Diagrama de Dispersión

R para introducir a la Econometría: Diagrama de Dispersión

Antes de empezar a definir un modelo sobre un conjunto de datos, es importante conocer el comportamiento de una variable respecto a otra pues de esta forma, podemos hacernos una idea de cual es el modelo más adecuado para describirlo.

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Diagrama de Dispersión

Una de las formas más directas y sencillas para estudiar la forma en que se relacionan dos variables es usando un diagrama de dispersión. Si consideramos dos variables de un conjunto de datos, digamos una variable exógena x y una variable endógena y, un Diagrama de Dispersión (o Gráfico de Dispersión) consiste en ubicar en el plano cartesiano cada par ordenado formado por los elementos de estas dos variables. Ubicando la variable exógena en el eje horizontal y la variable endógena en el eje vertical.

De esta forma, si nuestro objetivo es definir un Modelo de Regresión Lineal, ubicamos en el eje horizontal, los valores de la variable X y en el eje vertical, los valores de la variable Y. Podemos generar un diagrama de dispersión en R recurriendo a la instrucción plot y usamos la siguiente sintaxis:

plot(X,Y)

Ejemplo

Consideremos un pequeño conjunto de datos, particularmente, los datos que se encuentran en la Tabla 3.2 del libro de Econometría de Damodar N. Gujarati and Dawn Porter en su quinta edición. Este conjunto de datos proporciona los datos primarios que se necesitan para estimar el efecto cuantitativo de la escolaridad en los salarios:

ObservaciónSalarioEscolaridad
14.45676
25.777
35.97878
47.33179
57.318210
66.584411
77.818212
87.835113
911.022314
1010.673815
1110.836116
1213.61517
1313.53118
Tabla 3.2

Para generar un diagrama de dispersión que nos ayude a estudiar como el nivel de estudios afecta el salario de una persona, entonces: la variable Escolaridad será nuestra variable exógena y será ubicada en el eje horizontal; la variable Salario será nuestra variable endógena y será ubicada en el eje vertical.

Recurriremos a la instrucción plot para generar un diagrama de dispersión y usamos la siguiente sintaxis:

plot(escolaridad,salario)

Al ejecutar esta instrucción, aparecerá de forma inmediata el siguiente gráfico:

Diagrama de Dispersión | totumat.com

En su pantalla debería aparecer lo siguiente:

Diagrama de Dispersión | totumat.com

Ejemplo para los residuos

Si bien los diagramas de dispersión nos ayudan a estudiar el comportamiento de dos variables, también nos ayudan a estudiar el comportamiento de los residuos. Uno de los supuestos para del Modelo Clásico de Regresión Lineal, estipula que no debe haber autocorrelación, esto quiere decir que la correlación de los residuos debe ser nula.

A partir de la forma en que está definido el modelo lineal, podemos calcular los residuos usando la siguiente fórmula:

\hat{u}_i = Y_i - \hat{Y}_i

Entonces, si calculamos cada uno de los valores estimados \hat{Y}_i, podemos determinar los residuos usando la siguiente sintaxis:

Y.e <- beta1 + beta2*X
res <- Y - Y.e

Usamos la instrucción plot(res) para generar un gráfico de dispersión de los residuos tomando en cuenta que en el eje horizontal se ubica el número de observación y en el vertical el residuo correspondiente. Un indicador de no autocorrelación es que el gráfico de dispersión no presente ningún patrón de comportamiento, en términos coloquiales: que estén todos a lo loco.

Continuando con nuestro ejemplo, generamos un gráfico usando la siguiente sintaxis:

salario.e <- beta1 + beta2*escolaridad
residuos <- salario - salario.e
plot(residuos)

Al ejecutar estas instrucciones, aparecerá de forma inmediata el siguiente gráfico:

Diagrama de Dispersión de los Residuos | totumat.com

En su pantalla debería aparecer:

Diagrama de Dispersión de los Residuos | totumat.com

Aunque pareciera no haber ningún patrón, no podemos asegurar no hay autocorrelación, también hay que considerar que el tamaño de la muestra es pequeño así que las afirmaciones que se hagan sobre el comportamiento que describe el modelo lineal puede ser impreciso.


