función $f(x)$ está por encima del la función $g(x)$ . Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

$\displaystyle A$

$\displaystyle = \ \int_{0}^{1} f(x) dx - \int_{0}^{1} g(x) dx$

$\displaystyle = \ \int_{0}^{1} x dx - \int_{0}^{1} x^2 dx$

$\displaystyle = \ \int_{0}^{1} \left( x- x^2 \right) dx$

$\displaystyle = \ \left. \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{-1}^{0}$

$\displaystyle = \ \left( \frac{(1)^2}{2} - \frac{(1)^3}{3} \right) - \left( \frac{(0)^2}{2} - \frac{(0)^3}{3} \right)$

$\displaystyle = \ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( 0 \right)$

$\displaystyle = \ \frac{1}{6}$

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Ejemplo 3

Calcule el área encerrada entre las curvas $f(x)=-(x-2)^2 + 4$ y $g(x)=x^2$ en el intervalo $[-1,3]$ .

En los ejemplos anteriores los puntos de intersección entre ambas funciones eran obvios y así fue bastante claro determinar los puntos en los que unas función estaba por encima de la otra, sin embargo, esto no siempre es así.

Antes de identificar el área que se debe calcular, es necesario calcular los puntos de intersección entre ambas funciones y así apreciar los puntos en los que la una función pasa a estar encima de la otra.

Para calcular los puntos de intersección entre dos funciones, basta con igualar las expresiones que las definen, es decir,

$-(x-2)^2 + 4 = x^2$

En este caso podemos agrupar todos los elementos de un sólo lado de la ecuación para plantear una ecuación cuadrática de la siguiente forma

$\displaystyle -(x^2 - 4x + 4) + 4 = x^2 \Rightarrow -x^2 + 4x - 4 + 4 = x^2 \Rightarrow -2x^2 + 4x = 0$

Y aplicando el método de su preferencia para calcular la solución de una ecuación cuadrática, obtenemos que los puntos de intersección entre las dos funciones son $x=0$ y $x=2$ , notando que ambos están dentro del intervalo dado. Identificamos el área que queremos calcular

Entonces, para calcular el área debemos partir el intervalo en tres partes, ya que funciones involucradas se relacionan de forma diferente en cada una de estas partes. Entonces tenemos que calcular tres áreas y posteriormente sumarlas.

Notamos que la función $g(x)$ está por encima de la función $f(x)$ en el intervalo $[-1,0]$ . Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

$\displaystyle A_1$

$\displaystyle = \ \int_{-1}^{0} g(x) dx - \int_{-1}^{0} f(x) dx$

$\displaystyle = \ \int_{-1}^{0} x^2 dx - \int_{-1}^{0} -(x-2)^2 + 4 dx$

$\displaystyle = \ \int_{-1}^{0} \left( x^2 - \left( -(x-2)^2 + 4 \right) \right) dx$

$\displaystyle = \ \int_{-1}^{0} \left( x^2 + (x-2)^2 - 4 \right) dx$

$\displaystyle = \ \left. \left( \frac{x^3}{3} + \frac{(x-2)^3}{3} - 4x \right) \right|_{-1}^{0}$

$\displaystyle = \ \left( \frac{(0)^3}{3} + \frac{(0-2)^3}{3} - 4(0) \right)$

$\displaystyle - \left( \frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1-2)^3}{3} - 4(-1) \right)$

$\displaystyle = \ \left( 0 - \frac{8}{3} - 0 \right)$

$\displaystyle - \left( - \frac{1}{3} - \frac{27}{3} + 4 \right)$

$\displaystyle = \ - \frac{8}{3} + \frac{1}{3} + 9 - 4$

$\displaystyle = \ \frac{8}{3}$

Notamos que la función $f(x)$ está por encima de la función $g(x)$ en el intervalo $[0,2]$ . Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

$\displaystyle A_2$

$\displaystyle = \ \int_{0}^{2} f(x) dx - \int_{0}^{2} g(x) dx$

$\displaystyle = \ \int_{0}^{2} -(x-2)^2 + 4 dx - \int_{0}^{2} x^2 dx$

$\displaystyle = \ \int_{0}^{2} \left( -(x-2)^2 + 4 - x^2 \right) dx$

$\displaystyle = \ \left. \left( -\frac{(x-2)^3}{3} + 4x - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{2}$

