Análisis de Equilibrio de la Utilidad

Suponga que usted inició un negocio fabricando y vendiendo tapabocas. Habiendo estudiando los costos y los ingresos generados, ¿qué tanto ha valido la pena este negocio? Es decir, una vez que ha hecho una inversión, ¿ha generado dinero adicional o tiene menos dinero del que tenía antes de iniciar el negocio?

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Una vez que se ha vendido una unidad de un artículo, debemos estudiar la cantidad de dinero que se ha ganado una vez que hemos descontado los costos de producción, a esta ganancia se le conoce como utilidad y de forma general, la ganancia generada por la producción y venta de todas las unidades de un artículo se conoce como utilidad total, esta se calcula restando los costos totales de los ingresos totales. Formalmente, si identificamos los ingresos totales con la variable I, los costos totales con la variable C y la utilidad total con la variable I, entonces podemos definir la siguiente ecuación:

U = I - C

A partir de la Ley de Tricotomía de los números reales, podemos estudiando esta ecuación para analizar el equilibrio entre los ingresos y los costos estableciendo tres casos:

  • Si U < 0, esto quiere decir que los costos totales de producción exceden los ingresos totales obtenidos por las ventas, en este caso decimos que existe una pérdida.
  • Si U > 0, esto quiere decir que los ingresos totales obtenidos por las ventas exceden los costos totales de producción, en este caso decimos que existe una ganancia, aunque también podemos decir que existe una utilidad.
  • Si U = 0, esto quiere decir que los ingresos totales obtenidos por las ventas son iguales a los costos totales de producción, en este caso decimos que existe un equilibrio.

Si consideramos el plano cartesiano, ubicando la cantidad de unidades del artículo (q) en el eje horizontal y la cantidad de dinero (p) en el eje vertical; establecemos una interpretación gráfica de estos casos señalando que existe una pérdida cuando la curva de costos está por encima de la curva de ingresos, existe una ganancia cuando la curva de ingresos están por encima de la curva de costos y particularmente al punto donde ambas curvas se cortan, lo llamamos punto de equilibrio de la utilidad.

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El área roja representa la región de pérdida, es decir, cuando la utilidad es negativa y el área azul representa la región de ganancia, es decir, cuando la utilidad es positiva.

Veamos en los siguientes ejemplos, cómo analizar el equilibrio de las utilidades calculando el punto de equilibrio una vez que ya contamos con las ecuaciones lineales de costos totales e ingresos totales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la ecuación lineal de costos totales p = \frac{3}{10}q +40 y la ecuación lineal de ingresos totales p = \frac{6}{5}q, calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

\frac{3}{10}q +40 = \frac{6}{5}q
\Rightarrow \ \frac{3}{10}q -\frac{6}{5}q = 0-40
\Rightarrow \ -\frac{9}{10}q = -40
\Rightarrow \ q = \frac{400}{9}

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=\frac{400}{9} en la ecuación de demanda.

p = \ \frac{3}{10} \cdot \left( \frac{400}{9} \right) + 40
= \ \frac{40}{3} + 40
= \ \frac{160}{3}

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es \left( \frac{400}{9} , \frac{160}{3} \right). Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

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Ejemplo 2

Considerando la ecuación lineal de costos totales p = 6q +60 y la ecuación lineal de ingresos totales p = 11q, calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

6q +60 = 11q+0
\Rightarrow \ 6q -11q = 0-60
\Rightarrow \ -5q = -60
\Rightarrow \ q = 12

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=12 en la ecuación de demanda.

p = \ 6 \cdot \left( 12 \right) + 60
= \ 72 + 60
= \ 132

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es \left( 12 , 132 \right). Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

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Ejemplo 3

Considerando la ecuación lineal de costos totales p = 20q +50 y la ecuación lineal de ingresos totales p = 26q, calcule el punto de equilibrio de la utilidad e indique cual es la cantidad mínima de unidades que debe ser vendida para obtener una ganancia.