Puntos de corte de una función con los ejes

Al estudiar la gráfica de una función real, notamos que hay puntos en los cuales la función pasa por encima de los ejes del plano cartesiano, estos son conocidos como los puntos de corte de la función con los ejes y se pueden calcular de forma analítica fijando condiciones sobre la forma en que está definida la función. Veamos cuales son las condiciones para los distintos ejes.

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Punto de corte con el Eje Y

Para calcular el punto de corte con el Eje Y, debemos notar primero que todos los puntos que pertenecen al Eje Y, son de la forma (0,y) donde y puede ser cualquier número real, entonces el punto de corte de la función con este eje debe cumplir con esta condición.

Punto de corte con el Eje Y | totumat.com

Formalmente, si consideramos una función f(x) tal que x=0 es un elemento de su dominio, entonces calculamos el punto de corte con el Eje Y evaluando la función en x=0, es decir, calculando

f(0)

Recordando que una función es una regla de correspondencia que corresponde a cada elemento de su dominio con un único elemento en el rango, podemos concluir que una función tendrá a lo sumo un solo punto de corte con el Eje Y.

Veamos con algunos ejemplos como calcular los puntos de corte con el Eje Y.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función lineal f(x)=3x-1, determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.

Para determinar el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en x=0, entonces,

f(0) = 3(0)-1 = 0 - 1 = -1

En conclusión, la función f(x) corta al Eje Y en el punto (0,-1). Esto se puede apreciar al observar su gráfica

Punto de corte con el Eje Y | totumat.com

Ejemplo 2

Considerando la función cuadrática f(x)=-(x+1)^2+4, determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.

Para determinar el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en x=0, entonces,

f(0) = -(0+1)^2+4 = -1 + 4 = 3

En conclusión, la función f(x) corta al Eje Y en el punto (0,3). Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Ejemplo 3

Considerando la función exponencial f(x)=\frac{1}{3}\textit{\Large e}^{x+2}-1, determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.

Para determinar el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en x=0, entonces,

f(0) = \frac{1}{3}\textit{\Large e}^{0+2} - 1 = \frac{\textit{\Large e}^{2}}{3} - 1 = \frac{\textit{\Large e}^{2}-3}{3}

En conclusión, la función f(x) corta al Eje Y en el punto \left(0,\frac{3}{2}\right). Esto se puede apreciar al observar su gráfica

Punto de corte con el Eje Y | totumat.com

Ejemplo 4

Considerando la función radical f(x)= \sqrt{x - 4} + 2, determine el punto de corte de esta función con el Eje Y.

Esta función no tiene punto de corte con el Eje Y, pues el punto x=0 no está en su dominio. Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Puntos de corte con el Eje X

Para calcular los puntos de corte con el Eje X, debemos notar primero que todos los puntos que pertenecen al Eje X, son de la forma (x,0) donde x puede ser cualquier número real, entonces el punto de corte de la función con este eje debe cumplir con esta condición.

Puntos de corte con el Eje X | totumat.com

Formalmente, si consideramos una función f(x), entonces calculamos el punto de corte con el Eje X verificando para cuales valores de x la función se anula, es decir, calculando los valores de x para los cuales

f(x) = 0

Veamos con algunos ejemplos como calcular los puntos de corte con el Eje X.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la función lineal f(x)=3x-1, determine el punto de corte de esta función con el Eje X.

Para determinar el punto de corte con el Eje X, calculemos los valores de x para los cuales f(x)=0, entonces,

f(x) = 0

\ \Rightarrow \ 3x-1 = 0

\ \Rightarrow \ 3x=1

\ \Rightarrow \ x = \frac{1}{3}

En conclusión, la función f(x) corta al Eje X en el punto \left( \frac{1}{3},0 \right). Esto se puede apreciar al observar su gráfica

Puntos de corte con el Eje X | totumat.com

Ejemplo 6

Considerando la función cuadrática f(x)=-(x+1)^2+4, determine el punto de corte de esta función con el Eje X.