$\displaystyle = \ \left( -\frac{(2-2)^3}{3} + 4(2) - \frac{(2)^3}{3} \right)$

$\displaystyle - \left( -\frac{(0-2)^3}{3} + 4(0) - \frac{(0)^3}{3} \right)$

$\displaystyle = \ \left( 0 + 8 - \frac{8}{3} \right)$

$\displaystyle - \left( - \frac{(-8)}{3} + 0 + 0 \right)$

$\displaystyle = \ 8 - \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

$\displaystyle = \ \frac{8}{3}$

Notamos que la función $g(x)$ está por encima de la función $f(x)$ en el intervalo $[2,1]$ . Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales

$\displaystyle A_3$

$\displaystyle = \ \int_{2}^{3} g(x) dx - \int_{2}^{3} f(x) dx$

$\displaystyle = \ \int_{2}^{3} x^2 dx - \int_{2}^{3} -(x-2)^2 + 4 dx$

$\displaystyle = \ \int_{2}^{3} \left( x^2 - \left( -(x-2)^2 + 4 \right) \right) dx$

$\displaystyle = \ \int_{2}^{3} \left( x^2 + (x-2)^2 - 4 \right) dx$

$\displaystyle = \ \left. \left( \frac{x^3}{3} + \frac{(x-2)^3}{3} - 4x \right) \right|_{2}^{3}$

$\displaystyle = \ \left( \frac{(3)^3}{3} + \frac{(3-2)^3}{3} - 4(3) \right)$

$\displaystyle - \left( \frac{(2)^3}{3} + \frac{(2-2)^3}{3} - 4(2) \right)$

$\displaystyle = \ \left( \frac{27}{3} + \frac{1}{3} - 12 \right)$

$\displaystyle - \left( \frac{8}{3} + \frac{0}{3} - 8 \right)$

$\displaystyle = \ 9 + \frac{1}{3} - 12 - \frac{8}{3} - 0 + 8$

$\displaystyle = \ \frac{8}{3}$

Finalmente, el área que queremos calcular estará determinada por la suma de estas tres áreas, es decir,

$\displaystyle A = A_1 + A_2 + A_3 = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = 8$

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Ejercicios Propuestos por los usuarios de totumat

Ejercicio 1

Calcule el área encerrada entre las curvas $c_1 : y^2=4x$ y $c_2 : y^2=x+3$ .

Lo primero que debemos notar es que estas funciones están expresadas de forma implícita, así que será necesario reescribirlas como $y$ en función de $x$ para estudiar su gráfica en el plano cartesiano. Entonces,

$\displaystyle y^2=4x$

$\displaystyle \Rightarrow \ \sqrt{y^2} = \sqrt{4x}$

$\displaystyle \Rightarrow \ |y| = 2\sqrt{x}$

$\displaystyle \Rightarrow \ y = \pm 2\sqrt{x}$

Esto quiere decir que la función $y^2=4x$ representa ambas funciones $y = 2\sqrt{x}$ y $y = - 2\sqrt{x}$ al mismo tiempo. Por otra parte, tenemos,

$\displaystyle y^2=x+3$

$\displaystyle \Rightarrow \ \sqrt{y^2} = \sqrt{x+3}$

$\displaystyle \Rightarrow \ |y| = \sqrt{x+3}$

$\displaystyle \Rightarrow \ y = \pm \sqrt{x+3}$

Esto quiere decir que la función $y^2=x+3$ representa ambas funciones $y = \sqrt{x+3}$ y $y = - \sqrt{x+3}$ al mismo tiempo.