Para calcular el punto de equilibrio de la utilidad debemos igualar las expresiones que definen ambas rectas y luego despejamos la variable q.

20q +50 = 26q
\Rightarrow \ 20q -26q = 0-50
\Rightarrow \ -6q = -50
\Rightarrow \ q = \frac{25}{3}

Una vez calculado el valor de q, lo sustituimos en la recta de nuestra preferencia y calculamos el valor de p. Sustituyamos entonces el valor q=\frac{25}{3} en la ecuación de demanda.

p = \ 20 \cdot \left( \frac{25}{3} \right) + 50
= \ \frac{500}{3} + 50
= \ \frac{650}{3}

Por lo tanto, el punto de equilibrio de la utilidad es \left( \frac{25}{3} , \frac{650}{3} \right). Grafiquemos ahora este punto de equilibrio identifiquemos las áreas que definen las pérdidas y las ganancias.

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Ecuación Lineal de Costos Totales

Suponga que usted quiere iniciar un negocio fabricando tapabocas para su venta. En vista de que estos tapabocas no aparecerán por arte de magia para que usted los venda, debe tomar en cuenta la cantidad de dinero que debe invertir para comprar los materiales necesarios y en tal caso que requiera de la ayuda de alguien, debe pagar a esa persona por sus servicios.

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Producir un bien requiere de una inversión de dinero, esta inversión de dinero se conoce como costos de producción y se puede cuantificar a usando modelos matemáticos, pero para esto debemos tener en cuenta que estos se pueden catalogar de dos formas:

  • Costos variables que varían dependiendo principalmente de la cantidad de unidades producidas de dicho bien (nivel de producción) y aunque también pueden depender de otros factores, por ahora nos enfocaremos sólo en el nivel de producción. Usualmente se representan con la variable c_v.
  • Costos fijos que permanecen constantes a través del tiempo, tal como alquiler de locales, salarios de administración, pago de servicios, pago de seguros, etc; y deben pagarse incluso si hay producción o no. Usualmente se representan con la variable c_f.

Considerando esto, definimos costos totales como la suma de los costos variables y los costos fijos. Formalmente, si identificamos los costos totales con la variable c_t o simplemente C, entonces podemos definir la siguiente ecuación:

c_t = c_v + c_f

Si consideramos el caso en el que los costos variables dependen únicamente del nivel de producción, podemos estudiar la relación que guarda la cantidad de unidades producidas de un artículo con los costos totales y para esto definimos un plano cartesiano cuyos ejes están definidos por los costos totales, C; y las cantidades producidas del bien, q.

De forma muy particular, el caso en el que los costos variables son proporcionales al nivel de producción, de forma que si el costo de producir una unidad es de m, entonces los costos variables de producir q unidades están expresados de la siguiente forma:

c_v = m \cdot q

A partir de este hecho y representando los costos fijos con una constante b para establecer una similitud con la forma pendiente-ordenada de la recta, podemos definir los costos totales como una recta, de la siguiente forma:

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Establecemos una interpretación gráfica de estas relaciones notando que a medida que aumentan las cantidades producidas, también aumentan los costos totales.

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Ejemplos

Ejemplo 1

En una fábrica de harina de trigo, el costo de fabricar cada kilo de harina es de 0,3 Ps. y diariamente, los costos fijos de esta empresa son de 40 Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de costos totales? ¿Cuál es el costo de producir 60 kilos?

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Considerando que el costo de cada kilo de harina es de 0,3 Ps., concluimos que los costos variables están expresados como c_v = 0,3 \cdot q, y además, los costos fijos son de 40 Ps. De esta forma, podemos expresar la ecuación lineal de costos totales de la siguiente forma:

C = 0,3q + 40

Para determinar el costo de fabricar 60 kilos de harina, debemos considerar la ecuación lineal de costos totales y sustituir el valor q=60 en ella, de la siguiente forma

C = 0,3(60) + 40 = 18 + 40 = 58

Por lo tanto, el costo de fabricar 60 kilos de harina es de 58 Ps.