Para determinar el punto de corte con el Eje X, calculemos los valores de x para los cuales f(x)=0, entonces,

f(x) = 0

\ \Rightarrow \ -(x+1)^2+4 = 0

\ \Rightarrow \ -(x+1)^2 = -4

\ \Rightarrow \ (x+1)^2 = 4

\ \Rightarrow \ \sqrt{(x+1)^2} = \sqrt{4}

\ \Rightarrow \ |x+1| = 2

A partir de esta última igualdad, podemos considerar dos casos: x+1=2 ó x+1=-2, por lo tanto, x=1 ó x=-3.

En conclusión, la función f(x) corta al Eje X en los puntos \left( 1,0 \right) y \left( -3,0 \right). Esto se puede apreciar al observar su gráfica

Puntos de corte con el Eje X | totumat.com

Nota: Es importante conocer las funciones inversas, notemos que en este caso se usó la función raíz cuadrada para poder despejar la variable x cuando esta se encuentra involucrada en una expresión cuadrática.

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Ejemplo 7

Considerando la función exponencial f(x)=\frac{1}{3}\textit{\Large e}^{x+2}-1, determine el punto de corte de esta función con el Eje X.

Para determinar el punto de corte con el Eje X, calculemos los valores de x para los cuales f(x)=0, entonces,

f(x) = 0

\ \Rightarrow \ \frac{1}{3}\textit{\Large e}^{x+2}-1 = 0

\ \Rightarrow \ \frac{1}{3}\textit{\Large e}^{x+2} = 1

\ \Rightarrow \ \textit{\Large e}^{x+2} = 3

\ \Rightarrow \ \ln\left( \textit{\Large e}^{x+2} \right) = \ln(3)

\ \Rightarrow \ x+2 = \ln(3)

\ \Rightarrow \ x = \ln(3) -2

En conclusión, la función f(x) corta al Eje X en el punto \left( \ln(3) -2,0 \right). Esto se puede apreciar al observar su gráfica

Puntos de corte con el Eje X | totumat.com

Nota: Es importante conocer las funciones inversas, notemos que en este caso se usó la función logaritmo neperiano para poder despejar la variable x cuando esta se encuentra involucrada en una expresión exponencial.

Ejemplo 8

Considerando la función radical f(x)= \sqrt{x - 4} + 2, determine el punto de corte de esta función con el Eje X.

Esta función no tiene punto de corte con el Eje X, pues el punto y=0 no está en su rango. Esto se puede apreciar al observar su gráfica

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Funciones Cuadráticas

Una vez que hemos definido las transformaciones de funciones elementales, podemos considerar la función cuadrática para sentar la base de un tipo de funciones que se generan a partir de ellas, conocidas la forma canónica de la función cuadrática, expresadas de la siguiente forma

f(x) = (px + q)^2 + r, \ p \neq 0

Estas expresiones pueden expandirse para definir la forma general de la ecuación cuadrática, de la siguiente forma

f(x) = ax^2 + bx + c, \ a \neq 0

En general, estas funciones son llamadas Funciones Cuadráticas y notemos que esta expresión es la misma que define a las ecuaciones cuadráticas. La gráfica de esta función se conoce como parábola y su forma depende de los coeficientes a, b y c.

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Concavidad de la función cuadrática

Gráficamente, diremos que una parábola es convexa (o cóncava hacia arriba), si la apertura de esta apunta hacia arriba, es decir, si tiene la forma \cup; por otra parte, diremos que una parábola es cóncava (o cóncava hacia abajo), si la apertura de esta apunta hacia abajo, es decir, si tiene la forma \cap.

Considerando la función f(x) = ax^2 + bx + c, diremos que a es el coeficiente principal y la concavidad de esta función estará definida de la siguiente forma:

  • Si a > 0 entonces la función cuadrática es convexa.
  • Si a < 0 entonces la función cuadrática es cóncava.
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Vértice de la función cuadrática

Diremos que el máximo de una función es un punto x_0 tal que f(x_0) > f(x) para todo valor de x en el conjunto de los números reales, análogamente, iremos que el mínimo de una función es un punto x_0 tal que f(x_0) < f(x) para todo valor de x en el conjunto de los números reales. Estos puntos se conocen como extremos de una función.