Para calcular los puntos de intersección entre estas dos funciones, debemos plantear un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones y dos incógnitas, de la siguiente manera

$y^2=4x$

$y^2=x+3$

Para hallar la solución de este sistema de ecuaciones, restamos los elementos correspondientes de cada ecuación para obtener la siguiente ecuación:

$\displaystyle 0 = 4x - (x+3) \Rightarrow \ 0 = 4x - x -3$

$\displaystyle \Rightarrow \ 0 = 3x - 3$

$\displaystyle \Rightarrow \ -3x = - 3$

$\displaystyle \Rightarrow \ x = \frac{-3}{-3}$

$\displaystyle \Rightarrow \ x = 1$

De esta forma, concluimos que estas dos funciones se cortan cuando $x=1$ , es decir, en los puntos $(1,2)$ y $(1,-2)$ . Identificamos el área que queremos calcular,

Ya que hemos identificado el área que queremos calcular, podemos notar que esta es simétrica respecto al Eje X. Este hecho presenta una ventaja para hacer este cálculo, pues bastará con calcular sólo la mitad del área, ya sea la mitad superior o la mitad inferior, y posteriormente multiplicarla por dos. En este caso, procederemos a calcular la mitad superior:

Entonces, para calcular el área debemos partir el intervalo en dos partes, ya que curvas involucradas se relacionan de forma diferente en cada una de estas partes. Entonces tenemos que calcular dos áreas y posteriormente sumarlas.

Notamos que la curva $c_2$ está por encima del Eje X en el intervalo $[-3,0]$ . Entonces el área se calcula con la siguiente integral

$\displaystyle A_1 = \ \int_{-3}^{0} \sqrt{x+3} \ dx$

$\displaystyle = \ \int_{-3}^{0} (x+3)^{\frac{1}{2}} \ dx$

$\displaystyle = \ \left. \left( \frac{(x+3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right) \right|_{-3}^{0}$

$\displaystyle = \ \frac{(0+3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \left( \frac{(-3+3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right)$

$\displaystyle = \ \frac{(3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \left( \frac{(0)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right)$

$\displaystyle = \ \frac{2}{3} \cdot (3)^{\frac{3}{2}} - 0$

$\displaystyle = \ \frac{2}{3} \cdot (3)^{\frac{3}{2}}$

Notamos que la curva $c_1$ está por encima de la curva $c_2$ en el intervalo $[0,1]$ . Entonces el área se calcula con la siguiente integral

$\displaystyle A_2 = \ \int_{0}^{1} \sqrt{x+3} - 2\sqrt{x} \ dx$

$\displaystyle = \ \int_{0}^{1} (x+3)^{\frac{1}{2}} - 2(x)^{\frac{1}{2}} \ dx$

$\displaystyle = \ \left. \left( \frac{(x+3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2\frac{(x)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right) \right|_{0}^{1}$

$\displaystyle = \ \frac{(1+3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2\frac{(1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \left( \frac{(0+3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2\frac{(0)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right)$

$\displaystyle = \ \frac{(4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} - \left( \frac{(3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 0 \right)$

$\displaystyle = \ \frac{2}{3} \cdot (4)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot (3)^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3}$

Finalmente, el área que queremos calcular estará determinada por la suma de estas dos áreas multiplicadas por dos, es decir,

$\displaystyle A = 2 \cdot (A_1 + A_2) = 2 \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot (4)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot (3)^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \right) \approx 1.0718$

El Teorema Fundamental del Cálculo

20.05.202007.12.2022 Anthonny Arias García2 comentarios

Calcular áreas puede resultar tedioso si cada vez debemos calcular límites de Sumas de Riemann, sin embargo, esto no necesariamente debe ser así. A continuación veremos un resultado matemático cuya importancia radica en que enlaza el cálculo diferencial (derivadas y antiderivadas) con un concepto netamente geométrico como el cálculo de áreas. Citando a Michael Spivak en su libro de Cálculo Infinitesimal:

La derivada no despliega toda su fuerza hasta que se alía con la «integral»… El estudio de las integrales requiere una preparación larga, pero una vez hecho este trabajo preliminar, las integrales constituyen un instrumento de valor incalculable para construir nuevas funciones y la derivada volverá a aparecer, más poderosa que nunca (en el Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal)…

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El Teorema Fundamental del Cálculo usualmente se presenta en dos partes: La primera parte nos permite definir un nuevo rango de funciones usando el concepto de antiderivada. La segunda parte es consecuencia de la primera y provee una herramienta vital para el cálculo de áreas bajo la curva.