La recta C = 0,3q + 40 es llamada la Ecuación Lineal de Costos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva, su gráfica será una recta creciente y pasa por el punto (60,58).

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Ejemplo 2

Suponga que para un agricultor, el costo de cultivar y cosechar 10 kilo de zanahoria es de 120 Ps., y el de 20 kilos de zanahoria es de 180 Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de costos totales? ¿Cuál es el costo de cultivar y cosechar 30 kilos?

Debemos considerar que si el costo total es de 120 Ps. para 10 kilos, podemos representar esta información como un punto (C,q) el plano cartesiano donde q=10 y C=120, es decir, el punto (10,120); de igual forma, si el costo total es de 18 Ps. para 20 kilos, podemos representar esta información con el punto (20,180).

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por ellos usando la ecuación punto-punto. Entonces, si P_1 = (10,120) y P_2 = (20,180) son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

m = \ \frac{C_2 - C_1}{q_2 - q_1}
= \ \frac{180 - 120}{20 - 10}
= \ \frac{60}{10}
= \ 6

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

(C - C_1) = m \cdot (q - q_1)
\Rightarrow \ (C - 120) = 6 \cdot (q - 10)
\Rightarrow \ C - 120 = 6 \cdot q - 60
\Rightarrow \ C = 6 \cdot q - 60 + 120
\Rightarrow \ C = 6 \cdot q + 60

La recta que pasa por los puntos P_1 y P_2 es llamada la Ecuación Lineal de Costos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva y su gráfica será una recta creciente.

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Para determinar el costo de cultivar y cosechar 30 kilos de zanahoria, debemos considerar la ecuación lineal de costos totales y sustituir el valor q=30 en ella, de la siguiente forma

C = 6 \cdot (30) + 60 = 180 + 60 = 240

Por lo tanto, el costo de cultivar y cosechar 30 kilos de zanahoria es de 240 Ps.

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Ejemplo 3

Suponga que en una fábrica de zapatos, el costo producir 5 pares de zapatos para dama es de 150 Ps., y el de 13 pares de zapatos es de 310 Ps. ¿Cuál es la ecuación lineal de costos totales? ¿Cuál es el costo de producir 10 pares de zapatos?

Debemos considerar que si el costo total es de 150 Ps. para 5 pares, podemos representar esta información como el punto (5,150); de igual forma, si el costo total es de 310 Ps. para 13 pares, podemos representar esta información con el punto (13,310).

De esta forma, si contamos con estos dos puntos, podemos calcular la recta que pasa por ellos usando la \textbf{ecuación punto-punto}. Entonces, si P_1 = (5,150) y P_2 = (13,310) son dos puntos en el plano cartesiano, calculamos el valor de la pendiente,

m = \ \frac{C_2 - C_1}{q_2 - q_1}
= \ \frac{310 - 150}{13 - 5}
= \ \frac{160}{8}
= \ 20

Posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente, escogiendo el punto de nuestra preferencia. Usemos el punto P_1

(C - C_1) = m \cdot (q - q_1)
\Rightarrow \ (C - 150) = 20 \cdot (q - 5)
\Rightarrow \ C - 150 = 20 \cdot q - 100
\Rightarrow \ C = 20 \cdot q - 100 + 150
\Rightarrow \ C = 20 \cdot q + 50

La recta que pasa por los puntos P_1 y P_2 es llamada la Ecuación Lineal de Costos Totales. Este tipo de ecuaciones siempre tendrá pendiente positiva y su gráfica será una recta creciente.

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Para determinar el costo de producir 10 pares de zapatos para dama, debemos considerar la ecuación lineal de costos totales y sustituir el valor q=10 en ella, de la siguiente forma

C = 20 \cdot (10) + 50 = 20 + 50 = 70

Por lo tanto, el costo de producir 30 pares de zapatos para dama es de 70 Ps.