Habiendo determinado la concavidad de una función cuadrática, podemos notar que esta alcanza un extremo de la siguiente forma:

  • Si la función cuadrática es convexa, entonces ésta alcanza un mínimo.
  • Si la función cuadrática es cóncava, entonces ésta alcanza un máximo.

Al extremo de una función cuadrática se le conoce como el vértice y es posible calcular las coordenadas que definen a este punto considerando la forma canónica pues notando que el vértice de la función cuadrática f(x)=x^2 se encuentra en el punto (0,0).

Al transformar esta función, podemos concluir que la expresión (px + q)^2 + r traslada a la función x^2 en -\frac{q}{p} unidades en el Eje X y en r unidades en el Eje Y. Particularmente, el vértice estará trasladado hasta el punto \left( -\frac{q}{p} , r \right).

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Veamos como a partir de este hecho, podemos calcular las coordenadas del vértice de una función cuadrática expresada en su forma general.

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Coordenada del vértice en el Eje X

Expandiendo la forma canónica podemos obtener la forma general de la función cuadrática y así, establecer una igualdad entre los coeficientes correspondientes, como sigue

Si la coordenada en el Eje X del vértice está denotada por V_x, entonces podemos plantear el siguiente sistemas de ecuaciones.

a = p^2

b = 2pq

V_x = -\frac{q}{p}

A partir de la segunda ecuación podemos despejar q para obtener que q=\frac{b}{2p} y sustituyendo este valor de q en la tercera ecuación, tenemos que

V_x \ = \ -\frac{q}{p}

\ = \ -\frac{ \ \frac{b}{2p} \ }{p}

\ = \ -\dfrac{ \ b \ }{2p^2}

Entonces, considerando esta última igualdad y que a = p^2, concluimos que la coordenada en el Eje X de la función cuadrática f(x) = ax^2 + bx + c es

V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}

Coordenada del vértice en el Eje Y

Para calcular la coordenada en el Eje Y del vértice, basta con evaluar la función f(x) = ax^2 + bx + c en V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}.

f \left( V_x \right) \ = \ a\left( V_x \right)^2 + b \left( V_x \right) + c

\ = \ a\left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right)^2 + b \left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right) + c

\ = \ a \dfrac{ \ b^2 \ }{4a^2} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c

\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c

\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ 2b^2 \ }{4a} + \frac{4ac}{4a}

\ = \ \dfrac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a}

\ = \ \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}

De esta forma, concluimos que la coordenada en el Eje Y de la función cuadrática f(x) = ax^2 + bx + c es

V_y = \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}

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Eje de Simetría de la Función Cuadrática

Una de las características que más destaca al observar la gráfica de una función cuadrática, es decir, una parábola, es que esta crece de forma simétrica respecto a un eje, a este eje lo llamamos eje de simetría y una vez que hemos calculado el vértice de una función cuadrática, definimos este eje como la recta vertical definida por la siguiente ecuación:

x = V_x

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Puntos de Corte de la Función Cuadrática

Con el Eje Y

Para calcular el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en el punto x=0, es decir, calcular la imagen f(0) = a(0)^2 + b(0) + c.

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Con el Eje X

Si bien una función cuadrática definida en todos los números reales tendrá un punto de corte con el Eje Y, no siempre podemos garantizar que esta tenga un punto de corte en el Eje X. Veamos a continuación los tres casos posibles que podemos encontrar al estudiar los puntos de corte con el Eje X.

Para calcular los puntos de corte con el Eje X, debemos calcular los valores de x para los cuales f(x) = 0, es decir, para los cuales se satisface la ecuación cuadrática ax^2 + bx + c = 0. Para determinar la solución de esta ecuación definimos su discriminante como la expresión b^2-4 \cdot a \cdot c y éste número nos determina la cantidad de puntos de corte con el Eje X, de la siguiente manera:

  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c > 0, entonces existen dos puntos de corte.
  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c = 0, entonces existe sólo un punto de corte.
  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c < 0, entonces no tiene puntos de corte.