El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte I

Si $f(x)$ es una función integrable en un intervalo $[a,b]$ y $A(x)$ es una función definida como

Si $f(x)$ es continua en un punto $x_0$ . Entonces, la función $A(x)$ es derivable en el punto $x_0$ y además,

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Demostración:

Consideremos un punto $x_0$ en el intervalo $[a,b]$ , entonces verifiquemos si $A(x)$ es derivable en el punto $x_0$ , es decir, verifiquemos que existe el siguiente límite:

$A'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}$

Para esto, estudiemos las derivadas laterales de la función $A(x)$ en el punto $x_0$ para verificar si estas existen y son iguales.

Caso I: La derivada de la función $A(x)$ por la derecha en el punto $x_0$ está definida para $h>0$ de la siguiente forma

$\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}$

La función $f(x)$ es continua en el intervalo $[a,b]$ , esto quiere decir que es una función acotada, particularmente estará acotada inferiormente, esto quiere decir que del conjunto de todas las cotas inferiores, podemos considerar la más grande de ellas, es decir, podemos definir un número $m_h$ de la siguiente forma:

$m_h = \text{inf} \{ f(x) \ : \ x_0 \leq x \leq x_0+h \}$

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base $h$ y altura $m_h$ , es menor que el área bajo la curva que define $f(x)$ .

Teorema Fundamental del Cálculo | totumat.com

De igual forma, la función $f(x)$ estará acotada superiormente, esto quiere decir que del conjunto de todas las cotas superiores, podemos considerar la más pequeña de ellas, es decir, podemos definir un número $M_h$ de la siguiente forma:

$M_h = \text{sup} \{ f(x) \ : \ x_0 \leq x \leq x_0+h \}$

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base $h$ y altura $M_h$ , es mayor que el área bajo la curva que define $f(x)$ .

Tomando en cuenta los rectángulos señalados, podemos, decir que estas áreas acotan a la integral definida de la función $f(x)$ en el intervalo $[x_0,x_0+h]$ , es decir,

$h \cdot m_h \leq \int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx \leq h \cdot M_h$

Tomando en cuenta que $a \leq x_0 < x_0+h$ , podemos partir el área que bajo la curva que define $f(x)$ en el intervalo $[a,x_0+h]$ de la siguiente forma:

Es decir, un área en el intervalo $[a,x_0]$ y otra área en el intervalo $[x_0,x_0+h]$ . De esta forma, podemos reescribir la integral sobre el intervalo $[a,x_0+h]$ de la siguiente forma

$\int_a^{x_0+h} f(x) \ dx = \int_a^{x_0} f(x) \ dx + \int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx$

A partir de esta igualdad, podemos hacer un simple despeje para concluir que

$\int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx = \int_a^{x_0+h} f(x) \ dx - \int_{a}^{x_0} f(x) \ dx$

Inmediatamente, debemos notar que $A(x_0) =\int_{a}^{x_0} f(x) \ dx$ y que $A(x_0+h) =\int_{a}^{x_0+h} f(x) \ dx$ para concluir que $\int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \ dx = A(x_0+h) - A(x_0)$ y en consecuencia

$h \cdot m_h \leq A(x_0+h) - A(x_0) \leq h \cdot M_h$

Dividimos cada elemento de la inecuación por $h$ y como este es un valor positivo, las desigualdades permanecen inalteradas, así,

$m_h \leq \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} \leq M_h$

Finalmente, para determinar el límite de la función $\frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}$ cuando $h \to 0$ aplicamos el Teorema del Emparedado, pues notamos que ambas funciones $m_h$ y $M_h$ tienden a $f(x_0)$ cuando $h \to 0$ . De esta forma, concluimos que

$\lim_{h \to 0^{+}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} = f(x_0)$

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Caso II: La derivada de la función $A(x)$ por la izquierda en el punto $x_0$ está definida para $h<0$ de la siguiente forma

$\lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h}$

$m_h = \text{inf} \{ f(x) \ : \ x_0+h \leq x \leq x_0 \}$

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base $(-h)$ y altura $m_h$ , es menor que el área bajo la curva que define $f(x)$ .

$M_h = \text{sup} \{ f(x) \ : \ x_0+h \leq x \leq x_0 \}$

E inmediatamente, podemos notar que el área del rectángulo con base $(-h)$ y altura $M_h$ , es mayor que el área bajo la curva que define $f(x)$ .

Tomando en cuenta los rectángulos señalados, podemos, decir que estas áreas acotan a la integral definida de la función $f(x)$ en el intervalo $[x_0,x_0+h]$ , es decir,

$(-h) \cdot m_h \leq \int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx \leq (-h) \cdot M_h$

Tomando en cuenta que $a \leq x_0 < x_0+h$ , podemos partir el área que bajo la curva que define $f(x)$ en el intervalo $[a,x_0+h]$ de la siguiente forma:

Es decir, un área en el intervalo $[a,x_0+h]$ y otra área en el intervalo $[x_0+h,x_0]$ . De esta forma, podemos reescribir la integral sobre el intervalo $[a,x_0]$ de la siguiente forma

$\int_a^{x_0} f(x) \ dx = \int_a^{x_0+h} f(x) \ dx + \int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx$

A partir de esta igualdad, podemos hacer un simple despeje para concluir que

$\int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx = \int_a^{x_0} f(x) \ dx - \int_{a}^{x_0+h} f(x) \ dx$

Inmediatamente, debemos notar que $A(x_0) = \int_{a}^{x_0} f(x) \ dx$ y que $A(x_0+h) =\int_{a}^{x_0+h} f(x) \ dx$ para concluir que $\int_{x_0+h}^{x_0} f(x) \ dx = A(x_0) - A(x_0+h)$ y en consecuencia

$(-h) \cdot m_h \leq A(x_0) - A(x_0+h) \leq (-h) \cdot M_h$

Dividimos cada elemento de la inecuación por $(-h)$ y como este es un valor positivo, las desigualdades permanecen inalteradas, así,

$m_h \leq \frac{A(x_0) - A(x_0+h)}{(-h)} \leq M_h$

$\Rightarrow \ m_h \leq \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} \leq M_h$

$\lim_{h \to 0^{+}} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} = f(x_0)$

Habiendo calculado las derivadas laterales, verificando que estas existen y son iguales, concluimos que la derivada de la función $A(x)$ en el punto $x_0$ existe y está definida de la siguiente forma

$A'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{A(x_0+h) - A(x_0)}{h} = f(x_0)$

Que es lo que queríamos demostrar.

Es importante destacar, que si la función $f(x)$ en esta primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo es continua en todo el intervalo $[a,b]$ , entonces podemos concluir que para todo $x \in [a,b]$ , se tiene que

$A'(x) = f(x)$

De esta forma, sentamos una base para poder enunciar la segunda parte del Teorema Fundamental del Cálculo.

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El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte II

Si $f(x)$ es una función continua en un intervalo $[a,b]$ y $A(x)$ es una antiderivada de esta, entonces

Cálculo de Área Bajo la Curva

Esta segunda parte es la que presentará particular interés para lo que queremos desarrollar, pues usando esta herramienta podemos calcular áreas bajo curvas sin tener que recurrir al cálculo tedioso de límites o de sumatorias. Veamos con algunos ejemplos como calcular áreas bajo curvas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el área bajo la curva $f(x)=x$ en el intervalo $[0,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

Calculamos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo, entonces

$A =$

$= \ \int_0^1 x dx$

$= \ \left. \frac{x^2}{2} \right|_0^1$

$= \ \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2}$

$= \ \frac{1}{2} - \frac{0}{2}$

$= \ \frac{1}{2}$

Ejemplo 2

Calcule el área bajo la curva $f(x)=x^2$ en el intervalo $[0,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

Calculamos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo, entonces

$A =$

$= \ \int_0^1 x^2 dx$

$= \ \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^1$

$= \ \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3}$

$= \ \frac{1}{3} - \frac{0}{3}$

$= \ \frac{1}{3}$

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Ejemplo 3

Calcule el área bajo la curva $f(x)=\sqrt{x+2}$ en el intervalo $[-1,1]$ .