A partir del discriminante podemos definir una fórmula conocida como el Método del Discriminante que permite calcular los valores de x que satisfacen la ecuación cuadrática, de la siguiente forma:

\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

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Bosquejo de Polinomios

Si se sabe interpretar de forma correcta la información que se obtiene de las derivadas de una función se puede hacer bosquejo de un polinomio sin necesidad de extenderse mucho en los cálculos, sin embargo, definamos una serie de pasos que facilite el flujo de la información que vamos obteniendo del polinomio para poder apreciar su comportamiento general. Si P(x) un polinomio, entonces

  1. Calculamos los puntos de corte con los ejes y estudiamos su positividad (intervalos en los que es positiva o negativa).
  2. Calculamos los puntos críticos y determinamos su monotonía (intervalos en los que crece o decrece).
  3. Calculamos los puntos de inflexión y determinamos su concavidad (intervalos en los que es convexa o cóncava).
  4. Calculamos las imágenes de los puntos de los puntos críticos y de inflexión.
  5. Esbozar la gráfica.

De esta forma, aunque es un proceso extenso, se observa con claridad el comportamiento de la función en cada intervalo de la recta real estudiando la función, su primera derivada y su segunda derivada. Veamos con algunos ejemplos como hacer estos bosquejos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Haga un bosquejo del polinomio P(x) = x^2 + 5x +6

Primer Paso: Puntos de Corte y Positividad.

Para determinar el punto de corte del polinomio con el Eje Y, calculamos el valor del polinomio cuando x=0, esto es

P(0) = (0)^2 + 5(0) +6 = 6

Para determinar los puntos de corte del polinomio con el Eje X, calculamos el valor de la variable x cuando P(x)=0, esto es,

x^2 + 5x +6 = 0 \Longrightarrow (x+2)(x+3)=0

Entonces, los puntos de corte del polinomio con el Eje X son x=-2 y x=-3. Así, podemos estudiar la positividad del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Está por encima del Eje X en los intervalos (-\infty,-3) y (-2,+\infty).
  • Está por debajo del Eje X en el intervalo (-3,-2).

Segundo Paso: Puntos Críticos y Monotonía.

Para determinar los puntos críticos del polinomio P(x) calculamos su primera derivada y obtenemos P'(x) = 2x+5. Calculamos los valores para los cuales P'(x)=0, esto es,

2x+5 = 0 \Longrightarrow x = -\frac{5}{2}

Entonces, el punto crítico del polinomio es x=-\frac{5}{2}. Así, podemos estudiar la monotonía del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es decreciente en el intervalo (-\infty,-\frac{5}{2}),
  • Es creciente en el intervalo (-\frac{5}{2},+\infty).
  • Alcanza un mínimo local en x=-\frac{5}{2}.

Tercer Paso: Puntos de Inflexión y Concavidad.

Para determinar los puntos de inflexión del polinomio P(x) calculamos su segunda derivada y obtenemos P''(x) = 2. Concluyendo inmediatamente que nunca es igual a cero, entonces no tiene puntos de inflexión. Aunque la conclusión es clara, haremos una tabla de análisis de signo para ilustrar lo que ocurre.

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es convexo en todo su dominio.

Cuarto Paso: Imágenes.

  • P(-\frac{5}{2}) =\left( -\frac{5}{2} \right)^2 + 5 \left( -\frac{5}{2} \right) + 6 = -\frac{1}{4} = -0.25

Quinto Paso: Graficar.

Puntos de Corte.

Puntos Críticos.

Ejemplo 2

Haga un bosquejo del polinomio P(x) = x^3 - 2x^2 -x +2

Primer Paso: Puntos de Corte y Positividad.

Para determinar el punto de corte del polinomio con el Eje Y, calculamos el valor del polinomio cuando x=0, esto es

P(0) = (0)^3 - 2(0)^2 -(0) +2 = 2

Para determinar los puntos de corte del polinomio con el Eje X, calculamos el valor de la variable x cuando P(x)=0, esto es,

x^3 - 2x^2 -x +2 = 0

Considerando que este polinomio es de grado tres, el método que usaremos para calcular sus raíces será el Método de Ruffini. Entonces, consideramos sus coeficientes de la siguiente manera

Entonces, los puntos de corte del polinomio con el Eje X son x=1, x=-1 y x=2. Así, podemos factorizar el polinomio como P(x)=(x-1)(x+1)(x-2) y estudiar su positividad haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Está por encima del Eje X en los intervalos (-1,1) y (2,+\infty)
  • Está por debajo del Eje X en los intervalos (-\infty,-1) y (1,2).