Identificamos el área que queremos calcular

Calculamos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo, entonces

$A =$

$= \ \int_{-1}^{1} \sqrt{x+2} dx$

$= \ \int_{-1}^{1} (x+2)^{\frac{1}{2}} dx$

$= \ \left. \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2}} \right|_{-1}^{1}$

$= \ \frac{2}{3} (1+2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(-1+2)^{\frac{3}{2}}$

$= \ \frac{2}{3} (3)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}}$

$= \ \frac{2}{3} \sqrt{3^3} - \frac{2}{3}$

$= \ 2 \sqrt{3} - \frac{2}{3}$

Es importante señalar que aunque la integral definida es una herramienta usada principalmente para calcular áreas bajo curvas, el Teorema Fundamental del Cálculo permite determinar elementos de interés en distintos campos de la ciencia, ingeniería y economía; es por esto que debemos tomar en cuenta que al considerar aplicaciones prácticas, estas pueden no representar áreas en el plano cartesiano.

La Integral Definida

15.05.202015.05.2020 Anthonny Arias García2 comentarios

En esta publicación se presenta una idea general de como se dio forma históricamente a la Integral Definida, se recomienda leer el artículo El método de investigación de Arquímedes de Siracusa: Intuición, mecánica y exhaución de Ángel Molina para precisar algunos eventos históricos y el libro Calculo Infinitesimal de Michael Spivak para empaparse en la rigurosidad matemática.

Calcular el área de un rectángulo no presenta mayor dificultad, pues si consideramos un rectángulo cuya base es de longitud $b$ y su altura es longitud $h$ , entonces su área se calcula multiplicando estos dos valores. De igual forma, al calcular el área de un triángulo cuya base es de longitud $b$ y de altura $h$ , entonces su área se calcula multiplicando estos dos valores y dividiendo el resultado entre dos.

A partir de estos dos elementos, podemos calcular el área de cualquier polígono pues podemos inscribir triángulos y rectángulos de forma conveniente. Sin embargo, se presenta una situación diferente cuando queremos calcular el área de figuras que presentan curvas en sus aristas, como por ejemplo, circunferencias. Es por esto que debemos desarrollar métodos que lo permitan.

El Método de Exhaución

Si consideramos una circunferencia, podemos estimar su área usando un triángulo inscrito en ella pero esta estimación será muy holgada pues podemos notar que hay espacios del triángulo que no cubren esta área. De igual forma pudiéramos considerar un triángulo que circunscribe a la circunferencia, la estimación también será holgada pues hay espacios del triángulo que exceden a la circunferencia.

Lo ideal es refinar la estimación, pero, ¿cómo hacemos esto? Una idea intuitiva es considerar un cuadrado en vez de un triángulo pero nos topamos con el mismo problema, si consideramos un hexágono o un octágono, el problema será el mismo. Sin embargo, notamos que a medida que usamos polígonos con una mayor cantidad de lados, la estimación sobre el área de la circunferencia se hace más precisa.

Pudiéramos entonces, considerar cada vez polígonos con más y más lados para estimar el área de la circunferencia, esto se conoce como el Método de Exhaución (anglicismo de agotamiento) y fue desarrollado en la Antigua Grecia por Eudoxo de Cnido para calcular el área de figuras irregulares y volúmenes de sólidos. De esta forma, si la circunferencia tiene radio $r$ y el polígono regular tiene $n$ lados, entonces el área viene dada por

$n \cdot \sin\left(\frac{180}{n}\right) \cdot \cos\left(\frac{180}{n}\right) \cdot r^2 \ \text{ y }\ n \cdot \frac{\sin\left(\frac{180}{n}\right)} {\cos\left(\frac{180}{n}\right)} \cdot r^2$

Para polígonos regulares inscritos en la circunferencia y polígonos regulares circunscritos en la circunferencia, respectivamente.

En el momento que se planteó, no se conocían las herramientas con las que contamos hoy en día, por lo que el problema permaneció latente por cientos de años hasta que se fundamentó el cálculo infinitesimal pues de esta forma se puede considerar un polígono con una cantidad infinita de lados.

El Área bajo la curva

Consideremos una función $f(x)$ definida en un intervalo $[a,b]$ y supongamos que queremos calcular el área que se encuentra bajo la curva que ella define, para ser más precisos: El área delimitada por la izquierda por la recta $x=a$ , por la derecha por la recta $x=b$ , por arriba por la curva $f(x)$ y por debajo por el Eje X,

¿Cómo calculamos esta área? Una idea intuitiva es usar el Método de Exhaución, particularmente usando rectángulos pues el área de estos se calcula con facilidad. Para entender esta idea, consideremos un rectángulo de base $(b-a)$ y de altura $f(a)$ . Entonces el área estimada es $f(a) \cdot (b-a)$

Esta estimación es muy holgada pues podemos notar que hay espacios del rectángulo que no cubren el área que estamos calculando y otros espacios la exceden. Lo ideal es refinar la estimación, pero, ¿cómo hacemos esto? En vez de considerar un rectángulo, podemos considerar dos rectángulos pero nos topamos con el mismo problema, si consideramos cuatro rectángulos, el problema será el mismo. Sin embargo, notamos que a medida que usamos más rectángulos, la estimación del área de bajo la curva se hace más precisa.

Precisemos un poco esta idea definiendo el siguiente elemento: dado un intervalo $[a,b]$ , definimos una partición de tamaño $n$ de dicho intervalo como un conjunto finito de elementos $x_1, x_2, \ldots, x_n \in [a,b]$ tal que

$a=x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$

Para nuestro desarrollo consideraremos una partición muy particular, una tal que la distancia entre dos elementos consecutivos siempre es la misma. De esta forma, podemos notar que si la longitud del intervalo es $b-a$ , entonces la distancia entre dos elementos consecutivos es $\frac{b-a}{n}$ .

Entonces, si consideramos rectángulos de base $(x_{i+1} - x_{i})$ y de altura $f(x_i)$ (con $i = 1, \ldots, n-1$ ), podemos estimar el área bajo la curva sumando el área de todos estos intervalos, es decir,

$f(x_0) \cdot \left( x_{1} - x_{0} \right) + f(x_1) \cdot \left( x_{2} - x_{1} \right) + \ldots + f(x_{n-1}) \cdot \left( x_{n} - x_{n-1} \right)$

Esta suma la podemos resumir usando la notación de sumatoria y además considerando el hecho de que la distancia entre dos elementos consecutivos siempre es la misma, es decir, $x_{i+1} - x_{i} = \frac{b-a}{n}$ ,

$\sum_{i=0}^n f(x_i) \cdot \frac{b-a}{n}$

Estas sumas son conocidas como las Sumas de Riemann y aunque proveen una muy buena estimación, aún es muy tosca, así que debemos recurrir al calculo infinitesimal para poder considerar particiones con la mayor cantidad de elementos posible. Así, el área bajo la curva se calcula con absoluta precisión calculando el siguiente límite

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^n f(x_i) \cdot \frac{b-a}{n}$

En el infinito la sigma mayúscula de la notación de sumatoria pasa a ser una S cursiva, la variable $x_i$ deja de ser discreta para ser una variable continua $x$ y la distancia $\frac{b-a}{n}$ al ser muy pequeña pasará a ser un diferencial de la variable $x$ . De esta forma, podemos reescribir este límite de la siguiente forma

A esta expresión la llamaremos Integral Definida en el intervalo $[a,b]$ y los extremos del intervalo serán llamados límites de integración, para ser más precisos, $a$ es el límite inferior y $b$ es el límite superior.

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Categoría: Integrales

La Curva de Lorenz y el Coeficiente de Gini

La Curva de Lorenz

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

El Coeficiente de Gini

Ejemplos

Ejemplo 3

Excedente de los Consumidores y de los Productores – Caso no lineal

Excedente de los Consumidores

Excedente de los Productores

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Área entre dos curvas

Propiedades de la Integral Definida

Área entre dos curvas

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejercicios Propuestos por los usuarios de totumat

Ejercicio 1

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte I

Demostración:

El Teorema Fundamental del Cálculo, Parte II

Cálculo de Área Bajo la Curva

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

La Integral Definida

El Método de Exhaución

El Área bajo la curva

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