Segundo Paso: Puntos Críticos y Monotonía.

Para determinar los puntos críticos del polinomio P(x) calculamos su primera derivada y obtenemos P'(x) = 3x^2 - 4x -1. Calculamos los valores para los cuales P'(x)=0. Considerando que este polinomio es de segundo grado, el método que usaremos para calcular sus raíces será el Método del Discriminante.

Identificamos los coeficientes del polinomio como a=3, b=-4 y c=-1 y aplicamos la fórmula del discriminante

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}

= \dfrac{4 \pm \sqrt{16+12}}{6}

= \dfrac{4 \pm \sqrt{28}}{6}

= \dfrac{2 \pm \sqrt{7}}{3}

x_1 = \dfrac{2 + \sqrt{7}}{3} \approx 1.54858

x_2 = \dfrac{2 - \sqrt{7}}{3} \approx -0.21525

Entonces, los puntos críticos del polinomio son x=\dfrac{2 + \sqrt{7}}{3} y x=\dfrac{2 - \sqrt{7}}{3}. Así, podemos factorizar la primera derivada del polinomio como P'(x)=3\left( x - \frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)\left( x + \frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right) y estudiar la monotonía del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es creciente en los intervalos \left(-\infty,\frac{2 - \sqrt{7}}{3}\right) y \left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3},+\infty\right).
  • Es decreciente en el intervalo \left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3},\frac{2 + \sqrt{7}}{3}\right).
  • Alcanza un máximo local en x=\frac{2 - \sqrt{7}}{3}.
  • Alcanza un mínimo local en x=\frac{2 + \sqrt{7}}{3}.

Tercer Paso: Puntos de Inflexión y Concavidad.

Para determinar los puntos de inflexión del polinomio P(x) calculamos su segunda derivada y obtenemos P''(x) = 6x-4. Calculamos los valores para los cuales P''(x)=0. Considerando que este polinomio lineal, el método que usaremos para calcular sus raíces será un simple despeje de la siguiente manera

6x-4 = 0 \Longrightarrow 6x = 4 \Longrightarrow x = \frac{4}{6} \Longrightarrow x = \frac{2}{3}

Entonces nuestro posible punto de inflexión es x=\frac{2}{3}, y estudiamos la concavidad del polinomio haciendo una tabla de análisis de signo:

De esta forma, concluimos que el polinomio P(x)

  • Es cóncavo en el intervalo (-\infty,\frac{2}{3}).
  • Es convexo en el intervalo (\frac{2}{3},+\infty).
  • Alcanza un punto de inflexión en x=\frac{2}{3}.

Cuarto Paso: Imágenes.

  • P\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right) = \left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)^3 - 2\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right)^2 -\left(\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \right) +2 \approx -0.63113
  • P\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right) = \left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right)^3 - 2\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right)^2 -\left(\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \right) +2 \approx 2.11261
  • P\left(\frac{2}{3} \right) = \left(\frac{2}{3} \right)^3 - 2\left(\frac{2}{3} \right)^2 -\left(\frac{2}{3} \right) +2 \approx 0.740741

Quinto Paso: Graficar.

Puntos de Corte.

Puntos Críticos.

Puntos de Inflexión.

Gráfica de las Funciones Elementales

A continuación se presenta una lista de funciones elementales son sus respectivas gráficas y transformaciones: Función Identidad o Afín, Función Cuadrática, Función Cúbica, Función Raíz Cuadrada, Función Raíz Cúbica, Función de Proporcionalidad Inversa (1/x), Función 1/x^2, Función Exponencial, Función Logarítmica, Función Seno, Función Coseno y Función Tangente. Además, al final de esta, hay un enlace con un PDF descargable que se puede consultar en digital o imprimir si se desea.

Gráfica de las funciones Algebraicas | totumat.com
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Gráfica de las funciones trascendentes o trascendentales y Gráfica de las funciones trigonométricas | totumat.com